证明两条线段相等的方法

数学篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28数学篇学思导引添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.证明：如图2所示，连接OR .因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .因为点R 为弧MN 的中点，所以有 MR =NR ，所以∠MOR =∠NOR .在△OPR 和△OQR 中，ìíîïïOP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于点S .求证：QR =MP.图3分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.证明：因为直径MN ⊥QR ，所以 MQ =MR （根据垂径定理），又因为 MQ =QP ，所以 MR = MR = PC ，所以 QR = MP ，所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案1.C ；2.A ；3.D ；4.D ；5.B ；6.0；7.≥-12；8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìíîx =36,y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．29。

证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。

平面几何定理总结1、证明两条线段相等的方法（1）全等三角形的对应边、对应角相等（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半（6）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半（7）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（8）直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方（9）平行四边形的对边相等（10）夹在两条平行线间的平行线段相等（11）矩形的对角线相等（12）菱形的四条边都相等（13）正方形的四条边相等、两条对角线相等（14）等腰梯形的两条对角线相等（15）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（16）经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰（17）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（18）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（19）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（20）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧（21）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等（22）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等（23）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（24）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦2、证明角相等的方法（1）同角或等角的补角相等（2）同角或等角的余角相等（3）两直线平行，同位角相等（4）两直线平行，内错角相等（5）两直线平行，同旁内角互补（6）等腰三角形的两个底角相等（7）平行四边形的对角相等（8）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（9）等腰梯形两底角相等（10）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（11）同弧或等弧所对的圆周角相等（12）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角（13）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等（14）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（15）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角（16）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603、证明平行的方法（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（2）同位角相等，两直线平行（3）内错角相等，两直线平行（4）同旁内角互补，两直线平行（5）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（6）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（7）如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（8）到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线4、证明垂直的方法（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（3）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（4）三角形两边a、b的平方和、等于第三边c的平方，则此三角形直角三角形（5）矩形的四个角都是直角（6）菱形的对角线互相垂直（7）正方形的四个角都是直角（8）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（9）半圆(或直径)所对的圆周角是直角（10）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（11）圆的切线垂直于经过切点的半径5、证明全等或相似的方法（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（4）有三边对应相等的两个三角形全等（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（6）关于某条直线对称的两个图形是全等形（7）关于中心对称的两个图形是全等的（8）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似（9）两角对应相等，两三角形相似（10）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（11）三边对应成比例，两三角形相似（12）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（13）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似6、有关比例的定理（1）比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc（2）合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b（4）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例（5）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例（6）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例（7）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（8）相似三角形周长的比等于相似比（9）相似三角形面积的比等于相似比的平方（10）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（11）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项（12）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（13）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等7、几何不等式（1）三角形两边的和大于第三边（2）三角形两边的差小于第三边（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。

6.利用角平分线的对称性。

例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。

7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。

证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

【基本模型】（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等. （二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等.（三）特殊四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰.（四）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（六）等量代换或线段运算：①等于同一线段的两条线段相等.②对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.③对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等.【典例分析】［例1］（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．求证：EF BC =.【点拨】利用全等三角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF∴AE=EF［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。

［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。

∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。

∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。

［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。

∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。

［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。

∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。

∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。

［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。

∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。

∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。

［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。

∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。

线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。

证明线段之间数量关系的技巧证明两线段相等★1.两全等三角形中对应边相等。

★2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形三线合一。

★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。

6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

2.*证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧证明两条直线互相垂直★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

★8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

★11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

★4.三角形的中位线平行于第三边。