解直角三角形的实际应用

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。

将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。

在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。

为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

专题7：解直角三角形的应用拥抱型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例1（2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A 处测得大楼顶部M的仰角是58︒，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22︒，已知斜i=（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，坡AB的坡度3:4︒≈︒≈）C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan220.4,tan58 1.6【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE 进行求解即可．【详解】过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E 、F ，90BEA BFN BFM MNA ∴∠=∠=∠=∠=︒∴四边形BENF 为矩形，,BE AN BF NE∴==设MN x =，在Rt ABE △中，斜坡AB 的坡度3:4i =，即34BE AE =，3sin 5BE BAE AB ∴∠==75AB =45,60BE AE ∴==45FN ∴=45MF x ∴=-在Rt AMN △中，tan ,58MN MAN MAN AN∠=∠=︒tan 58 1.6x AN∴︒=≈58AN x ∴≈5608NE AN AE x ∴=+=+在Rt BMF △中，tan ,22MF MBF MBF BF∠=∠=︒45tan 220.4x BF -∴︒=≈5(45)2BF x ∴≈-5560(45)82x x ∴+=-解得92x =，所以，大楼MN 的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．专题过关1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM ＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A 的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF 上的D 处看见飞机A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 、G 、C 、B 在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD ；（2）此时飞机的高度AB ，（结果保留根号）【答案】（1）（2）()90+米【解析】【分析】（1）先根据斜坡CF 的坡比=1：3，求出CG 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长即可；（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，BH=DG=30米，DH=BG ，证明AB=BC ，设AB=BC=x米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，解直角三角形得到30903x x -=+据此求解即可．【小问1详解】解：∵斜坡CF 的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，∴13DG CG =，∴90CG =米，∴CD ==米；【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则四边形BHDG 是矩形，∴BH=DG=30米，DH=BG ，∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，设AB=BC=x 米，则()30AH AB BH x =-=-米，()90DH BG CG BC x ==+=+米，在Rt △ADH 中，tan 3AH ADH DH ∠==，∴30903x x -=+，解得90x =+，∴()90AB =米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．3.（2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD 的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测“大玉米”顶端C 处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测“大玉米”底部D 处的俯角是30°．已知楼房AB 高约是162m ，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果≈1.41≈1.73）【答案】280米【解析】【分析】在Rt △ABD 中由边角关系求出AD 的长，在Rt △ACD 中，求出CD 即可．【详解】解：如图，由题意可知，∠CAD ＝45°，∠EBD ＝30°＝∠ADB ，AB ＝DE ＝162米，在Rt △ABD 中，∵tan30°AB AD=，∴AD 33==3，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝3≈280（米），答：“大玉米”的高约为280米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．4.（2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE ＝2.5m ，在平地上的B 处测得石碑的底部E 的仰角为10°，向前走1m 到达点D 处，测得石碑的顶端A 的仰角为60°，求石碑AE 的高度.（精确到0.1m ；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.183）【答案】石碑AE 的高度为19.8m【解析】【分析】在Rt BCE 中利用正切可求出BC 的长，从而得出CD 的长，再在Rt ACD △中利用正切即可求出AC 的长，进而可求出AE 的长．【详解】解：根据题意可知10EBC ∠=︒，60ADC ∠=︒，1m BD =．∵在Rt BCE 中，tan EC EBC BC∠=，∴ 2.5tan10BC ︒=，∴ 2.513.9m 0.18BC ≈≈，∴12.9m CD BC BD =-=．∵在Rt ACD △中，tan AC ADC CD ∠=，∴tan 6012.9AC ︒=，∴13.9tan 6012.912.9 1.22.37m 3AC =⨯︒=⨯≈⨯≈，∴22.3 2.519.8m AE AC EC =-=-=．答：石碑AE 的高度为19.8m ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．5.（2022河南二模）洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE 的高度为21m ，他们在测量点A （与C 在同一水平线上）测得底座最高点E 的仰角为20°，沿AC 方向前进24m 到达测量点B ，测得老子铜像顶部D 的仰角为60°．求老子铜像DE 的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈，1.73≈）【答案】老子铜像DE 的高约38.3米．【解析】【分析】在t R ACE △，由根据正切定义解得AC 的长，继而得到BC 的长，在t R BCD 中，由正切定义解得CD 的长，最后根据线段的和差解答．【详解】解：在t R ACE △tan 20,21CE CE AC ︒==2158.33tan 20AC ∴=≈︒24AB =58.32434.3BC ∴=-=在t tan 60CDR BCD BC︒=，tan 6034.359.34CD BC ∴=⋅︒=⨯59.342138.3DE CD CE ∴=-=-≈（米）答：老子铜像DE的高约38.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．6.（2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.41，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈4 3）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米【解析】【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM 的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1＝BMAM＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝12AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四边形BMEN 为矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME ，在Rt △ABM 中，∠BAM ＝30°，∴AM ＝cos302AB AB °==（米），∴ME ＝AM+AE ＝（）米=BN ，∵∠CBN ＝45°，∴CN ＝BN ＝（）米，∴CE ＝CN+NE ＝（）米，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝53°，AE ＝21米，∴DE ＝AE•tan53°≈21×43＝28（米），∴CD ＝CE ﹣DE ＝﹣28＝2≈6.7（米），即广告牌CD 的高度约为6.7米．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．7.（2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G 信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD ）恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得信号柱顶端A 的仰角为30°，在C 处测得信号柱顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB 的长度．（结果保留根号）【答案】信号柱AB 的长度为12)+米【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，由锐角三角函数定义定义求出CH 、DH 、HG ，设BC x =米，再由锐角三角函数定义求出BG ，然后列出方程，解方程即可．【详解】（方法一）解：过点D 作DE BC ⊥交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH AB ⊥交AB 于点H ，又AB BC ⊥，则四边形BEDH 为矩形，在Rt DCE V 中，1260CD DCE =∠=︒，，6CE DE ∴==，，=BH DE ∴=在Rt ABC △中，45ACB =︒∠，∴设==AB BC x ，(6)DH BE BC CE x ∴==++，(AH AB BH x ∴=-=+，在Rt ADH 中，30ADH ∠=︒，3tan 303AH DH ∴︒==，63x x -∴=+，解得：12)x =+．答：信号柱AB的长度为12)+米．（方法二）解：延长AD 交BC 的延长线于G ，过D 作DH BG ⊥于H ，在Rt DHC △中，60,12DCH CD ∠=︒=米，则cos 12cos 606CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），sin 12sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=（米），,30DH BG G ⊥∠=︒，18tan 33DH HG G ∴===（米），24CG CH HG ∴=+=（米），设AB x =米，,30,45AB BG G BCA ⊥∠=︒∠=︒，,3tan 33AB BC x BG G ∴====（米），BG BC CG -=，324x -=，解得：312x =+，答：信号柱AB 的长度为312)+米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【分析】由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，因为tan ∠BDA＝，可求出AD ，又由tan30°＝，可求出CD ，即得到答案．【解答】解：由题意可知AB ＝24米，∠BDA ＝53°，∴tan ∠BDA＝＝＝1.33，∴AD＝≈18.05．∵tan ∠CAD ＝tan30°＝＝＝，∴CD ＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．9.（2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B 处安置测倾器，于点A 处测得路灯MN 顶端的仰角为10︒，再沿BN 方向前进10米，到达点D 处，于点C 处测得路灯PQ 顶端的仰角为27︒．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，sin 270.45︒=，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）【答案】路灯的高度为13.4m ．【解析】【分析】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F ，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2；在Rt △AFM 中求得 1.2tan10x FA -=︒，即可得 1.22tan10x AE -=︒；在Rt △CEP 中，可得1.2tan 27 1.22tan1001x x -︒=--︒，由此即可求得路灯的高度为13.4m ．【详解】延长AC 交PQ 于点E ，交MN 于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN ，设路灯的高度为xm ，则MN=PQ=xm ，MF=PE=x-1.2，在Rt △AFM 中，∠MAF=10°，MF=x-1.2，tan MF MAF FA ∠=，∴ 1.2tan10x FA -︒=，∴ 1.2tan10x FA -=︒，∴11 1.2 1.222tan102tan10x x AE AF --==⋅=︒︒；∴CE=AE-AC= 1.22tan10x -︒-10，在Rt △CEP 中，∠PCE=27°，CE= 1.22tan10x -︒-10，tan PE PCE CE∠=，∴1.2tan27 1.22tan11xx-︒=--︒，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．答：路灯的高度为13.4m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD ＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【答案】（8+4）m．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，即这棵古树的高AB为（8+4）m．12.（2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到12≈1.414，3≈=1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【解析】【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程353x x -=+，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+x ＝7+≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A 处起飞，沿直线飞行120米至点B ，在此处测得楼基A 的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C ，在此处测得楼顶D 的俯角为30°，请计算万楼主楼AD 的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．【答案】万楼主楼AD 的高度约为52米．【分析】由题意可得在Rt △ABE 中和Rt △CDE 中，AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ，根据解直角三角形在在Rt △ABE 中，可计算出BE 和AE 的长度，在Rt △CDE 中，可计算出AD 的长度，由AD ＝AE ﹣AD 计算即可得出答案．【解答】解：由题意可得，在Rt △ABE 中，∵AB ＝120米，∠ABE ＝60°，∴BE ＝＝＝60（米），AE ＝sin60°•AB ＝（米），在Rt △CDE 中，∵∠DCE ＝30°，CE ＝BE+CB ＝60+30＝90（米），∴DE ＝tan30°•CE ＝＝30（米），∴AD ＝AE ﹣AD ＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD 的高度约为52米．14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．（结果保留小数点后一位）1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）【答案】4.9m【解析】【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．【详解】根据题意有AC=30m ，AB=10m ，∠C=90°，则BC=AC -AB=30-10=20，在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-⨯-⨯=o 故广告牌DE 的高度为4.9m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．。

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。

解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米， 多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图， 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速 度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的 抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。

解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。

直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。

本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。

通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。

例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。

在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。

直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。

通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。

然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。

通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。

四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。

例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。

通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。

例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。

通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。

通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。

这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 D，BF⊥CD 于点 F. ∵CD⊥AD， ∴四边形 BEDF 是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE. 在 Rt△ABE 中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设 BE＝5x，AE＝12x， 根据勾股定理，得 AB＝13x， ∴13x＝52.
解得 x＝4. ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48. ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24. ∴在 Rt△CBF 中， CF＝FB·tan ∠CBF≈24×43＝32. ∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52. 答：大楼的高度 CD 约为 52 米．
图形演变 2：
3．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶 端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角α是 45°，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i＝1∶ 3，则大楼 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)( D )
又∵BC＝221，即 CD＋BD＝221， ∴0.85x＋0.53x＝221， 解得 x≈160. 答：AB 的长约为 160 m.
模型 2 母子型(在三角形外部作高)
模型分析： 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边 是解题的关键．
等量关系： 在 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共边，AD＋DC＝AC. 图形演变 1：
2．如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC， BC.测得 BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据， 求 AB 的长．(结果取整数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60)

(2)“母子”型 模型 已知三角形中的两角(∠1 和∠2)及其中一边， 模型分 在三角形外边作高 BC，构造两个直角三角形求 析 解，以高 BC 为桥梁是解题的关键
3.(成都中考)越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极 落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面 的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的 仰角∠MBC＝33°，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 ∠MEC＝45°(点 A，D 与 N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度 MN 的长．(结 果精确到 1 米，参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)
ME x＋25 5 公楼 AB 的高度约为 20 米
(2)一般梯形模型 模型
模型 过较短的底 AD 作梯形的两条高 AE 和 DF，构造一个长方 分析 形和两个直角三角形，分别解两个直角三角形再加减求解
7.某轮滑特色学校准备建立一个如图①的轮滑技巧设施，从侧面看如图②，横 截面为梯形，高 1 米，AD 长为 2 米，坡道 AB 的坡度为 1∶1.5，DC 的坡度为 1∶2.
＋40 3 .∴小山 BC 的高度为(10＋40 3 )米
模型二：四边形模型 (1)直角梯形模型
模型
模型 过较短的底 AB 作直角梯形的高 BE，构造一个矩形和一
分析
个直角三角形，先解直角三角形再加减求解
6.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时， 办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45°时，办公 楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离(点 B，F，C 在一条直线上).求办 公楼 AB 的高度．(参考数据：sin 22°≈25 ，cos 22°≈1156 ，tan 22°≈25 )

解直角三角形的实际应用题的解题步骤一、引言在数学中，直角三角形是研究的重要对象之一，其特殊的性质和广泛的应用使其成为数学学习中的重要内容。

解直角三角形的实际应用题，是数学知识与实际问题相结合的体现，也是数学运用能力的考验。

在本文中，我们将探讨解直角三角形的实际应用题的解题步骤，希望能帮助读者更深入地理解这一内容。

二、实际应用题的解题步骤1. 理解问题解题的第一步是要充分理解问题。

在解直角三角形的实际应用题时，我们需要明确问题的背景和要求，理解其中涉及的相关知识点。

如果题目是要求求解某个角的值或某条边的长度，我们需要明确所给信息和要求，以便有针对性地进行求解。

2. 标注已知量和未知量解题的第二步是要标注已知量和未知量。

在直角三角形中，我们通常会遇到三边、三角或边角关系的已知量和未知量，标注清楚有助于我们更清晰地把握问题的本质。

通过标注已知量和未知量，我们可以更好地运用三角函数关系进行求解。

3. 应用三角函数关系接下来，我们需要应用三角函数关系进行求解。

根据已知量和未知量的不同组合，我们可以选择使用正弦、余弦或正切等三角函数来建立方程，然后通过解方程来求解未知量。

这一步需要我们熟练掌握三角函数的性质和运用技巧，以便准确地进行计算和推导。

4. 检验和解答问题我们需要检验和解答问题。

在求解过程中，我们得到的答案可能是角的大小或边的长度，需要通过检验来验证我们的答案是否符合题意。

在解答问题时，我们也需要根据问题的要求给出完整的答案和解释，以便清晰地呈现解题过程和结果。

三、个人观点和总结解直角三角形的实际应用题需要我们熟练掌握三角函数的运用和技巧，也需要我们对实际问题有较强的理解和分析能力。

在解题过程中，我们要善于应用已知信息，创造性地建立方程，以及正确地运用三角函数关系，才能得到准确的答案。

通过解直角三角形的实际应用题，我们不仅能够巩固数学知识，还能培养解决实际问题的能力，这对我们的学习和生活都具有重要意义。

题型十一 解直角三角形的实际应用1．(2019·锦州)如图，某学校体育场看台的顶端C 到地面的垂直距离CD 为2 m ，看台所在斜坡CM 的坡比i ＝1∶3，在点C 处测得旗杆顶点A 的仰角为30°，在点M 处测得旗杆顶点A 的仰角为60°，且B ，M ，D 三点在同一水平线上，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如图，延长AC 交BD 的延长线于点H ，则∠H ＝∠ACE ＝30°，则∠MAC ＝∠AMB－∠H ＝30°，∴AM ＝MH ，∵i ＝1∶3，则MD ＝3CD ＝6 m ，在Rt △CDH 中，DH ＝CD tan 30°＝23，∴MH ＝6＋2 3.在Rt △ABH 中，AB ＝AM·sin 60°＝33＋3≈8.2.答：旗杆AB 的高度约为8.2 m .2．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°.已知BC ＝60 m ，且B 、C 、E 在同一条直线上，山坡的坡比为1∶2.求此人所在位置点P 的铅直高度(即PE 的长，结果保留根号)．解：如图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，又∵AB ⊥BC 于点B ，∴四边形BEPF 是矩形，∴PE ＝BF ，PF ＝BE ，∵在Rt △ABC 中，BC ＝60米，∠ACB ＝60°，∴AB ＝BC·tan 60°＝603(米)，设PE ＝x 米，则BF ＝PE ＝x 米，∵在Rt △PCE 中，tan ∠PCE ＝PE CE ＝12，∴CE ＝2x 米，∵在Rt △PAF 中，∠APF ＝45°，∴AF ＝AB －BF ＝603－x ，PF ＝BE ＝BC ＋CE ＝60＋2x ，又∵AF ＝PF ，∴603－x ＝60＋2x ，解得：x ＝203－20，答：此人所在的位置点P 的铅直高度为(203－20)米．3．(2019·甘肃)为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm ～300 mm (含300 mm )，高度的范围是120 mm ～150 mm (含150 mm )．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB ＝CD ，AC ＝900 mm ，∠ACD ＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1 mm ，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423)解：如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB ＝CD ，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠ABD ，AC ＝BD ，∵∠C ＝65°，AC ＝900，∴∠ABD ＝65°，BD ＝900，∴BM ＝BD·cos 65°≈900×0.423≈381，DM ＝BD·sin 65°≈900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．4．(2019·铁岭)如图，聪聪想在自己家的窗口A 处测量对面建筑物CD 的高度，他首先量出窗口A 到地面的距离(AB 长)为16米，又测得从A 处到建筑物底部C 的俯角α为30°，看建筑物顶部D 的仰角β为53°，且AB ，CD 都与地面垂直，点A ，B ，C ，D 在同一平面内．(1)求AB 与CD 之间的距离(结果保留根号)；(2)求建筑物CD 的高度(精确到1 m )．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3，3≈1.7)解：(1)如图，过点A 作AM ⊥CD 于点M ，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CMA ＝90°，∴四边形ABCM 为矩形，∴AM ＝BC ，CM ＝AB ＝16，在Rt △ACM 中，∵CM ＝16，α＝30°，∴tan ∠CAM ＝CM AM ，∴AM ＝16tan 30°＝163，答：AB 与CD 之间的距离为163米；(2)在Rt △ADM 中，∵tan ∠DAM ＝DM AM，∴DM ＝AM·tan ∠DAM ≈163×1.3≈35.4，∴DC ＝DM ＋CM ≈51(米)，答：建筑物CD 的高度约为51米．5.(2019·连云港)如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．(结果保留根号)(参考数据：sin 37°＝cos 53°≈35，cos 37°＝sin 53°≈45，tan 37°≈34，tan 76°≈4)解：(1)在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－37°－53°＝90°.在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，∴AC ＝AB·sin 37°＝25×35＝15(海里)． 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ，由题意易知，D ，C ，M 在一条直线上．在Rt △AMC 中，CM ＝AC·sin ∠CAM ≈15×45＝12，AM ＝AC ·cos ∠CAM ≈15×35＝9. 在Rt △AMD 中，tan ∠DAM ＝DM AM，∴DM ＝AM·tan 76°≈9×4＝36， ∴AD ＝AM 2＋DM 2＝92＋362＝917，CD ＝DM －CM ＝36－12＝24.设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有2416＝917x ，解得x ＝617. 经检验，x ＝617是原方程的解．答：当缉私艇的速度为617 海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．6．(2019·宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32 cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60 cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15 cm .(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80 cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)解：(1)如图，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC＋BE＝60＋15＝75 cm，∴EM＝EC sin∠BCM＝75×sin64°≈67.5(cm)，67.5＋32≈99.5(cm)．答：坐垫E到地面的高度约为99.5 cm；(2)如图所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝E′Hsin∠ECH＝64sin64°≈71.1，∴EE′＝CE－CE′≈75－71.1＝3.9(cm)．∴EE′的长约为3.9 cm.。

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水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
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2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
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续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
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(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
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例2
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解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
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计算结果必须根据 题目要求进行保留.
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方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.

专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。

2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。

得起点 B 的仰角为 40°.斜坡 CD 的坡度为 i＝1∶2.4，底端点 C 与顶端
点 D 的距离为 26 m．参赛运动员们将从点 A 出发乘车沿水平方向行驶 100
m 到达点 C 处，再沿斜坡 CD 行驶至点 D 处，最后乘垂直于水平方向的电
梯到达点 B 处，则电梯 BD 的高度约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos
结
BD＝AB
CD＝EA，BD＋DA＝BA AD＋CE＋FB＝AB
1．(2021·南岸区校级期中)如图，某大楼 AB 正前方有一栋小楼 ED，小
明从大楼顶端 A 测得小楼顶端 E 的俯角为 45°，从大楼底端 B 测得小楼
顶端 E 的仰角为 24°，小楼底端 D 到大楼前梯坎 BC 的底端 C 有 90 m，
在坡比为 5∶12 的山坡上走了 1 300 m，此时小明看山顶的角度为 60°，
则山高为
( B)
A．(600－250 5)m
B．(600 3－250)m
C．(350＋350 3)m
D．500 3 m
6．(2021·重庆一中三模)如图，小欢同学为了测量建筑物 AB 的高度，
从建筑物底端点 B 出发，经过一段坡度 i＝1∶2.4 的斜坡，到达 C 点，
则高楼 AB 的高度为(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan
22°≈0.40)
(D)
A．60 m
B．70 m
C．80 m
D．90 m
4．如图，斜坡 AB 长 20 m，其坡度 i＝1∶0.75，BC⊥AC，斜坡 AB 正前
方一座建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告，小明在点 B 测得广告顶部 M 点
梯坎 BC 长 65 m，梯坎 BC 的坡度 i＝1∶2.4，则大楼 AB 的高度为(结果

解直角三角形的应用利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形．【例题】【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ．【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除．在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x xx 的一个较大的根?求CD 的长．【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求：(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力．练习巩固1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=34,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图,旗杆AB,在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D 处测得A 的仰角为45°,则旗杆的高为 ．4．上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处,从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根,且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0,则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根,且tanA —tanB=2,求p 、q 的值．8．如图,某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆,测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°,在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米,则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CBD ＝30,则DCAD = ．10．如图,正方形ABCD 中,N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC,则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中,AB=26-,BC=2,△ABC 的面积为l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c,且c a =,若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图,△ABC 为等腰直角三角形,若AD=31AC,CE=31BC,则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 上一点,AE ⊥AF,点E 在CB 的延长线上,EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时,△AEF 的面积为10,问当tan ∠DAF=32时,△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示；如果测D、C间距离,用n表示；如果测角,用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．。

考点二十四解直角三角形的实际应用【命题趋势】在中考中，锐角三角形函数主要选择题、填空题，解答题考查为主，难度系数低。

【中考考查重点】解直角三角形的实际应用1.解一个直角三角形2.背靠背型3.母子型考点解直角三角形的实际应用1．（2021秋•包河区期末）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．16.5米B．（10+1.5）米C．（15+1.5）米D．（15+1.5）米2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.353．（2021秋•历城区期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（）A．B．C．D．4．（2021秋•汉寿县期末）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD（办公楼AB与建筑物CD均垂直于地面BCF），当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物CD的墙上留下的影子CE＝2米，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F 与墙角C有25米的距离（点B，F，C在同一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，）5．（2021秋•淇县期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AC 的长度为（）A．6m B．m C．9m D．m16．（2021秋•莱芜区期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝5m，斜坡BC的坡比为5：12，则斜坡BC＝（）A．13m B．8m C．18m D．12m 6．（2021秋•龙口市期末）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】7．（2021秋•汝阳县期末）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米8．（2021•钦州模拟）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）A．15海里B．（15﹣15）海里C．（15﹣15）海里D．15海里9．（2021秋•成武县期中）如图在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行半小时后到达C处，在C 处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．30海里B．20海里C．20海里D．30海里1．（2021秋•历下区期末）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DP A为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（）（参考数据：≈1.7，≈1.4）．A．2.0千米B．1.5千米C．2.5千米D．3.5千米2．（2021秋•盐湖区期末）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．（40+40）海里D．（40+40）海里3．（2021秋•柯城区期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度最接近（）（参考数据：≈1.73，≈2.24）A．5.2m B．6m C．6.7m D．9m4．（2021秋•通州区期末）如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB 和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m5．（2021秋•安居区期末）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．206．（2021秋•临淄区期末）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）7．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C 处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）1．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°2．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米3．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米（结果保留根号）．4．（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）5．（2021•黔西南州）如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是m．6．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．7．（2019•潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）1．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α，则楼房AB的高为（）A．35sinα米B．35tanα米C．米D．米2．（2021•南山区校级二模）如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（）（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）A．74米B．80米C．84米D．98米3．（2021•长春模拟）如图，建筑工地划出了三角形安全区△ABC，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C 点，则点A与点B相距（）（tan53°≈）A．B．C．D．130m 4．（2021•松北区三模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（）A．米B．3米C．（3﹣）米D．（3﹣）米5．（2021•河南模拟）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）6．（2021•九江模拟）如图1是甘棠湖上的一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道AB的坡度tan A＝，斜道CD的坡度tan D＝，得湖宽AD＝76米，AB＝10米，CD＝12米，已知所在圆的圆心O在AD上．（1）分别求点B，C到直线AD的距离；（2）求的长．7．（2021•九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D 处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D 处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）。