2017-2018学年人教版高中数学必修四教材用书word文件

2017-2018学年人教版高中数学必修四全册导学案目录课题：任意角 (1)课题：1.1.2 弧度制 (5)课题：任意角的三角函数 (9)课题：三角函数的诱导公式（1） (12)课题：三角函数的诱导公式（2） (15)课题: 正弦函数、余弦函数的图象 (19)课题: 正弦函数、余弦函数的性质 (23)课题: 正切函数的性质和图象 (26)课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（1） (30)课题: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2） (36)课题：同角三角函数的基本关系 (41)课题：用单位圆中的线段表示三角函数值 (44)课题: 平面几何中的向量方法 (49)课题: 平面向量的实际背景及基本概念 (50)课题: 向量的加法运算及其几何意义 (53)课题: 向量的减法运算及其几何意义 (57)课题: 向量数乘运算及其几何意义 (60)课题: 平面向量的基本定理 (63)课题: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (67)课题: 平面向量的数量积的物理背景及其含义 (68)课题: 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (70)课题: 两角差的余弦公式 (72)课题: 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (73)课题: 简单的三角恒等变换 (75)课题：任意角，即任意一个与角k +α(边 。

即学即练：1.如图⑴、⑵中终边分别为所对应的角分别属于第 、 、 象限角。

2.下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．30°C ．630°D ．630° 3. 把1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45o4×360° B ．45o4×360°C ．45o5×360° D ．315o5×360°4.下列结论中正确的是( ) A. 小于90°的角是锐角B. 第二象限的角是钝角C. 相等的角终边一定相同D. 终边相同的角一定相等【课外拓展】1.下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．=2. 若α是第一象限的角，则是( ) A. 第一象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角3. 下列各角中，与角的终边相同的角是 （ ）A ．B ．C ．D ．123OB OB OB 、、---------{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα{}Z k k ∈+⋅=,90180| αα2α330︒510︒870︒150-︒750-︒⑵B 1 y⑴Ox45°B 2O x B 3y30°60o4.（1）终边落在 (x ≥0)上的角的集合为 。

Section ⅣGrammar & Writing虚拟语气(Ⅱ)阅读下列句子，体会黑体部分的用法1．Have you ever wished you could paint as well as a professional artist?2．It is necessary that we (should) learn English well.3．My mom suggests that we (should) eat out for a change this weekend.虚拟语气可以应用于主语从句、宾语从句、表语从句、同位语从句等从句中。

一、用于主语从句中常用虚拟语气(谓语动词用should do，其中should可以省略)的主语从句有以下三个句式：1．It is/was＋important/necessary/essential/impossible/natural/strange/ surprising...＋that从句。

如：It is very important that we(should)master the basic skills of computer.掌握电脑的基本技能是很重要的。

2．It is/was＋a/an rule/shame/honour/surprise...＋that从句。

如：It is a rule that everyone(should)obey the law of the country.条例规定人人都应该遵守国家的法律。

3．It is/was＋uggested/requested/required/demanded/ordered/commanded/ proposed... ＋that从句。

如：It is suggested we(should)start before sunset.建议我们应该日落前出发。

二、用于宾语从句中1．用在wish之后的宾语从句中wish后的宾语从句使用虚拟语气表示不能实现的愿望。

．二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题：在公式(α＋β)，(α＋β)和(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．问题：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：α＝α－α，α＝αα，α＝α－α).[导入新知]二倍角公式[化解疑难]细解“倍角公式”()要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．()倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于的情况都成立，如α是α的倍，α是的倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．()注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例]()；()－°；()°－°)；()°)－°)；() ° ° °.[解]()原式＝＝＝.()原式＝(×°)＝°＝(×°＋°)＝°＝.()原式＝(×°)＝°＝(°－°)＝－°＝－.()原式＝°－() ° ° °)＝°－(()) °)) ° °)＝° °－)＝° °)＝.()原式＝°· °· °· ° °)＝°· °· ° °)＝°· ° °)＝° °)＝.[类题通法]化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：()θ)－θ)；().答案：() θ()[例] ()已知＝，≤()已知α∈，且α＝，求α.[解] ()∵≤α<，∴≤α＋<.∵>，∴<α＋<.∴＝－＝－＝－.∴α＝α＋＝α＋α＋＝×－×＝－，α＝－＝－＝－×＝.∴＝α－α＝×＝－.()∵α＝－＝－，＝－＝－＝－，∴原方程可化为－α＋＝－α＋，解得＝或＝－.。

(A卷学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝( )A．AC B．ADC．BD D．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1答案：B3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同向的是( )A.a＋b|a＋b|B.a|a|＋b|b|C.a－b|a－b|D.a|a|－a|b|答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC中，BC·CA＋CA·AB＋AB·BC的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.22答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值是( )A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB ＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 14．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP 的终点共线分解系数”为________． 答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF ＝－12AD ＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM ·HF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b＝12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值． 解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)． 所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )．由(AB －t OC )·OC ＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD ＝BC .设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )， ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。

本章整合
定义:既有大小又有方向的量叫做向量 长度(模):向量的大小叫做向量的长度 方向:起点指向终点的方向 零向量:长度为 0 的向量,记为 0 概念 单位向量:长度为 1 个单位的向量 平行向量:方向相同或相反的向量 ,又称为共线向量 垂直向量:夹角是直角的两个向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量 相反向量:长度相等且方向相反的两个向量 几何表示:用有向线段表示向量 表示 字母表示:用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量 坐标表示:用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
1 ������������ 2 2 1 1− × 2 1 2 1 60° − × 2 3 − . 2 1 2
1 2
1 2
=
2 × 1 × cos
4=
3 答案: − 四
专题五
专题二
模与距离
向量的模,即向量的大小,也就是用来表示向量的有向线段的长 度.向量的模不仅是研究向量的一个重要的量,而且是利用向量方法 解决几何问题的一个“交汇”点.因此,我们必须熟练掌握求向量的模 的基本方法.一般地,求向量的模主要是利用公式|a| 2=a2 将它转化为 向量的数量积问题,利用数量积的运算律和运算性质进行展开、 合并, 使问题得以解决.或利用公式| a| = 使问题得以解决. ������ 2 + ������ 2 将它转化为实数问题,
加法
法则:三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律:交换律、结合律
线性运算 减法:加法的逆运算,结果是向量 数乘:结果是向量 坐标表示:用坐标表示向量的加法、减法和数乘运算 共线向量定理:������ ∥ ������⇔������ = ������������(������∈R)⇔������1 ������2 -������2 ������1 = 0(������ = (������1 ,������1 ), 定理 ������ = (������2 ,������2 ),其中������ ≠ 0) 平面向量基本定理:������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 ,其中 ������1 和������2 是一组基底

元素的特性及集合相等
[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．
②不正确．由于 ＝ ， ＝ ，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1， ， 这三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．
[类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．
问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？
提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．

答案 :C
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题七
专题三 同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1.诱导公式属异角三角函数间基本关系式,它与同角三角函数的 基本关系式相结合,可解决相关问题,近几年的高考命题中,主要考 查利用公式进行恒等变形的技能以及基本运算能力,特别突出对推 理、计算的考查. 2.在解决本类问题时,常会用到分类讨论思想、转化思想以及函 数与方程的思想等.
1 (2)tan θ+ tan������
=
sin������ cos������ + cos������ sin������
=
sin2sin������cos������ sin������cos������
= .
1 ������
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题七
应用 1 已知 sin(2π-α) = A.
1 7
4 , ������ 5
∈
3π ,2π 2
sin������+cos������ ,则 等于( sin������-cos������
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题七
专题一 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间的关系如下: (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2. 由以上关系,对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α,可以“知一求 二”,也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值,就能求其 他两个三角函数式的值.这些关系式的应用很广泛,是高考的热点 之一,应引起我们的重视.

2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1.1.1 任意角1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)[基础²初探]教材整理1 任意角的概念阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.2.角的表示：如图1­1­1，图1­1­1(1)始边：射线的开始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的112，所以转动的角的大小是－112³360°＝－30°.【答案】－30°教材整理2 象限角与轴线角阅读教材P3“图1.1­3至探究”以上内容，完成下列问题.1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确.【答案】①②③④教材整理3 终边相同的角阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.前提：α表示任意角.2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k²360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )(3)终边相同的角的表示不唯一.( )【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]任意角的概念与终边相同的角(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A.A＝B＝CB.A⊆CC.A∩C＝BD.B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是( )【导学号：00680000】A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k²360°<α<k²360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°.由三者之间的关系可知，选 D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k²360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.【答案】(1)D (2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k²360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.[再练一题]1.有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k²360°(k∈Z).其中正确说法的序号是________.【解析】①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k²360°(k∈Z).③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k²360°(k∈Z).【答案】 ③象限角与区间角的表示(1)－1 154°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角β的终边在如图1­1­2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.图1­1­2【精彩点拨】 找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ²360° k ∈Z 适合题意的角的集合 【自主解答】 (1)∵－1 154°＝－4³360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1 154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1 154°角为第四象限角.【答案】 D(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为：A ＝{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k <Z }.阴影在x 轴下方部分的角的集合为：B ＝{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360°＋285°，k ∈Z }.所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ²360°＋60°≤β<k ²360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ²360°＋240°≤β<k ²360＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ²360°＋180°＋60°≤β<k ²360°＋180°＋105°，k ∈Z }.即{β|(2m ＋1)³180°＋60°≤β<(2m ＋1)³180°＋105°，m ∈Z }.集合A 可以化为{β|2m ³180°＋60°≤β<2m ＋180°＋105°，m ∈Z }.故A ∪B 可化为{β|n ²180°＋60°≤β<n ²180°＋105°，n ∈Z }.1.象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.(2)第一步，将α写成α＝k ²360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.2.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.[再练一题]2.写出图1­1­3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合. 【导学号：70512000】图1­1­3【解】 在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k ²360°<α<45°＋k ²360°，k ∈Z }.[探究共研型]αk 所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究1 若α是第二象限角，则α3是第几象限角？ 【提示】 (1)代数推导法：由题意知90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°(k ∈Z )，30°＋k ²120°<α3<60°＋k ²120°(k ∈Z ). 故α3是第一或第二或第四象限角. (2)画图法：如图①将各个象限2等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，α2就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).同理，可得α3在第一、二、四象限(如图②阴影区域).探究2 若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？【提示】 (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ²360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ²360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ²360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ²360°，k ∈Z .已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？ 【导学号：70512001】 【精彩点拨】 可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置. 【自主解答】 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ²360°<α<180°＋k ²360°，∴180°＋2k ²360°<2α<360°＋2k ²360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角.同理45°＋k 2²360°<α2<90°＋k 2²360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ²360°<α2<90°＋n ²360°， 此时，α2为第一象限角； 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ²360°<α2<270°＋n ²360°，此时，α2为第三象限角.∴α2为第一或第三象限角.1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出n α或αn的范围，再根据k 与n 的关系进行讨论.2.一般地，要确定αn所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n 的区域就是根据α所在第几象限时αn的终边所落在的区域.[再练一题]3.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：k ²360°－90°<α<k ²360°，k ∈Z ， ∴－k ²360°<－α<－k ²360°＋90°，则－k ²360°＋180°<180°－α<－k ²360°＋90°＋180°，k ∈Z ，当k ＝0时，180°<180°－α<270°，故180°－α为第三象限角.【答案】 C1.若α是第一象限角，则－α2是( ) A.第一象限角 B.第一、四象限角C.第二象限角D.第二、四象限角 【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角.【答案】 D2.与－457°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k²360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k²360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k²360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k²360°－263°，k∈Z}【解析】当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.【答案】 C3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A.510°B.150°C.－150°D.－390°【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k²360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选 D.【答案】 D4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k²360°(k∈Z).【答案】k²360°(k∈Z)5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k²360°，k∈Z}. 当k＝1时，β＝－120°＋1³360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角. (2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k²360°，k∈Z}.当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.1.1.2 弧 度 制1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)[基础²初探]教材整理1 角度制与弧度制的定义阅读教材P 6～P 7第三行以上内容，完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.判断(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( ) (2)1弧度是长度为半径的弧.( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)³ (2)³ (3)³ (4)√ 教材整理2 角度制与弧度制的换算阅读教材P 7第四行至P 8例3以上内容，完成下列问题. 1.角度与弧度的互化2.将下列角度与弧度进行互化.(1)20°＝________；(2)－15°＝________； (3)7π12＝________；(4)－115π＝________.【解析】(1)20°＝20³π180＝π9；(2)－15°＝－15³π180＝－π12；(3)712π＝712π³⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝105°；(4)－115π＝－115π³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.【答案】 (1)π9 (2)－π12 (3)105° (4)－396°教材整理3 扇形的弧长与面积公式 阅读教材P 8例3内容，完成下列问题.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.【解析】 扇形的面积为12³62³π3＝6π.【答案】 6π[小组合作型]角度与弧度的互化与应用(1)把－157°30′化成弧度为________，－5π12化成度为________.(2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad ＝180°，1°＝π180 rad这一关系.【自主解答】 (1)－157°30′＝－157.5°＝－3152³π180 rad ＝－78π rad.－5π12＝－5π12³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°. (2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ²360°(k ∈Z ). 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.【答案】 (1)－78π，－75°(2)25π，125π角度制与弧度制互化的关键与方法1 关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；2 方法：度数³π180＝弧度数；弧度数³⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数；3 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.[再练一题]1.把56°15′化为弧度是( ) 【导学号：00680003】A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16【解析】 56°15′＝56.25°＝2254³π180 rad ＝5π16 rad.【答案】 D用弧度数表示角(1)与角23π终边相同的角是( )A.113π B.2k π－23π(k ∈Z )C.2k π－103π(k ∈Z )D.(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )(2)若α是第三象限的角，则π－α2是( )A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))形式来判断； (2)可由α范围写出π－α2范围后，根据k 为奇数或偶数来确定π－α2终边位置.【自主解答】 (1)A 中，11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 错；B 中，2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 错；C 中，2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 对；D 中，(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D 错.(2)因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.【答案】 (1)C (2)B1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.确定角范围时，k 的值的取法：在表示角或角的范围时，通常会用到k ，如α＝π4＋2k π(k ∈Z )①，k π－π3<β<k π－π6，k ∈Z ②，在确定角α或β的范围时，要根据k 的系数来取值，如①中k 的系数为2π，则取k 的任一个值如0，得α＝π4在第一象限.②中k 的系数为π，则要分k 为奇数、偶数两种情况取值.k 为奇数时，取k ＝1，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，56π，在第二象限；k 为偶数时，取k＝0，得β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6，在第四象限，则β为第二或第四象限的角.[再练一题]2.用弧度表示终边落在如图1­1­6所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图1­1­6【解】 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [探究共研型]弧长公式与扇形面积公式的应用探究1 用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.探究2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？【提示】 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.(1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：70512003】A.1 radB.2 radC.3 radD.4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【精彩点拨】 (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.【自主解答】 (1)设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ²r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr＝2 rad.【答案】 B(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )²r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)，∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2，此时α＝l r ＝20－2³55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.[再练一题]3.已知一扇形的圆心角为α，所在圆半径为R ，周长为4R ，则扇形中所含弓形的面积是________.【解析】 由周长为4R 可知扇形的弧长为2R ，面积为S ＝12lR ＝12²2R ²R ＝R 2，圆心角弧度数为|α|＝l R＝2RR＝2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为R cos 1，底为2R sin 1，所以此三角形面积为S 1＝12²R cos 1²2R sin 1＝R 2sin 1cos 1，从而弓形面积为S 2＝S －S 1＝R 2(1－sin 1cos 1).【答案】 R 2(1－sin 1cos 1)1.下列转化结果错误的是( ) A.22°30′化成弧度是π8B.－10π3化成度是－600°C.－150°化成弧度是－7π6D.π12化成度是15° 【解析】 对于A,22°30′＝22.5³π180＝π8，正确；对于B ，－10π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3³180π°＝－600°，正确；对于C ，－150°＝－150³π180＝－5π6，错误；对于D ，π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12³180π°＝15°，正确.【答案】 C2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】 B 中，k ＝1时为⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故C ，D 均错，只有A 正确.【答案】 A3.与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ²360°＋π6，k ∈ZB.{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C.{α|α＝2k ²360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z【解析】 ∵30°＝30³π180 rad ＝π6rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选 D.【答案】 D4.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )【导学号：00680004】A.403πB.203πC.2003π D.4003π 【解析】 240°＝240³π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|²r ＝43π³10＝403π，选A.【答案】 A5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.【解】 设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α， 则2R ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12lR ，得12lR ＝1.②由①②得R ＝1，l ＝2，∴α＝lR＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.1.2.1 任意角的三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)2.掌握诱导公式及其应用.(重点)3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)[基础²初探]教材整理1 任意角的三角函数阅读教材P 11～P 12例1以上内容，完成下列问题.1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.定义：图1­2­1在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦函数sin α的定义域是R ；余弦函数cos α的定义域是R ；正切函数tan α的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)由sin α＝yr，故角α终边上的点P (x ，y )满足y 越大，sin α的值越大.( )(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )【解析】 (1)当y 越大时，y r比值不变，故sin α不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)³ (2)√ (3)√教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P 13“探究”内容，完成下列问题.图1­2­2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”)【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一阅读教材P 14“例4”以上内容，完成下列问题.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6等于________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32.【答案】32教材整理4 三角函数线阅读教材P 15倒数第四行至P 17“练习”以上部分，完成下列问题.1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.三角函数线的定义：如图1­2­3，①设任意角α的顶点在原点O (O 亦为单位圆圆心)，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y )，②过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于y 轴).图1­2­3于是sin α＝y ＝MP ，cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM ＝ATOA＝AT . 我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.如图1­2­4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图1­2­4A.正弦线PM ，正切线A ′T ′B.正弦线MP ，正切线A ′T ′C.正弦线MP ，正切线ATD.正弦线PM ，正切线AT【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确. 【答案】 C[小组合作型]任意角三角函数的定义及应用(1)若sin α＝35，cos α＝－45，则在角α终边上的点有( )A.(－4,3)B.(3，－4)C.(4，－3)D.(－3,4)(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. (3)因为r ＝ －3a 2＋ 4a 2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.【答案】 (1)A (2)－32 12－ 3 (3)1或－1由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0).则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.[再练一题]1.设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值. 【导学号：00680006】【解】 由点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，所以f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3³32＋12＝2.三角函数符号的判断判断下列各式的符号.(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 190°； (3)sin 2cos 3tan 4.【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.【自主解答】 (1)∵2 015°＝1 800°＋215°＝5³360°＋215°， 2 016°＝5³360°＋216°，2 017°＝5³360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.[再练一题]2.(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)； ③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 【解析】 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限.(2)－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0；cos π＝－1<0.【答案】 (1)C(2)D诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π²tan 4π. 【精彩点拨】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4³360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3³360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π²tan 4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π²tan 0 ＝sin π6＋0＝12.1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.[再练一题] 3.求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2³360°＋90°)＋tan(3³360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.[探究共研型]三角函数线问题探究1 有人说：在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)，你认为正确吗？【提示】 正确.由三角函数的定义可知sin α＝yr ，cos α＝x r，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝y x，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α).探究2 利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)；cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式.【提示】 (1)对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围.图①(2)对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围.图②在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【精彩点拨】 根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围.【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.[再练一题]4.求函数y ＝2cos x －1的定义域. 【解】 由题意得：2cos x －1≥0， 则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围.。

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小结
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复习参考题
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第二章 平面向量
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阅读与思考 振幅、周期、频 率、相位
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1.6 三角函数模型的简单应用
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0002页 0042页 0088页 0125页 0179页 0771页 0846页 0977页 1009页 1029页 1094页 1136页 1179页 1234页 1305页 1330页
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ 信息技术应用 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 小结 第二章 平面向量 阅读与思考 向量及向量符号的由来 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.5 平面向量应用举例 小结 第三章 三角恒等变换 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 小结 后记
第一章 三角函数
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1 .1 任意角和弧度制
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1.2 任意角的三角函数
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阅读与思考 三角学与天文学
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探究与发现 利用单位圆中的 三角函数线研究正弦函数、余
弦函数的性质
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信息技术应用

(A 卷 学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°答案：B2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( )A ．60°B ．330°C ．150°D ．120°答案：B4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.12C ．－12D ．－1答案：D5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案：C7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.34答案：A8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4答案：C10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25512．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.∴sin θ－cos θ＝－θ－cos θ2＝－1－2sin θcos θ＝－23. 答案：－2313．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1] .解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________. 解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)， 又|φ|＜π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tanα＋2tan 2α＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－π－α.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝35，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos αsin α－tan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝35.又∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴f (α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝45.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝12.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)，∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝13. ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6. (2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再向右平移π3个单位后，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.列表如下：描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.∵T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6. ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4.。

模块综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0， ∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12. ∵m >0，∴m ＝12.2．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的部分图象(如图)，则( )A ．a 为f (x )，b 为g (x )，c 为h (x )B ．a 为h (x )，b 为f (x )，c 为g (x )C ．a 为g (x )，b 为f (x )，c 为h (x )D ．a 为h (x )，b 为g (x )，c 为f (x )解析：选B 由于函数f (x )、g (x )、h (x )的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图象；g (x )、h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h (x )、g (x )的图象．3．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，则OC 等于( )A ．2OA －OB B ．－OA ＋2OBC.23OA －13OB D ．－13OA ＋23OB解析：选A ∵OC ＝OB ＋BC ＝OB ＋2AC ＝OB ＋2(OC －OA )， ∴OC ＝2OA －OB .4．已知两不共线的向量a ，b ，若对非零实数m ，n 有ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn＝( ) A ．－2 B ．2C ．－12 D.12解析：选C ∵ma ＋nb ＝λ(a －2b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，n ＝－2λ，∴m n ＝－12. 5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22·cos(π－α)等于( )A.225 B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 6．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πx C ．y ＝tanπx 2＋1 D ．y ＝sin πx cos πx解析：选D 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4非奇非偶；对于C ，y ＝tan πx2＋1非奇非偶；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．8．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB ＝m ＋n ，AC ＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A AD ＝12(AB ＋AC )＝m －n .∴|AD |＝m －n2＝|m |2－2m·n ＋|n |2＝1.9．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB －PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ， ∴P 是AC 边的一个三等分点．10．(天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.11．如图是函数f (x )＝A ·cos(2π3x ＋φ)－1(A >0，|φ|<π2)的图象的一部分，则f (2 017)＝( )A ．0B ．2 C.32D ．1解析：选A 由函数的最大值为1可知A ＝2，由函数f (x )的图象过原点，可知2cos φ－1＝0，又|φ|<π2，所以φ＝±π3，又点(1,0)在函数f (x )的图象上，代入检验可知φ＝－π3，故f (x )＝2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π3－1，所以f (2 012)＝2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫1 340π＋4π3－π3－1＝－3. 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)． 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．要得到函数y ＝13sin(2x ＋π8)的图象，只需将函数y ＝13sin 2x 的图象________个单位．解析：y ＝13sin(2x ＋π8)＝13sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π16，故向左平移π16个单位．答案：向左平移π1614．直线x ＝t 与函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象分别相交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．解析：M ，N 的纵坐标分别为sin t ，cos t ， 则|MN |＝|sin t －cos t |＝|2sin(t －π4)|. ∴|MN |max ＝ 2. 答案： 215．若0≤α≤2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是____________． 解析：∵sin α>3cos α，∴sin α－3cos α>0， 即2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3>0， 由0≤α≤2π，得－π3≤α－π3≤5π3，∴0<α－π3<π，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π316．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ·AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ·BF ＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.答案： 2三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin α＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋απ－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－14.(1)求tan α的值；(2)若β为第二象限的角，且tan(α－β)＝13，求β.解：(1)∵sin α＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋απ－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α－2sin α－cos α－cos α＝12tan α＝－14. ∴tan α＝－12.(2)∵tan β＝tan [α－(α－β)] ＝tan α－α－β1＋tan αα－β＝－12－131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝－1.又∵β为第二象限角， ∴β＝2k π＋3π4，k ∈Z.18．(本小题满分12分)(山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.19．(本小题满分12分)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6. 由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，故x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时， g (x )取得最小值－32. 20．(本小题满分12分)已知已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1.又ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sinπ6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上， 所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )， 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．则RP ―→＝(0，A )，RQ ―→＝(3，－A )，∴cos ∠PRQ ＝RP ―→·RQ ―→|RP ―→||RQ ―→|＝－A 2A ·9＋A 2＝－12， 解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R(其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin(πx ＋π6)， ∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝sin(πx ＋π6)是增函数．则y ＝2sin(πx ＋π6)的单调递增区间为[－23＋2k ，13＋2k ]，k ∈Z.(3)由y≥1，得sin(πx＋π6)≥12，∴π6＋2kπ≤πx＋π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，得2k≤x≤23＋2k，k∈Z，∴y≥1时，x的集合为{x|2k≤x≤23＋2k，k∈Z}．。

2.3 圆锥曲线的参数方程 2.3.1 椭圆的参数方程 2.3.2 抛物线的参数方程 2.3.3 双曲线的参数方程1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用.(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.(难点)1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t ， 0≤t ≤2π.(2)若椭圆的中心不在原点而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a cos ty ＝y 0＋b sin t ， 0≤t ≤2π.2.双曲线的参数方程双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ.3.抛物线的参数方程抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈ 1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2cos θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 24＝1B.x 2＋y 22＝1C.y 2＋x 24＝1D.y 2＋x 24＝1【解析】 易知sin θ＝x ，cos θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1.【答案】 A2.方程⎩⎪⎨⎪⎧cos θx ＝a y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分【解析】 由cos θ·x ＝a ，∴cos θ＝a x， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ， 又由y ＝b cos θ知，y ∈， ∴曲线应为双曲线的一部分. 【答案】 D3.已知点M (3，m )在以F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2y ＝4t (t 为参数)上，则|MF |等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t 得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x4，t ＝y4，∴y 216＝x4，即y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|MF |＝3＋p2＝3＋1＝4.【答案】 D4.点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x ＋y 的最大值为________.【解析】 由已知可得椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＝5sin(θ＋φ)(tan φ＝2)，∴(x ＋y )max ＝ 5.【答案】5预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：类型一 椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标.【导学号：62790012】【精彩点拨】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质.【尝试解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0).椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θθ为参数，a ，b 为常数，且a >b 中，常数a 、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上.1.若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θy5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点为F 1(0，－4)与F 2(0,4)的椭圆.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.【精彩点拨】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值.【尝试解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4sin t ＝y －3，∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ(θ为参数).(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)， 故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ).又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855.1.从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性.本题易错点主要有：一是在第(1)问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第(2)问中对绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ＋φ)＝－1时取最小值，从而得出错误结论.2.第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值.2.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈3.已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上一点P ，与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.【解】 双曲线x 2－y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ，则Q (sec θ，tan θ)，又圆心C (0,2)，则 |CQ |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3，当tan θ＝1，即θ＝π4时，|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3.又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1. 类型三 抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【精彩点拨】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可.【尝试解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1tx y ＝－2tx －p2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1.抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.4.已知抛物线y 2＝2px 过顶点两弦OA ⊥OB ，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹.【解】 设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0， 以OB 为直径的圆方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0，∴t 1，t 2为方程2pxt 2＋2pty －x 2－y 2＝0的两根.∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，x 2＋y 2－2px ＝0.∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆.(教材P 46习题2－3T 1)设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝－2＋2t .它与椭圆4x 29＋y29＝1的交点为A 和B ，求线段AB 的长.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长.【命题立意】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等.能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB 长的过程，考查了运算求解能力.试题难度：中.【解】 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

1．2.2 同角三角函数的基本关系[提出问题]设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，根据三角函数的定义知y ＝sin α，x ＝cos α，yx＝tan α. 问题1：能否根据x ，y 的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ 提示：能，由x 2＋y 2＝1，得cos 2α＋sin 2α＝1. 由y x ＝tan α，得sin αcos α＝tan α.问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？ 提示：对使三角函数有意义的任意角都成立． [导入新知]同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α其中α≠k π＋π2(k ∈Z)．[化解疑难] “同角”的含义“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．[例1] (1)已知sin α＝13，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又因为α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sinα＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.[类题通法]已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m2，sin α＝±m1＋m2的值．[活学活用]已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．答案：sin α＝－45；cos α＝－35[例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α；(2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α.[解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；(2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝32－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×32＋1232＋1＝2940. [类题通法] 化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．[活学活用]已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α. 答案：(1)－1 (2)1[例3] 化简[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α 1sin 2α－1＝tan α 1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. [类题通法] 三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[活学活用]化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1；(2)sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．答案：(1)cos θ(2)－sin θcos θ[例4] 求证：tan α－sin α＝tan αsin α.[证明] ∵右边＝tan2α－sin2αα－sin ααsin α＝tan2α－tan2αcos2αα－sin ααsin α＝tan2α－cos2αα－sin ααsin α＝tan2αsin2αα－sin ααsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．[类题通法]简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．[活学活用]求证：1＋2sin θcos θcos2θ－sin2θ＝1＋tan θ1－tan θ.证明：∵左边＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θθ＋sin θθ－sin θ＝θ＋cos θ2θ＋sin θθ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边， ∴原等式成立．2.sin α±cos α，sin αcos α的关系的应用[典例] 已知0<θ<π，且sin θ＋cos θ＝15，求sin θ－cos θ的值．[解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225. ∵0<θ<π，且sin θcos θ<0， ∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ ＝4925， ∴sin θ－cos θ＝75.[多维探究]1．在解决本题的过程中，sin θcos θ＝－1225<0隐含了条件sin θ>0，cos θ<0，从而得出sin θ－cos θ>0的结论．若忽视该隐含条件极易造成增解的情况，从而导致解题失误．2．本题考查了sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ以及sin θcos θ三者之间的转化．解决此类问题常涉及以下三角恒等式：①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.上述三角恒等式告诉我们已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．[活学活用]1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．答案：sin θ＋cos θ＝75；tan θ＝432．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ的值．答案：1713[随堂即时演练]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( ) A.45 B ．－45C ．－17D ．35答案：B2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案：B3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________．答案：384．已知tan α＝12，则sin αcos α的值为________．答案：255．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130° . 答案：1[课时达标检测]一、选择题1．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( ) A.513 B ．－513 C.512D ．－512答案：B2．下列结论中成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝±22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝1 答案：C3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310 C.310D ．－310答案：C4．化简(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C5．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案：C 二、填空题6．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.答案：－357．已知0<α<π，sin α＋cos α＝13，则sin α－cos α的值是________．答案：1738．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．答案：2 三、解答题9．已知π2<θ<π且sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，求tan θ的值．解：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝8.当m ＝0时，sin θ＝－35，不符合π2<θ<π，舍去，当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213，满足题意． ∴tan θ＝sin θcos θ＝－51210．已知α是第二象限角，tan α＝－12，求cos α.解：∵α是第二象限角，∴cos α<0. 由tan α＝sin αcos α＝－12，得sin α＝－12cos α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得14cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝45.∴cos α＝－255.11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值． 解：因为已知方程有两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sinθ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32.(3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为x ∈(0,2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.。

2017~2018学年人教A版高中数学必修4全册学案解析目录✧第一章三角函数1.1.1任意角✧第一章三角函数1.1.2蝗制✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义✧第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用✧第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一✧第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二✧第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一✧第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二✧第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象一✧第一章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象二✧第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用✧第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念✧第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义✧第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义✧第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理✧第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算✧第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示✧第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义✧第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角✧第二章平面向量2.5平面向量应用举例✧第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1 ✧第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式2 ✧第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式✧第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换1．1.1任意角[提出问题]问题1：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题2：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°.[导入新知]角的分类1．按旋转方向2.(1)角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]1．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.问题1：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题2：如何用含30°的式子表示390°和－330°？提示：390°＝1×360°＋30°，－330°＝－1×360°＋30°.问题3：确定一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点．(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°，k∈Z与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°，k∈Z应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例1] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[类题通法]象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．[活学活用]在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.解：如图所示，分别作出各角，可以发现：(1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3)2 012°＝212°＋5×360°，所以在0°～360°范围内，与2 012°角终边相同的角是212°，所以2 012°是第三象限角．(4)－120°＝240°－360°，所以在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°，所以－120°是第三象限角．[例2] (1)720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)与角α＝－ 1 910°终边相同的角的集合为{}β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z .∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，∴31136≤k ＜61136， 故k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z}＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z}．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}，故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．[类题通法]1．常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[活学活用]1．将下列各角表示为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－495°；(3)1 020°.答案：(1)420°＝60°＋360°第一象限角(2)－495°＝225°－2×360°第三象限角(3)1 020°＝300°＋2×360°第四象限角2．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．答案：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}分别是第几象限角？[例3] 若α是第二象限角，则2α，2[解] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z)． ①当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z)， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． [类题通法]1．n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： (1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；……；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[活学活用]已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2分别是第几象限角． 答案：2α可能是第一象限角、第二象限角或终边在y 轴非负半轴上的角α2可能是第二象限角或第四象限角1.角的概念的易错点[典例] 下列说法中正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同[解析] 90°角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故A、B、C均不正确．对于D，由终边相同的角的概念可知正确．[答案] D[易错防范]1．若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错选A.2．锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，如380°角为第一象限角，但它不是锐角．若混淆这两个概念，则易误选B.3．当角的范围扩充后，相差k·360°(k∈Z)的角的终边相同．若忽视此点，易错选C.4．解决好此类问题应注意以下三点：(1)弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容．(2)弄清锐角和象限角的区别．(3)对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.[成功破障]下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________．答案：①[随堂即时演练]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是( )A．120°B．－120°C．240° D．－240°答案：D2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案：C3．下列说法中正确的序号有________．①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．答案：①②③④4．在0°～360°范围内与－1 050°终边相同的角是________，它是第________象限角．答案：30°一5.试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．答案：S＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z} 适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为－60°，120°[课时达标检测]一、选择题1．－435°角的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D2．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：A4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )A．x轴非负半轴上B．y轴非负半轴上C．x轴或y轴上D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上答案：C5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z答案：B二、填空题6．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________．答案：240°7．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案：－5 －608．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．答案：一或三三、解答题9．如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值．解：由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°＜θ＜360°，∴θ＝120°或θ＝240°.10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.11．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．1．1.2 弧 度 制[提出问题]问题1：在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示：1°.问题2：半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角是360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？提示：180°.问题3：在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：确定． [导入新知] 1．角度制与弧度制 (1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360作为一个单位． (2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.[化解疑难]角度制和弧度制的比较(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.[提出问题]问题1：周角是多少度？是多少弧度？ 提示：360°，2π.问题2：半圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？ 提示：180°，π.问题3：既然角度与弧度都是角的度量单位制，那么它们之间如何换算？ 提示：π＝180°. [导入新知]1．弧度与角度的换算[化解疑难]角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad ， 充分利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ， 则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则扇形的弧长及面积公式的记忆(1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形：|α|＝l r⇔l ＝r |α|. (2)扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底，把半径看作高)，可以类比记忆．[例1] (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9×180π°＝－40°.[类题通法] 角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数． [活学活用]已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．答案：α<β<γ<θ＝φ[例2] 2. (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[解] (1)4(2)设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． [活学活用]已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？答案：r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.[例3] 的角的集合．[解] (1)如题图①，∵330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6， 而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . [类题通法]用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z. 在进行区间合并时，一定要做到准确无误． [活学活用]以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合． 答案：αα＝34π＋k π，k ∈Z1.弧度制下的对称关系[典例] 若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.[解析] 如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为αα＝π3＋2k π，k ∈Z.∵α∈(－4π，4π)， ∴－4π<π3＋2k π<4π(k ∈Z)，∴－136<k <116(k ∈Z)．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.[答案] －11π3，－5π3，π3，7π3[多维探究]在弧度制下，常见的对称关系如下(1)若α与β的终边关于x 轴对称，则α＋β＝2k π(k ∈Z)； (2)若α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (3)若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z)； (4)若α与β的终边在一条直线上，则α－β＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．若α和β的终边关于x 轴对称，则α可以用β表示为( ) A ．2k π＋β (k ∈Z) B ．2k π－β (k ∈Z) C ．k π＋β (k ∈Z) D ．k π－β (k ∈Z) 答案：B2．在平面直角坐标系中，α＝－2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称； (2)若α，β的终边关于y 轴对称； (3)若α，β的终边关于原点对称； (4)若α，β的终边关于直线x ＋y ＝0对称． 答案：(1)β＝2π3＋2k π，k ∈Z(2)β＝－π3＋2k π，k ∈Z(3)β＝π3＋2k π，k ∈Z(4)β＝π6＋2k π，k ∈Z[随堂即时演练]1．下列命题中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D2．若α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C3．－135°化为弧度为______，11π3化为角度为______．答案：－34π 660°4．已知半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2π3＋2k π，k ∈Z5．设角α＝－570°，β＝3π5.(1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 答案：(1)α＝－19π6；α在第二象限；(2)β＝108°；在－720°～0°之间与β有相同终边的角的大小为－612°和－252°.[课时达标检测]一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径长的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案：D2．1 920°化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案：D 3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3 D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 答案：B二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角有________．答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.1.2.1 任意角的三角函数第一课时 三角函数的定义[提出问题使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .问题1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.问题2：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：否．问题3：若|OP |＝1，则P 点的轨迹是什么？这样表示sin α，cos α，tan α有何优点？提示：P 点的轨迹是以原点O 为圆心，以1为半径的单位圆，即P 点是单位圆与角α终边的交点，在单位圆中定义sin α，cos α，tan α更简便．[导入新知]1．任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x ；yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).2．三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．[化解疑难]对三角函数定义的理解(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.[提出问题]问题1：若角α是第二象限角，则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：若角α为第二象限角，则x＜0，y＞0, sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0.问题2：当角α是第四象限角时，它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样？提示：sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.问题3：取角α分别为30°，390°，－330°，它们的三角函数值是什么关系？为什么？提示：相等．因为它们的终边重合．问题4：取α＝90°，－90°时，它们的正切值存在吗？提示：不存在．[导入新知]1．三角函数的定义域2．三角函数值的符号[化解疑难]巧记三角函数值的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.[提出问题]问题：若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？提示：sin α＝sin β，cos α＝cos β，tan α＝tan β. [导入新知]终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z. [化解疑难]诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋k ·2π，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α，其中k ∈Z.[例1] ，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] (1)－1213 513 －125(2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝－2＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.[类题通法]利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]已知角α终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 答案：2sin α＋cos α＝⎩⎪⎨⎪⎧－25，a >0，25，a <0[例2] (1)若sin αtan α<0，且tan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3. [解] (1)C(2)①∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin 105°>0，cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0. ②∵π2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos 3<0.又∵－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3>0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3<0. [类题通法]三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立；(2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立；(3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立；(4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．[活学活用]已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B[例3] (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.[类题通法]诱导公式一的应用策略应用诱导公式一时，先将角转化为0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角的三角函数值一定要熟记．[活学活用]求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 答案：(1)32＋1 (2)11．应用三角函数定义求值[典例] (12分)已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值．[解题流程][规范解答] 由题意可得： 由|OP |＝－3m 2＋m 2＝分)(1)当m >0时，|OP |＝10|m |＝10m ，(4分)则sin α＝m10m＝1010，cos α＝－3m10m＝－3 1010，tan α＝m－3m ＝－13.(7分)[名师批注]由于题目条件中只告诉m ≠0，不知道m 的符|OP |＝\r(10)|m |.此处极易忽视此点，误认为|OP |＝\r(10)m ，从而导致解题不完整而失分.(2)当m <0时，|OP |＝10|m |分)则sin α＝－1010，cos α＝3 1010，tan α＝－13.(12分)根据正切函数的定义tan α＝yx，本题中tan α的取值与m 的符号无关，即无论m >0还是m <0，tan α都是m －3m ＝－13.[活学活用]已知角α的终边上一点P (－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．解：当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－153； 当y ＝－5时，cos α＝－64，tan α＝153.[随堂即时演练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案：D2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能 答案：B3．计算：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π＝________. 答案：124．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上。

第1，2课时1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角 始边 终边 顶点AO B负角：按顺时针方向旋转形成的角角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：⑵B 1 y⑴O x45° B 2 OxB 3y30°60o③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：练习第1-5题； 习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？ 解：αΘ角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第二象限角 k 为奇数，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，2α属于第四象限角 因此2α属于第二或第四象限角． 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角第3课时1.1.2弧度制（一）教学目标（一）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数． （二）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （三）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程：一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考： （1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：οο3.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=π5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23π π27．弧长公式r l α=弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把150°化成弧度；把rad 53π化成度 例2．计算：4sin)1(π；．6cos)2(π例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 67π是第三象限的角,所以它是第三象限角.ORl631)2(π-是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:R lR S α==扇形面积公式 7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①教材P9练习第1、2、3、6题 ②教材P10面7、8题及B2、3题．第4课时1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

3.1 数学归纳法原理 3.1.1 数学归纳法原理 3.1.2 数学归纳法应用举例1.理解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.教材整理1 归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，归纳推理，得当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 依题意，先求函数结果的分母中x 项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…可推知a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项b n ＝2n，所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.【答案】xn－x＋2n教材整理2 数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取初始值n0(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立.(2)假设当n＝k(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )【导学号：38000054】A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3【精彩点拨】注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为a n＋1.【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.【答案】 C1.验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2.递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.1.下列四个判断中，正确的是( )A.式子1＋k ＋k 2＋…＋k n(n ∈N ＋)，当n ＝1时为1 B.式子1＋k ＋k 2＋…＋kn －1(n ∈N ＋)，当n ＝1时为1＋kC.式子11＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N ＋)，当n ＝1时为1＋12＋13D.设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N ＋)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4【解析】 对于选项A ，n ＝1时，式子应为1＋k ；选项B 中，n ＝1时，式子应为1；选项D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1. 【答案】 C用数学归纳法证明：1－2＋3－4＋…＋2n －1－2n ＝n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(n ∈N＋).【精彩点拨】 要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同.因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并.【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边，所以，n ＝k ＋1时等式成立. 由①②知，等式对任意n ∈N ＋成立.1.用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节.2.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12nn ＋＝nn ＋(其中n ∈N＋).【证明】 (1)当n ＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝1＋＝18， ∴等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立， 即12×4＋14×6＋…＋12kk ＋＝k k ＋成立，那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k k ＋＋1k ＋k ＋＋2]＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k ＋2k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＋1]，即n ＝k ＋1时等式成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋等式均成立.＋【精彩点拨】 对于多项式A ，B ，如果A ＝BC ，C 也是多项式，那么A 能被B 整除.若A ，B 都能被C 整除，则A ＋B ，A －B 也能被C 整除.【自主解答】 (1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1-1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥1)时，a k +1＋(a ＋1)2k -1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k +1＝a ·a k +1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k -1＝a ＋(a ＋1)2(a ＋1)2k -1－a (a ＋1)2k -1＝a ＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k -1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题成立. 由(1)(2)知，对n ∈N ＋，命题成立.利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.3.求证：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除.【证明】 (1)当n ＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立. (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除. 由n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋k 3＋3k 2·3＋3k ·32＋33＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋9(k 2＋3k ＋3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故n ＝k ＋1时，命题也成立. 由(1)和(2)可知，对n ∈N ＋命题成立.＋那么这n 条直线的交点个数f (n )是多少？并证明你的结论.【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求f (2)，f (3)，f (4)，猜想出一般性结论f (n )；(2)利用数学归纳法证明：【自主解答】 当n ＝2时，f (2)＝1 ；当n ＝3时，f (3)＝3； 当n ＝4时，f (4)＝6. 因此猜想f (n )＝n n －2(n ≥2，n ∈N ＋)，下面利用数学归纳法证明：(1)当n ＝2时，两条相交直线有一个交点，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1).当n ＝k ＋1时，任何其中一条直线记为l ，剩下的k 条直线为l 1，l 2，…，l k . 由归纳假设知，它们之间的交点个数为f (k )＝k k －2.由于l 与这k 条直线均相交且任意三条不过同一点， 所以直线l 与l 1，l 2，l 3，…，l k 的交点共有k 个. ∴f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝k k －2＋k ＝k 2＋k2＝k k ＋2＝k ＋k ＋－1]2.∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，命题对一切n ∈N ＋且n ≥2时成立.1.从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n 变化时，交点个数间的关系.2.利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时几何图形的变化规律.并结合图形直观分析，要弄清原因.4.在本例中，探究这n 条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明. 【解】 设分割成线段或射线的条数为f (n ).则f (2)＝4，f (3)＝9，f (4)＝16. 猜想n 条直线分割成线段或射线的条数f (n )＝n 2(n ≥2)，下面利用数学归纳法证明. (1)当n ＝2时，显然成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时，结论成立，f (k )＝k 2，则当n ＝k ＋1时，设有l 1，l 2，…，l k ，l k ＋1共k ＋1条直线满足题设条件.不妨取出直线l 1，余下的k 条直线l 2，l 3，…，l k ，l k ＋1互相分割成f (k )＝k 2条射线或线段.直线l 1与这k 条直线恰有k 个交点，则直线l 1被这k 个交点分成k ＋1条射线或线段.k 条直线l 2，l 3，…，l k －1中的每一条都与l 1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k 条.故f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论正确.由(1)(2)可知，上述结论对一切n ≥2均成立.探究1 【提示】 ①第一步中的验证，n 取的第一个值n 0不一定是1，n 0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n ＝2等.②对n ＝k ＋1时式子的项数以及n ＝k 与n ＝k ＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.③“假设n ＝k 时命题成立 ，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.探究2 如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】 归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n 0和后续的n 值所对应的情形.在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明.否则，就不是数学归纳法.探究3 为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？【提示】 这是因为第一步首先验证了n 取第一个值n 0时成立，这样假设就有了存在的基础.假设n ＝k 成立，根据假设和合理推证，证明出n ＝k ＋1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立.这就一定有n ＝2成立，n ＝2成立，则n ＝3也成立；n ＝3成立，则n ＝4也成立.如此反复，以至无穷.对所有n ≥n 0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋). 【导学号：38000055】【精彩点拨】 因n ≥2，n ∈N ＋，第一步要验证n ＝2.【自主解答】 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋).当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋2＝k ＋12k ·k ＋2－1k ＋2＝k ＋k k＋2kk ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋＋1k ＋.∴当n ＝k ＋1时，等式成立. 根据(1)和(2)知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立.用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，缺了第一步递推失去基础；缺了第二步递推失去了依据，因此无法递推下去.数学归纳法—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—归纳法——数学归纳法——应用—⎪⎪⎪—证明恒等式—证明整除问题—证明几何问题1.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n 层和第n ＋1层花盆总数分别是f (n )和f (n ＋1)，则f (n )与f (n ＋1)的关系为( )A.f (n ＋1)－f (n )＝n ＋1B.f (n ＋1)－f (n )＝nC.f (n ＋1)－f (n )＝2nD.f (n ＋1)－f (n )＝1【答案】 A2.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A.1B.2C.3D.0 【解析】 边数最少的凸n 边形是三角形. 【答案】 C3.用数学归纳法证明等式“1＋3＋5…＋(2n －1)＝n 2”时，从k 到k ＋1左边需增加的代数式为( )A.2k －2B.2k －1C.2kD.2k＋1【解析】等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k ＋1)，∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.【答案】 D4.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立.【解析】两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2.【答案】k＋25.证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1).【导学号：38000056】【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立.(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)，所以n＝k＋1时等式也成立.综合(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

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1 .1 任意角和弧度制
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1.2 任意角的三角函数
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阅读与思考 三角学与天文学
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第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ 信息技术应用 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 小结 第二章 平面向量 阅读与思考 向量及向量符号的由来 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.5 平面向量应用举例 小结 第三章 三角恒等变换 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 小结 后记