2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1习题：第二章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程 Word版含答案

§ 2.4抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p2 B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A .45B .23C .47D .1二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．已知抛物线y 2＝2px (p>0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程知识梳理1．相等 焦点 准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2向右(3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p 2 向上 (5)(0，－p 2) y ＝p2 向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.]2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．C [容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]6．A [如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理， 得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝⎛⎭⎫32－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12|BC |·d12|AC |·d ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.]7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P (x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0. ∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．① 直线方程变形为y ＝2x ＋1，② 设抛物线截直线所得弦为AB .②代入①，整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝12或a ＝－4.∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解(1)当点A 在抛物线内部时，如图，42<2p ·72，即p >167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |.当A ，M ，A ′共线时，(|MF |＋|MA |)min ＝5，故p 2＋72＝5，∴p ＝3满足p >167，∴抛物线方程为y 2＝6x .(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p ·72，即0<p ≤167时，连结AF 交抛物线于M ，此时(|MA |＋|MF |)最小，即|AF |＝5.即 ⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝5，∴p ＝1或p ＝13(舍)． ∴抛物线方程为y 2＝2x .综上抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x .。

章末分层突破①对称性②离心率③顶点④渐近线⑤离心率要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.(1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________.【精彩点拨】 (1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义.(2)利用椭圆定义来解. 【规范解答】 (1)把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等.∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图所示，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝8， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.【答案】 (1)C (2)x 216＋y 28＝11.点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标.【导学号：37792093】【解】 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a ，b ，c ，e 之间的关系等.如图2­1所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2­1A. 2B. 3C.32D.62【精彩点拨】 由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.【规范解答】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4， |F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝ca ＝62. 【答案】 D2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A.12B.32C.22D.33【解析】 12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.【答案】 A(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； (2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0).图2­2(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：37792094】【精彩点拨】 (1)利用定义解题.(2)利用勾股定理和弦长公式来解.【规范解答】 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*). ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围. 【解】 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈上有解.设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2.(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x ，y 之间的关系式.(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标x ，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x ，y 之间的关系式.(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1，0)，(1,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【精彩点拨】 设AF ，AE 的直线方程得交点EF ，再求k EF .【规范解答】 (1)由题意，c ＝1，设椭圆的方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去).所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0， 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x F ＋x E ＋2k x F －x E ＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.4.已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.【导学号：37792095】(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值.【解】 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞).因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.1.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B.1 C.32D.2 【解析】 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.【答案】 D2.过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 3【解析】 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.3【解析】 由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.【答案】 B4.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D。

[课时作业][A 组　基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝，所以所求抛物线标准方程为12y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝x 0，54则x 0＝( )A ．1 B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－.因为|AF |＝x 0，根据抛物线的定义可得1454x 0＋＝|AF |＝x 0，解得x 0＝1，故选A.1454答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( )A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D.答案：D4．已知双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线x 2a 2y 2b 2C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝yB ．x 2＝y 8331633C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为y ＝±x ，不妨取y ＝x ，(0，p2)ba ba 即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为＝2，即ap ＝4＝4c ，|a ×p 2|a 2＋b 2a 2＋b 2所以＝，双曲线的离心率为＝2，所以＝＝2，所以p ＝8，所以抛物线方c a p4ca c a p4程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A. B.|BF |－1|AF |－1|BF |2－1|AF |2－1C.D.|BF |＋1|AF |＋1|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于.|BC ||AC |由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴＝＝.|BC ||AC ||BM ||AN ||BF |－1|AF |－1答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：依题意得，直线x ＝－与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线p2x ＝－的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p ＝2.p2p2答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为，(p2，0)线段FA 的中点B 的坐标为，(p4，1)代入抛物线方程得1＝2p ×，p4解得p ＝，故点B 的坐标为，2(24，1)故点B 到该抛物线准线的距离为＋＝.2422324答案：248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．解析：设Q (x 0，±20)(x 0≥0)，x 则|PQ |＝≥|a |对∀x 0≥0恒成立，(x 0－a )2＋4x 0即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．化简得x ＋(4－2a )x 0≥0.20当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x ＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2；20当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意．答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，∴|PQ |＝r ＋1，又|AP |＝r ＋1.∴|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点．直线x ＝2为准线．∴＝2.∴p ＝4.p2∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝，12故得抛物线方程为x 2＝－y .又因为B 点在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝，即|AB |＝，22则水池半径应为|AB |＋1＝＋1，2因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5 m ，2即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组　能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋，|FP 2|＝x 2＋，|FP 3|＝x 3＋，p2p2p2∵2x 2＝x 1＋x 3，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|.答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2B ．2C ．4D ．2235解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为，准线方程为x ＝－，(p 2，0)p2∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p ＝2，抛p2物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y ＝8，20∴|OM |＝＝＝2.22＋y 2022＋83答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于x 2a ________．解析：由抛物线定义知1＋＝5，∴p ＝8，p2∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴m 2＝16，∴m ＝4，即M (1,4)，又∵A (－，0)，双曲线渐近线方程为y ＝± x ，a 1a 由题意知＝，∴a ＝.41＋a 1a 19答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则＝________.ba 解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ，F .(a2，－a )(a2＋b ，b)又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，∴Error!解得＝＋1.ba 2＋125．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于时，求k 的值．10解析：(1)证明：设A (－y ，y 1)，B (－y ，y 2)．212则y 1＝k (－y ＋1)，y 2＝k (－y ＋1)，212消去k 得y 1(1－y )＝y 2(1－y )．221∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)，又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴·＝y 1y 2＋y y ＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0，OA → OB → 212∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝×1×|y 2－y 1|，12由Error!得ky 2＋y －k ＝0，∴S △OAB ＝×1×|y 2－y 1|＝＝，12121k 2＋410∴k ＝±.166．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。

学业分层测评(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫18，±24. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫18，±24 7．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ， 得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( ) A.15B.14C.13D.12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C. 【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ 3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】 过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。