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一阶逻辑等值演算与推理

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5.3 一阶逻辑的推理理论

5.3 一阶逻辑的推理理论

例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则

05 一阶逻辑等值演算与推理

05 一阶逻辑等值演算与推理

例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.

第二章一阶逻辑

第二章一阶逻辑
本命题符号化为 ┐ x(W(x)→B(x))。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。 解 ⑴兔子比乌龟跑得快。 令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。 本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))， 或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。 本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。 本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。 这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性 质。 个体词：是表示个体的符号。 谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关 系。一般用大写英文字母表示谓词。 例 张三比李四高。 有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关 系。

离散数学一阶逻辑等值演算

离散数学一阶逻辑等值演算
推理系统通常由一组公理和推理规则组成，公理是 不需要证明的基本命题，而推理规则则指导如何从 已知命题推导出新命题。
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望

第二章 一阶逻辑

第二章 一阶逻辑

存在量词 的意义由个体域确定。
每个人都有心脏。
取人的集合为个体域。
P(x)：x 有心脏。符号化为 xP(x)。
取所有生物的集合为个体域。
R(x)：x 是人。
符号化为 x(R(x) P(x)) ：对于每个生物 x，
如果 x 是人，则 x 有心脏。
x(R(x) P(x)) 表达“每个生物都是人，并且都
有心脏”，是假命题。
有的狗会飞。
取狗的集合为个体域。
P(x)：x 会飞。 符号化为 xP(x) 。
取所有动物的集合为个体域。
D(x)：x 是狗。
符号化为 x(D(x) P(x)) ： 存在一个动物 x，
x 是狗，并且 x 会飞。
x(D(x) P(x)) 表达“有一个动物，如果它是
用大写英文字母表示谓词。可以把 n 元谓词看 做自变量从个体域取值，函数值为真值的 n 元函数。
设个体域是有理数集。用 P 表示一元谓词 “„是整数”，P(x) 并不表示命题，没有确 定的真值，因为 x 的值不确定。P(2) 表示真 命题“2 是整数”，P(2) = 1。P(1.5) = 0。 用 F 表示二元谓词“„等于„”，则 F(2,2) = 1，F(3,2) = 0。
有的有理数是整数。
取个体域为实数集。
Q(x)：x 是有理数。 P(x)：x 是整数。 符号化为 x(Q(x) P(x)) 每个计算机系的学生都学离散数学。 取个体域为全校学生的集合。 P(x)：x 是计算机系的学生。 R(x)：x 学离散数学。 符号化为 x(P(x) R(x))
B(x)：x 是北京人。 W(x)：x 是在北京工作的人。 这句话否定了在北京工作的人都是北京人。 符号化为 x(W(x) B(x)) 有的在北京工作的人不是北京人。 也可符号化为 x(W(x) B(x))

一阶逻辑的推理演算

一阶逻辑的推理演算

1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。

其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。

这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。

例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。

进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。

证明 略。

证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。

将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。

根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。

因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。

由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。

例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。

这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。

因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。

这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。

因此，推理定律可以当作推理规则使用。

2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。

命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。

3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。

见课本第75页。

这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。

1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。

一阶逻辑演算

一阶逻辑演算
T, ③辖域扩张
US, ④
US, ⑤
UG, ⑥
说明:1)不能对∃F()→∀G()消量词, 因为它不是前束范式
2)对此题不能用附加前提证明法
例5.11构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G()), ∃F()
结论: ∃G()
证明: ①∃F()
P
②∀(F()→G())
P
③ F()
量词辖域扩张等价式
量词辖域扩张等价式
∃∀∀((P() ∨ Q())→R())
注：
1)∀、∃与∀z不能颠倒；
2)前束范式的各指导变元应是各不相同的；
3)原公式中自由出现的个体变元, 在前束范式中还是自由出现的；（可用来判定正确性）
4)在求前束范式时, 要保证它们约束和自由出现的身份与次数都不能改变, 并且不能混淆
例5.9用附加前提法构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G())
结论: ∀F()→∀G()
证明:
① ∀F()
CP
② F()
US, ①
③ ∀(F()→G())
P
④ F()→G()
US, ③
⑤ G()
T, ②④假言推理
⑥ ∀G()
UG, ⑤
例5.10构造下述推理证明
消去量词等值式
设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
第2组
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x) x A(x)
xA(x)x A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x
定义5.2 前束范式:形如(Q11)(Q22)…(Qkk)B的一个合式公式, 被称为前束范式。其中

第五章等值演算与推理

第五章等值演算与推理
直观上为什么等价？
22
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
❖ x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))
23
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
x F(x,y) y G(x,y)
P80,12(4)
G(c)) ❖ x y F(x,y) y (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (F(a,a) F(b,a) F(c,a)) (F(a,b)
F(b,b) F(c,b)) (F(a,c) F(b,c) F(c,c))
16
5.1 等值式与置换规则
给定解释I如下：
❖ D={2, 3} ❖ a* = 2 ❖ f*(2) = 3, f*(3) = 2 ❖ F*(2) = F, F*(3) = T ❖ G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T,
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
置换
12
实例
(2) 不是所有的人都爱看电影 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
该结论是错误的，原因在于
c不在Γ的任何公式出现
36
5.3 推理理论
全称量词引入规则(UG)，给定前提 Γ={A1,…,An} A(x) 结论：x A(x)
条件：
❖x不在Γ中任何公式自由出现
思考：假设Γ={F(x), F(x)G(x)}
❖Γ⊢ G(x) ❖是否有Γ⊢ x G(x)？

一阶逻辑等值演算与推理

一阶逻辑等值演算与推理

(换名规则) (换名规则)
(代替规则) (代替规则)
19
例5.1的解答
解答 (2)x(F(x,y)→yG(x,y,z)) x(F(x,t)→yG(x,y,z)) 或x(F(x,y)→yG(x,y,z)) x(F(x,y)→tG(x,t,z))
(代替规则) (换名规则)
20
例5.2
例5.2 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x)
（2） x(F(f(x))∧G(x,f(x)) (F(f(2))∧G(2,f(2))) ∨ (F(f(3))∧G(3,f(3))) (F(3)∧G(2,3)) ∨ (F(2))∧G(3,2)) (1∧1) ∨ (0∧1) 1
26
例5.4的解答
（3） xyL(x,y) (L(2,2)∨L(2,3)) ∧ (L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0) ∧ (0∨1) 1
在一阶逻辑中，有些命题可以有不同的符号化形式。 例如：没有不犯错误的人
令 M(x):x是人。 F(x):x犯错误。 则将上述命题的符号化有以下两种正确形式： (1) ┐x(M(x)∧┐F(x)) (2) x(M(x)→F(x))
我们称(1)和(2)是等值的。
3
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永
代替规则：设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的 所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部 分不变，设所得公式为A'，则A'A。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换 规则形式上完全相同，只是在这里A，B是一 阶逻辑公式。

x本科数理逻辑一阶逻辑与集合4-6

x本科数理逻辑一阶逻辑与集合4-6

例4： 前提∀x F(x)∨∀x G(x)) 结论 ∀x （F(x)∨ G(x)) 可用反证法 例5: 前提∀x (F(x)∨G(x)) , ∀x （F(x)→ H(x)) 结论 ∀x ( ┑H(x) → G(x)) 例6: 前提∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) → L(x,y)) ), ∀x（F(x)→ ∀y( H(y) → ┑L(x,y)) ) 结论 ∀x (G(x) → ┑H(x)) 作业：第五章
三、集合的幂集
1、 n个元素集合A的m元子集 集合A的所有子集个数 2．幂集 定义5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝{ x | x ⊆ A } 注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合A一定有二个平凡子集 ：Ø 和 A 例：设 S＝｛a,{a}, Ø ｝ 求P(S) 3、对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明 A ⊆ B 的充要条件是P（A）⊆ P（B）
例:判断真假
1) a ∈{ {a}} 2){a}∈{ {a}}
例:设S＝｛2，a,{3},4｝ R={ {a},3,4,1 }判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6){Ø} ∈ R 7） Ø ⊆ {a} 8) Ø ⊆ ｛{a}｝⊆R ⊆E
A(y)= ∃x P(x,y)：x>y 若用x取代y 成为 ∀x∃x P(x,x)：x>x错误结论 3) 存在量词引入规则(简称EG规则或EG) A(c ) ⇒ ∃xA(x) 该式成立的条件是： (1) c是特定的个体常项； (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过； 4) 存在量词消去规则(简记为EI规则或EI) ∃x A(x) ⇒ A(c) 该式成立的条件是： (1)c是使A为真的特定的个体常项；（有时可能仅有一个） (2) c不在A(x)中出现； (3)若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现的个体变 项，此规则不能使用． 如：设F(x):x为奇数 G(x)：为偶数 ∃xF(x)∧∃xG(x) 可推出假的结论

数理逻辑课件 第6节 一阶逻辑等值演算与推理定律

数理逻辑课件 第6节 一阶逻辑等值演算与推理定律

x(F(x,y,z)tG(x,t,z))
换名规则
xt(F(x,y,z)G(x,t,z)) 式 或者
辖域扩张等值
x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,u,z)yG(x,y,z))
代替规则
xy(F(x,u,z)G(x,y,z)) 式
辖域扩张等值
•13/30
实例
例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) xy(F(x)G(y))
解: 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 式 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值
置换 置换
•11/30
实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值. (2) 不是所有的人都爱看电影
(2) 量词否定等值式
① xA(x) xA(x)
② xA(x) xA(x)
•6/30
一阶逻辑基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式
A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的出现.
关于全称量词的：
① x(A(x)B) xA(x)B
② x(A(x)B) xA(x)B
③ x(A(x)B) xA(x)B
解: xy(F(x)G(y)) y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
•20/30

5一阶逻辑等值演算与推理

5一阶逻辑等值演算与推理
(1)置换规则 置换规则 是含公式A的命题公式 是用公式B 设φ(A)是含公式 的命题公式, φ(B)是用公式 是含公式 的命题公式, 是用公式 置换了中所有A后得到的命题公式 后得到的命题公式, 置换了中所有 后得到的命题公式,若AB , 则φ(A) φ(B) . 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例. 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例.
14
5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
19
5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.

一阶逻辑等值演算与ppt课件

一阶逻辑等值演算与ppt课件
取解释I：个体域为自然数集合N；
〔1〕取F〔x〕：x是奇数，替代A〔x〕； 取G〔x〕：x是偶数，替代B〔x〕。
那么x〔F〔x〕∨G〔x〕〕为真命题，
而xF〔x〕∨ xG〔x〕为假命题。
两边不等值。
;
例5.2
证 明
〔2〕x〔A〔x〕∧B〔x〕〕 <≠> xA〔x〕∧xB〔
x〕
x〔F〔x〕∧G〔x〕〕：有些x既是奇数又是偶数为 假命题；
〔x〕〕 〔2〕┐x〔F〔x〕→G〔x〕〕 x〔F〔x〕∧┐G
〔x〕〕 〔3〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕→H〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧┐H〔x,y〕〕 〔4〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧L〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕→┐L〔x,y〕〕
;
例5.5的证明
〔1〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F 〔x〕〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x┐〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔┐M〔x〕∨┐F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F〔x〕〕
而xF〔x〕∧xG〔x〕：有些x是奇数并且有些x是 偶数为真命题。
两边不等值。
阐明 全称量词“〞对“∨〞无分配律。 存在量词“〞对“∧〞无分配律。
当B〔x〕换成没有x呈现的B时，那么有
x〔A〔x〕∨B〕 xA〔x〕∨B
x〔A〔x〕∧B〕 xA〔x〕∧B
;
例5.3—消去量词
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
〔双
〔2〕F〔x〕→G〔y〕 ┐F〔x〕∨G〔y〕 〔蕴 涵等值式〕
〔3〕x〔F〔x〕→G〔y〕〕→ zH〔z〕
┐〔x〔F〔x〕→G〔y〕〕∨zH〔z〕
〔蕴涵等值式〕
;
消去量词等值式

第五章 一阶逻辑推理

第五章 一阶逻辑推理

5.3 一阶逻辑的推理理论
定义5.3 自然推理系统F定义如下： 1字母表 同一阶语言P的字母表 2合式公式 同P的合式公式 3推理规则 （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则 （4）假言推理规则 （5）附加规则 （6）化简规则
（7）拒取式规则
例5.2 证明 （1）x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x) （2） x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x)
例5.3
设个体域为D={a,b,c}，将下面公 式的量词消去 (1)x(F(x)G(x)) (2)x(F(x)yG(y)) (3)xyF(x、y)
设d为个体域?d中所有的x都有性质f?d中有的x有性质f?对d中所有的x而言如果x有性质fx就有性质g?d中有的x有性质f的同时有性质g?对于d中所有的xy而言如果x有性质fy有性质g则x与y就有关系h?对于d中所有的x而言如果x有性质f就存在就存在y有性质g使得x与y就有关系h?存在着d中x有性质f并且对d中所有的y果果则与而言如果y有性质g则x与y就有关系h?人都生活在地球上?有的人长着黑头发?并不是所有的实数都能表示成分数?没有能表示成分数的无理数将下列命题符号化?任意的偶数x与y都有公约数?存在奇数x与y没有公约数?说所有的火车比所有的汽车都快是不对的?说有的火车比所有的汽车都快是正确的引例苏格拉底三段论?所有人的都是会死的?苏格拉底是人?所以苏格拉底是会死的第五章一阶逻辑等值演算与推理51一阶逻辑等值式与置换规则52一阶逻辑前束范式53一阶逻辑的推理理论引例?没有不犯错误的人
例5.5证明下列各等值式。 （1）x(M(x)F(x))x(Mx)F(x)) （2）x(F(x)G(x))x(F(x)G(x)) （3）xy(F(x)G(y)H(x、

一阶逻辑等值演算与推理

一阶逻辑等值演算与推理
例： (x)(y)(z)(Q( x, y) R(z)), (y)(x)(Q( x, y) R( y))
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)

一阶逻辑等值演算

一阶逻辑等值演算

一阶逻辑等值演算Xiaocong ZHOUOct. 2010公式等值的含义 命题逻辑的重要等值式 一阶逻辑的重要等值式 一阶公式的前束范式 OUTLINE1 2 3 4A与B等值，记为A ⇔B−如果对任意的解释及任意的个体变量指派函数下，A和B都具有相同的真值公式A和B等值当且仅当公式A ↔B是永真式命题逻辑所有基本等值式在一阶逻辑的替换实例都是一阶逻辑等值式−命题逻辑中永真式的替换实例也是一阶逻辑公式的永真式没有真值表方法，只有利用等值演算判断两个公式是否等值。

零律 A ∧0 ⇔0同一律 A ∧1 ⇔A矛盾律 A ∧¬A ⇔0 排中律 A ∨¬A ⇔1A ∨1 ⇔1 A ∨0 ⇔A德摩根律：¬(A ∧B) ⇔¬A ∨¬B, ¬(A ∨B) ⇔¬A ∧¬B 吸收律：A ∧(A ∨B) ⇔A, A ∨(A ∧B) ⇔A初学者容易记错下列等值式：关于蕴涵和等价的等值式：蕴涵等值式 A →B ⇔¬A ∨B等价等值式 A ↔B ⇔(A →B) ∧(B →A)¬∀xA (x ) ⇔ ∃¬A (x ) ¬∃xA (x ) ⇔ ∀x ¬A (x )消去量词等值式：设个体域是有限集D = {a 1, a 2, · · · , a n }，则有：∀xA (x ) ⇔ A (a 1) ∧ A (a 2) ∧ · · · ∧ A (a n )∃xA (x ) ⇔ A (a 1) ∧ A (a 2) ∧ · · · ∧ A (a n )量词否定等值式：设A (x )是任意的含有自由变量x 的公式，则：量词分配等值式：设A (x ), B (x )是任意的含有自由变量x 的公式，则：∀x (A (x ) ∧ B (x )) ⇔ ∀xA (x ) ∧ ∀xB (x )∃x (A (x ) ∨ B (x )) ⇔ ∃xA (x ) ∨ ∃xB (x )全称量词对合取有分配律，存在量词对析取有分配律量词辖域扩张和收缩等值式− 设A (x )是任意的含有自由变量x 的公式，且x 不在B 中出现− 要求量词的指导变元符号x 不在公式B 中出现− 与蕴涵联结词有关的等值式中，当量词约束的是蕴涵前件时◦ 扩张和收缩量词时要改变量词：全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词∀x (A (x ) ∨ B ) ⇔ ∀xA (x ) ∨ B ∀x (A (x ) ∧ B ) ⇔ ∀xA (x ) ∧ B ∀x (A (x ) → B ) ⇔ ∃xA (x ) → B ∀x (B → A (x )) ⇔ B → ∀xA (x ) ∃x (A (x ) ∨ B ) ⇔ ∃xA (x ) ∨ B ∃x (A (x ) ∧ B ) ⇔ ∃xA (x ) ∧ B ∃x (A (x ) → B ) ⇔ ∀xA (x ) → B ∃x (B → A (x )) ⇔ B → ∃xA (x )前束范式(prenex normal form)−若一阶公式A具有形式：Q1x1Q2x2 ···Q k x k B◦其中Q i(1 ≤i ≤k)是量词符号∀或∃◦而B是不含量词的公式前束范式存在定理−一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式−与某个一阶公式等值的前束范式不惟一求与一阶公式等值的前束范式的一个启发式步骤−使用约束变量改名规则或自由变量替换规则使得一阶公式满足：◦每个变量符号要么约束出现，要么自由出现◦每个量词的指导变元互不相同−使用量词否定等值式将否定联结词放到量词的后面−使用量词辖域扩张等值式将量词放到所有命题逻辑联结词的前面在对公式使用等值演算进行变换时，应该注意：−在变换之前应分清楚公式中每个变量符号除作为指导变元之外的出现身份◦即是自由出现还是约束出现−每次对公式进行等值变换前后，各位置上出现的变量符号的身份应保持不变◦否则表明变换有错！−注意在将位于蕴涵前件的量词辖域扩张时，◦要改变量词符号，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词−在完全理解只有全称量词对合取分配、存在量词对析取分配的基础上◦才使用量词分配等值式求出与公式等值的形式更为简单的前束范式。

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第5章 一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式 5.2 一阶逻辑前束范式
5.3 一阶逻辑的推理理论
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5.1 一阶逻辑等值式
定义5.1
设A,B是一阶逻辑中的 任意两公式，若A B为永真
式，称A和B等值，记为AB，称AB 是等值式。
④ F(c) →G(c) ⑤ G(c)
⑥ xG(x)
⑤ +
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?能否将③④步与①②步互换。 注意：必须先消存在量词！
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.10 （习题23-1）
前提：x (F(x)→G(x)) ， x(F(x) H(x)) 结论： x(G(x) H(x ) )
Group 2: 由基本等值式生成的推理定律
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
（1） xA(x)∨ xB(x) x(A(x)∨B(x))
证明：
若xA(x)∨xB(x) 为1，即xA(x)为1，或xB(x) 为
则称A为前束范式。
例如:
xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x)) x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
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5.2一阶逻辑前束范式
例5.6 (P71) ：求如下公式的前束范式：
5.量词的交换
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) y xA(x,y)
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.3：设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词:
(1) x(F(x)G(x))
(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))
x(BA(x))BxA(x)
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5.1 一阶逻辑等值式
4.量词分配等值式
设A(x) 和B(x)都是包含自由变元x的谓词公式，则：
x(A(x) ∧B(x)) xA(x) ∧ xB(x) x(A(x)∨ B(x)) xA(x)∨ xB(x)
换名规则
将公式A中某量词的指导变元及其在辖域内的所有 约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体 变项, 其余部分不变, 记所得公式为A, 则AA。
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5.1 一阶逻辑等值式
例如：
xP(x) →Q(x) yP(y) →Q(x)
x (P(x,y) →Q(x,y) ) ∨P(x,z)
(2) x(F(x)yG(y))
xF(x)yG(y) 量词辖域收缩 (F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))
(3) xyF(x,y) x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c)) (F(c,a)F(c,b)F(c,c))
1，故x(A(x)∨B(x)) 为1。
找反例说明二者不等值
D ：正整数集合 A(x) ：x是奇数
B(x) ：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 等 值 式 和 前 束 范 式
Group 3:一阶逻辑的两个重言蕴含式 （2） x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧ xB(x) 证明： 若 x(A(x)∧B(x))为1，即至少有一个c∈D，使A(c) ∧
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5.1 一阶逻辑等值式
3.量词辖域收缩与扩张等值式 设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现 关于全称量词的：
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
关于存在量词的:
x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
3.存在量词引入规则(Existential Generalization， +)
A( c ) xA( x )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则 4.存在量词消去规则(Existential Identification， -)
xA( x ) A( c )
c是论域中的某个个体。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
例: 证明苏格拉底论证是有效的。 证明：
设F(x):x是人， G(x):x是要死的， a：苏格拉底 则格拉底论证符号化为： 前提： x(F(x) →G(x))， F(a) 结论：G(a)
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5.3 一阶逻辑的推理理论
一阶逻辑的推理定律
一 阶 逻 辑 推 理 理 论
Group 1: 命题逻辑推理定律的代换实例；
命题演算中的永真蕴涵式，以及由代入规则生成的永
真蕴涵式； （ P →Q）∧P Q （xP(x) → yE(y)） ∧ xP(x) yE(y)
t (P(t,y) →Q(t,y) ) ∨P(x,z)
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5.1 一阶逻辑等值式
3.自由变元的代替规则
一 阶 逻 辑 公 式 及 解 释
将公式A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A
中未曾使用过的个体变项符号代替，A中其余部分不 变，所得公式A’， 则AA。
刘芳
5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.9：在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：
前提： x(F(x) →G(x)) ， xF(x) 一 阶 逻 辑 推 理 理 论 结论： xG(x) 证明： ① xF(x) 前提引入 ① -
② F(c)
③ x(F(x) →G(x))
前提引入
③ ②④假言推理
基本等值式
Group 1.命题逻辑中基本等值式的代换实例


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P →Q ┐P ∨Q xP(x) → yE(y) ┐ xP(x) ∨ yE(y) x(P(x) → Q(x)) x (┐P (x) ∨ Q(x))
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5.1 一阶逻辑等值式
group2 1.消去量词等值式 • 对有限个体域D＝{a1,a2, …,an}中
xF(x) ∧ ┐xG(x) xF(x) ∨ ┐ xG(x)
定理5.1：(前束范式存在定理) 例5.7 (P73)
一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
1.推理的形式结构
一 阶 逻 辑 的 推 理 理 论
形式1： A1A2…AkB 形式2： 前提： A1, A2, … , Ak
B(c)为1，也就是A(c) 为1， B(c)为1，故 xA(x)∧ xB(x)为1。
找反例说明二者不等值


D ：正整数集合
A(x)：x是奇数； B(x)：x是偶数
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
1.全称量词消去规则(Universal Identification， - )
例5.11(习题21)
前提：┐x (F(x) H(x))， x( G(x)→H(x)) 结论： x(G(x) → ┐F(x ) )
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xA( x) A(c)
c是论域中的任意个体。
2Байду номын сангаас15-1-9
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5.3 一阶逻辑的推理理论
Group 4:量词的消去与引入规则
2.全称量词引入规则(Universal Generalization， + )
A(c) xA( x)
c是论域中的任意个体。
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5.1 一阶逻辑等值式
置换规则、换名规则、代替规则
1.置换规则
若AB, 则(A) (B).
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5.1 一阶逻辑等值式
2.换名规则
约束变元的换名依据
一个公式的约束变元可使用多个名称，具体符号 无关紧要，故可对约束变元进行换名。 例如：xP(x) yP(y)
xA(x) A(a1)∧A(a2)∧……∧A(an) xA(x) A(a1)∨A(a2)∨……∨A(an)
2.量词的否定等值式
（全称量词和存在量词之间的关系, A(x)是含x自由出现的公式）

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┐xA(x) x┐A(x) ┐ xA(x) x┐A(x)