人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 第1课时 组合及组合数公式

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校对打印版 1.2.2 组

合

第1课时 组合及组合数公式

学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．

知识点一 组合的定义

思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除；

②从3,5,7,11中任取两个数相乘．

以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？

梳理 组合的概念

一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成______，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．

知识点二 组合数与组合数公式

从3,5,7,11中任取两个数相除，

思考1 可以得到多少个不同的商？

思考2 如何用分步乘法计数原理求商的个数？

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思考3 你能得出C24的计算公式吗？

梳理 (1)组合数的概念

从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．

(2)组合数公式及其性质

组合数公式 Cmn＝__________________＝__________

性质 ①Cmn＝________；

②Cmn＋Cm－1n＝________；

③C0n＝____

类型一 组合的有关概念

例1 给出下列问题：

(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？

(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？

(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？

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反思与感悟 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．

跟踪训练1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？

(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？

(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？

类型二 组合数公式与性质的应用

命题角度1 有关组合数的计算与证明

例2 (1)计算：C410－C37·A33；

(2)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；

(3)证明：mCmn＝nCm－1n－1.

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反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！计算．

(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．

(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：

①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.

跟踪训练2 (1)计算C98100＋C199200＝________.

(2)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32 015的值为( )

A．C42 015 B．C52 015

C．C42 016－1 D．C52 015－1

命题角度2 含组合数的方程或不等式

例3 (1)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8＋C5－m8；

(2)解不等式：C4n>C6n.

反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N＋.

(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． 高中数学-打印版

校对打印版 跟踪训练3 (1)若1C3n－1C4n<2C5n，则n的集合为______．

(2)解方程Cx－2x＋2＋Cx－3x＋2＝110A3x＋3.

1．给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中组合问题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

2．集合M＝{x|x＝Cn4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )

A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆M

C．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}

3．若C2n＝21，则n！3！n－3！的值为( )

A．6 B．7 C．35 D．70

4．不等式C2n－n<5的解集为________．

5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．

(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；

(2)不同的乘积结果有多少个？

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校对打印版 1．排列与组合的联系与区别

(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．

(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．

2．巧用组合数公式解题

(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝Cmn进行计算．

(2)涉及字母的可以用Cmn＝n！m！n－m！计算．

(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算． 高中数学-打印版

校对打印版 答案精析

问题导学

知识点一

思考 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．

梳理 一组

知识点二

思考1 A24＝4×3＝12.

思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.

思考3 因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.

梳理 (1)所有组合 Cmn

(2)nn－1n－2…n－m＋1m！

n！m！n－m！ Cn－mn Cmn＋1 1

题型探究

例1 解 (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．

(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．

跟踪训练1 解 (1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．

(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．

(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．

(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．

例2 (1)解 原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. 高中数学-打印版

校对打印版 (2)解 ∵ 38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5，

∵n∈N，∴n＝10，

∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031

＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.

(3)证明 mCmn＝m·n！m！n－m！

＝n·n－1！m－1！n－m！

＝n·n－1！m－1！n－m！

＝nCm－1n－1.

跟踪训练2 (1)5 150 (2)C

例3 解 (1)∵1Cm5－1Cm6＝710Cm7，

∴m！5－m！5！－m！6－m！6！

＝7×7－m！m！10×7！，

即m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！

＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！.

∴1－6－m6＝7－m6－m60，

即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.

∵0≤m≤5，∴m＝2，

∴Cm8＋C5－m8＝C28＋C38＝C39＝84.

(2)由C4n>C6n，得 高中数学-打印版

校对打印版  n！4！n－4！>n！6！n－6！，n≥6

⇒ n2－9n－10<0，n≥6

⇒ －1

又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

跟踪训练3 (1){5,6,7,8,9,10,11}

(2)解 原方程可化为Cx－2x＋3＝110A3x＋3，

即C5x＋3＝110A3x＋3，

∴x＋3！5！x－2！＝110·x＋3！x！，

∴1120x－2！＝110·1xx－1x－2！，

∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.

又∵0≤x－3≤x＋2且x＋3≥3，x∈N＋，

∴x≥3且x∈N＋，∴x＝4.

当堂训练

1．C 2.D 3.C 4.{2,3,4}

5．解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a，b)表示每一种取法，并且(a，b)与(b，a)是同一种取法．

从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．

其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，

乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．

(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，