初中数学模型10-母抱子模型解直角三角形

三角形全等的相关模型总结【例题详解】①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1图2①2（提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E）类别1：角平分线模型应用模型1：角平分性质模型：辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.模型2：角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF∥射线OB【例题详解】已知：如图2，在中ABC ∆，,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线)(21.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。

而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C 作CE∥AB 交AM 的延长线于点E.例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥模型3：角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ∆≌△OBC.【例题详解】①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。

可过O 作BC 的平行线。

得△ADO≌△AQO。

专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。

最全的解直角三角形模型(分享)一、教学内容今天我们要学习的章节是《数学》的第九章第三节，是“解直角三角形”。

本节课的主要内容有：了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，会运用解直角三角形解决实际问题。

二、教学目标1. 学生能理解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的基本方法。

2. 学生能够将解直角三角形的方法应用于实际问题，提高解决实际问题的能力。

3. 学生通过学习，培养逻辑思维能力和空间想象力。

三、教学难点与重点重点：直角三角形的性质，解直角三角形的方法。

难点：如何将解直角三角形的方法应用于实际问题。

四、教具与学具准备教具：黑板，粉笔，直角三角形模型。

学具：直角三角形模型，练习本，笔。

五、教学过程1. 情景引入：2. 知识讲解：老师：请大家看黑板，我来给大家讲解一下直角三角形的性质。

（1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。

（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为90度；直角三角形的两条直角边互余，即它们的乘积等于斜边的长度的平方。

3. 例题讲解：老师：了解了直角三角形的性质后，我们来讲解一下解直角三角形的方法。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度等于两条直角边的平方和的平方根，即：斜边的长度= √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm4. 随堂练习：练习题：已知直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，求斜边的长度。

5. 作业布置：六、板书设计直角三角形的性质1. 两个锐角互余2. 两条直角边互余解直角三角形的方法1. 根据勾股定理：斜边的长度= √(直角边1^2 + 直角边2^2)七、作业设计作业题目：已知直角三角形的两条直角边长分别为8cm和15cm，求斜边的长度。

答案：斜边的长度= √(8^2 + 15^2) = √(64 + 225) = √289 = 17cm八、课后反思及拓展延伸老师：通过本节课的学习，我们了解了直角三角形的性质，掌握了解直角三角形的方法。

解直角三角形常见的四种类型金山初级中学 庄士忠 201508有关解直角三角形题历来都是重点内容，现就两直角三角形组合形式的常见应用题作一归类：1、“背靠背”型 这种类型的特点是：两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图1．例1光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．1.732）分析：欲求建筑物C 到公路AB 的距离，需过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则图2转化为形如图1的图形．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．设CD =x （m ），在Rt △BCD 中，∠BCD=45°，∴BD=CD=x ，AD=AB-BD=1000-x ．在Rt △ACD 中， ∠ACD=60°，tan ∠ACD=CD AD ，∴tan60°=CD AD ，即 3=xx -1000，解得x ≈366，即建筑物C 到公路AB 的距 离约为366m ．例2热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）解：如图3，过点A 作BC AD ⊥，垂足为D （转化为图1），根据题意，可得︒=∠30BAD ，︒=∠60CAD ，66=AD ．在Rt △ADB 中，由ADBD BAD =∠tan ，得BD=A D ·tan ∠BAD= 66⨯tan30°=66⨯33=223．在Rt △ADC 中，由tan ∠CAD=ADCD ，得CD=AD ·tan ∠CAD=66 tan60°=66⨯3=663，∴BC=BD+CD=223+663=883≈152.2，即这栋高楼约高152.2m ．2、“母抱子”型 这种类型的特点是，一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图4．例3永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图5，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60°．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （732.13≈，结果保留整数）．解：根据题意，可知∠ACB=45°，∠ADB=60°，DC=50．在R t △ABC 中，由∠BAC=∠BCA=45°，得BC=AB ．在Rt △ABD 中，由tan ∠ADB=BD AB ，得BD=ADB AB ∠tan =060tan AB =33A B ．∵BC-BD=DC ，∴AB-33AB=50，即（3-3）AB=150．∴AB=11833150≈-．即摩天轮的高度AB 约为118m ．例4在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A B ，两个凉亭之间的距离．现测得30AC =m ，70BC =m ，120CAB ∠=°，请计算A B ，两个凉亭之间的距离．分析：根据现有知识，不能直接求出AB 的长．过C 点作C D ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则图形6就转化为形如图4的图形．解：过C 点作C D ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ．在R t △CDA 中，AC=30，∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°，则AD=A C ﹒cos ∠CAD =30×21=15，CD= A C ﹒sin ∠CAD =30×23=153．在R t △CDB 中，由勾股定理，得BD=22CD BC -=65，因此， AB=65-15=50(m)．评析：从例1、例2和例 4看出，解斜三角形问题时，常需作一边的高线，转化为“背靠背”或“母抱子”型的图形．3、“拥抱”型 这种类型的特点是：两直角三角形以交叉方式出现，如图7．例5如图8所示，小杨在广场上的A 处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45º．若该楼高为26.65m ，小杨的眼睛离地面1.65m ， 广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）．解：设AB 、CD 的延长线相交于点E ，如图8．∵∠CBE =45º，CE ⊥AE ， ∴CE =BE ．∵CE =26.65-1.65=25 ，∴BE =25 ，∴AE =AB +BE =30 ．在Rt △ADE 中，∵tanDAE=AEDE ，∠DAE =30º ，∴DE =AE ×tan30 º=30×33 =10 3 ．∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ，即广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ．4、“斜截”型 这种类型的特点是，在一个直角三角形内，用垂直于斜边的一条直线去截这个直角三角形，如图9．新直角三角形与原直角三角形有一个公共锐角，所剩四边形的对角互补．例6 某片绿地的形状如图10，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长．（精确到1m ，732.13≈．）分析：基于已知AB ⊥BC ，AD ⊥CD 的考虑，可以将边AD 、BC 延长交于点E ，这样，图形就转化为形如图9的图形．解：在Rt △C DE 中，CD=100，∠E=90°-∠A=30°，∴CE=2CD=200，DE==-22CD CE 1003．在Rt △ABE 中，∠E= 30°，AB=200，∴AE=2AB=400，BE=20022=-AB AE 3，因此，AD=AE-DE=400-1003≈227(m)，BC=BE-CE=2003-200 ≈146(m)．评析：解两对角均为直角的四边形问题时，常需延长两对边，得到形如图10的图形． 总之，直角三角形的习题基本都是基本图形，熟记这些图形和他们的组合有利于解答综合习题，更有利于解答速度和自信心的提高。

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。

2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。

4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。

5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。

6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。

7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。

8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。

10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。

以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。

专题08 解直角三角形中的拥抱模型【精典例题】1、某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）解：在Rt△ACD中，△CAD＝45°，则AC＝CD．设AC＝CD＝x，则BC＝x﹣10，在Rt△BCD中，．△CD＝BC•tan59.1°，△x＝1.67（x﹣10），解得：x≈24.93，在Rt△ACE中，．CE＝AC•tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46，△DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5，答：塑像“夸父追日”DE的高度约为10.5米．2、今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上，测得B，E间距离为8.7米，楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长．（结果精确到1米，≈1.41，≈1.73）解：作CH△AB于H，如图所示：则四边形HBDC为矩形，△BD＝CH，BH＝CD，由题意得，△ACH＝30°，△DCE＝45°，设BH＝CD＝x米，则AH＝（12﹣x）米，在Rt△AHC中，△tan△ACH＝＝，△HC＝AH＝（36﹣x）米，△△CDE＝90°，△△CED＝90°﹣45°＝45°＝△DCE，△ED＝CD＝x米，△CH＝BD＝BE+ED△8.7+x＝36﹣x．△≈1.73，解得x≈10．答：小华家阳台距地面高度CD的长约为10米．3、数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m 的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67，3≈1.73)解：∵∠ACE ＝90°，∠CAE ＝34°，CE ＝55 m ，∴tan ∠CAE ＝CE AC， ∴AC ＝CE tan 34°≈550.67≈82.1(m)． ∵AB ＝21 m ，∴BC ＝AC －AB ≈61.1 m.在Rt △BCD 中，tan 60°＝CD BC， ∴CD ＝3BC ≈1.73×61.1≈105.7(m)，∴DE ＝CD －EC ≈105.7－55≈51(m)．答：炎帝塑像DE 的高度约为51 m.4、如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO ＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h 和36 km/h.经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO ＝58°.此时B 处距离码头O 有多远？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)解：设B 处距离码头O 有x km.在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∴CO ＝AO ＝45×0.1＋x＝4.5＋x .在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°.∵tan ∠DBO ＝DO BO，∴DO ＝BO ·tan ∠DBO ＝x ·tan 58°. ∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x ·tan 58°－(4.5＋x )．∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 答：B 处距离码头O 大约有13.5 km.5、某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向，继续向北走105m 后到达游船码头B ，测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向．请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为 ．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）解：如图，作CE △BA 于E ．设EC ＝xm ，BE ＝ym ．在Rt△ECB 中，tan53°＝，即， 在Rt△AEC 中，tan37°＝，即，解得x ＝180，y ＝135，△AC ＝＝＝300（m ）， 故答案为：300m ．6、如图，为测量湖面上小船A 到公路BC 的距离，先在点B 处测得小船A 在其北偏东60°方向，再沿BC 方向前进400m 到达点C ，测得小船A 在其北偏西30°方向，则小船A 到公路BC 的距离为 m ．解：过点A作AD△BC，垂足为点D．如图，则△ADC＝90°，依题意得：△ABC＝90°﹣60°＝30°，△ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，△△BAC＝90°，△AC＝BC＝200m，△△DAC＝90°﹣60°＝30°，△CD＝AC＝100m，AD＝CD＝100m，即小船A到公路BC的距离为100m；故答案为：100．7、如图，AB为某段长为10km的海岸线，码头B在码头A的东偏北30°方向上，灯塔C在码头B正北方向，码头A正西方向有一艘船D向码头A方向行驶，从船D观测，灯塔C在船D的东偏北37°方向，在灯塔C观测码头A在灯塔C的南偏西30°方向，求此时船D与码头A的距离（精确到0.1km．参考数据：＝1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：过B作BG△AD于G，△在Rt△ABG中，△BAG＝30°，AB＝10km，△AG＝5km，△在Rt△ACG中，△ACG＝30°，△CG＝km，△在Rt△DCG中，，△DG＝km，△DA＝20﹣5≈11.3km，答：此时船D与码头A的距离为11.4km．8、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）解：过B作BD△AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin△BAD＝8×＝4（千米），△△BCD中，△CBD＝45°，△△BCD是等腰直角三角形，△CD＝BD＝4（千米），△BC＝BD＝4（千米）．答：B，C两地的距离是4千米。

专题15 解直角三角形中的母抱子模型【模型展示】 通过在三角形外作高AC ，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC 是解题的关键.在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，AC 为公共边，DC+BD=BC.一、单选题1．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）AB ．3米C ．(3-米D ．(3米 【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)， 在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒【答案】C【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF 是等腰三角形，在Rt △DEC 中，利用△DEC 的正弦即可表示出CD 的长度．【详解】△△F =32°，△DEC =64°，△△DEF =32DEC F , △15DE EF , 由题可知，△DCE 为直角三角形，在Rt △DEC 中，sin CD DEC DE 即：sin 6415CD , △15sin64CD ,故选：C【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C 地测得旗杆顶部A 的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D 点处再测得旗杆顶部A 点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD 坡度i =1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB 所在旗台高度EF 为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB 为（ ）米． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A ．10.2B ．9.8C ．11.2D ．10.8【答案】B【分析】如图，作DH FC ⊥交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ AT ⊥于J ．设AT TC x ==，在Rt ADJ ∆中，根据tan AJ ADJ DJ ∠=，构造方程解决问题即可． 【详解】解：如图，作DH △FC 交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ △AT 于J ．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ 是矩形，△BT =EF =1.4米，JT =DH ，在Rt△DCH 中，△CD =2.6米，DH CH =12.4， △DH =1（米），CH =2.4（米），△△ACT =45°，△T =90°，△AT =TC ，设AT =TC =x ．则DJ =TH =（x +2.4）米，AJ =（x ﹣1）米，在Rt△ADJ 中，△tan△ADJ =AJ DJ =0.75， △12.4x x -+=0.75， 解得x =2，△AB =AT ﹣BT =AT ﹣EF =11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．4．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B C ．2米 D ．1米 【答案】B【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC PBC ==∠，2=，解得，x =)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．二、填空题5．如图所示，为了测量出某学校教学大楼AB 的高度，数学课外小组同学在C 处，测得教学大楼顶端A 处的仰角为45°；随后沿直线BC 向前走了15米后到达D 处，F 在D 处测得A 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物AB 的高度约为______米．（参考数据：1.414 1.732，结果按四舍五入保留整数）【答案】21【分析】设AG =x 米，由△AEG =45°得EG =AG =x ，FG =EG +EF =x +15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：由题意可得四边形FDCE ，四边形ECBG ，四边形FDBG 均为矩形 设AG =x 米，由△AEG =45°得EG =AG =x ，FG =EG +EF =x +15，在Rt △AFG 中，tan 3015AG x FG x ︒===+解得：x =△121AB AG BG =+==≈ 故答案为：21【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．6．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在处测得△CAD ＝30°，在B 处测得△CBD ＝45°，并测得AB ＝52米，那么永定塔的高CD 约是_____米．，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，在Rt△ACD 中，由△A ＝30°，推出AD ＝CD ，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，△CD △AD ，△CBD ＝45°，△△CDB ＝90°，△CBD ＝△DCB ＝45°，△BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，在Rt△ACD 中，△△A ＝30°，△AD，△52+x，△x（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．7．如图，在一笔直的海岸线l上有相距4km的,A B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60︒的方向上，从B站测得船C在北偏东30︒的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km．【答案】【分析】过点C作CD△AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD△AB于点D，根据题意得：△CAD=90°-60°=30°，△CBD=90°-30°=60°，△△ACB=△CBD-△CAD=30°，△△CAB=△ACB，△BC=AB=4km，在Rt△CBD中，△CD=BC•sin60°4==km)△船C到海岸线l的距离是．故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A ，又在河的另一岸边取两个点B 、C ，测得△a=30°，△β=45°，量得BC 的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）【答案】）m【分析】直接过点A 作AD△BC 于点D ，利用tan30°=100x x + 【详解】过点A 作AD△BC 于点D ，△△β=45°，△ADC=90°，△AD=DC ，设AD=DC=xm ，则tan30°=200x x =+ 解得：x=100），答：河的宽度为100）m ．故答案是：100）m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD 是解题关键．9．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB 为多少？___．（结果保留根号）【答案】【分析】设AB x =，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出BC 和CD ，然后求解即可．【详解】解：设AB x =米在Rt ABD 中，tan tan 60AB ADB BD ∠=︒==BD x =在Rt ABC 中，tan tan 30AB ACB BC ∠=︒==BCCD BC BD =-8=，解得43x即AB =故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．三、解答题10．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B 处测得福塔主体建筑顶点A 的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD 高120m ，再沿CB 方向前进20m 到达E 处，测得桅杆天线顶部D 的仰角为53.4°．求中原福塔CD 的总度．（结果精确到1m ．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD 的总高度约为389m ．【分析】设AC 为x m ，则CD =（x +120）m ，在Rt△ACB 中，可得BC =AC =x ，从而得到CE =x +20，然后在Rt△DCE 中，利用锐角三角函数，可得到tan△DEC =CD CE ，即可求解．【详解】解：如图，设AC 为x m ，则CD =（x +120）m ，在Rt△ACB 中，△ABC =45°，△BC =AC =x ，△CE =x +20，在Rt△DCE 中，tan△DEC =CD CE，△DEC =53.4°， 即12020x x ++≈1.346， 解得：x ≈269.0，△CD =x +120=389.0≈389米，答：中原福塔CD 的总高度约为389m ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．11．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度AB ，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在P 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°（即45CPA ∠=︒，30CPB ∠=︒）．若无人机离地面的高度PQ 为120米，且点Q ，A ，B 在同一水平直线上，求这条河的宽度AB ．（结果精确到1米）．1.414≈ 1.732）【答案】88米【分析】在Rt △APQ 和Rt △BPQ 中，利用锐角三角函数，用PQ 表示出AQ 、BQ 的长，然后计算出AB 的长．【详解】解：//CP QB ，45CPA PAQ ∴∠=∠=︒，30CPB PBQ ∠=∠=︒，在Rt △APQ 中，45PAQ ∠=︒，45PAQ APQ ∴∠=∠=︒，120AQ PQ∴==（米），在Rt△BPQ，tanPQ PBQBQ∠=，tanPQQBPBQ∴==∠，120120(1.7321)88AB QB QA∴=-==⨯-≈（米），答：这条河的宽度AB约为88米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．12．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45︒，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31︒，已知斜坡DE的坡度3:4，10DE=米，22DC=米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.6)︒≈【答案】宣传牌AB的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在Rt EFD∆、Rt BCD∆、中解直角三角形即可．【详解】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，则CF EG=，CG EF=，在Rt EFD∆中，斜坡DE的坡度3:4，10DE=米，∴设3EF x=米，4DF x=米，510DE x∴===，2x∴=，6EF∴=米，8DF=米，在Rt BCD∆中，45BDC∠=︒，22BC CD∴==米，22616BG BC CG∴=-=-=（米），在Rt AEG ∆中，·tan31300.618AG EG =︒=⨯=（米）， 18162AB AG BG ∴=-=-=（米）．答：宣传牌AB 的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．13．如图，山顶上有一个信号塔AC ，已知信号塔高AC ＝16米，在山脚下点B 处测得塔底C 的仰角是30°，塔顶A 的仰角是45°，求山高CD （点A ，C ，D 在同一条竖直线上）．（结果保留根号）【答案】8【分析】分别解Rt △ABD 和Rt BCD ，得到AD BD =、CD =，根据16m AD CD BD -==即可求解． 【详解】解：在Rt △ABD 中，tan 1AD ABD BD∠==， △AD BD =，在Rt BCD 中，tan CD CBD BD ∠==△CD =， △16m AC =，△16m AD CD BD -==，解得()24m BD =，△()8m CD ==． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键．14．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD 是高为1米的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40︒，向塔方向前进38米在E 处测得塔顶端A 的仰角为60︒，求二七纪念塔AB 的高度（精确到1米，参考数据400.64,400.77,40 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈）．【答案】二七纪念塔AB 的高度约为62米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG 表示出EG DG ､，进而根据38DG EG -=列出算式求出AG 的长，计算即可．【详解】解：在Rt AEG △中，AG tan AEG EG∠=，0.58tan AG EG AG AG AEG ∴==≈∠， 在Rt ADG 中，AG tan ADG DG ∠=， 1.2tan 0.84AG AG DG AG ADG ∴=≈=∠， 38DG EG -=，1.20.5838AG AG ∴-=，61.3AG ∴≈，61.3162AB ∴=+≈．答：二七纪念塔AB 的高度约为62米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A 处测得小岛O 在北偏东60︒方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5h 到达B 处，这时小岛O 在船的北偏东30︒方向36海里处．（1）求轮船从A 处到B 处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛O 的东南方向？【答案】（1）24海里/小时．（2【分析】（1）过O 作OC AB ⊥，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC 、BC 、AC 的长，进而可求得AB 的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD 为等腰直角三角形，则CD=OC ，进而可得BD 的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过O 作OC AB ⊥，由题意得36OB =海里，60OBC ∠=︒，30OAC ∠=︒，sin 60OC OB ∴=⋅︒=（海里），cos6018BC OB =⋅︒=（海里），54tan 30OC AC ===︒（海里）， 541836AB AC BC ∴=-=-=（海里），∴速度：36241.5V ==轮船（海里/小时）． （2）如图，由题意，45COD ∠=︒，D 点在O 的东南方向，△△OCD 为等腰直角三角形，△tan 45OD OC =⋅︒=，18BD BC CD ∴=+=+，t ∴==（小时），∴小时后到达． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．16．如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点A 发现航展观礼台D 在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达B 点.此时测得点D 在点B 俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到D 点的正上方点C 时（点A 、B 、C 在同一直线上），竖直高度CD 约为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin 210.36︒≈，cos210.93︒≈，tan 210.38︒≈）【答案】竖直高度CD 约为490米．【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可．【详解】解：如图：45CBD ∠=︒90BCD ∠=︒△CD CB =△21A ∠=︒△tan 21CD CD CD AC AB BC AB CD ︒===++ △800AB =△0.38800CD CD≈+ △490.32490CD =≈．答：竖直高度CD 约为490米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可． 17．科技改变生活，5G 时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量5G 信号塔的高度，如图，在起点M 处用高1米(1DM =米)的测量仪测得信号塔AB 的顶端B 的仰角为30︒，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达F 处，测得顶端B 的仰角为63.4︒，求信号塔AB 的高度约为多少米(精确到1米．参考数据：63.40.89, 63.40.45,63.4 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈)【答案】该信号塔AB 的高度约为17米【分析】本题首先假设AB 的长度为x ，继而表示BE 的长度，利用正切三角函数表示DE ，进一步表示CE ，最后再次利用正切三角函数列式求解．【详解】由已知得：20CD =，1DM AE ==，设AB 为x 米，则()1BE x =-米，在Rt DEB ∆中，tan 30BE DE︒=， )1DE x ∴-，)120CE DE CD x ∴=---，在Rt CEB ∆中，tan 63.4BE CE︒=．2∴ 求解得：17x ≈（米）．故该信号塔AB 的高度约为17【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．18．小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB 的高度．小明站在点D 处利用测倾器测得旗杄顶端A 的仰角为45°，小华在BD 之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E 处时，位于点D 处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A ，此时DE 的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB 的高度．【答案】旗杆AB的高度为15.75米【分析】过点C作CF△AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，△CED＝△AEB，所以tan△CED＝tan△AEB，进而可求AF的长，最后求出AB的长．【详解】解：如图，过点C作CF△AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，△FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根据题意，得△ACF＝45°，△AF＝CF，根据入射角等于反射角可知：△CED＝△AEB，△tan△CED＝tan△AEB，△CD AB DE BE=，△1.75 1.75 1.4 1.4AFFC+=-，△AF＝FC，△解得AF＝14，△AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗杆AB的高度为15.75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的关键．19．周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部D 处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3m的B处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角为30︒，当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75︒(小岚妈妈的身高均忽略不计) ，此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以1.5 /m s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从A 处下落到C 处需要多长时间 (结果保留整数，参考数据：750.97,750.26, 75 1.73sin cos tan ︒︒︒≈≈≈≈) 30?︒【答案】小岚从A 处下落到C 处需要6s【分析】在Rt BCD ∆中，利用三角函数解直角三角形可得CD ；在Rt ABD ∆中，利用三角函数解直角三角形可得AD ，进而得到AC 的长度，即可求解．【详解】解：根据题意可知，30,75CBD ABD ︒︒∠=∠=在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=即tan 303CD ︒= △CD 3tan30 1.73=︒≈（m ）在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD ∠=即tan 753AD ︒= ()3tan7511.19AD m ︒∴=≈()9.46AC AD CD m ∴=-=()9.46 1.56s ÷≈答：小岚从A 处下落到C 处需要6s ．【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．20．炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点A 和B ，且点A ，B 及其中像体MN 在同一平面内，像体底部N 与点A ，B 在同一条直线上，同学们利用高1m 的测倾仪在A 处测得像顶M 的仰角为35︒，在B 处测得像顶M 的仰角为45︒，且45m AB =．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈．）【答案】该塑像的高度约为106m ．【分析】延长CD 交MN 于E ，则CE△MN ，NE=BD=AC=1m ，△MDE=45°，△MCE=35°，CD=AB=45m ，在Rt△DEM 中，求出ME=DE ，在Rt△CEM 中，利用勾股定理求出ME 的长，即可得出答案．【详解】延长CD 交MN 于E ，如图所示：由题意得：CE MN ⊥，1m NE BD AC ===，45MDE ∠=︒，45m CD AB ==，在Rt DEM 中，tan 1ME MDE DE ∠==， △ME DE =，在Rt CEM △中，tan ME ME ME MCE CE CD DE CD ME∠===++， △()()()tan 45tan35450.7ME CD ME MCE ME ME =+⨯∠=+⨯︒≈+⨯，解得：()105m ME ≈，△()1051106m MN ME NE =+=+≈；答：该塑像的高度约为106m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键．21．如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离；（2）求天线BE 的高度． 1.73，结果保留整数）【答案】（1）,A C 之间的距离为30米；（2）天线BE 的高度约为27米．【分析】（1）根据题意，△BAD=90°，△BDA=45°，故AD=AB ，已知CD=5，不难算出A 与C 之间的距离．（2）根据题意，在Rt ACE 中，60ACE ∠=︒，利用三角函数可算出AE 的长，又已知AB ，故EB 即可求解．【详解】（1）依题意可得，在Rt ABD 中，45ADB ∠=︒ ，25AD AB ∴==米，5CD =米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．（2）在Rt ACE 中，60ACE ∠=︒，30AC =米，30tan 60AE ∴=⋅︒=，25AB =米，25)(BE AE AB ∴=-=米．173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米．即天线BE 的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 22．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60︒方向上，海监船继续向东航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30︒方向上．（1）求B 处到灯塔P 的距离；（2）已知灯塔P 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）B 处到灯塔P 的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的【分析】（1）作PD△AB 于D ．求出△PAB 、△PBA 、△P 的度数，证得△ABP 为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD 中，解直角三角形求出PD 的值即可判定．【详解】（1）过点P 作PD△AB 于点D ，由题意得，AB=60（海里），△PAB=30°，△PBD=60°，△△APB=△PBD -△PAB=60°-30°=30°=△PAB ，△PB=AB=60（海里），答：B 处到灯塔P 的距离为60海里；（2）由（1）可知△APB=△PAB=30°，△PB=AB=60（海里）在Rt△PBD 中，PD=BPsin60°=60=，△50>，△海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ，一艘轮船从A 处出发， 北偏东26︒方向航行至D 处， 在B 、C 处分别测得45ABD ∠=︒，37C ∠=︒求轮船航行的距离AD (参考数据：sin 260.44︒≈，cos260.90︒≈，tan 260.49︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）【答案】20km【分析】过点D 作DH AC ⊥，垂足为H ，通过解Rt DCH ∆和Rt DBH ∆得tan 37DH CH =︒和tan 45DH BH =︒，根据BC CH BH =-求得DH ，再解Rt DAH ∆求得AD 即可． 【详解】解：如图，过点D 作DH AC ⊥，垂足为H在Rt DCH ∆中，37C ∠=︒tan 37DH CH ︒= tan 37DH CH ∴=︒在Rt DBH ∆中，45DBH ∠=︒tan 45DH BH︒=tan 45DH BH ∴=︒BC CH BH =-6tan 37tan 45DH DH ∴-=︒︒18DH ∴≈在Rt DAH ∆中，26ADH ∠=︒cos 26DH AD ︒= 20cos 26DH AD ∴=≈︒（km ） 因此，轮船航行的距离AD 约为20km【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22︒，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m ， ()1求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：220.37,220.93,22 1.41sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)；()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m ；（2）0.3m ，多次测量，求平均值【分析】（1）过点A 作AE△MN 交MN 的延长线于点E ，交BC 的延长线于点D ，根据条件证出四边形BMNC 为矩形、四边形CNED 为矩形、三角形ACD 与三角形ABD 均为直角三角形，设AD 的长为xm ，则CD=AD=xm ，BD=BC+CD=（16+x ）m ，在Rt△ABD 中，解直角三角形求得AD 的长度，再加上DE 的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点A 作AE△MN 交MN 的延长线于点E ，交BC 的延长线于点D ，设AD 的长为xm ，△AE△ME ，BC△MN ，△AD△BD ，△ADC=90°，△△ACD=45°，△CD=AD=xm ，BD=BC+CD=（16+x ）m ，由题易得，四边形BMNC 为矩形，△AE△ME ，△四边形CNED 为矩形，△DE=CN=BM=1.6m ，在Rt△ABD 中，tan ABD=0.4016AD x BD x==+∠， 解得：10.7x ≈，即AD=10.7m ，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m ，答：观星台最高点A 距离地面的高度为12.3m ．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m ，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，CD 是高为1m 的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40°，向塔方向前进40m 在E 处测得塔顶端A 的仰角为63.4°，求纪念塔AB 的高度(结果取整数)． 参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84,tan 63.4 2.00︒︒︒︒≈≈≈≈．【答案】纪念塔AB 的高度约为59m ．【分析】根据正切的定义分别用AG 表示出EG 、DG ，再在在Rt AEG △中列出算式求出AG 的长，计算即可．【详解】解：根据题意，40,63.4,40,1ADG AEG DE CF CD BG ︒︒∠=∠=====． 在Rt ADG 中，tan AG ADG DG∠=， tan 40AG DG ︒∴=． 40tan 40AG EG DG DE ︒∴=-=-． 在Rt AEG △中，tan AEG AG EG∠=， tan 63.4tan 63.440tan 40AG AG EG ︒︒︒⎛⎫∴=⋅=- ⎪⎝⎭． 40tan 63.4tan 4040 2.000.8457.9tan 63.4tan 40 2.000.84AG ︒︒︒︒⨯⨯⨯⨯=≈≈-- 57.9159AB AG BG ∴=+≈+≈．答：纪念塔AB 的高度约为59m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高BC 是10m ，坡面AC 的倾斜角△CAB ＝45°，在距离A 点12m 处有一建筑物HQ ．为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD 的倾斜角△CDB ＝37°，若新坡面下D 处需留至少4m 人行道，则该建筑物HQ是否需要拆除？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】不需要拆除，理由见解析.【分析】在Rt△ABC 、Rt△DBC 中，利用锐角三角函数分别计算DB 、AB ，然后计算DH 的长，根据DH 与4的关系，得出结论．【详解】解：结论：该建筑物HQ 不需要拆除由题意知，AH ＝12m ，BC ＝10m ，在Rt△ABC 中，△△CAB ＝45°，△AB ＝BC ＝10m ，在Rt△DBC 中，△△CDB ＝37°，()10403tan 34BC DB m CDB ∴=≈=∠， △DH ＝AH ﹣DA＝AH ﹣（DB ﹣AB ）＝12﹣（403﹣10） ＝263 ≈8.6（m ），△8.6＞4，△该建筑物HQ 不需要拆除．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．27．某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点A 处用测角仪AE 测得塔顶仰角为30︒，然后沿AC 方向前行12米到达点B 处，在B 点处用测角仪BF 测得塔顶仰角为45︒，已知测角仪高为1米，A 、B 、C 三点在一条直线上，求塔CD 的高度.（结果保留根号）【答案】塔CD 的高度为()7米.【分析】记EF 的延长线交CD 于G ，首先证明FG ＝DG ，在Rt△DEG 中，求出x 即可解决问题．【详解】解：如解图，延长EF 交CD 于点G ，则EG CD ⊥.根据题意得：1BF AE GC ===米，12EF AB ==米，设DG x =米，△在Rt DFG ∆中，45DFG ∠=︒，△FG DG x ==米，在Rt DEG ∆中，tan 30x EG =︒=， △12EG FG -=，12x -=，解得6x =，△()7CD DG CG =+=米，答：塔CD 的高度为()7米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐。

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4)共边模型条件:如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；1(2022·贵州贵阳·中考真题)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有AC AB =AD AC =CD BC =12，则可得AC +AD +CD AB +AC +BC =12，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB =AD AC =CD BC ，∵AC AB =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =12，∴AC AB =AD AC =CD BC =AC +AD +CD AB +AC +BC=12，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2(2022春·江苏·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD AC =AC AB．(1)求证△ACD ∽△ABC ；(2)若AD =3，BD =2，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)6【分析】(1)根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△ACD ∼△ABC(2)由△ACD ∼△ABC 得∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，推出△ACD ∼△CBD ，由相似三角形的性质得CD AD =BD CD ，即可求出CD 的长．【详解】(1)∵AD AC =AC AB，∠A =∠A ，∴△ACD ∼△ABC ；(2)∵△ACD ∼△ABC ，∴∠ADC =∠ACB =90°，∠ACD =∠B ，∴∠CDB =180°-90°=90°=∠ACD ，∴△ACD ∼△CBD ，∴CD AD=BD CD ，即CD 2=AD ⋅BD =3×2=6，∴CD =6．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．3(2022.山西九年级期中)如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，求证：(1)△ACP ∽△PDB ，(2)CD 2=AC •BD ．证明：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD =∠PDC =∠CPD =60°，∴∠ACP =∠PDB =120°，∵∠APB =120°，∴∠APC +∠BPD =60°，∵∠CAP +∠APC =60°∴∠BPD =∠CAP ，∴△ACP ∽△PDB ；(2)由(1)得△ACP ∽△PDB ，∴AC PD =PC BD ，∵△PCD 是等边三角形，∴PC =PD =CD ，∴AC CD=CD BD ，∴CD 2=AC •BD ．4(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．5(2023.浙江中考模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ．(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为(不需证明)：(2)已知AB =5，AC =4，请你求出CD 的长：(3)在(2)的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ；(2)125；(3)存在，2740，32，98，910【分析】(1)根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD ，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长．(3)由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．(2)如图2中，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，∴BC=AB2-AC2=52-42=3．∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，∴CD=AC⋅BCAB=125．(3)存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=3，OC=125，∴OB=95．分两种情况：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB =BQBC，∴3-t5=t3，解得t=98，即BQ=CP=98，∴BP=BC-CP=3-98=158．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=BP2-BQ2=1582-98 2=32，∴点P的坐标为2740,32；②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴BPBC=BQAB，∴3-t3=t5，解得t=158，即BQ=cP=158,BP=BC-CP=3-158=98，过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴⋅PECO=BQAB，即PE125=1585，∴PE=910．在△BPE中，BE=PB2-PE2=982-910 2=2740，∴OE=OB-BE=95-2740=98，∴点P的坐标为98,910，综上可得，点P的坐标为2740，32；98，910．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6(2022·陕西汉中·九年级期末)如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC 交于点N，且∠EDF=45°．(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；(2)如图2，若CE≠CF，求证：CD2=CE ⋅CF ；(3)如图2，过D 作DG ⊥BC 于点G ，若CD =2，CF =2，求DN 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)253．【分析】(1)由题意可得∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，从而可得∠DCE =∠DCF =135°，于是可证得△DCE ≌△DCF ，则有DE =DF ；(2)结合(1)可求得∠CDF +∠F =45°从而可得∠F =∠CDE ，则△CDF ∽△CED ，利用相似三角形的性质即可求解；(3)由DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，结合(2)可求得CE =22，从而可求得CG =DG =2，可证得△CEN ∽△GDN ，从而可求得GN =23，再利用勾股定理即可求得DN ．(1)证明∶∵∠ACB =90°，AC =BC ，CD 是中线，∴∠BCD =∠ACD =45°，∠BCE =∠ACF =90°，∴∠DCE =∠DCF =135°∵在△DCE 与△DCF 中，CE =CF∠DCE =∠DCF CD =CD，∴△DCE ≌△DCF ，∴DE =DF ；(2)证明∶∵∠DCE =∠DCF =135°∴∠CDF +∠F =180°-135°=45°，∵∠CDF +∠CDE =45°，∴∠F =∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ，∴CD CE =CF CD，即CD 2=CE ⋅CF ；(3)解：如图，∵DG ⊥BC ，∠ACB =90°，∠BCD =∠ACD =45°，∴∠DGN =∠ECN =90°，∠GCD =∠CDG =45°，∴CG =DG当CD =2，CF =2时，由CD 2=CE ⋅CF 可得，CE =22，在Rt △DCG 中，CG =DG =CD ∙sin ∠DCG =2×sin45°=2∵∠ECN =∠DGN ，∠ENC =∠DNG ，∴△CEN ∽△GDN ，∴CN GN =CE DG =222=2，∴GN =13CG =23，∴DN =GN 2+DG 2=23 2+(2)2=253．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．7(2023·浙江·九年级期末)(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD⋅AB．求证：∠ACD=∠B．(2)如图2，在▱ABCD中，E是AB上一点，连接AC，EC．已知AE=4，AC=6，CD=9．求证：2AD =3EC．(3)如图3，四边形ABCD内接于O，AC、BD相交于点E．已知O的半径为2，AE=CE，AB=2AE，BD=23，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)23【分析】(1)由AC2=AD⋅AB化比例，与∠A=∠A，可证△ACD∽△ABC即可；(2)由▱ABCD，可得AB=CD，AD=BC，根据线段比值计算AEAC =23，ACAB=23，可得AEAC=ACAB，由∠EAC=∠CAB，可证△ACE∽△ABC即可；(3)连接OA交BD于点F，连接OB，根据AE=CE，AB=2AE，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得ABAC=AEAB，由∠BAC=∠EAB，可证△ABE∽△ACB，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=1，可求S△ABD=3，可证S△ABE=S△CBE，S△ADE=S△CDE，可得S△BCD=SΔABD即可．【详解】(1)证明：如图1，∵AC2=AD⋅AB，∴ACAB=ADAC，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B．(2)证明：如图2，∵▱ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∵AE=4，AC=6，CD=9，∴AB=CD=9，∴AE AC =46=23，ACAB=69=23，∴AEAC=ACAB，∵∠EAC=∠CAB，∴△ACE∽△ABC，∴AE AC =ECBC，即46=ECBC=23，∴2BC=3EC．∴2AD=3EC；(3)解：如图3，连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，∵AE =CE ，AB =2AE ，∴AC =2AE ，∴AB AC =2AE 2AE =22，AE AB =AE 2AE=22，∴AB AC =AE AB ，∵∠BAC =∠EAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴∠ABD =∠ACB ，∵∠ADB =∠ACB ，∴∠ABD =∠ADB ，∴点A 是弧BD 的中点，BD 为弦，OA 为半径，∴OA ⊥BD ，BF =DF ，∵OA =OB =2，BD =23，∴BF =DF =3，在Rt △OBF 中，根据勾股定理OF =OB 2-BF 2=4-3=1，∴AF =OF =1，∴S △ABD =12×BD ×AF =3，∵AE =CE ，∴S △ABE =S △CBE ，S △ADE =S △CDE ，∴S △BCD =S △BCE +S △DCE =S △ABE +S △CDE =S ΔABD ，∴S 四边形ABCD =S ΔABD +S ΔBCD =2S △ABD =23．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．8(2022春·广东深圳·九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠ADB =∠DCB ，求证：BD 2=BA ⋅BC ；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD 为平行四边形，F 在AD 边上，AB =AF ，点E 在BA 延长线上，连结EF ，BF ，CF ，若∠EFB =∠DFC ，BE =4，BF =5，求AD 的长；【拓展提高】(3)如图3，在△ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE =DC ，∠BEC =∠AEF ，BE =16，EF =7，CE BC =34，求AF FC 的值．【答案】(1)见解析；(2)254；(3)75【分析】(1)据角平分线的定义及相似三角形的判定可知△ABD ∽△DBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(2)据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知△EBF ∽△FBC ，再根据相似三角形的性质即可解答；(3)据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知△ECM ∽△BCE ，再根据相似三角形的性质即可解答．【详解】(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵∠ADB =∠DCB ，∴△ABD ∽△DBC ，∴AB BD =BD BC，∴BD 2=BA ⋅BC ；(2)解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠AFB =∠FBC ，∠DFC =∠FCB ，∵AB =AF ，∴∠AFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠FBC ，∵∠DFC =∠FCB ，∠EFB =∠DFC ，∴∠EFB =∠FCB ，∴△EBF ∽△FBC ，∴BE BF =BF BC ，即45=5BC，解得：BC =254，∴AD =254；(3)过点C 作CM ∥AD 交EF 的延长线于点M ，∵∠AEF +∠CEF +∠DEC =180°，∠BEC +∠CBE +∠BCE =180°，∴∠CEF =180°-∠AEF -∠DEC ，∠CBE =180°-∠BEC -∠BCE ，∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∴∠CEF =∠CBE ，∵CM ∥AD ，∴∠DEC =∠ECM ，∵∠DEC =∠DCE ，∴∠ECM =∠DCE ，∴△ECM ∽△BCE ，∴EM BE =EC BC =34，∵BE =16，∴EM =12，∵EF =7，∴FM =12-7=5，∵CM ∥AD ，∴∠ACM =∠EAC ，∵∠AFE =∠CFM ，∴△AEF ∽△CMF ，∴AF FC=EF FM =75．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．课后专项训练1(2023成都市九年级期中)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于()A.116B.15C.14D.125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD =BC =a ，则AB =CD =2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2=CE •CA ，AB 2=AE •AC∴a 2=CE •5a ，4a 2=AE •5a ，∴CE =5a 5，AE =45a 5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=CE AE2=116，故选：A ．2(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠B =36°．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG=CGB.∠B=2∠HABC.△CAH≅△BAGD.BG2=CG⋅CB【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠C =36°，从而可得∠AGB=72°，再根据等腰三角形的性质可得∠AHG=∠GAH=54°，然后根据三角形的外角性质可得∠HAB=18°，由此即可判断选项B；先假设△CAH≅△BAG可得∠CAH=∠BAG，再根据角的和差可得∠CAH=90°,∠BAG=72°，从而可得∠CAH≠∠BAG，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得BG=AB=AC，再根据相似三角形的判定可得△ABC∼△GAC，然后根据相似三角形的性质可得AC2=CG⋅CB，最后根据等量代换即可判断选项D．【详解】解：由题意可知，DE垂直平分AC，CG=HG，∴AG=CG，则选项A正确；∵AB=AC,∠B=36°，∴∠C=∠B=36°，∵AG=CG，CG=HG，∴∠CAG=∠C=36°，AG=HG，∴∠AGB=∠CAG+∠C=72°，∠AHG=∠GAH=180°-∠AGB2=54°，∴∠HAB=∠AHG-∠B=18°，∴∠B=2∠HAB，则选项B正确；假设△CAH≅△BAG，∴∠CAH=∠BAG，又∵∠CAH=∠CAG+∠GAH=36°+54°=90°，∠BAG=∠HAB+∠GAH=18°+54°=72°，∴∠CAH≠∠BAG，与∠CAH=∠BAG矛盾，则假设不成立，选项C错误；∵∠BAG=72°=∠AGB，AB=AC，∴BG=AB=AC，在△ABC和△GAC中，∠B=∠CAG=36°∠C=∠C，∴△ABC∼△GAC，∴AC CG =CBAC，即AC2=CG⋅CB，∴BG2=CG⋅CB，则选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．3(2023·湖北恩施·校考模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，下列关系中不正确的是()A.BC2=BD⋅ABB.CD2=AD⋅BDC.AC2=CD⋅ABD.AC2-BC2=AD2-BD2【答案】C【分析】求证△CDB∽△ACB，△DAC∽DCB，△ADC∽△ACB，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，于是AC2-BC2=AD2-BD2，从而可得出结论．【详解】解：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△CDB∽△ACB∴BCAB=BDBC∴BC2=BD⋅AB，故A正确，不符合题意；∵∠ACD+∠BCD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠DAC又∠ADC=∠BDC=90°∴△DAC∽DCB∴DCDB=DADC∴CD2=AD⋅BD，故B正确，不符合题意；Rt△DAC中，AC2=CD2+AD2，Rt△DBC中，BC2=CD2+BD2，∴AC2-BC2=AD2-BD2，故D正确，不符合题意．∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ADC∽△ACB∴ACAB =AD AC∵AC2=AD⋅AB，故C错误，符合题意；故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键．4(2023·山东济南·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是()A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BEAC =5-12D.S△AECS△BEC=5+12【答案】C【分析】由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出∠ACE=36°=∠A，得到AE=CE，根据三角形内角和求出∠BEC=72°=∠B，得到CE=BC，即可判断B；证明△ABC∽△CBE，得到ABBC=BCBE，设AB=1,BC=x，则BE=1-x，求出x，即可判断C；过点E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，由角平分线的性质定理推出EG=EH，即可根据三角形面积公式判断D．【详解】解：由题意得，BC=DC，CE平分∠ABC，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵CE平分∠ABC，∴∠BCE=36°，故A正确；∵CE平分∠ABC，∠ACB=72°∴∠ACE=36°=∠A，∴AE=CE，∵∠ABC=72°，∠BCE=36°，∴∠BEC=72°=∠B，∴CE=BC，∴BC=AE，故B正确；∵∠A =∠BCE ,∠ABC =∠CBE ，∴△ABC ∽△CBE ，∴AB BC=BCBE ，设AB =1,BC =x ，则BE =1-x ，∴1x =x 1-x ，∴x 2=1-x ，解得x =5-12，∴BE =1-5-12=3-52，∴BE AC=3-52，故C 错误；过点E 作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥AC 于H ，∵CE 平分∠ACB ，EG ⊥BC ，EH ⊥AC ，∴EG =EH∴S △AEC S △BEC =12⋅AC ⋅EH 12⋅BC ⋅EG =AC BC =5+12，故D 正确；故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．5(2023·云南临沧·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是AB 上的点，∠B =∠ACD ，AC =1，AB =2，则△ACD 与△BCD 的面积比为()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:4【答案】C【分析】证明△ACD ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵∠B =∠ACD ，∠CAD =∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC =AC AB 2=12 2=14，设S △ACD =x ，则S △ABC =4x ，∴S △BCD =S △ABC -S △ACD =3x ，∴△ACD 与△BCD 的面积比为1:3，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．6(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在△ABC 中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，BC 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ；作射线CF 交AB 于点G ，若AC =9，BC =6，△BCG 的面积为8，则△ACG 的面积为．【答案】12【分析】过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，证明△ACG ∽△BMG ，得出AG GB =AC BM =ACBC，根据S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC=96=32，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM ∥AC 交CG 的延长线于点M ，∴∠ACM =∠CMB由作图可得CG 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACM =∠BCM∵∠BCM =∠CMB ∴BC =BM ∵BM ∥AC ∴△ACG ∽△BMG∴AG GB =AC BM =AC BC ∴S △ACG S △BCG =AG GB =AC BC =96=32，∵△BCG 的面积为8，∴△ACG 的面积为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．7(2020·山西·统考中考真题)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为．【答案】5485【分析】过点F 作FH ⊥AC 于H ，则△AFH ∽△AEC ，设FH 为x ，由已知条件可得AH =32FH =32x ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x 的方程，解方程求出x 的值，利用S △AFC =12AC ×FH =12CF ×AD 即可得到DF 的长．【详解】如解图，过点F 作FH ⊥AC 于H ，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴FH⎳BC，∵BC=4，点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵FH⎳BC，∴△AFH∽△AEC∴AHFH =ACEC=32∴AH=32FH，设FH为x，则AH=32x，由勾股定理得AB=42+32=5，又∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴CD=AC⋅BCAB=125，则AD=AC2-CD2=95，∵∠FHC=∠CDA=90°且∠FCH=∠ACD，∴△CFH∽△CAD，∴FHAD =CHCD，即x95=3-32x125，解得x=1817，∴AH=1817．∵S△AFC=12AC×FH=12CF×AD∴12×3×1817=12CF×95∴CF=3017∴DF=CD-CF=125-3017=5485故答案为：5485【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．8(2022·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tan C=512，点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为．如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，则当BP=11时，AQ的长为．【答案】 5 2【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证△APQ相似于△ACP，即可得到AQ长；【详解】解如图1，过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵AB =AC ，AM ⊥BC ，∴BM =MC =12BC =12，又∵tan C =512∴tan B =512∴AM =BM ⋅tan B =12×512=5，根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P 与点A 的最短距离为5；∴AB =AC =AM 2+BM 2=13，如图2，过点A 作AN ⊥BC ，在Rt △APN 中，PN =PC -CN =1，又AN =5，∴AP 2=PN 2+AN 2=26，在△APQ 与△ACP 中，∵∠APQ =∠C ，∠PAQ =∠CAP ，∴△APQ ∽△ACP ，∴AP AQ =AC AP∴AP 2=AQ ⋅AC ，∴AQ =2故答案为：5；2．【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AC ,AD ,CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：①CF 平分∠ACD ； ②AF =2DF ； ③四边形ABCF 是菱形； ④AB 2=AD ⋅EF 其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形ABCDE ，∴∠ABC =∠BCD =∠CDE =∠DEA =180°×5-35=108°，AB =BC =CD =DE =AE ，∴∠BAC =∠BCA =∠DAE =∠ADE =∠DCE =∠CED =180°-108°2=36°，∴∠ACE =108°-∠BCA -∠DCE =36°=∠DCE ，∴CF 平分∠ACD ；正确；②∵∠ACE =∠DEC =36°，∠DFE =∠AFC ，∴△DEF ∽△ACF ，∴DF AF =DEAC，∵DE =AB ，2AB >AC ，∴DF AF≠12，即AF ≠2DF ，故②错误；③∵∠BAC =∠ACE ，∠ABC +∠BAD =108°+36°+36°=180°，∴BC ∥AD ，AB ∥CE ，∴四边形ABCF 是平行四边形，∵AB =BC ，∴四边形ABCF 是菱形；正确；④∵∠CED=∠DAE=36°，∠EDF=∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴DEAD=EFAE，∴ED⋅AE=AD⋅EF，即AB2=AD⋅EF，正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．10(2020·广东广州·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，AB ，AC 分别交对角线BD于点E,F，若AE=4，则EF⋅ED的值为．【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明△AEF∼△DEA，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAC=∠ADB=45°，∵ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，∴∠B AC =∠BAC=45°，∴∠EAF=∠ADE=45°，∵∠AEF=∠AED，∴△AEF∼△DEA，∴AEDE =EFAE，∴EF•ED=AE2=42=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．11(2021·四川南充·中考真题)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB=3BD，则AD:AC的值为．【答案】3 3．【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】∵BC=3AB=3BD，∴ABBC=13=33，BDAB=33，∴ABBC=BDAB=33，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =BDAB=33．故答案为：33．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．12(2022·四川宜宾·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】(1)利用三角形外角的性质及∠DEC =∠ADB 可得出∠ADE =∠C ，结合∠DAE =∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD =AB 即可得出AB 的长．【详解】解：(1)证明：∵∠DEC =∠DAE +∠ADE ，∠ADB =∠DAE +∠C ，∠DEC =∠ADB ，∴∠ADE =∠C ．又∵∠DAE =∠CAD ，∴△AED ∽△ADC ．(2)∵△AED ∽△ADC ∴AD AC =AE AD ，即AD 1+3=1AD，∴AD =2或AD =-2(舍去)．又∵AD =AB ，∴AB =2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；(2)利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13(2022·江苏盐城·中考真题)如图，在△ABC 与△A B C 中，点D 、D 分别在边BC 、B C 上，且△ACD ∽△A C D ，若，则△ABD ∽△A B D ．请从①BD CD =B D C D ；②AB CD =A BC D；③∠BAD =∠B A D 这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①BD CD =B DC D，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =∠A D C ，AD A D =CDC D，∴∠ADB =∠A D B ，∵BD CD =B DC D ，∴BD B D =CD C D ，∴AD A D =BD B D ，又∠ADB =∠A D B ，∴△ABD ∽△A B D ．选择②BA CD =B AC D，不能证明△ABD ∽△A B D ．若选③∠BAD =∠B A D ，证明：∵△ACD ∽△A C D ，∴∠ADC =A D C ，∴∠ADB =∠A D B ，又∵∠BAD =∠B A D ，∴△ABD ∽△A B D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．14(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B ∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA ∴AB CB =BDAB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．15(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ．(1)操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE =°，设AC =1，BC =x ，那么AE =(用含x 的式子表示)；(2)进一步探究发现：底BC 腰AC =5-12，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：底BC 腰AC=5-12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1．求这个菱形较长对角线的长．【答案】(1)72°,1-x (2)证明见解析，拓展应用：5+12【分析】(1)利用等边对等角求出∠ABC ,∠ACB 的长，翻折得到∠ABD =∠CBD =12∠ABC ，∠BDC =∠BDE ,BC =BE ，利用三角形内角和定理求出，∠BDC ，AE =AB -BE =AB -BC ，表示出AE 即可；(2)证明△BDC ∽△ABC ，利用相似比进行求解即可得出底BC 腰AC=5-12；拓展应用：连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，得到△ACE 为黄金三角形，进而得到CEAC=5-12，求出AC 的长即可．【详解】解：(1)∵∠A =36°，AB =AC ，∴∠ABC =∠C =12180°-36° =72°，∵将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°，∠BDC =∠BDE ,BC =BE =x ，∴∠BDC =∠BDE =180°-∠CBD -∠C =72°，AE =AB -BE =AB -BC =1-x ；故答案为：72°,1-x ；(2)证明：∵∠BDC =72°=∠C ，∴BD =BC =x ，∵∠A =∠CBD =36°,∠C =∠C ，∴△BDC ∽△ABC ，∴BC AC=CDBC ，∵∠ABD =∠CBD =∠A =36°，∴AD =BD =BC =x ，∴CD =1-x ，∴x 1=1-xx ，整理，得：x 2+x -1=0，解得：x =5-12(负值已舍掉)；经检验x =5-12是原分式方程的解．∴底BC腰AC=5-12；拓展应用：如图，连接AC ，延长AD 至点E ，使AE =AC ，连接CE ，∵在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1，∴∠CAD =∠ACD =36°,CD =AD =1，∴∠EDC =∠DAC +∠ACD =72°,∠ACE =∠AEC =12180°-∠DAC =72°，∴∠EDC =∠AEC ，∴CE =CD =1，∴△ACE 为黄金三角形，∴CE AC =5-12，∴AC =25-1=5+12．即菱形的较长的对角线的长为5+12．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为5-12．16(2023·广东·九年级专题练习)定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC =22，AB =4，试判断点D 是不是△ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，若点D 是△ABC 的“理想点”，求CD 的长．【答案】(1)D 为△ABC 的理想点,理由见解析(2)125或94【分析】(1)由已知可得AC AD =ABAC，从而ΔACD ∽ΔABC ，∠ACD =∠B ，可证点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)由D 是ΔABC 的“理想点”，分三种情况：当D 在AB 上时，CD 是AB 边上的高，根据面积法可求CD 长度；当D 在AC 上时，ΔBDC ∽ΔABC ，对应边成比例即可求CD 长度；D 不可能在BC 上．(1)解：点D 是ΔABC 的“理想点”，理由如下：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，AD ⋅AB =8，∵AC =22，∴AC 2=8，∴AC 2=AD ⋅AB ，∴AC AD =ABAC，∵∠A =∠A ，∴ΔACD ∽ΔABC ，∴∠ACD =∠B ，∴点D 是ΔABC 的“理想点”；(2)①D 在AB 上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠ACD =∠B 或∠BCD =∠A ，当∠ACD =∠B 时，∵∠ACD +∠BCD =90°，∴∠BCD +∠B =90°，∴∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，当∠BCD =∠A 时，同理可证∠CDB =90°，即CD 是AB 边上的高，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =4，∴BC =AB 2-AC 2=3，∵S ΔABC =12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ，∴CD =125，②∵AC =4，BC =3，∴AC >BC 有∠B >∠A ，∴ “理想点” D 不可能在BC 边上，③D 在AC 边上时，如图：∵D 是ΔABC 的“理想点”，∴∠DBC =∠A ，又∠C =∠C ，∴ΔBDC ∽ΔABC ，∴CD BC =BC AC，即CD 3=34，∴CD =94，综上所述，点D 是ΔABC 的“理想点”，CD 的长为125或94．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．17(2022·江西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为菱形，点E 在AC 的延长线上，∠ACD =∠ABE ．(1)求证：△ABC ∽△AEB ；(2)当AB =6,AC =4时，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)AE =9【分析】(1)根据四边形ABCD 是菱形，得出CD ∥AB ，AB =CB ，根据平行线的性质和等边对等角，结合∠ACD =∠ABE ，得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，即可证明结论；(2)根据ΔABC ∽ΔAEB ，得出AB AE =ACAB，代入数据进行计算，即可得出AE 的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ∥AB ，AB =CB ，∴∠ACD =∠CAB ，∠CAB =∠ACB ，∵∠ACD =∠ABE ，∴∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，∴ΔABC ∽ΔAEB ．(2)∵ΔABC ∽ΔAEB ，∴AB AE =AC AB ，即6AE=46，解得：AE =9．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出∠ACD =∠ABE =∠CAB =∠ACB ，是解题关键．18(2022·湖北武汉·校考模拟预测)已知，点D 在△ABC 的边BC 上，连接AD ．(1)如图1，若∠BAD =∠C ．求证：BA 2=BD ⋅BC ；(2)如图2，若AD ⊥BC ，BD =5，CD =3，tan ∠BAC =43．求线段AD 的长；(3)如图3，M 、N 分别是AC 、AB 上的两点，连接MN 交AD 于点P ，当AB =AC ，BD :BA :BC =2:5:6时，若∠APN =∠C ，直接写出MPMN的值．【答案】(1)证明见解析；(2)3+26(3)5051【分析】(1)先证明△ABD ∽△CBA ，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；(2)延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，根据三角函数值，设AD =4x ，DE =3x ，进而得到AB 2=16x 2+25，BE =5+3x ，BC =8，证明△ABC ∽△EBA ，得出AB 2=BC ⋅BE ，从而得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到线段AD 的长；(3)过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，设BD =2a ，AB =AC =5a ，BC =6a ，利用勾股定理，得到AG =4a ，AD =17a ，证明△ACD ∽△CKD ，得出CD 2=AD ⋅DK ，进而得到DK =161717a ，AK =1717a ，再证明△AKF ∽△DKH ，△CDH ∽△CBF ，得到KH KF =16，CH CF =23，进而得出CK CF =5051，最后证明△ANM ∽△AFC ，△APM ∽△AKC ，得出MN CF =MP CK，即可求出MP MN 的值．【详解】(1)证明：∵∠BAD =∠C ，∠ABD =∠ABC ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BA BC =BD BA，∴BA 2=BD ⋅BC ；(2)解：如图，延长BC 至点E ，使得∠AEB =∠BAC ，连接AE ，∵tan ∠BAC =43，AD ⊥BC ，∴tan ∠AEB =AD DE =43，设AD =4x ，DE =3x ，∵BD =5，CD =3，∴AB 2=AD 2+BD 2=4x 2+52=16x 2+25，BE =BD +DE =5+3x ，BC =BD +CD =8，∵∠ABC =∠ABE ，∠AEB =∠BAC ，∴△ABC ∽△EBA ，∴BC AB=AB BE ，∴AB 2=BC ⋅BE ，∴16x 2+25=85+3x ，解得：x 1=3+264，x 1=3-264(舍)，∴AD =4x =3+26；(3)解：如图，过点C 作CF ∥MN 交AB 于点F ，交AD 于点K ，过点D 作DH ∥AB 交CF 于点H ，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，。

专题7：解直角三角形的应用拥抱型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例1（2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜i=（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，坡AB的坡度3:4︒≈︒≈）C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =，3sin 5BE BAE AB ∴∠==75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒tan 58 1.6x AN∴︒=≈58AN x ∴≈5608NE AN AE x ∴=+=+在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒45tan 220.4x BF -∴︒=≈5(45)2BF x ∴≈-5560(45)82x x ∴+=-解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．专题过关1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM ＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD ；（2）此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）【答案】（1）（2）()90+米【解析】【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH=DG=30米，DH=BG ，证明AB=BC ，设AB=BC=x米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到30903x x -=+据此求解即可．【小问1详解】解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，∴13DG CG =，∴90CG =米，∴CD ==米；【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG ，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，设AB=BC=x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH 中，tan 3AH ADH DH ∠==，∴30903x x -=+，解得90x =+，∴()90AB =米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．3.（2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD 的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测“大玉米”顶端C 处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测“大玉米”底部D 处的俯角是30°．已知楼房AB 高约是162m ，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果≈1.41≈1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt △ABD 中由边角关系求出AD 的长，在Rt △ACD 中，求出CD 即可．【详解】解：如图，由题意可知，∠CAD ＝45°，∠EBD ＝30°＝∠ADB ，AB ＝DE ＝162米，在Rt △ABD 中，∵tan30°AB AD=，∴AD 33==3，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝3≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE ＝2.5m ，在平地上的B 处测得石碑的底部E 的仰角为10°，向前走1m 到达点D 处，测得石碑的顶端A 的仰角为60°，求石碑AE 的高度.（精确到0.1m ；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183）【答案】石碑AE 的高度为19.8m【解析】【分析】在Rt BCE 中利用正切可求出BC 的长，从而得出CD 的长，再在Rt ACD △中利用正切即可求出AC 的长，进而可求出AE 的长．【详解】解：根据题意可知10EBC ∠=︒，60ADC ∠=︒，1m BD =．∵在Rt BCE 中，tan EC EBC BC∠=，∴ 2.5tan10BC ︒=，∴ 2.513.9m 0.18BC ≈≈，∴12.9m CD BC BD =-=．∵在Rt ACD △中，tan AC ADC CD ∠=，∴tan 6012.9AC ︒=，∴13.9tan 6012.912.9 1.22.37m 3AC =⨯︒=⨯≈⨯≈，∴22.3 2.519.8m AE AC EC =-=-=．答：石碑AE 的高度为19.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．5.（2022河南二模）洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE 的高度为21m ，他们在测量点A （与C 在同一水平线上）测得底座最高点E 的仰角为20°，沿AC 方向前进24m 到达测量点B ，测得老子铜像顶部D 的仰角为60°．求老子铜像DE 的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈，1.73≈）【答案】老子铜像DE 的高约38.3米．【解析】【分析】在t R ACE △，由根据正切定义解得AC 的长，继而得到BC 的长，在t R BCD 中，由正切定义解得CD 的长，最后根据线段的和差解答．【详解】解：在t R ACE △tan 20,21CE CE AC ︒==2158.33tan 20AC ∴=≈︒24AB =58.32434.3BC ∴=-=在t tan 60CDR BCD BC︒=，tan 6034.359.34CD BC ∴=⋅︒=⨯59.342138.3DE CD CE ∴=-=-≈（米）答：老子铜像DE的高约38.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．6.（2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.41，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM 的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1＝BMAM＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN 为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME ，在Rt △ABM 中，∠BAM ＝30°，∴AM ＝cos302AB AB °==（米），∴ME ＝AM+AE ＝（）米=BN ，∵∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN ＝（）米，∴CE ＝CN+NE ＝（）米，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE•tan53°≈21×43＝28（米），∴CD ＝CE ﹣DE ＝﹣28＝2≈6.7（米），即广告牌CD 的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．7.（2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G 信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD ）恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得信号柱顶端A 的仰角为30°，在C 处测得信号柱顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB 的长度．（结果保留根号）【答案】信号柱AB 的长度为12)+米【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，由锐角三角函数定义定义求出CH 、DH 、HG ，设BC x =米，再由锐角三角函数定义求出BG ，然后列出方程，解方程即可．【详解】（方法一）解：过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH AB ⊥交AB 于点H ，又AB BC ⊥，则四边形BEDH 为矩形，在Rt DCE V 中，1260CD DCE =∠=︒，，6CE DE ∴==，，=BH DE ∴=在Rt ABC △中，45ACB =︒∠，∴设==AB BC x ，(6)DH BE BC CE x ∴==++，(AH AB BH x ∴=-=+，在Rt ADH 中，30ADH ∠=︒，3tan 303AH DH ∴︒==，63x x -∴=+，解得：12)x =+．答：信号柱AB的长度为12)+米．（方法二）解：延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，在Rt DHC △中，60,12DCH CD ∠=︒=米，则cos 12cos 606CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），sin 12sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），,30DH BG G ⊥∠=︒，18tan 33DH HG G ∴===（米），24CG CH HG ∴=+=（米），设AB x =米，,30,45AB BG G BCA ⊥∠=︒∠=︒，,3tan 33AB BC x BG G ∴====（米），BG BC CG -=，324x -=，解得：312x =+，答：信号柱AB 的长度为312)+米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，因为tan ∠BDA＝，可求出AD ，又由tan30°＝，可求出CD ，即得到答案．【解答】解：由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，∴tan ∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan ∠CAD ＝tan30°＝＝＝，∴CD ＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．9.（2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【答案】路灯的高度为13.4m ．【解析】【分析】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2；在Rt △AFM 中求得 1.2tan10x FA -=︒，即可得 1.22tan10x AE -=︒；在Rt △CEP 中，可得1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，由此即可求得路灯的高度为13.4m ．【详解】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2，在Rt △AFM 中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，tan MF MAF FA ∠=，∴ 1.2tan10x FA -︒=，∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE=AE-AC= 1.22tan10x -︒-10，在Rt △CEP 中，∠PCE=27°，CE= 1.22tan10x -︒-10，tan PE PCE CE∠=，∴1.2tan27 1.22tan11xx-︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD ＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（8+4）m．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即这棵古树的高AB为（8+4）m．12.（2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到12≈1.414，3≈=1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【解析】【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程353x x -=+，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+x ＝7+≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A 处起飞，沿直线飞行120米至点B ，在此处测得楼基A 的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C ，在此处测得楼顶D 的俯角为30°，请计算万楼主楼AD 的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．【答案】万楼主楼AD 的高度约为52米．【分析】由题意可得在Rt △ABE 中和Rt △CDE 中，AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ，根据解直角三角形在在Rt △ABE 中，可计算出BE 和AE 的长度，在Rt △CDE 中，可计算出AD 的长度，由AD ＝AE ﹣AD 计算即可得出答案．【解答】解：由题意可得，在Rt △ABE 中，∵AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∴BE ＝＝＝60（米），AE ＝sin60°•AB ＝（米），在Rt △CDE 中，∵∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ＝60+30＝90（米），∴DE ＝tan30°•CE ＝＝30（米），∴AD ＝AE ﹣AD ＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD 的高度约为52米．14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m ，AB=10m ，∠C=90°，则BC=AC -AB=30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=o 故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．。

解直角三角形问题的两个数学模型有一些涉及直角三角形的问题,常常需要通过建立各种数学“模型”来解决，这是一种十分重要的思想方法.现举例说明。

模型1如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠ADC=60°，∠B=45°,BD=10，求AC的长。

说明此类问题的特征是：具有公共直角的两个直角三角形，并且它们均位于直角边的同侧。

解法1在△ADC中，由,即，∴解法2在△ADC中，设CD=x，则。

由BC-CD=BD，得，∴，推广1如图2,小山上有一电视塔CD,由地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°，由A 向小山前进100米到B点，又测得塔顶C的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.分析本题可利用模型1，先求得米，再求得想一想:①如果在A、B二处均使用了测量仪，且测量仪高为1。

2米时，该怎样求山高？②将此问题改为测河宽CD时，在河一侧岸边设观测点A、B、E，并使CE⊥AE,则求解过程是否完全雷同?推广2如图3，有长为100m的大坝斜坡AB，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB的长.分析此题的条件只不过是在模型1中稍加变化而已。

解在Rt△ABC中求得又在Rt△ADC中，，∴推广3如图4，船自西向东航行,在A处测得小岛S在船北偏东60°，船航行10海里到B处，又测得小岛S在船北偏东45°，在小岛S的周围有半径为12海里的暗礁区,如果船不改变航向，继续前进时有无危险,为什么？分析由题设可知∠SAB=30°，∠SBD=45°，则可归结为模型1的问题,求得.∵SD＞12，∴船不会有危险.(另外,此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小时，船自A行驶15分钟后到达B 点.)模型2如图5,在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°,AC=2，求AB和BC.说明此类问题的特点是：通过作三角形一条边上的高，可将原来的斜三角形化成两个直角三角形来求解.解作AD⊥BC于D,则(或AD=ACsin45°).∴(或），BD=ADcot30°=.∴。

初中数学知识点精讲课程优 翼 微 课解直角三角形应用中的“双直角三角形”模型所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形，其位置关系有两种：叠合式背靠式典例精解类型一：叠合式如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.典例精解类型二：背靠式如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向且与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向且与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).变 式 题如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶. 已知AC= 10 千米，∠A = 30°，∠B= 45°. 则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶. 已知AC= 10 千米，∠A = 30°，∠B= 45°. 则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)变 式 题方法总结所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形.解决这类问题时，抓住两三角形的公共边，并找到公共边与其它相关边的关系，直接计算或列方程解决问题.。

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。

将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。

在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。

为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，i=是指坡面的铅直高度AF斜面坡度3:4长．（结果精确到米）（参考数据：sin18例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC 是解题的关键。

【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。

图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。