函数A函数的概念与表示法(烟台市芝罘区数学精品一轮)

第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测知识梳理知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．重要结论1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ) A ．函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点只有1个 B ．已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)等于m 3 C ．y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，x ＋3，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤1，－x ＋3，x >1或x <－1题组二 走进教材2．(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．3．(必修1P 24T4改编)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( D ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D ．15lg 2[解析] 解法一：由题意知x >0，令t ＝x 5，则t >0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x >0)，∴f (2)＝15lg 2，故选D ．解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg 215＝15lg 2.故选D ．4．(必修1P 25BT1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；值域是[1,5]；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].题组三 考题再现5．(2019·江苏，5分)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是[－1,7].[解析] 要使函数有意义，则7＋6x －x 2>0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．6．(2015·陕西，5分)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( C )A ．－1B ．14C ．12D ．32[解析] ∵f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f (14)＝1－14＝12，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4. ②A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝4x . ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x2.④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应． (2)(多选题)(2020·河南安阳模拟改编)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( BC )(3)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ ①f 1：y ＝xx ；f 2：y ＝1；f 3：y ＝x 0.②f 1：y ＝x 2；f 2：y ＝(x )2；f 3：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0.③f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.f 2：x x ≤1 1<x <2 x ≥2 y123f 3：[解析] (1)①是映射，也是函数；②不是映射，更不是函数，因为从A 到B 的对应为“一对多”； ③当x ＝0时，与其对应的y 值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A 不是数集．(2)A 图象不满足函数的定义域，不正确；B 、C 满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D 不满足函数的定义，故选B 、C ．(3)①中f 1的定义域为{x |x ≠0}，f 2的定义域为R ，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ②中f 1的定义域为R ，f 2的定义域为{x |x ≥0}，f 3的定义域为{x |x ≠0}，故不是同一函数； ③中f 1，f 2，f 3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数． [答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③名师点拨 ☞ 1．映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A ，B 为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．2．判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数． 考向2 求函数的解析式——师生共研例2 已知f (x )满足下列条件，分别求f (x )的解析式． (1)已知f (x －1)＝x －2x ，求f (x )；(2)函数f (x )满足方程2f (x )＋f (1x)＝2x ，x ∈R 且x ≠0.求f (x )；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式． [分析] (1)利用换元法，即设t ＝x －1求解； (2)利用解方程组法，将x 换成1x 求解；(3)已知函数类型，可用待定系数法； (4)由于变量较多，可用赋值法求解．[解析] (1)解法一：设x －1＝t (t ≥－1)，∴x ＝t ＋1，x ＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∴f (t )＝t 2＋2t ＋1－2(t ＋1)＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．解法二：由f (x －1)＝x －2x ＝(x －1)2－1，∵x ≥0，∴x －1≥－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．(2)因为2f (x )＋f (1x )＝2x ，①将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f (1x )＋f (x )＝2x.②由①②消去f (1x )，得3f (x )＝4x －2x .所以f (x )＝43x －23x(x ∈R 且x ≠0)．(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ， ∴f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.名师点拨 ☞函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，即令t ＝g (x )，反解出x ，代入原式可得f (t )，改写即得f (x )．此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 〔变式训练1〕(1)已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1].(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R ).(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x (x ＋1)2.[解析] (1)(换元法)设cos x ＝t ，t ∈[－1,1]， ∵f (cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， ∴f (t )＝1－t 2，t ∈[－1,1]． 即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．(3)(转换法)当－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，故f (x ＋1)＝(x ＋1)(1－x －1)＝－x (x ＋1)，又f (x ＋1)＝2f (x )， 所以当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x (x ＋1)2.考点二 分段函数及应用——多维探究角度1 分段函数求值问题例3 (2020·山西太原期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥2，f (x ＋1)，x <2，则f (log 23)＝( A )A ．16B ．3C ．13D ．6[解析] ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥2，f (x ＋1)，x <2，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝(12)log 23＋1＝(12)log 1213×12＝13×12＝16.故选A ．角度2 分段函数与方程的交汇问题例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝1或－22.[解析] 由于f (1)＝e 1－1＝1，再根据f (1)＋f (a )＝2得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1，解得a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，解得a 2＝12＋2k ，k ∈Z .由－1<a <0，得a ＝－22.综上，a ＝1或－22. 角度3 分段函数与不等式的交汇问题例5 (2018·全国Ⅰ，12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 取值范围是( D )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析]画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知：①当x ＋1≥0且2x ≥0，即x ≥0时，f (2x )＝f (x ＋1)，不满足题意； ②当x ＋1>0且2x <0，即－1<x <0时，f (x ＋1)<f (2x )显然成立；③当x ＋1≤0时，x ≤－1，此时2x <0，若f (x ＋1)<f (2x )，则x ＋1>2x ，解得x <1.故x ≤－1.综上所述，x 的取值范围为(－∞，0)．名师点拨 ☞分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·江西抚州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －22m ＋1，x ≤3，log 2(x －3)，x >3，其中m ∈R ，则f (3＋4m )＝( A )A ．2mB ．6C ．mD ．2m 或6(2)(角度2)(2020·安徽江淮十校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－2，则f (4－a )＝( C )A ．－4B ．－2C ．－1D ．0(3)(角度3)(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x 的取值范围是(－14，＋∞).[解析] (1)因为3＋4m >3，所以f (3＋4m )＝log 24m ＝2m ，故选A ．(2)当a ≤1时矛盾；当a >1时，令－log 2(a ＋1)＝－2得a ＝3，∴f (4－a )＝f (1)＝－1，故选C ．(3)当x >12时，x －12>0，f (x )>212＝2，f (x －12)>20＝1，∴f (x )＋f (x －12)>1，在x >12时恒成立，当0<x ≤12时，x －12≤0，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋(x －12)＋1>1，当x ≤0时，x －12<0，此时f (x )＋f (x －12)＝x ＋1＋(x －12)＋1＝2x ＋32，令f (x )＋f (x －12)>1，则有2x ＋32>1，∴x >－14，当－14<x ≤0时，有f (x )＋f (x －12)>1恒成立，综上，当x >－14时，f (x )＋f (x －12)>1恒成立．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升数学抽象——函数新定义问题中的核心素养例6 设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2x －2－x ；⑤f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有②③④.[解析] 由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R ，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f (x )＝2sin x －1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意．名师点拨 ☞以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．〔变式训练3〕定义a ☆b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ☆x ，则f (2)＋f (12)＝( D )A ．4ln 2B ．－4ln 2C ．2D ．0[解析] 2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为12×ln 12<0，所以f (12)＝ln 1212＝－2ln 2.则f (2)＋f (12)＝2ln 2－2ln 2＝0.。

【考纲解读】【要点梳理】1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n 个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数[(()]f g x 的表达式，求()f x 可用换元法；（3）配凑法与方程组法. 【例题精析】考点一 函数的概念【变式训练】1.下列函数中,与函数1y x=有相同定义域的是( ) A.2()log f x x = B.1()f x x= C.()||f x x = D.()2x f x = 【答案】A【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞，与原题相同；而选项B 中的x 可以为负数，选项C 、D 的定义域都为R ，故选A.考点二 函数值的求解例2.(2012年高考福建卷文科9)设,则f(g(π))的值为 ( )A 1B 0C -1D .π2. (2012年高考江西卷文科3)设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则f （f （3））=( )A.15 B.3 C. 23 D. 139【答案】D【解析】考查分段函数，f （3）=23，f （f （3））=f （23）=139. 【易错专区】问题：求分段函数的函数值例.已知2,0()(1),0x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩,则4()3f+4()3f-的值等于( )A.-2B.4C.2D.-41.下列各组函数表示相同函数的是( )A. f(x)=2x, g(x)=2()x B. f(x)=|x|,g(x)=2xC. f(x)=1x-, g(x)=11xx--D. f(x)=1x+. 1x-, g(x)= 21x-【答案】B【解析】由题意可分析出,选项A、C、D的定义域不相同，而选项B的定义域与对应法则均相同，故选B.2. (2008年高考山东卷文科第5题) 设函数2211()21x xf xx x x⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1516B．2716- C．89D．18【答案】A【解析】因为(2)4f=,所以1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭=1()4f=1516,故选A.3.(北京市东城区2012年1月高三考试）已知函数3,0,()(1),0,x xf xf x x≤⎧=⎨->⎩那么5()6f的值为．4．(山东省青州市2011年4月抽样监测文科第14题)已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=fxxfxxfx则=_________．【答案】2【解析】(8)(5)(2)(1)2f f f f-=-=-==.【考题回放】1．（2010年高考湖北卷文科3）已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-142．（2009年高考山东卷理科第10题）定义在R 上的函数f(x )满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（ ） A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【答案】C【解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.3. (2012年高考陕西卷文科11) 设函数发f （x ）=，则f （f （-4））=【答案】4【解析】41(4)()16,((4))(16)16 4.2f f f f --==∴-===4.（2011年高考浙江卷文科3)设函数k 4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =____5．（2010年高考陕西卷文科13）已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ . 【答案】26．（2009年高考北京卷文科第12题）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .。

函数及其表示一、选择题1、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是 （ ） A 、{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方； B 、{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方； C 、,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数； D 、,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值；2、设集合A=R ，集合B=R ＋，则从集合A 到集合B 的映射只可能是（ ） A 、x y x f =→: B 、 x y x f =→:C 、 x y x f -=→3:D 、)1(log :2x y x f +=→3、已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，映射B A f →:，且满足1的象是4，则这样的映射有（ ）A 2个B 4个C 8个D 9个4、设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是（ ）A 、2:x y x f =→B 、23:-=→x y x fC 、4:+-=→x y x fD 、24:x y x f -=→5、函数y ＝ax 2＋a 与y ＝xa（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）6、直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2， 直线t x l =:截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ， 则函数S=)(t f 的图像大致为（ ） A BCD A B C D7、若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为（ ） A 、[0，1]B 、[2，3]C 、[－2，－1]D 、无法确定二、填空题8、给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是__________________。

9、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝_______________________。

壹专题一函数【知识概要】一、映射●映射：映射是两个集合A 、B 间一种特殊的对应，:f A B →表示对集合A 中的任何一个元素，在集合B 中有唯一确定的元素与之对应。

如果a A ∈，b B ∈，且元素a 和元素b 对应，那么，元素a 叫做元素b 的原像，元素b 叫做元素a 的像，记为()b f a =。

【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ，集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。

对于A 中每一个元素，在B 中有且只有一个元素和它对应。

（2）A 中的不同元素允许对应B 中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。

B 中的元素可以在A 中没有元素和它对应。

二、函数的概念●1. 函数的定义：如果A 、B 都是非空的数集，映射:f A B →就叫做A 到B 的函数，记作：()y f x =，x A ∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}|()y y f x x A =∈叫做函数的值域．如果用()f A 表示值域，则有()f A B ⊆。

通常()y f x =表示“y 是x 的函数”，简记作函数()f x 。

●2. 函数的三要素：定义域A ，对应法则f ，值域()f A 。

●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法： （1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法. 已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围； （3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出()f x 。

（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。

分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。

高中数学——函数的表示法（一）（一）函数的三种表示方法：1、解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

2、列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．例2：下表是某校高一（1）班三位同学高一六次数学测试成绩及班级平均分表：（二）分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出； （2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：某市出租车：（1）5公里内（含5公里），票价2元；第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 98 87 91 92 88 95 乙 90 76 88 75 86 80 丙 686573727582班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

例4．已知f(x)＝⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值（三）课堂练习：1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。

函数的概念与表示一、 知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、题型探究探究一：求函数的定义域 例1：1. 【15年新课标2文科改编】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ，本题在解题时，突破点可以抓住定义域。

2、函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72.答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式 例2．（1）.（15年新课标2文科）已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式（2）.已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）.已知是定义在实数R 上的奇函数，当，,的解析式。

烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-函数（1）抽象函数及题型无明确解析式，解()f x 的有关问题，记为抽象函数问题。

挺行总结如下 1.判断函数的奇偶性例1 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠, 求证：()f x 为偶函数。

证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-= ∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。

2.求参数的取值范围例2：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式例3：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)◆方法总结：抽象函数常见考点题型解法综述1、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。