第二章一阶逻辑☆命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组成单位是命题常项/变项,它们且不可再分. 例如:P: n是一个奇数；根据命题的定义,P不是命题.因为它随n的取值而定.而计算机中大多数语句使用变量.所以,必须扩展逻辑系统以包含这样的语句.☆在命题公式中也允许出现命题变项，但仅仅作为一个整体考虑其真值.第二章一阶逻辑☆也就是说, 在命题逻辑中,命题的内部结构及命题之间内在的联系,无法处理.例如：著名的“苏格拉底三段论”就无法判断其正确性:所有的人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的.分析: 在命题逻辑中,如用P,Q,R表示上述三个命题,则(P∧Q) R,但这个命题公式不是重言式,可是凭我们的直觉可知上述论断是正确的.为此,引入一阶逻辑（也称为谓词逻辑）.第二章一阶逻辑§2.1 一阶逻辑命题符号化2.1.1 个体和谓词§在原子命题(陈述句)中所描述的对象称为个体;用以描述个体性质或个体间关系的部分称为谓词;§例:1.他是三好学生§2.7是质数§3.每天早晨做广播体操是好习惯§4.5大于3§5.哥白尼指出地球绕着太阳转§2.2 一阶逻辑公式与解释§2.1.1 个体和谓词§个体常项、变项和个体域§①表示具体的或特定的个体的词称为个体常项,常用a,b,c,…小写字母表示.§②表示抽象的或泛指的个体的词称为个体变项,常用x,y,z,…小写字母表示.§③个体变项的取值范围称为个体域(或论域).个体域可以是有限事物的集合,也可以是无限事物的集合.无特别声明时,将宇宙间一切事物组成个体域称为全总个体域.§2.1.1 个体和谓词§谓词常项和谓词变项§①表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项,用大写字母F,G,H…等表示,如F:表示是大学生§②表示抽象或泛指的谓词称为谓词变项,也用大写字母F,G,H…等表示.个体变项x具有性质F,记F(x);个体变项x,y具有关系L,记L(x,y)等.§注: F,G,H等表示谓词常项还是变项取决于上下文.§§§2.4 前束范式§2.5 一阶逻辑推理理论本章小结2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数设H是谓词“能够到达山顶”,a表示个体王华,t表示老虎,c表示汽车,则H(a), H(t),H(c)分别表示不同的命题.共同形式为H(x),当x取a,t,c时,有上述表示.同理,若L(x,y)表示“x小于y”,则L(2,3)表示一个真命题,L(5,1)表示一个假命题.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)一个原子命题用一个谓词P和n 个有序的个体变元x1 ,…,x n表示成P(x1,…,x n),它是以个体变项的个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数, 称为命题函数(或谓词命名式)简称为谓词; 谓词中个体变项的个数成为元数, P称为n 元谓词; 不带个体变项的谓词称为0元谓词.由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组成的表达式称为复合命题函数.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)例1：…x是素数‟中x是个体,谓词…是素数‟记为P,则可写为P(x).其中：x 表示不确定的个体,称为个体变元.注意：①P(x)的真值随x而变,它对某些x 可能为真,对某些x可能为假.所以,P(x)是命题函数,而不是命题逻辑中要求的非真即假的命题.②n元谓词中个体的顺序是重要的,顺序变了谓词公式的含义也变了.例如, P(x,y,z)≡…x-y=z’≠…y-x=z’≡P(y,x,z)2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)§谓词概念是命题概念的扩充与深化考虑谓词: P(x,y,z)≡…x-y=z‟.若定义P1(y,z)≡P(3,y,z)≡…3-y=z’;P2(z)≡P(3,2,z)≡…3-2=z’;P3≡P(3,2,1)≡…3-2=1’；则P(x,y,z),P1(y,z),P2(z)分别是3元,2元,1元谓词,它们都不是命题逻辑中的命题,而P3 是0元谓词,是命题逻辑中的命题.由此可见,谓词概念是命题概念的扩充与深化.例: 教材P56例4.12.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)注意: 命题函数的值取决于个体变元的取值范围, 即个体域.例1: R(x)表示“x是大学生”如果x的取值范围是大学班级里的学生, 则R(x)是永真式; 如果x的讨论范围是某中学班级里的学生, 则R(x)是永假式; 如果x的讨论范围是电影院的观众, 则对某些观众R(x)为真, 对另外一些观众R(x)为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)例2: (P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)若P(x,y)解释为“x小于y”, 当x,y,z在实数范围内取值时, 是永真式; 若P(x,y)解释为“x为y 的儿子”, 当x,y,z为人时, 则是永假式; 若P(x,y)解释为“x距离y为10米”, 如果x,y,z取地面上的房子, 则可能为真, 也可能为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词①全称量词: ∀x, 表示并读作:…对一切x’; ∀x P(x), 表示并读作: …对一切x,P(x)是真‟ (称x被全称量化).②存在量词: ∃x, 表示并读作:…存在一个x’；∃x P(x), 表示并读作: …存在一个x,P(x)是真‟ (称x 被存在量化).例1. 当论述域为实数集R时, ∀x(x<x+1)表示对一切实数x, x<x+1为真.例2. 当论述域为实数集R时, ∃y(y=3)表示存在一个实数y, y=3为真.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词例3: 令S(x,y,z)≡…x-y=z‟; M(x,y,z)≡…xy=z‟;(1)用谓词表示: …任何整数减去0, 其结果是原整数‟.解:答案为: ∀xS(x,0,x).(2)用谓词表示:…对所有x, 所有y,xy=y‟.解:答案为: ∀x∀yM(x,y,y).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词§谓词F(x)变命题的两种途径①令命题变元x取定一个a值,所得F(a)是命题.②将谓词量化,如∃xF(x),∀xF(x)都是命题(可取非真即假的真值).例如F(x)≡…x是素数‟不是命题,因其真值随x而变,但∀xF(x)是命题,因它有唯一的真值…假‟；∃xF(x)也是命题,因它有唯一的真值…真‟.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词§量化后所得命题的真值与论域有关,即随个体域不同而可能不同.例1.∃y(y=3)当论述域为正整数集N时为真;而当论述域为负整数集-N时为假.例2.∀x(x>0)当论述域为N时为真;而当论述域为R时为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.4 全总个体域与特性谓词的概念★令D(x)表示x是要死的;F(x)表示x是怕死①当论域为全人类时,…人总是要死的‟译为∀xD(x),…有些人怕死‟译为∃xF(x).②当论域为全总个体域时,需引入一个新的谓词,将研究的对象分离出来,这个谓词称为特性谓词.这样它们分别译为∀x(M(x)→D(x)),∃x(M(x)∧F(x)),其中,M(x)表示x是人.苏格拉底三段论可符号化为: (∀x(M(x)→D(x))∧M(s))→D(s),其中s表示特定的一个人:苏格拉底.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.4 全总个体域与特性谓词的概念§特性谓词的加入规则:①全称量词之后特性谓词作蕴涵式前件加入;②存在量词之后特性谓词作合取项加入.例如,令P(x)表示x为素数…任何两个素数之和是一个素数‟可符号化为: ∀x∀y(P(x)∧P(y)→P(x+y));…存在两个素数其和是素数‟ 可符号化为: ∃x∃y(P(x)∧P(y)∧P(x+y)).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)把一个文字叙述的陈述句用谓词公式表示出来的过程称为一阶逻辑翻译或符号化,其步骤如下:①正确理解给定命题, 必要时可适当加以改叙使其中的原子命题的关系更明显.②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词, 在全总个体域中讨论时要给出特性谓词.③找出适当量词, 注意∀后跟蕴涵式, ∃后跟合取式2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)(1)令T(x):x是火车; C(x):x是卡车;Q(x,y):x比y快,则…某些卡车慢于所有火车,但至少有一辆火车快于每辆卡车‟可符号化为∃y(C(y)∧∀x(T(x)→Q(x,y)))∧∃u(T(u)∧∀v(C(v)→Q(u,v))).(2)令论述域为全人类; B(x):x步行;M(x):x骑马; C(x):x乘车; K(x):x口渴; Q(x):x喝泉水. 则…所有步行的,骑马的或乘车的人,凡是口渴的都喝泉水‟可符号化为∀x(((B(x)∨M(x)∨C(x))∧(K(x))→Q(x)).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)(3)令F(x):x是大学生;G(x):x是文科生; H(x):x是理科生。
