定积分的概念完整版

解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。

a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。

我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。

一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。

1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。

2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。

三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。

对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。

2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。

常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。

分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。

5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。

1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。

利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。

定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。

本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。

它是对函数在给定区间上的求和过程。

我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。

定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。

定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。

二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。

对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。

例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。

2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。

如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。

这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。

3. 利用定积分的性质进行计算。

定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。

此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。

三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。

如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。

这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。

2. 定积分的加法性质。

对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。

定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。

也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。

2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。

（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。

（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。

（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。

二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。

2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。

三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。

定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。

在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。

一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。

具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫_b^af(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。

二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。

三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。

也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫_c^bf(x)dx+∫_b^af (x)dx=∫_c^af(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。

四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。

其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫_b^af(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。

另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。

平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫_b^af(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫_b^af(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。

定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。

一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。

当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。

二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。

2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。

3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。

三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。

定积分的定义与计算定积分是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域的数学分析和工程实践中。

本文将简要介绍定积分的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、定积分的定义定积分是将一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)的值进行“求和”的操作。

具体来说，我们将区间[a, b]进行分割，将每个小区间的长度取得越来越小，然后在每个小区间上找出一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，再将这些乘积相加起来，即可得到函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

数学表示上，定积分可以用符号∫来表示，即∫[a,b]f(x)dx，意思是对函数f(x)在区间[a, b]上求积分。

其中，dx表示积分的变量，a和b表示积分的下限和上限。

二、定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是定积分计算中常用的一种方法。

根据函数f(x)的不同形式，我们可以采用不同的积分公式来计算定积分。

一些常见的函数形式如下：- 多项式函数：一般多项式函数的定积分就是多项式各项的积分之和。

例如，对于f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以利用基本积分公式∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) 来计算定积分。

- 三角函数：三角函数的定积分可以利用一些特定的公式来计算。

例如，对于f(x) = sin(x)，我们可以利用基本积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C 来计算定积分，其中C为常数。

- 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定积分也有一些特定的计算公式。

例如，对于f(x) = e^x，我们可以利用基本积分公式∫e^x dx = e^x + C 来计算定积分，其中C为常数。

2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是另一种常用的定积分计算方法。

该公式表明，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以通过计算原函数在区间端点的值之差得到，即∫[a,b]f(x)dx = F(b) -F(a)。

第五章 定积分§5－－1 定积分的概念和性质一、两个实例1 曲边梯形的面积单曲边梯形由其他曲线围成的图形，可以用两组互相垂直的平行线分割成若干个矩形与单曲边梯形之和．适当选择直角坐标系，将单曲边梯形的一直腰放在x 轴上，两底边为x =a ，x =b ，设曲边的方程设为y =f (x )．先设f (x )在[a ，b ]上连续，且f (x )≥ 0，如图所示．以A 记图示曲边 梯形的面积．用区间[a ，b ]为宽，高为f (ξ)(a <ξ<b )的矩形面积来作为A 的近似值．(1)分割 任取一组分点a=x 0<x 1<x 2<...<x i －1<x i <...<x n －1<x n =b 将区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=[x 0，x 1]⋃[x 1，x 2]⋃...⋃[x i －1，x i ]⋃...⋃[x n －1，x n ]，第i 个小区间的长度为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．过各分点作x 轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n 个小曲边梯形(图5－2(2))，第i 个小曲边梯形的面积为∆A i ．(2)小范围内以不变代变取近似 在每一个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，认为f (x )≈f (ξi )， (x i －1≤ξi ≤x i )，以这些小区间为底、f (ξi )为高的小矩形面积作为第i 个小曲边梯形面积的近似值∆A i ≈f (ξi )⋅∆x i ，(i =1，2，...，n )．(3)求和得近似 将n 个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值 A =i ni i ni i x f A ∆ξ∆∑∑==≈11)(． (1)(4)取极限达到精确 以||∆x ||表示所有小区间长度的最大者， ||∆x ||=max{∆x 1，∆x 2，...，∆x n }，当||∆x ||→0时，和式(1)的极限就是原曲边梯形的面积A ，即A =∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．曲边梯形中的曲线方程y =f (x )与面积的关系：以S (x )表示以[a ，x ]为底边的曲边梯形的面积，(a ≤x ≤b )，则所求面积A =S (b )=S (b )－S (a ) ．∆S =S (x+∆x )－S (x )表示以[x ，x +∆x ]积，不妨设f (x )<f (x +∆x )，∆x >0，则 f (x )⋅∆x <∆S <f (x +∆x )⋅∆x ，f (x )<xs ∆∆< f (x +∆x )； 因为f (x )在[x ，x+∆x ]连续，由介值定理，存在ξ∈[x ，x+∆x ]xs ∆∆= f (ξ)，∆S =f (ξ)⋅∆x ． 当∆x →0，ξ→x ，因为f (x )连续，f (ξ)→f (x )，所以 xsx ∆∆∆0lim→=S '(x )=f (x )．即f (x )恰好是面积函数S (x )关于x 的变化率．因此可见，已知曲边y =f (x )，求图5－2(1)那样的曲边梯形的面积A ，从分析角度讲，实际上给出了面积函数S (x )的变化率f (x )，求S (x )在[a ，b ]段的累积量S (b )－S (a )． 2 变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v =v (t )是时间区间[t 0，T ]上t 的连续函数，且v (t )≥0，求这物体在这段时间内所经过的路程s ．(1)分割 任取分点t 0<t 1<t 2<...<t n －1<t n =T ，把时间区间[t 0，T ]分成n 个小区间 [t 0，T ]=[t 0，t 1]⋃[t 1，t 2]⋃...⋃[t i －1，t i ]⋃...⋃[t n －1，t n ]，记第i 个小区间[t i －1，t i ]的长度为∆t i =t i －t i －1，物体在第i 时间段内所过走的路程为∆S i ，(i =1，2，...，n )．(2)在小范围内以不变代变取近似 在小区间[t i －1，t i ]上认为运动是匀速的，用其中任一时刻τi 的速度v (τi )来近似代替变化的速度v (t )，即v (t )≈v (τi )，t ∈[t i －1，t i ]，得到∆S i 的近似值∆S i ≈v (τi )⋅∆t i ．(3)求和得近似 把n 段时间上的路程近似值相加，得到总路程的近似值s ≈∑=ni i i t v 1)(∆τ． (2)(4)取极限达到精确 当最大的小区间长度||∆t ||=max{∆t 1， ∆t 2，...， ∆t n }趋近于零时，和式(2)的极限就是路程s 的精确值，即 s =∑=→ni i i t t v 1||||)(lim∆τ∆．若s =s (t )，t 0≤t ≤T 表示路程函数，则v (t )=s '(t )，可见问题实质也是已知路程函数的变化率，求s (t )在时间段[t 0，T ]内的累积量s (T )－s (t 0)．二、定积分的定义定义 设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义且有界，任取一组分点a =x 0<x 1<x 2<...<x n =b ，把区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=Y ni i i x x 11],[=-，第i 个小区间长度记为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，作和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(，称此和式为f (x )在[a ，b ]上的积分和．记||∆x ||=ni ≤≤1max ∆x i ．如果当||∆x ||→0时，积分和的极限存在且相同，则称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积，并称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(=∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．其中“ ⎰ ”称为积分号，[a ，b ]称为积分区间，积分号下方的a 称为积分下限，上方的b 称为积分上限，x 称为积分变量，f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为被积表达式．实例１ 由曲线y =f (x )、直线x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形面积为A =⎰ba dx x f )(；实例２ 以速度v (t )作变速直线运动的物体，从时刻t 0到T 通过的路程为s =⎰Ttdt t v 0)(．关于定积分的定义，作以下三点说明：(1)f (x )在[a ，b ]上可积，只是要求f(x)在[a ，b]上有界、当||∆x ||→0时和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(存在极限，并未要求f (x )在[a ，b ]上连续．可以证明，若f (x )在积分区间上连续或仅有有限个第一类间断点，则f (x )在[a ，b ]上必定是可积的．(2)如果已知f (x )在[a ，b ]上可积，那么对[a ，b ]的任意分法及在ξi 在[x i －1，x i ]中任意取法，极限∑=→ni i i x x f 10||||)(lim∆ξ∆总存在且相同，因此若用定积分的定义求⎰ba dx x f )(时，为了简化计算，对[a ，b ]可采用特殊的分法以及ξi 的特殊取法．(3)定积分⎰ba dx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数f (x )、积分区间[a ，b ]有关，而与积分变量的选择无关，因此⎰ba dx x f )(=⎰ba dt t f )(=⎰ba du u f )(．三、定积分的几何意义在实例1中已经知道，当[a ，b ]上的连续函数f (x )≥0时， 定积分⎰ba dx x f )(表示由y =f (x )为曲边、x =a ，x =b 和x 轴界定的单曲边梯形的面积．现若改f (x )≥0为f (x )≤0，则－f (x )≥0，此时界定的单曲 边梯形的面积是 A =∑∑=→=→-=-ni i i x ni ii x x f x f 1||||1||||)(lim)]([lim∆ξ∆ξ∆∆ =－⎰ba dx x f )(．。

定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。

本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。

一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。

定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。

设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。

我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。

二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。

4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。

5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。