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麦克斯韦速率分布

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麦克斯韦速率分布

麦克斯韦速率分布
§6—5 气体分子速率的统计分布规律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规 律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向， 则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布函数
速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的百 分比为多大。
麦克斯韦速率分布
下面列出了氧气分子在0OC时分子速率的分布情况
1、重力场中气体分子受力： （1）分子热运动——空间分布均匀 （2）重力作用——向低处下沉 平衡时，n(h)，P(h)，在空间形成非均匀的稳定 分布
2、公式推导：——流体静力学
h+dh h
今取一垂直于地面的气体圆
P+dP＝P’ 柱体。设地面处分子数密度
n 为 0 高度为h处的分子数密
P
为度 n 麦克斯韦速率分布
2、分子在势场中，n不均匀，考虑空间分布：
p
dN ndV n0e kT dxdydz
——在x，y，z处得体元dV中的分子数
在势场中，分子总是优麦克先斯韦速占率分据布 势能较低的状态。
v1
N v1
N
分子速率在υ1→ υ2间隔内的分子数占总分子数的百 分比。
分子速率出现在υ1→ υ2间隔内的概率。
麦克斯韦速率分布
(5) v2 Nf (v)dv v1
dN N N N v1 v2
分子速率出现在υ1→υ2间隔内的分子数。
(6) vf (v)dv v
——平均速率
0
(7) 1 f (v)dv ( 1 )——平均速率的倒数
3)所有小面积的和恒等于1。
麦克斯韦速率分布
分布函数 f (v)的意义
f (v)
f (v)
当 v 0
f (v) dN Ndv

§2[1].3麦克斯韦速率分布

§2[1].3麦克斯韦速率分布

∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,

§2.3 麦克斯韦速率分布

§2.3 麦克斯韦速率分布
• 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写出:
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T

5麦克斯韦速率分布

5麦克斯韦速率分布

2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n

i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o

麦克斯韦速率分布函数

麦克斯韦速率分布函数
=21/2N 0xexp(x2)2x2dx
=21/2N0xexp(x2)xdx2 =21/2N0xxd[exp(x2)] =21/2N[xexp(x2)|0x
+0xexp(x2)dx]
=N[21/2xexp(x2) +21/20xexp(x2)dx]. 定义误差函数erf(x)为
erf(x)=21/20xexp(x2)dx,
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”

04麦克斯韦速率分布律

04麦克斯韦速率分布律

速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率

麦克斯韦速率分布

3 )2
exp(
mv
2
) v dv
2
2kT
⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv 间的分子占总分子数N的百分比（概率）
dN N f (v )dv 4 ( m 2 kT
3 )2
exp(
mv
2
2kT
) v dv 概率
2
2. 麦氏速率分布函数曲线： ⑴
但速率很大 或很小的分子数较少
N
( v ~ v v的分子数 )
则在总分子中分子速率介于
v ~ v+∆v 的分子的概率为：
N N
Pv v v
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：
F (v ) dN N dv
相应地，分子速率介于v ~ v+dv的概率即为：
d Pv v d v F ( v ) d v
（三）最概然速率vp：
vp 2kT m

2 RT Mm
vrms
f (v )
v
2

3kT m

3 RT Mm
（四）三种速率之比：
v p : v : v rms 1 : 1 . 128 : 1 . 224
v
o
v p v v2
1. 前面讨论理想气体 和 P 时曾用到 vrms v
v rms v 1.085 误差 8.5%
2 RT Mm
vp
意义： 若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间， 则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。
3. 称概率密度取极大值时的速率为 最概然速率vp，也称最可几速率
vp
vp

2.3麦克斯韦速率分布


S
o
v1 v2
v2
v
v2
N ( v1 v2 ) S N

v2
v1
F ( v)dv
速率位于 v1 v2 内分子数
N

v1
NF (v)dv N F (v)dv
v1


0
NF ( v)dv = N F ( v)dv N
0

二、麦克斯韦速率分布 说明：真空加热炉中金属分子蒸汽的速率分布f(v)dv 与从真空 加热炉壁小孔溢出的分子束中的分子速率分布F(v)dv 并非一 回事， 前者为“静态”的速率分布，后者为“动态”的速率分 布，但可以证明：
v N 2rms 508m / s v H 2rms 1900m / s
2.根据分子平均速率可以研究早期星系原始 大气。 根据万有引力定律，分子摆脱地球引力的最小速度vmin ：
GM E m GM E 1 2 mvmin 0 若 g 2 2 RE RE
8RT v M
vmin 2 gRE 11.2 10 m/s
2 2
ve
ve
原始地球大气为氢气和氦气，而如今氢气的体积百分含量仅占 5×10-5 %，说明H2易脱离（K值较小），而N2的K=22，可以长留， 但N2在地球上的来源不是很清楚。物理学不只是研究地球气体成 分，还研究其它星体成分。
麦克斯韦速率分布可以用于 定性分析行星原始大气组成， 但仅是定性分析而已。
m f (v)d v 4π( ) e 2πkT
3 2 mv2 2 kT
v2 d v
麦克斯韦速率分布 f(v)dv 反映理想气体在热动平衡条件下， 各速率区间分子数占总分数的百分比的规律。 分子速率分布概率密度 f(v) 与处 于平衡态的温度及分子种类有关， 函数曲线大致如右图所示：

麦克斯韦速率分布律


理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)

麦克斯韦速率分布

麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布是描述气体分子速度分布的概率分布函数之一。

它由麦克斯韦速度分布定律提出，该定律认为在一定温度下，分子速度的分布服从麦克斯韦速率分布。

麦克斯韦速率分布的表达式为：
f(v) = (m / (2 * π * k * T))^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-(m * v^2) / (2 * k * T))
其中，f(v)是速度为v的气体分子出现的概率密度，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

麦克斯韦速率分布描述了速率在不同范围内的分子数的相对比例。

麦克斯韦速率分布具有以下特点：
1. 最概然速率：在麦克斯韦速率分布曲线上，存在一个速度值，使得该速度值对应的气体分子出现的概率最高，这个速度就是最概然速率。

2. 平均速率：麦克斯韦速率分布曲线的面积下的整数倍等于总分子数，因此可以通过平均积分得到平均速率。

3. 方均根速率：方均根速率是指速率的平方取平均后开根号的值，它与麦克斯韦速率分布曲线的宽度有关。

麦克斯韦速率分布在解释气体的物理性质和进行气体动力学研究中起着重要的作用，尤其在理解气体温度、分子碰撞等方面具有较高的应用价值。

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2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv

vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。

dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
则图中每一细长条面积均表示
ΔS ΔN N
单位时间内射出的分子束中。 分子速率介于相应速率区间的
概率∆N/N
v v Δv
v 当∆v→0 时，得到一条光滑曲
线，称分子束速率分布曲线
F(v) ~ v
F (v) dN Ndv
dS dN dv Ndv
dPvvdv
当∆v→0 时，得到一条
光滑曲线，称分子束速率分
布曲线 F (v) ~ v
v
v
v dv
其中在速率区间v ~ v+介于速率区间v ~ v+dv的概率
分子束速率分布F (v) ~ v 与真空加热炉中的金属蒸汽
dPvvdv F(v)dv
dN dv N dv
在总分子中分子速率介于v ~ v+∆v
的分子的概率为：Pv v v
N
N
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：F (v) dN
N dv
分子速率介于v ~ v+dv的概率即为： dPvvdv F(v)dv
这是一种统计规律性的反映。 根据平均值的意义，这种统计规律可以由气体分子按速率 的概率分布来描述， 即著名的麦克斯韦分布率。
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
·1873年，他的《电磁学通论》问世，
分子速率分布 f (v)dv dN dv 不相等。
Ndv
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
1. 麦氏速率分布：
早在1859年，英国物理学家麦克斯韦由概率论、统计力学确定了气体按速率 分布的统计规律，即麦克斯韦速率分布，有3种表述方法：
⑴ 具有N个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的
分子间的碰撞是处于平衡态的气体分子具有确定速率分布的原因。
3. 称概率密度取极大值时的速率为最概然速率vp，也称最可几速率
df (v) 0 dv v p

vp
2kT m

2RT Mm
vp
意义： 若把整个可能的速率范围分为许多等间隔的小区间，
则在最可几速率vp所在区间中分子数所占比率最大。
3. 称概率密度取极大值时的速率为最
速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
即分子处于速率 v 附近单位速
率区间内的概率
⑵ N个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在
v ~ v+dv间的平均分子数等于：
dN Nf (v)dv 4 N (
m
)
3 2
0 f (v)dv 1 说明麦氏速率分布是规一化的
二、几点说明：
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
1. v (0,) ,实际上任何物体的运动速率都不会超出真空中的光速
麦氏分布中取0~∞可以简化计算。
2. 只有当定量气体处于平衡态时，分子才有按速率的确定分布。 因而麦氏分布适用于平衡态气体。
即从速度选择器射出被探测器探得的分子数
N
(总分子数 )
N
则在总分子中分子速率介于
(v~vv的分子数 )
v ~ v+∆v 的分子的概率为：
Pv v v

N N
当∆v→0 时，即得分子速率分布的概率密度函数：
F (v) dN N dv
相应地，分子速率介于v ~ v+dv的概率即为：
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
⑶ N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v ~ v+dv
间的分子占总分子数N的百分比（概率）
dN f (v)dv 4 (
m
3
)2
exp(
mv
2
)
v
2dv
N
2 kT
2kT
概率
2. 麦氏速率分布函数曲线：
⑴ v (0,) 但速率很大 或很小的分子数较少
§2.3 麦克斯韦速率分布
平衡态时， t

1 m v2 2

3 kT 2
v2 3 kT



t,
v2 是只决定于温度的物理量
m
任意分子任意时刻的动能、速率各不相同，在很大范围内变动。
可见：由于分子间的频繁碰撞，任一分子在任一瞬时所具有 的速度是完全偶然的，但是由大量分子组成的整体（每个分子具 有某种速度这个偶然事件的集合）在一定温度下，就表现为其速 度或速率平方的平均值是确定的常数。
这里仅介绍朗缪尔的实验
1. 分子束 又称分子射线。
A 平衡态 S
S1
S2
由于气体分子热运动，会有少部分气体分子从S 缝中逸出， 但因数量较少，并不影响A中气体分子所处的平衡态。
逸出气体分子带有容器中气体分子运动性质的信息。
测出逸出分子的速率分布，即可得到容器内气体分子随速 率的分布情况。但二者不相等。