高中数学 必修4 (王后雄电子版)

数学必修4知识点总结第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．.（3）倒数关系：tan cot 1αα=12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A；②周期：2πωT=；③频率：12fωπ==T；④相位：xωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()siny xωϕ=A++B，当1x x=时，取得最小值为miny；当2x x=时，取得最大值为maxy，则()max min12y yA=-，()max min12y yB=+，()21122x x x xT=-<．第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B =-- ．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；baC BAa b C C -=A -AB =B②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠ 共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

高之邯郸勺丸创作中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 0 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 2 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 4 1.4三角函数的图像与性质 . (6))sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用...................... 9 第一章 三角函数基础过关测试卷 .......................................... 11 第一章三角函数单元能力测试卷 ........................................... 13 2.1平面向量的实际布景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 16 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 18 2.3平面向量的基本定理及坐标暗示 ........................................ 20 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 22 第二章平面向量基础过关测试卷 ........................................... 24 第二章平面向量单元能力测试卷 ........................................... 26 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 29 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 31 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 ....................................... 33 人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 36 1.2任意角的三角函数 .................................................... 36 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 37 1.4三角函数的图像与性质 (37))sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (38)第一章三角函数基础过关测试卷 ........................................... 39 第一章三角函数单元能力测试卷 ........................................... 39 2.1平面向量的实际布景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 40 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 40 2.3平面向量的基本定理及坐标暗示 ........................................ 40 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 41 第二章平面向量基础过关测试卷 ........................................... 42 第二章平面向量单元能力测试卷 ........................................... 42 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 43 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 43 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 (44)一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398 -38 B.,398 -142 C.,398 - 1042 D.,1421042α{=A ︱ 90⋅=k α,36 -}Z k ∈，β{=B ︱ 180- 180<<β},则B A 等于（ ）A.,36{ -54} B.,126{ -144} C.,126{ -,36 -,54144}D.,126{ -54}θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于 90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（ ）A.B A =B.C B =C.C A =D.D A =α与β终边相同，则一定有 （ ）A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ）5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3πB.3π-C.2πD.32πcm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ） A.6π B.3π C.2π D.32π α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+ α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ）A.B A =B.B A ⊇C.B A ⊆D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）a 小于 180而大于- 180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k ∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是 30，且终边落在第二象限，又 720-<a < 0，求角a .45=a ，（1）在区间 720[- 0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？ 30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.一、选择题（每题5分，共40分）α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ）A.55-B.55 C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A.αsinB.αcosC.αtanD.αtan 1α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A.52B.52- C.0α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于（ ） A.34 B.43 C.34± D.43± x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ）,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.34()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ）二、填空题（每题5分，共20分）,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________.α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________. θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. (),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________.三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分）43π的角的正弦，余弦和正切值. ,51sin =α求ααtan ,cos 的值.,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23B.21C.23± D.23- ,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ）A.m 32-B.m 23- C.m 32 D.m 23,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21- C.23 D.23- ),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ ,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A.21||aa + B.21aa + C.21aa +-D.211a+-则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A.33 B.33- C.3D.－3 ,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A.0B.1C.1- D.23△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ） A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰或直角三角形 D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分） 9.求值：︒2010tan 的值为．1312)125sin(=-α ,则=+)55sin( α． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos7cos ππππππ． ,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分）3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ）A.[]1,0B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ 2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A52 B 25 C π2 D π53.x x y sin sin -=的值域是（ ）A ]0,1-B ]1,0C ]1,1[-D ]0,2[-)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ）)3sin(π-=x y )cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数x x y cos =x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 10 D.2-)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.4)32sin(π+=x y 的图象( )⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称 3π=x 6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分))23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________.)2sin(x y =的最小正周期为__________.)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) “五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图. ⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间；(2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.x 值.(1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy)sin(ϕω+=x A y一、选择题(每题5分，共35分)1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω 的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 )32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )3π3π6π6π个单位1)62sin(2++=πx y 的最大值是 （ ）A.1B.2C.3D.4)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为 （ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x f D.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K []),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题：1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分))421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)240-角终边位置相同的角是 （ ）A.240 B.60 C.150 D.480()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ）A.21 B.23± C.21- D.23 x y sin 1-=的最大值为 （ ）A.1B.0C.2D.1-⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ）A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是 （ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ x y cos 1+=的图象 （ ） x y 2π=x 轴对称x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）4π4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．x y tan lg =的定义域是__________．11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分)2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值． 14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分）α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列值①)1000sin(-；②)2200cos( -；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ） A.0 B4π C 2πD π 4sin 5α=，而且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ）A.43-B.34- C.43 D.345.若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ )42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个1sin 4x x π=的解的个数是 （ ） A B C 7 D 8 11.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ） A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππC.)45,4(ππD.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B 4π- C 4π D 34π 二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π-（2）)945cos( - 18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2） 200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅-- （2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y )32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ）2.下列说法中，正确的是 （ ）>,则b a >=，则=b a =，则a ∥b a ≠b ，则a 与b 不是共线向量O 为△ABC 的外心，则、、是 （ ）ABCD 的边长为1，设=，=，=， +=（ ）A.0B.3C.22+D.2258==的取值范围是 （ ）A.[]8,3B.()8,3C.[]13,3D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+B.BC AC AB =+C.=+D.=+ D C1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =+（ ）A.7B.5C.3D.2a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）与>，则向量+与的方向相同a 与b <，则向量+与a 的方向相同 与同向，则向量+与的方向相同 与同向，则向量+与的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.C B A ,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则=__________.ABCD 中，∠DAB ︒=601==__________.=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =.求证：四边形ABCD 是平行四边形.h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.一、选择题(每题5分,共40分)ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ）A.-=AC AB BCB.-=AD BD ABC.-=BD AC BCD.-=BD CD BCO 的有 （ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA.①②B.①③C.①③④D.①②③AB 的是 （ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA.①④B.①②C.②③D.③④ 4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+b a b a24822131（ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ）A.1B.1-C.1±D.0△ABC 中，向量BC 可暗示为 （） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b cC 是线段AB 的中点，则AC BC += （）A.ABB.BAC.ACD.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________.11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分) 13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 暗示、BF 、CG 15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=? ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AG EFB D一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a 则向量b a 2321-等于 （ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==则BC 等于 （ ）A.)1,1(B.)1,1(--C.)7,3(D.)7,3(-- 3.21,e e 是暗示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不克不及作为一组基底的是 （ ） A.21e e +和21e e - B.2123e e -和1264e e - C.212e e +和122e e + D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且//，则实数m 的值等于 （ ）A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为A.13-B.9C.9-D.13 （ ）6.已知平面向量),,2(),2,1(m -==且b a //，则b a 32+等于 （ ）A.)10,5(--B.)8,4(--C.)6,3(--D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ）21,λλ使2211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量21,λλ，2211e e λλ+纷歧定在平面内，使=2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( )A.1,2-B.2,1-C.1,2-D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( ) A.21- B.2 C.21 D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,== 则 等于（ ） A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且//，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==，若向量+λ与向量)7,4(--=共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与的方向的夹角为3π4=，则的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴， y 轴的正向上，则向量++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量与不共线，实数y x ,满足等式x x y x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.=B.1=⋅C.≠D.= 2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅③2a =④()()⋅⋅=⋅⋅b a ⋅≤A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅或B. //⇒在bC.()2⋅=⋅⇒⊥ D.=⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ） ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形；ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是钝角三角形；C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅；D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅.5.,8=为单位向量，与的夹角为,60o 则在方向上的投影为 （ ） A.34 B.4 C.24 D.238+6.若向量,,1==与b 的夹角为 120，则=⋅+⋅（ ） A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==则a 与b 的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π 9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-则ABC ∆ 的形状为 （ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A ，B ，C 均不是 ()(),1,,2,1x b a ==当向量2+与-2平行时，⋅等于 （ ） A.25 B.2 C.1 D.27 二、填空题（每题5分，共20分）(),2,1,3==且,⊥则的坐标是_____________.(),8,6-=则与平行的单位向量是_____________.21,e e 为两个不共线的向量，若21e e λ+=与()2132e e --=共线，则=λ________.ABCD ，设,,,====+-b __________.三、解答题（每题10分，共30分） ()()61232,34=+⋅-==，求a 与b 的夹角θ.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？ 321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o 求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）ABCD 中,,b OB a OA == ,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0 =+++d c b aB.0 =-+-d c b aC.0 =--+d c b aD.0 =+--d c b a )1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.1-B.9C.9-D.1a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ）A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ）A.34-B.32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b a c b c a =⇒⋅=⋅ ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D 的坐标为 ( )A.)2,2(B.)0,6(-C.)6,4(D.)2,4(-21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e --=共线的等价条件是A.23=λB.32=λC.32-=λD.23-=λ （ ） 8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ） ①00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤||||b a b a ⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 AC OD（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；③零向量不克不及作为基底中的向量；④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 22PP =，则点P 坐标是（ ） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(- k b a 432,1||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ）A.6-B.6C.3D.3-二、填空题（每题5分，共15分）)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.()0,2,122=⋅-==a b a b a ，则b a 与的夹角为__________. 14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________.三、解答题（每题题10分，共30分）),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a +⋅,的值；（2）a 与b 的夹角的余弦值.ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+②AC BE BC EA +=-③ED AB EA AD +=+④0AB BC CD DE EA ++++=⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++ ( )A.0B.3C.22+D.221e 、2e 是两个不共线向量，若向量 =2153e e +与向量213e e m -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35- B.－59 C.53- D.95- )3,1(),1,2(=-=则32+-等于 ( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+，则ΔABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅=8,则向量与的夹角为 （ ）A. 60B. 60-C. 120D. 120-8.已知)0,3(=,)5,5(-=，则与的夹角为 ( ) A.4πB.43πC.3πD.32π b a b a ⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b 上的投影值为 ( )N A B D M C A.13 B.513 C.565 D.65 11.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( ) A.)11,2(- B.)3,34( C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为__________.),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a c μλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点， 点N 在BD 上，且BD BN 31=， 求证：C N M ,,三点共线． C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量的坐标；2）求证：∥．19.24==b a a b 夹角为120,求：(1)⋅；(2))()2(+⋅-；(3)b 23+． )2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a 3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，（1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求与的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1.345cos 的值等于 （ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ） A.0 B.21 C.23 D.21-1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ） A.2627-B.2627C.26217-D.2621753)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于 （ ）A.917 B.917± C.917- D.317 是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）π2π的奇函数 π2π的偶函数 71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于 （ ） A.45π B.4π C.45π或4π D.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-56sin2sin 5cos2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ）A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________.11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. []则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分)14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. (2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期； （2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan的值. ),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-=（1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23- C .21 D .21-2.下列各式中，最小的是（ ）A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin -D .41cos 2141sin 23- ()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ）A .2πB .πC .π2D .π44.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ）A .21B .23C .21-D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31- C .31 D .976.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值B .最大值2，无最小值C .最小值0，最大值2D .最小值2-，最大值2παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinα C .2cos α-D .2sin α- 8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin 510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________. 三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22. 15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值. 16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期； (2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ） A.26 B.23 C.45D.431+ 222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( )A.2B.22-C.2D.2或22- ︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系A.b a =B.b a >C.b a <D.b a ≠ （ ）x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ）A.1B.231+ C.23 D.31+)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为 （ ）A.π,1B.π,2C.π2,1D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+=（ ） A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是 A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ）A.2B.4C.8D.1651)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ）A.2B.21C.1D.0 []0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是A.97 B.23 C.1832+ D.183724+ （ ） 22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27二、填空题（每题5分，共20分）32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________. )2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________.xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α. （2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值. 135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-，求)cos(βα-的值.R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22，求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数)(x f 的单调增区间.α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.a x x x x f ++-++=2cos )62sin()62sin()(ππ（a 为实常数），（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）如果当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值. 16.已知函数R x xx x x f ∈--++=,2cos 2)6sin()6sin()(2ωπωπω（其中0>ω）， （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图像与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数 )(x f y =的单调增区间.参考答案一、选择题1-5CCDCC 6-10CADBA 二、填空题11. 120{- 60,- 0, 60, 120,}12.（1）α{︱ 360⋅=k α},Z k ∈ （2）α{︱90⋅=k α},Z k ∈（3）α{︱ 360⋅k <<α 180 360⋅+k },Z k ∈ α{︱ 360⋅=k α270+},Z k ∈ （4）α{︱180⋅=k α45+},Z k ∈ 13.2三、解答题15.解：∵120=α360⋅+k Z k ∈,720,-0<<α ∴240-=α600,16.解：(1)45=β360⋅+k Z k ∈,720-≤ 45 360⋅+k 0<，则2-=k 或1-=k675-=β或 315-=β(2)},45)1({},,45)12({Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==所以N M ⊂,,23Z k k ∈+=ππθ所以Z k k ∈+=,3293ππθ所以在]2,0[π内与3θ终边相同的角有：913,97,9πππ302=+R l ,所以4225)215(15)230(212122+--=+-=-==R R R R R lR S当215=R 时，扇形有最大面积4225，此时2,15230===-=RlR l α一、选择题1-4ABAB 5-8BBAB 二、填空题⒐⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+<<+<≤Z k k k k k k ,222223222ππαππαπππαπα或或 10.1317或137- 11.33,21 12.⎪⎭⎫⎝⎛47,45ππ 三、解答题 13.22,1,22-- 14.126,562 15.16一、选择题1-4ABCC 5-8CCCC 二、填空题 9.1 10.1312 11.0 12.211aa ++-提示：12.由已知a -=26tan ，于是21126cos a+=；2126sin aa +-=．∴()()21126cos 26sin 206cos 206sin aa ++-=-=-+-．三、解答题 13.33 14.2515.0 16.3 提示：16.()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f ()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a ()381999=+-=f一、选择题1-5CDDBB 6-10BCBBA 二、填空题11.{}Z k k x k x ∈+≤≤+,1211125ππππ 12.)](32,32[Z k k k ∈+-ππππ 13.2π 14.x x x 2cos sin -- 三、解答题15.略 16.略17. (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x ,85ππ，3=大y ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x ,83ππ，1-=小y （2）1,6-=-=小y x π；56==大，y x π(3) 2,10==小大y y（4）20-==小大，y y)sin(ϕω+=x A y一、选择题1-7ABCDCDB二、填空题8.（2）（3） 9.60,32060- 10.5-15.解答题11.（1）略；（2）略；（3）π4=T ，3=A ，4πϕ-= 12.（1）ππππk x k +<<+-6512； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++->ππππk k a 6,12,1是单调递增，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 65,6是单调递减 10<<a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 6,12是单调递减，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 65,6是单调递增 （3）非奇非偶；（4）π=T。

HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
【做一做 1】 下列表述中正确的是( A.1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B.1 弧度是长度为半径的弧 C.1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和
)
D.1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种 度量单位 答案:D
-4-
1.1 DNA重组技术的基本工具
1 2 3
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ICHU ZHISHI
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2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧 度数是 0. 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么角 α 的弧度数的绝 对值是|α|= . (1)弧长公式:l=|α|r. (2)扇形面积公式:S= lr= |α|r2. 【做一做 2】 已知半径为 10 cm 的圆上,有一条弧的长是 40 cm,则该 弧所对的圆心角的弧度数的绝对值是 答案:4
1.1.2 弧度制
-1-
目标引航 1.1 DNA重组技术的基本工具
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1.了解弧度制,明确 1 弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的换算. 3.了解弧长公式,能进行简单应用.
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第四象限
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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基础知识 J课堂互动 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
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例1
如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确 定 a,b,c,d 的方向(用箭头表示),使 a+b=������������,c-d=������������ ,并画出 b-c 和 a+d. 思路分析:可以由向量加、减法的几何意义作图.
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2.2.2
向量减法运算及其几何意义
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专题归纳整合 课堂合作探究
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学习目标
1.知道相反向量的定义; 2.记住向量减法法则及其几何意义; 3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差. 重点:向量减法法则及其几何意义; 难点:向量减法法则及其几何意义的应用.
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3.向量减法的几何意义 已知 a,b,在����������=b,则������������=a-b,即 a-b 可 以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
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解:(1)利用平行四边形法则. 在平面内任取一点 O,作������������=a,������������=b,作������������ =-b,以������������, ������������ 为邻边作 平行四边形 OAEC,则������������ =a-b.

( ) π π x－ 答案：f(x)＝2sin 4 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
9－5
解析：由题意，可得 A＝ 2 ＝2，B＝7，
2π
π
周期 T＝ ω ＝2×(7－3)＝8，∴ω＝4.
( ) π x＋φ ∴f(x)＝2sin 4 ＋7.
( ) 3π ＋φ ∵当 x＝3 时，y＝9，∴2sin 4 ＋7＝9.
( )π
100πt＋
220 3sin
6 ，t∈[0，＋∞)．
(1)求开始时(t＝0)的电压；
(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间；
( ) 3π
π 3π
x＋
φ＝ 4 ，∴y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]．当 x＝8 时，
( ) π
3
× 8＋ π
y＝10sin 8
4 ＋20＝20－5 2≈13，即该天 8 h 的温度大约为 13 ℃，故选 D.
6．一根长 l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置
课时作业
一、选择题
1．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中 f(t)为血压，t 为时间，则此
人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
答案：C
2π 1
1
解析：由于 ω＝160π，故函数的周期 T＝160π＝80，所以 f＝T＝80，即每分钟心跳的
第 16 课时 三角函数模型的简单应用
课时目标 1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题． 2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题．
识记强化
三角函数模型应用的四个问题是： (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式画图象； (3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型； (4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．

第1章节 三角函数1．1 任意角和弧度制【例题1】下列命题正确的是（ ）A. 终边相同的角一定相等B. 第一象限角都是锐角C. 锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。

其中正确的命题有（ ）。

A.1个B.2个C. 3个D.4个 【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。

点P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。

G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，则有（ ）。

A ．B ．C ．（） D ．【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。

（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。

【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）A ．{}00360457,k k Z αα=⋅+∈B ．{}0036097,k k Z αα=⋅+∈C ．{}00360263,k k Z αα=⋅+∈D ．{}00360263,k k Z αα=⋅-∈【例题7】下列各命题中，假命题是（ ） A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。

【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。

第1章节 三角函数1．1 任意角和弧度制【例题1】下列命题正确的是（ ）A. 终边相同的角一定相等B. 第一象限角都是锐角C. 锐角都是第一象限角D.小于90°的角都是锐角【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。

其中正确的命题有（ ）。

A.1个B.2个C. 3个D.4个 【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。

点P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。

G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，则有（ ）。

A ．B ．C ．（） D ．【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。

（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。

【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）A ．{}00360457,k k Z αα=⋅+∈B ．{}0036097,k k Z αα=⋅+∈C ．{}00360263,k k Z αα=⋅+∈D ．{}00360263,k k Z αα=⋅-∈ 【例题7】下列各命题中，假命题是（ ） A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。

【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。

1.2.1任意角的三角函数(二)学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一三角函数线思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？答sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.思考2三角函数线的方向是如何规定的？答方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？答长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x即为正弦线有向线段OM即为余弦线类型一 作三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线.解 如图：sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ，tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并写出角α的集合.解 如图：角α的集合为{α|α＝π6＋2k π或α＝56π＋2k π，k ∈Z }.类型二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小. 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π5.反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负. 跟踪训练2 设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <a <bD.a <c <b答案 C解析 如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT . ∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .类型三 利用三角函数线解不等式 例3 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x . 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }.(2)由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下三点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π之间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间；(3)解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，取其公共部分. 跟踪训练3 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π]，求α的取值范围.解 ∵点P 在第一象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α≤2π，可知π4<α<π2或π<α<5π4.1.角α(0<α<2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π4 答案 D2.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A.正弦线PM ，正切线A ′T ′B.正弦线MP ，正切线A ′T ′C.正弦线MP ，正切线ATD.正弦线PM ，正切线AT 答案 C3.在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B4.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z . 5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出该区域的一般表达式： (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }.(2){α|k π－π2≤α≤k π＋π6，k ∈Z }.(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12{α|k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z }.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了.一、选择题1.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭⎫0，π2内随α的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.2.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π3，x ∈RB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π－5π6，k ∈Z答案 C解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π6，k ∈Z .3.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A.cos α<sin α<tan αB.tan α<sin α<cos αC.sin α<cos α<tan αD.cos α<tan α<sin α答案 A解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 答案 D解析 α取值范围为图中阴影部分，即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.5.有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为( ) A.1B.2C.3D.0答案 C解析 π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C.6.若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α终边在( ) A.y 轴上 B.x 轴上C.直线y ＝x 上D.直线y ＝－x 上 答案 B7.点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 D解析 ∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示.设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0， 所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |即|a |＜|b |， 所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 二、填空题 8.不等式tan α＋33>0的解集是______________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .9.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________. 答案 [k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z解析 如图所示.10.集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝____________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π11.函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为____________. 答案 ⎝⎛⎭⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z ) 解析 ∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 如图所示.∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3(k ∈Z )， 即x ∈⎝⎛⎭⎫n π－π3，n π＋π3(n ∈Z ). 三、解答题12.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边. (1)sin α＝23；(2)cos α＝－35.解 (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP ，OQ 为角α的终边，如图甲.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM ，ON 为角α的终边，如图乙.13.求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域.解 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求.所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z .。

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学习目标 1.通过“五点法”作图正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象变换规律.2.对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解.3.会用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)以及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象.4.能说出φ，ω，A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.5.能够将y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，并会根据条件求解析式.知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 思考1 通过y ＝f (x )的图象怎样得到y ＝f (x ＋a )的图象. 答 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位.思考2 由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象吗？ 答 能，向左平移π6个单位即可.知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？答 2π，π，4π.思考2 三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？答 y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12倍，y ＝sin 12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍.思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？ 答 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可.知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？答 y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系 思考 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的？ 答 正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.类型一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？ 解 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的.反思与感悟 1.已知两函数解析式判断其图象间的平移关系时，要将异名化为同名三角函数. 2.x 的系数不为1，应提系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减. 跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4. 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 类型二 ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 类型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与函数y ＝sin x 的图象关系例3 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 B解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 反思与感悟 图象变换有两种途径(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中的变换量也不同，但平移的方向是一致的.跟踪训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 B.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2D.y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 答案 C1.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14答案 B2.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A.f (x )＝3cos x B.f (x )＝3sin x C.f (x )＝3cos x ＋3D.f (x )＝sin 3x答案 A解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .3.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位. 答案 π3 2π34.将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________.答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x ) ――――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x . 5.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2―→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4―→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4.1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ).注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.一、选择题1.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A.y ＝cos 2xB.y ＝1＋cos 2xC.y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D.y ＝cos 2x －1答案 B解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 2.为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度答案 C3.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数 答案 D解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.4.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度答案 A解析 由T ＝π＝2π得：ω＝2，g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移π8单位， 得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝g (x )的图象. 5.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8D.12答案 B解析 对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)图象. 6.给出几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ②横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度.则由函数y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④ D.②→⑤ 答案 D解析 y ＝sin x 的图象――→②y ＝sin 2x 的图象――→⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 7.要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――――――――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4―――――――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 8.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案 C解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象. 二、填空题9.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin(12x ＋π6)，f (π6)＝22. 10.为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________. 答案3π2解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是3π2.11.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的. 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上). 答案 ①③ 三、解答题12.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值. 解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34.(2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式【例题1】 （1）化简：)18sin()27sin()18cos()27cos(︒-︒++︒-︒+x x x x .（2）)3cos(),0,2(,54cos αππαα--∈=求的值. 【例题2】已知)cos(,54sin sin ,53cos cos βαβαβα-=+=+求的值.【例题3】在△ABC 中，C B A cos ,135cos ,53sin 求==的值.【例题4】已知αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,434求-=+=-<<<的值.【例题5】求出下列各式的值，完成填空。

（1）.____________________15tan 3115tan 3=︒+︒-（2）__;__________32tan 28cot 158cot 62tan =︒⋅︒+︒-︒ （3）.____________75tan 115cot 1=︒-︒+【例题6】求︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos 值.【例题7】︒⋅︒-︒︒⋅︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_________________.【例题8】已知)4tan(),23,(,1312cos πθππθθ-∈-=求的值.【例题9】化简：)3cot(31)6(tan 3απαπ--++.【例题10】化简：（1）︒︒+︒+︒30tan 15tan 30tan 15tan ； （2）︒︒+︒+︒42tan 18tan 342tan 18tan .【例题11】（1）求125cos12cos ππ的值； （2）已知__________)4(2sin ,215sin =--=πx x 则. （3）若2cos 2sin ,3231sin ααπαπα+<<=则且=___________________. 【例题12】已知θθππθsin ,51|2cos |2345则），，（=∈的值是（ ）A. 510-B. 510C. 515-D. 1515【例题13】若απαπ2cos 21212121,223++<<化简：. 【例题14】（1）求下式的值： ︒︒-︒-︒50cot 85tan 40tan 5cot . （2）化简)cos(cos cos 2)(cos cos 22B A B A B A A +-++.【例题15】求值：（1）︒︒︒70sin 50sin 10sin ； （2）︒︒︒︒78sin 66sin 42sin 6sin .【例题16】求值：)44tan 1)...(2tan 1)(1tan 1(︒+︒+︒+.【例题17】化简： （1）︒⋅︒36cos 72cos ； （2）︒⋅︒⋅︒⋅︒80cos 60cos 40cos 20cos ； （3）1322cos (2)cos2cos2coscos -⋅⋅⋅n ααααα；【例题18】已知βαtan tan 、是方程0332=--x x 的两根，试求-+-+)sin(3)(sin 2βαβα)(cos 32βα+的值.【例题19】已知)sin(,135)43sin(,53)4cos(,434,40βαβπαππαππβ+=+=-<<<<求的值.【例题20】（1）已知ββαβααcos ,900,900,1411)cos(,34tan 求︒<<︒︒<<︒-=+=的值；（2）已知ααππα2cos ,257)4sin(),4,0(求=-∈.【例题21】求︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22的值. 【例题22】求︒⋅︒+︒+︒80sin 2)]10tan 31(10sin 50sin 2[2. 【例题23】（1）函数)3cos(cos π++=x x y 的最大值是_________________.（2）当2π-≤x ≤2π，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）. A. 最大值是1，最小值是-1. B. 最大值是1，最小值是-21. C. 最大值是2，最小值是-2. D. 最大值是2，最小值是-1. 【例题24】已知)cos(,21cos cos ,31sin sin βαβαβα-=--=-求的值. 【例题25】化简αααα3cos cos 3sin sin 22+. 【例题26】求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值. 【例题27】已知βα、都是锐角，且βαβα+==求,1010sin ,55sin . 【例题28】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B ，且2cos ,cos 2cos 1cos 1CA B C A --=+求的值. 【例题29】在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值. 【例题30】已知11122=-+-ab b a ，求证：122=+b a .【例题31】化简：nx x n x x x x tan )1tan(...3tan 2tan 2tan tan -++⋅+⋅.【例题32】如图3-1-2，扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，PQRS 是扇形的内接矩形， 问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值.4能力•题型设计速效基础演练1. ︒︒+︒︒25sin 110sin 335cos 70cos 的结果是（ ） A. 1 B.22 C. 23 D. 21 2. =-x x sin 6cos 2（ ）A. )6cos(22x -πB. )3cos(22x -πC. )6cos(22π+x D. )3cos(22π+x3. 已知)4(2tan ,2tan π-=x x 则等于（ ）A. 34B. 34-C. 43D. 43-4. 已知)43cos(,43cot ,2πααπαπ--=<<则的值是（ ）A.102 B. -102 C. 1027 D. -10275. 已知)5tan(,41)5tan(,52)tan(παπββα+=-=+那么的值为_______________. 6. △ABC 中，若,cos cos sin sin B A B A <则这个三角形是_________________三角形.知能提升突破1. =︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sin （ ） A. 21-B. 21C. 23-D. 232. 设=+=∈)4cos(2,53sin ),2,0(πααπα则若（ ） A. 57 B. 51 C. -57 D. -513. ϕππϕϕ则),,(),sin(32cos 3sin 3-∈+=-x x x 的值是（ ） A. -6π B. 6π C. 65π- D. 65π4. 若)2sin()2sin(,0sin )cos(cos )sin(βαβαββαββα-++=+-+则等于（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. ±15. 已知α是第三象限角，且2tan ,2524sin αα则-=等于（ ） A. 34 B. 43 C. -34 D. -436. 化简αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++的值为（ ）A. α2tanB. α2cotC. αtanD. αcot7. 已知)4tan(tan θπθ-和是方程02=++q px x 的两个根，则q p 、满足关系式___________.8. 若2cos 212cos2sincot 21)(2ααααα--=f ，那么)12(πf 的值为_____________. 9. 已知)cos(,20,135)32sin(,53)3cos(αβπβπαβπαπ-<<<<=--=+则且的值为_____________.10.︒-︒80sin 310sin 1=_____________.11. 是否存在锐角βα、，使得（1）32tan 2tan )2(,322-==+βαπβα同时成立？若存在，求出锐角βα、的值；若不存在，说明理由.12. 已知x x x x 4sin ),2(,61)4sin()4sin(求ππππ∈=-+的值.13. 已知βα、为锐角，2921)cos(,178sin =-=βαα，求βcos .14. 是否存在正实数m 使得1)10tan 3(50sin =︒+︒m ，如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.最新5年高考名题诠释【考题1】已知函数)(|,cos sin |21)cos (sin 21)(x f x x x x x f 则--+=的值域是（ ） A. [-1,1] B. ]1,22[-C. ]22,1[- D. ]22,1[-- 【考题2】函数])0,[cos 3sin )(π-∈-=x x x x f （的单调递增区间是（ ） A. ]65,[ππ-- B. ]6,65[ππ-- C. ]0,3[π- D. ]0,6[π- 【考题3】函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2,4[ππ上最大值是（ ）A. 1B.231+ C. 23D. 1+3 【考题4】已知)67sin(,354sin )6cos(πααπα+=+-则的值是（ ） A. 532-B. 532C. 54- D. 54 【考题5】︒-︒-10cos 270sin 32=（ ）A.21B. 22C. 2D. 23【考题6】函数)2sin(sin 3)(x x x f ++=π的最大值是__________.【考题7】若βαβαβαtan tan ,53)cos(,51)cos(⋅=-=+则=_____________. 【考题8】已知函数)0)(2sin(sin 3sin )(2>++=ωπωωωx x x x f 的最小正周期为π.(1)求ω的值.（2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围. 【考题9】设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=. （1）求)(x f 的最大值及最小正周期. （2）若锐角α满足αα54tan,323)(求-=f 的值. 【考题10】已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-+=x x g x x x f ππ. （1）求函数)(x f 的最小正周期.（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值，并求使)(x h 取得最大值的x 的集合. 【考题11】设函数)0(cos 2)cos (sin )(22>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为32π. （1）求ω的值；（2）若函数)(x g y =的图象是由)(x f y =的图象向右平移2π个单位长度得到，求)(x g y =的单调递增区间.【考题12】 定义在区间)2,0(π上的函数x y cos 6=的图象与x y tan 5=的图象的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线x y PP sin 1=与的图象交于点2P ，则线段21P P 的长为_____________.。

高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数． 函 数 性质对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．baCBAa b C C-=A -AB =B20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A．必修4 第一章 三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C202120sin 等于 （ ）A 23±B 23C 23-D 21 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）A.y=sin2xB.y=cos 2xC .sin2x+cos2x D. y=x x 22tan 1tan 1+- 5 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）A 34B 34-C 34± D36． 要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x 的图象 （ ）A ．向左平移2π2π个单位 C ．向左平移4π4π个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个象沿x轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=21sinx 的图象则y=f(x)是 （ ）A ．y=1)22sin(21++πx B.y=1)22sin(21+-πx C.y=1)42sin(21++πx D. 1)42sin(21+-πx8. 函数y=sin(2x+25π)的图像的一条对轴方程是 （ ） A.x=-2π B. x=-4π C .x=8π D.x=45π9．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）A.22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ10.函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11.函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数12.函数y =的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：13. 函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 . 14 与02002-终边相同的最小正角是_______________15. 已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 16 若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________三、解答题：17．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值． 18 已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值19. 已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ 20．已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x 的值及单调区间必修4 第一章 三角函数(2)一、选择题：1．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2sin1-化简的结果为 （ ）A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对2．若角α的终边过点(-3，-2)，则 ( )A ．sin α tan α＞0B ．cos α tan α＞0C ．sin α cos α＞0D ．sin α cot α＞0 3 已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是 （ ） A 231+-B 231+- C 231- D 231+4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B. 4π-=x C. 8π=x D. π=x5．已知)0,2(π-∈x ，53sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 724-6．已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(πβ+的值为 （ ）A ．2 B. 1 C. 22D. 2 7．函数xx xx x f sin cos sin cos )(-+=的最小正周期为 （ ）A ．1 B. 2πC. π2D. π8．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是 （ ）A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 9．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为 （ ） A ．1 B. 2 C. 3 D.23 10．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位11．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为 （ ）A.21 B. —21C. 23D. —2312．若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ （ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-二、填空题13．函数y =的定义域是14．)32sin(3π+-=x y 的振幅为 初相为15．求值：00cos20sin202cos10-=_______________16．把函数)32sin(π+=x y 先向右平移2π个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为_____________2)322sin(--=πx y ___________________ 三、解答题17 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值18．已知函数x x y 21cos 321sin+=，求： （1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间19． 已知βαtan tan 、是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(ππβα-∈、， 求βα+的值20．如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式必修4 第三章 三角恒等变换(1) 一、选择题:1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A 0 B12 C 32 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 3365-B 6365C 5665D 1665- 1tan 2,1tan xx+=-则sin 2x 的值是 ( )A 35B 34- C 34 D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A 47- B 47 C 18 D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A 725-B 2425-C 2425D 725cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A1010 B 1010- C 10103 D 10103-2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3x π=-x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [B (-C [-D (-ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =15. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为16. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值． 19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 22sin sin 23cos y x x x =++，求（1）函数的最小值及此时的x 的集合。

王后雄2024届高三入学数学零模卷7之7（学生版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）A. B.C.D.2. “且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知，，则可表示不同点的个数是（ ） A. 1 B. 3C. 6D. 94 设a =e 0.01，b =log πe ，c =ln，则（ ）A. a >c >bB. a >b >cC. b >a >cD. c >a >b5. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. B.C. 40D. 806. 对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B. 样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C. 样本相关系数D. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强{}0,1,2A ={}2540B x x x =-+≤A B = {}1,2{}1,4{}0,1{}0,1,22x ≥2y ≥228x y +≥{}2,3x ∈{}31,24,4y ∈--(),x y .1π5322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭80-40-[]1,1r Î-7. 某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有，，，四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ） A. B.C.D.8. 对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求.其关键是利用对应关系：.观察下表：… 13 14 15 … 27 28 29 …… 8192 16384 32768 … 134217728 268435456 536870912 …已知299792.468是光在真空中的速度，3153600是一年的总秒数(假设一年365天)，根据表中数据，计算，则一定落在区间（ ） A. B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D.10. 函数的大致图象可能是（ ）A.B.A B C D 96125721254812524125k q k →[]012,,,,,0,1,2,,,n q q q q n ⎡⎤→⎣⎦ b 2b N =()km /s ()4log 299792.46831536000M =⨯M ()19,20()20,21()21,22()22,23X ()103P X ==()(),E X D X X ()()1P X E X ==()324E X +=()322D X +=()49D X =()211ax f x x +=+C. D.11. 已知函数，则（ ）A. 有三个零点B. 有两个极值点C. 点是曲线的对称中心D. 直线在点处与曲线相切12. 设，为随机事件，且，下列命题中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，那么________；14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.15. 哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如，，在不超过40的素数中，随机选取两个数，其和等于40的概率为________.()31f x x x =--()f x ()f x ()0,1-()y f x =23y x =-()1,1-()y f x =A B ()01P B <<()()P A B P A =()()P A B P A =()()P A B P A >()()P A B P A >()()P A A B P A A B ⋃>⋃()()P A P B >()()P A B P A B >()()P A B P A >1121n n C -+=n =()f x []22-,[]0,2x ∈()()23log f x x x a =-+()f a -=1073=+16133=+16. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值.18. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，这大大激发了国人对冰雪运动的关注.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，现随机抽取该城市50人进行调查统计，得到如下列联表：关注冰雪运动不关注冰雪运动男 20 10 女1010（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别对关注冰雪运动有明显影响；（2）此次冬奥会共设七个大项，其中滑雪、雪车、雪橇、冬季两项（滑雪加射击两者结合）四大项为雪上运动项目，滑冰、冰球、冰壶三大项为冰上运动项目.小明想从中挑选三个大项观看比赛，设挑选的三个大项中含雪上运动项目的数量为，求的分布列与期望. 附：，.0.10 0.05 0.010 0.0012.7063.8416.63510.828()12,,x x m ∈+∞12x x <121212ln ln 3x x x x x x ->-m 2ln y x x =+()1,2()2231y ax a x =+++a 22⨯0.010α=X X ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()2P k αχ=≥k19. 在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测，为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上的产品进行检测，每次检测要从该产品的生产线上随机抽取16件测量其关键指标数据.根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查. （1）下面是检验员在一次抽取的16件产品的关键指标数据： 10.02 10.12 9969.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.139.959.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第件产品的关键指标数据，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ （2）如果某一天内进行了四次检测，若出现两次以上（含两次）生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修.试求该天需对生产设备进行检修的概率（精确到0.01）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，20. 2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：()2,N μσ()3,3μσμσ-+.16119.9716i i x x ===∑0.212s ==≈i x i 1,2,,16i = x μ μs σ σX ()2,N μσ()330.9974P X μσμσ-<<+=160.99740.9592≈150.99740.9617≈30.95920.8825≈40.95920.8465≈D dB I 2W cm -⋅D I（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）（2）求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；（3）假定当声音强度大于45dB 时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由. 参考数据：，，令，有，， ，，，，，，.21. 2022年5月以来，国际棉价小幅上涨后下行，国内棉价大幅下跌.受此影响，现有两类以棉花为主要原材料的服装，类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有40%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客；类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照7.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.11D a b I =+22lg D a b I =+D I D I P a I b I 101910a bI I +=P a I b I P 111.0410I -⨯=36.7D =lg i i W I =101110i i W W ==∑11.4W =-221101( 1.3810i iII =--=⨯∑1021()1.48ii W W =-=∑()()1017.4i i i W W D D =-⋅-=∑()()101116.910ii i II D D -=--=⨯∑()()()121ˆnii i nii II D D bII ==--=-∑∑ˆˆa D bW=-lg 20.3≈A B（1）通过计算比较这两类服装单件收益的均值（收益=售价-成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场，两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买，两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设为该店当天所售服装中类服装的件数，为当天销售这两类服装带来的总收益.求的期望，以及当时，可取的最大值.22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.A B A B A 14X B Y Y ()E Y ()()0.5P X n n <≤∈N n ()()10exx af x x +-=>()f x ()()ln 1e x x g x xf x x x'=+--()0,x ∈+∞()e x g x ≤a。

姓名，年级：时间：章末整合考点一向量的线性运算1．平面向量的线性运算及运算律（1）向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连"，即错误!＋错误!＝错误!向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2）向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3）数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1）共线向量定理：向量a(a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa。

共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使错误!＝x错误!，或对直线外任意一点O，有错误!＝x错误!＋y错误!（x＋y＝1)．（2）平面向量基本定理:如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1,e2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且错误!＝k，设错误!＝e1，错误!＝e2，以e1、e2为基底表示向量错误!、错误!、错误!.［解］∵错误!＝e2,且错误!＝k,∴错误!＝k错误!＝k e2。

∵错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0，∴错误!＝－错误!－错误!－错误!＝－错误!＋错误!＋错误!＝e1＋(k－1）e2。

又∵错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0，且错误!＝－错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝－错误!－错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝错误!e2。

π π x∈－4，4 内均是单调递增函数，
函数 y＝sin x，y＝tan x 在
∴y＝sin x＋tan x
π π 在－4，4 上是单调递增函数， 的值域为 － 2 2 － 1 ， ＋ 1 . 2 2
∴函数 y＝sin x＋tan x
思考 2
π 诱导公式 tan(π＋x)＝tan x，x∈R，x≠2＋kπ，k∈Z 说明了正切函
数的什么性质？
答
周期性.
答案
思考 3
π 诱导公式 tan(－x)＝－tan x，x∈R，x≠2＋kπ，k∈Z 说明了正切
函数的什么性质？
答
奇偶性.
π 从正切线上看，在0，2上正切函数值是增大的吗？
x π 4π 8π ∵y＝tan4－6在4kπ－ 3 ，4kπ＋ 3 (k∈Z)内单调递增，
x π 4π 8π ∴y＝－tan4－6在4kπ－ 3 ，4kπ＋ 3 此即为原函数的单调 (k∈Z)内递减，
求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域.
解
tan x＋1≥0， 由题意得 即－1≤tan x<1. 1－tan x>0，
π π 在－2，2 内，满足上述不等式的
x
π π 的取值范围是－4，4 ，
又y＝tan x的周期为π，
解 因为 3－tan x>0，所以 tan x< 3.
π 又因为 tan x＝ 3时，x＝3＋kπ(k∈Z)， π π 根据正切函数图象，得 kπ－2＜x＜kπ＋3 (k∈Z)，
π π 所以函数的定义域是x|kπ－2＜x＜kπ＋3，k∈Z .