2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

2017-2018学年人教版高中数学必修四全册导学案目录课题：任意角 (1)课题：1.1.2 弧度制 (5)课题：任意角的三角函数 (9)课题：三角函数的诱导公式（1） (12)课题：三角函数的诱导公式（2） (15)课题: 正弦函数、余弦函数的图象 (19)课题: 正弦函数、余弦函数的性质 (23)课题: 正切函数的性质和图象 (26)课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（1） (30)课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2） (36)课题：同角三角函数的基本关系 (41)课题：用单位圆中的线段表示三角函数值 (44)课题: 平面几何中的向量方法 (49)课题: 平面向量的实际背景及基本概念 (50)课题: 向量的加法运算及其几何意义 (53)课题: 向量的减法运算及其几何意义 (57)课题: 向量数乘运算及其几何意义 (60)课题: 平面向量的基本定理 (63)课题: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (67)课题: 平面向量的数量积的物理背景及其含义 (68)课题: 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (70)课题: 两角差的余弦公式 (72)课题: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (73)课题: 简单的三角恒等变换 (75)课题：任意角，即任意一个与角k +α(边 。

即学即练：1.如图⑴、⑵中终边分别为所对应的角分别属于第 、 、 象限角。

2.下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．30°C ．630°D ．630° 3. 把1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45o4×360° B ．45o4×360°C ．45o5×360° D ．315o5×360°4.下列结论中正确的是( ) A. 小于90°的角是锐角B. 第二象限的角是钝角C. 相等的角终边一定相同D. 终边相同的角一定相等【课外拓展】1.下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．=2. 若α是第一象限的角，则是( ) A. 第一象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角3. 下列各角中，与角的终边相同的角是 （ ）A ．B ．C ．D ．123OB OB OB 、、---------{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα{}Z k k ∈+⋅=,90180| αα2α330︒510︒870︒150-︒750-︒⑵B 1 y⑴Ox45°B 2O x B 3y30°60o4.（1）终边落在 (x ≥0)上的角的集合为 。

Section ⅣGrammar & Writing虚拟语气(Ⅱ)阅读下列句子，体会黑体部分的用法1．Have you ever wished you could paint as well as a professional artist?2．It is necessary that we (should) learn English well.3．My mom suggests that we (should) eat out for a change this weekend.虚拟语气可以应用于主语从句、宾语从句、表语从句、同位语从句等从句中。

一、用于主语从句中常用虚拟语气(谓语动词用should do，其中should可以省略)的主语从句有以下三个句式：1．It is/was＋important/necessary/essential/impossible/natural/strange/ surprising...＋that从句。

如：It is very important that we(should)master the basic skills of computer.掌握电脑的基本技能是很重要的。

2．It is/was＋a/an rule/shame/honour/surprise...＋that从句。

如：It is a rule that everyone(should)obey the law of the country.条例规定人人都应该遵守国家的法律。

3．It is/was＋uggested/requested/required/demanded/ordered/commanded/ proposed... ＋that从句。

如：It is suggested we(should)start before sunset.建议我们应该日落前出发。

二、用于宾语从句中1．用在wish之后的宾语从句中wish后的宾语从句使用虚拟语气表示不能实现的愿望。

．二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题：在公式(α＋β)，(α＋β)和(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：α＝α－α，α＝αα，α＝α－α).[导入新知]二倍角公式[化解疑难]细解“倍角公式”()要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．()倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于的情况都成立，如α是α的倍，α是的倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．()注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例]()；()－°；()°－°)；()°)－°)；() ° ° °.[解]()原式＝＝＝.()原式＝(×°)＝°＝(×°＋°)＝°＝.()原式＝(×°)＝°＝(°－°)＝－°＝－.()原式＝°－() ° ° °)＝°－(()) °)) ° °)＝° °－)＝° °)＝.()原式＝°· °· °· ° °)＝°· °· ° °)＝°· ° °)＝° °)＝.[类题通法]化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：()θ)－θ)；().答案：() θ()[例] ()已知＝，≤()已知α∈，且α＝，求α.[解] ()∵≤α<，∴≤α＋<.∵>，∴<α＋<.∴＝－＝－＝－.∴α＝α＋＝α＋α＋＝×－×＝－，α＝－＝－＝－×＝.∴＝α－α＝×＝－.()∵α＝－＝－，＝－＝－＝－，∴原方程可化为－α＋＝－α＋，解得＝或＝－.。

(A卷学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝( )A．AC B．ADC．BD D．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1答案：B3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同向的是( )A.a＋b|a＋b|B.a|a|＋b|b|C.a－b|a－b|D.a|a|－a|b|答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC中，BC·CA＋CA·AB＋AB·BC的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.22答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值是( )A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB ＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 14．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP 的终点共线分解系数”为________． 答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF ＝－12AD ＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM ·HF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b＝12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)． 所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )．由(AB －t OC )·OC ＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD ＝BC .设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )， ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。

2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1.1.1 任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础²初探]教材整理1 任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图1­1­1，图1­1­1(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112³360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2 象限角与轴线角阅读教材P3“图1.1­3至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3 终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k²360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )(3)终边相同的角的表示不唯一.( )【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是( )【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k²360°<α<k²360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k²360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D (2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k²360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k²360°(k∈Z).其中正确说法的序号是________.【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k²360°(k∈Z).③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k²360°(k∈Z).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图1­1­2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1­1­2【精彩点拨】 找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ²360° k ∈Z 适合题意的角的集合 【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4³360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为：A ＝{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k <Z }.阴影在x 轴下方部分的角的集合为：B ＝{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ²360°＋180°＋60°≤β<k ²360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)³180°＋60°≤β<(2m ＋1)³180°＋105°，m ∈Z }.集合A 可以化为{β|2m ³180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }.故A ∪B 可化为{β|n ²180°＋60°≤β<n ²180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.(2)第一步，将α写成α＝k ²360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1­1­3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图1­1­3【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ²360°<α<45°＋k ²360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk 所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？ 【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°(k ∈Z )，30°＋k ²120°<α3<60°＋k ²120°(k ∈Z ). 故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ²360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ²360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ²360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ²360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】 【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置. 【自主解答】 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°，∴180°＋2k ²360°<2α<360°＋2k ²360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角.同理45°＋k 2²360°<α2<90°＋k 2²360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ²360°<α2<90°＋n ²360°， 此时，α2为第一象限角； 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ²360°<α2<270°＋n ²360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出n α或αn的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ²360°－90°<α<k ²360°，k ∈Z ， ∴－k ²360°<－α<－k ²360°＋90°，则－k ²360°＋180°<180°－α<－k ²360°＋90°＋180°，k ∈Z ，当k ＝0时，180°<180°－α<270°，故180°－α为第三象限角.【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( ) A.第一象限角 B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角 【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k²360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k²360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k²360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k²360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k²360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k²360°(k∈Z).【答案】k²360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k²360°，k∈Z}. 当k＝1时，β＝－120°＋1³360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角. (2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k²360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.1.1.2 弧 度 制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)[基础²初探]教材整理1 角度制与弧度制的定义阅读教材P 6～P 7第三行以上内容，完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( ) (2)1弧度是长度为半径的弧.( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)³ (2)³ (3)³ (4)√ 教材整理2 角度制与弧度制的换算阅读教材P 7第四行至P 8例3以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化2.将下列角度与弧度进行互化.(1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)7π12＝________；(4)－115π＝________.【解析】(1)20°＝20³π180＝π9；(2)－15°＝－15³π180＝－π12；(3)712π＝712π³⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝105°；(4)－115π＝－115π³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.【答案】 (1)π9 (2)－π12 (3)105° (4)－396°教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P 8例3内容，完成下列问题.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.【解析】 扇形的面积为12³62³π3＝6π.【答案】 6π[小组合作型]角度与弧度的互化与应用(1)把－157°30′化成弧度为________，－5π12化成度为________.(2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad ＝180°，1°＝π180 rad这一关系.【自主解答】 (1)－157°30′＝－157.5°＝－3152³π180 rad ＝－78π rad.－5π12＝－5π12³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. (2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ²360°(k ∈Z ). 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.【答案】 (1)－78π，－75°(2)25π，125π角度制与弧度制互化的关键与方法1 关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；2 方法：度数³π180＝弧度数；弧度数³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数；3 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[再练一题]1.把56°15′化为弧度是( ) 【导学号：00680003】A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16【解析】 56°15′＝56.25°＝2254³π180 rad ＝5π16 rad.【答案】 D用弧度数表示角(1)与角23π终边相同的角是( )A.113π B.2k π－23π(k ∈Z )C.2k π－103π(k ∈Z )D.(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( )A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))形式来判断； (2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k 为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.【自主解答】 (1)A 中，11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；B 中，2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；C 中，2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；D 中，(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D 错.(2)因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.【答案】 (1)C (2)B1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.确定角范围时，k 的值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k ，如α＝π4＋2k π(k ∈Z )①，k π－π3<β<k π－π6，k ∈Z ②，在确定角α或β的范围时，要根据k 的系数来取值，如①中k 的系数为2π，则取k 的任一个值如0，得α＝π4在第一象限.②中k 的系数为π，则要分k 为奇数、偶数两种情况取值.k 为奇数时，取k ＝1，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，56π，在第二象限；k 为偶数时，取k＝0，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6，在第四象限，则β为第二或第四象限的角.[再练一题]2.用弧度表示终边落在如图1­1­6所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图1­1­6【解】 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [探究共研型]弧长公式与扇形面积公式的应用探究1 用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：70512003】A.1 radB.2 radC.3 radD.4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】 (1)设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ²r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr＝2 rad.【答案】 B(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )²r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)，∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2，此时α＝l r ＝20－2³55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.[再练一题]3.已知一扇形的圆心角为α，所在圆半径为R ，周长为4R ，则扇形中所含弓形的面积是________.【解析】 由周长为4R 可知扇形的弧长为2R ，面积为S ＝12lR ＝12²2R ²R ＝R 2，圆心角弧度数为|α|＝l R＝2RR＝2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为R cos 1，底为2R sin 1，所以此三角形面积为S 1＝12²R cos 1²2R sin 1＝R 2sin 1cos 1，从而弓形面积为S 2＝S －S 1＝R 2(1－sin 1cos 1).【答案】 R 2(1－sin 1cos 1)1.下列转化结果错误的是( ) A.22°30′化成弧度是π8B.－10π3化成度是－600°C.－150°化成弧度是－7π6D.π12化成度是15° 【解析】 对于A,22°30′＝22.5³π180＝π8，正确；对于B ，－10π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3³180π°＝－600°，正确；对于C ，－150°＝－150³π180＝－5π6，错误；对于D ，π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12³180π°＝15°，正确.【答案】 C2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】 B 中，k ＝1时为⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故C ，D 均错，只有A 正确.【答案】 A3.与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ²360°＋π6，k ∈ZB.{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C.{α|α＝2k ²360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z【解析】 ∵30°＝30³π180 rad ＝π6rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选 D.【答案】 D4.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )【导学号：00680004】A.403πB.203πC.2003π D.4003π 【解析】 240°＝240³π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|²r ＝43π³10＝403π，选A.【答案】 A5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.【解】 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α， 则2R ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12lR ，得12lR ＝1.②由①②得R ＝1，l ＝2，∴α＝lR＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.1.2.1 任意角的三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)2.掌握诱导公式及其应用.(重点)3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)[基础²初探]教材整理1 任意角的三角函数阅读教材P 11～P 12例1以上内容，完成下列问题.1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.定义：图1­2­1在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦函数sin α的定义域是R ；余弦函数cos α的定义域是R ；正切函数tan α的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)由sin α＝yr，故角α终边上的点P (x ，y )满足y 越大，sin α的值越大.( )(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )【解析】 (1)当y 越大时，y r比值不变，故sin α不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)³ (2)√ (3)√教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P 13“探究”内容，完成下列问题.图1­2­2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”)【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一阅读教材P 14“例4”以上内容，完成下列问题.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6等于________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32.【答案】32教材整理4 三角函数线阅读教材P 15倒数第四行至P 17“练习”以上部分，完成下列问题.1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.三角函数线的定义：如图1­2­3，①设任意角α的顶点在原点O (O 亦为单位圆圆心)，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y )，②过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于y 轴).图1­2­3于是sin α＝y ＝MP ，cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM ＝ATOA＝AT . 我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.如图1­2­4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图1­2­4A.正弦线PM ，正切线A ′T ′B.正弦线MP ，正切线A ′T ′C.正弦线MP ，正切线ATD.正弦线PM ，正切线AT【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确. 【答案】 C[小组合作型]任意角三角函数的定义及应用(1)若sin α＝35，cos α＝－45，则在角α终边上的点有( )A.(－4,3)B.(3，－4)C.(4，－3)D.(－3,4)(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. (3)因为r ＝ －3a 2＋ 4a 2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.【答案】 (1)A (2)－32 12－ 3 (3)1或－1由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0).则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.[再练一题]1.设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值. 【导学号：00680006】【解】 由点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，所以f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3³32＋12＝2.三角函数符号的判断判断下列各式的符号.(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 190°； (3)sin 2cos 3tan 4.【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.【自主解答】 (1)∵2 015°＝1 800°＋215°＝5³360°＋215°， 2 016°＝5³360°＋216°，2 017°＝5³360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.[再练一题]2.(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)； ③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 【解析】 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限.(2)－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0；cos π＝－1<0.【答案】 (1)C(2)D诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π²tan 4π. 【精彩点拨】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4³360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3³360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π²tan 4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π²tan 0 ＝sin π6＋0＝12.1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.[再练一题] 3.求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2³360°＋90°)＋tan(3³360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.[探究共研型]三角函数线问题探究1 有人说：在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)，你认为正确吗？【提示】 正确.由三角函数的定义可知sin α＝yr ，cos α＝x r，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝y x，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α).探究2 利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)；cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式.【提示】 (1)对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围.图①(2)对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围.图②在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【精彩点拨】 根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围.【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.[再练一题]4.求函数y ＝2cos x －1的定义域. 【解】 由题意得：2cos x －1≥0， 则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围.。

(A 卷 学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°答案：B2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120°答案：B4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1答案：D5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4答案：C10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25512．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.∴sin θ－cos θ＝－θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：－2313．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1] .解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)， 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tanα＋2tan 2α＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos αsin α－tan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴f (α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝45.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝12.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)，∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝13. ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6. (2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再向右平移π3个单位后，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.列表如下：描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.。