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第10章 耦合电感和理想变压器教学提示：耦合电感和理想变压器是两种耦合元件。
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合现象、互感和耦合系数，耦合电感的同名端、电流电压的关系还包括含有耦合电感电路的分析计算，及空心变压器、理想变压器等方面的知识。
教学要求：理解互感线圈、互感系数、耦合系数的含义,理解互感电压和互感线圈的同名端的概念，掌握互感线圈串联、并联去耦等效及T 型去耦等效方法。
掌握空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法。
理解理想变压器的含义，熟练掌握理想变压器变换电压、电流及阻抗的关系式。
10.1 耦合电感的伏安关系当线圈通过变化的电流时，它的周围将建立磁场。
如果两个线圈的磁场存在相互作用，则称这两个线圈具有磁耦合。
具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦合线圈。
耦合线圈的理想化模型就是耦合电感(coupled inductor )。
10.1.1 耦合电感的概念图10.1所示，电流1i 流入一个孤立的线圈，线圈的匝数为N ，1i 产生的磁通设为φ，则该线圈的磁通链ψ应为：φψN =当线圈周围的媒质为非铁磁物质时，磁链ψ与产生它的电流i 成正比，当ψ与i 的参考方向符合右手螺旋法则，则有Li =ψL 是常量，为线圈的电感，也称为自感。
图10.1 电感线圈当电流1i 变化时，磁通φ和磁通链ψ也随之变化，于是在线圈的两端出现感应电压，即自感电压L u 。
如果端口电压L u 与电流i 为关联参考方向，且电流i 与磁通的参考方向符合右手螺旋法则，可得电感的伏安关系为dtdi Lu L = 两个或两个以上彼此靠近的线圈，它们的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。
图10.2为两个耦合的线圈1、2，线圈匝数分别为N 1和N 2，电感分别为L 1和L 2。
其中的电流i 1和i 2又称为施感电流。
图10.2(a)中，当1i 通过线圈1时，线圈1中将产生自感磁通11φ，方向如图10.2(a)所示，11φ在穿越自身的线圈时，所产生的磁通链为11ψ，11ψ称为自感磁通链，11111φψN =。
电路分析基础耦合电感和理想变压器耦合电感（mutual inductance）是指两个或多个电感器件之间由于相互作用而产生的互感现象，其中一个电感器件的磁通变化会在另一个电感器件中感应出电动势。
理想变压器（ideal transformer）是一种特殊的耦合电感，其工作原理是利用磁感应定律，将输入电压和输出电压之间按一定的变比比例转换。
在电路分析中，耦合电感和理想变压器经常被用来探讨和解决一些特定的问题。
下面将分别介绍其基本原理和应用。
1.耦合电感：耦合电感的基本原理是根据电磁感应定律，当一个电感器件中通过的电流变化时，会在另一个电感器件中感应出电动势。
考虑两个简单的线圈，分别为主线圈和副线圈。
当主线圈中的电流变化时，根据电磁感应定律，在副线圈中也会感应出一个与主线圈中电流变化相关的电动势。
这种相互作用可以由一个耦合系数k表示，取值范围为0-1，表示两个线圈之间磁通的共享程度。
耦合电感可以用于共振电路、振荡电路等。
在共振电路中，当主线圈与副线圈之间有耦合时，可以通过调整耦合系数k来改变电路的共振频率，实现频率调谐的效果。
在振荡电路中，耦合电感可以提供正反馈，增强电路的振荡效果。
2.理想变压器：理想变压器是电路分析中常用的电气元件之一，其特点是无能量损耗、无电阻、无磁滞，能够以一定的变比将输入电压转换为输出电压。
理想变压器的基本结构由两个线圈绕制在共同的磁芯上组成。
理想变压器的工作原理是利用电磁感应定律和电压平衡原理。
当输入线圈（初级线圈）中通过的电流变化时，根据电磁感应定律，在输出线圈（次级线圈）中也会感应出一个与输入电流变化相关的电动势。
由于磁通守恒，输入线圈的磁通变化与输出线圈的磁通变化成一定的比例，从而实现输入电压和输出电压之间的变比转换。
理想变压器可以用于电压调整、功率传递等电路。
在电压调整电路中，通过改变输入线圈和输出线圈的匝数比例，可以实现对输入电压和输出电压之间的调整。
在功率传递电路中，根据变压器的功率平衡原理，输入功率和输出功率之间的关系可以用变压器变比关系表示。
第十四章 耦合电感和理想变压器14－1 耦合电感及其伏安关系一、单个线圈的电感11()i f i N N Lid diu Ldtdtψψφψφψ=====设单个线圈的磁链为，它是电流的函数若线圈匝数为，则磁链与磁通（）的关系为磁通的参考方向与电流的参考方向采用关联方向，即符合右手螺旋定则。
如图14.1-1所示。
二、耦合电感当两个线性的时不变电感线圈L 1与L 2相距很近时，就有磁场的耦合作用，每个线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流也与邻近线圈的电流有关，即在满足条件1）两个电感线圈都是线性的时不变电感线圈； 2）线圈周围媒质为非铁磁性物质；3）磁通与电流参考方向关联（符合右手螺旋定则）有111122222211()()()()()()t L i t M i t t L i t M i t ψψ=±=±其中：1）M 12、M 21称为互感，单位为亨（H ）。
可以证明M 12=M 21121122222()()d di diu t L M dt dt dtd di diu t L M dt dt dt ψψ==±==±当电压、电流参考方向关联，自磁通与互磁通参考方向一致（磁通相助）时，互感电压项取正；当自磁通与互磁通参考方向不一致（磁通相消）时，互感电压项取负。
自感电压总带正号。
2）同名端当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。
如图14.1-3和14.1-4所示若电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么，这个电流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端。
这就是说：电流i 1与 1di M dt 的参考方向对同名端一致。
如果i 1指向相反，则 1diM dt的指向也必须相反 。
对图14.1-3有1211di di u L M dt dt =+ 2122di di u L M dt dt=+对图14.1-4有1211di di u L M dt dt =- 2122di di u L M dt dt=-结论：当电压、电流均采用关联的参考方向时，若电流(i 1、i 2)皆由同名端入(出)，M 为正；电流(i 1、i 2)是一入一出，则M 为负。
例14.1 图14.1-5(a )所示电路，已知R 1=10Ω，L 1=5H, L 2=2H, M =1H ，i 1(t )波形如图14.1-5(b )所示。
试求电流源两端电压u ac (t )及开路电压u de (t )。
图14.1-5解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R 2上电压为零，L 2上自感电 压为零，L 2上仅有电流i 1在其上产生的互感电压。
这一电压也就是d , e 开路时的电压。
根据i 1的参考方向及同名端位置，可知1()()de di t u t Mdt = 11()()bc di t u t L dt= 1111()()()()()ac ab bc di t u t u t u t R i t L dt=+=+在0≤t ≤1 s 时1()10i t t A =11111()()1010100()5(10)50()()()10050(10)()110ab bc ac ab bc de u t R i t t t V di du t L t V dt dtu t u t u t t V di d t u t M V dt dt==⋅=====+=+===在1≤t≤2s 时1()1020i t t A =-+V dtt d dt di Mt u V t t u t u t u V t dtddt di L t u V t t t i R t u dc bc ab ac bc ab 10)2010(1)(150100)()()(50)2010(5)(200100)2010(10)()(11111-=+-==+-=+=-=+-==+=+-⋅==在t ≥2s 时0)(1=t i0,0,0,0====de ac bc ab u u u u⎪⎩⎪⎨⎧+-+=015010050100)(V t Vt t u ac 其余s t s t 2110≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=01010)(V V t u de 其余s t s t 2110≤<≤<14－2 耦合电感线圈间的串联和并联一、耦合电感的等效电路 1.耦合电感的时域模型 对14.2-1有 dt di M dt di L u 2111+= dtdiM dt di L u 1222+=对图14.2-3有dt di M dt di L u 2111-= dtdiM dt di L u 1222-=2.相量模型2111I M j I L j U ωω±= 1222I M j I L j U ωω±=对图14.2-1，i 1、i 2都从同名端流入，则表达式为1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+相量模型如图 14.2-5所示对图14.2-3，i 1从同名端流入，i 2从同名端流出，则表达式为：1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+相量模型如图14.2-6所示二、耦合电感的串联1. 顺接串联：异名端相接，如图14.2-7（a ），等效电路如图14.2-7 （b ）121212()(2)2di di di di u t L M L M dt dt dt dtdi diL L M L dt dtL L L M =+++=++==++其中：称为等效电感2. 反接串联，同名端相接，如图14.2-8（a ），等效电路如图14.2-8（b ）121212()(2)2di di di diu t L M L M dt dt dt dtdi diL L M L dt dtL L L M =-+-=+-==+-其中：称为等效电感注：1）由于电感为储能元件，储能不能为负值，即21210202L w Li L L L M=>≥+≥，所以电感为正值，故或 2）正弦稳态时，耦合电感的电压相量表示为121212121212(2)22(2)22MMM U j L j L j M IZ j L j L j M Z Z Z U j L j L j M IZ j L j L j M Z Z Z Z j Mωωωωωωωωωωωωω=++=++=++=+-=+-=+-=顺接时：反接时：其中3）对耦合电感运用相量法时，要注意电路的互感现象，把互感电压作为附加电源等效，仍可用相量法来分析电路。
三、耦合电感的并联1. 同名端相并联，如图14.2-9（a ），相应的相量模型如图14.2-9（b ）所示112211222112()j L I j L I U j MI j L I j L j L I j MI j MI I I I ωωωωωωωω-=--++=-=-122122121221212(2)()22U L L M I j L L M L L M Z j L L M L L M L L L Mωω+-=--=+--=+-解得：等效阻抗为等效电感为2. 异名端并联221212121222L L M L L M Z j L L L M L L Mω--==++++同理可得 3.耦合系数14－3 空芯变压器电路的分析一、回路分析法当输入信号u s 为正弦信号时，其相量图如图14.3-2所示，由图可得11121222()()0sL R j L I j MI U j MI R R j L I ωωωω⎫++=⎪⎬+++=⎪⎭令 1111Z R j Lω=+ 12Z j M ω= 21Z j M ω= 2222L Z R R j L ω=++解得122222221221122122111221112212221212122221122122111220s s ss s U Z Z Z U Z U I Z Z Z Z Z Z M Z Z Z Z Z U j MU Z I I Z Z Z Z Z Z Z M ωωω===-+--===-+221221122()()()L sL R R j L U I R j L R R j L M ωωωω++=++++ 2221122()()sL j MU I R j L R R j L M ωωωω-=++++11221)2)I j M j M I I j M j M I ωωωω对初级回路电流，是以平方形式出现，所以无论为正还是负都一样；对次级回路电流，是以形式出现，随前符号的改变，的符号也要改变。
二、含互感电路的等效分析（用反映阻抗）初级等效电路222111112222()S i LU M M Z Z R j L I Z R j L R ωωωω==+=++++ 1) Z i 由两部分组成11112222222222()()LZ R j L M M Z R j L R M Z ωωωωω=+=++称为初级回路的自阻抗称为次级回路对初级回路的反映阻抗，在数值上等于2) 次级回路对初级回路的影响可用反映阻抗来表示22211111222211112222222222()()()S i LLU M M Z Z R j L I Z R j L R Z R j L M M Z R j L R M Z ωωωωωωωωω==+=++++=+=++称为初级回路的自阻抗称为次级回路对初级回路的反映阻抗，在数值上等于3) 初级等效电路及1I 计算 由图14.3-2（a ），得122111122ssrU U I MZ Z R j L Z ωω==+++3. 次级等效电路 由图14.3-2（b ），得212112222LZ j MI I I Z R j L R ωω-==++12111222123LI j MI I j MI I R j L R I ωωω-=-++）初级回路对次级回路的影响，是以反映出来，不用反映阻抗；），为等效电压源，必须在求得的前提下，才能应用上式求出；）等效电源的极性、大小及相位与耦合电感的同名端、初、次级电流的参考方向有关。
三、应用戴维南定理分析图（a ）中，101011oc sU j MI U I R j L ωω=-=+ 图（b ）中，2222'0222221111f M M Z Z j L j L Z Z R j L ωωωωω=+=+=++22211f M Z Z ω=初、次级等效电路如图14.3-4所示0222222f L Z j L Z Z R R j L ωω=+=++其中例14.3-1 图14.3-5(a )所示互感电路，已知R 1=7.5Ω, ωL 1=30Ω11C ω=22.5Ω, R 2=60Ω, ωL 2=60Ω, ωM =30Ω, s U =15∠0°V 。
