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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。
解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。
解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =33033023233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++i dz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()ii i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
第三章 复变函数的积分（一）1.解:)10(≤≤=x x y 为从点0到1+i 的直线方程,于是⎰⎰+++-=+-iCyi x d ix y x dz ix y x 1022)()()(⎰⎰+=++-=12102)1()()(dx x i i ix x d ix x x31013)1(3i x i --=⋅-= 2.解:(1)11,:≤≤-=x x z C ,因此111==⎰⎰-Cdx x dz z (2)θi e z C =:,θ从π变到0,因此200===⎰⎰⎰πθπθθd e i de dz z i Ci(3)下半圆周方程为πθπθ2,≤≤=i e z ,则202===⎰⎰⎰πθππθθd ie i de dz z i Ci3.证明:(1)11,0:≤≤-=y x C因为1)(222≤=+=iy i y x z f ,而积分路径长为2)(=--i i 故2)()(2222≤+=+⎰⎰-iiCdz iy x dz iy x .(2) 0,1:22≥=+x y x C而1)(4422≤+=+=y x iy x z f ,右半圆周长为π, 所以π≤+⎰-iidz iy x )(22.4.解:(1)因为距离原点最近的奇点2π±=z ,在单位圆1≤z 的外部,所以zcos 1在1≤z 上处处解析,由柯西积分定理得 0cos =⎰C z dz.(2)1)1(122122++=++z z z ,因奇点i z +-=1在单位圆1≤z 的外部, 所以2212++z z 在1≤z 上处处解析,由柯西积分定理得 0222=++⎰Cz z dz.(3) )3)(2(652++=++z z e z z e zz ,因奇点3,2--=z 在单位圆1≤z 的外部, 所以652++z z e z在1≤z 上处处解析,由柯西积分定理得0652=++⎰Cz z z dze .(4)因为2cos z z 在1≤z 上处处解析, 由柯西积分定理得 0cos 2=⎰Cdz z z .5.解:(1)因2)2()(+=z z f 在z 平面上解析,且3)2(3+z 为其一原函数,所以3223)2()2(3222ii z dz z i-=-+-+=+⎰+--(2)设t i z )2(+=π,可得dt e e e e i dt i t i dz z t i t t i t i)(22)2)(22cos(2cos 1010220⎰⎰⎰--+++=++=ππππππ 1-+=e e 6.解:220(281)az z dz π++⎰=2320243|a z z z π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=3322281623a a a πππ++ 7.证明:由于)(),(z g z f 在单连通区域D 内解析,所以])()([),()('z g z f z g z f 在D 内解析,且)()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='仍解析,所以)()(z g z f 是)()()()(z g z f z g z f '+'的一个原函数.从而⎰='+'βααβ)]()([)]()()()([z g z f dz z g z f z g z f 因此得⎰⎰'-='βαβααβdz z g z f z g z f dz z g z f )()()]()([)()(.8.证明：||1||1,02z dzz z ==∴=+⎰设,i i z e dz ie d θθθ==⇒2222(cos sin )[(cos 2)sin ]0(cos 2)sin 2i i i d i i d e eθππθθθθθθθθθ-+-==+++⎰⎰=202sin (12cos )54cos i d πθθθθ-+++⎰于是2012cos 0,54cos d πθθθ+=+⎰故012cos 054cos d πθθθ+=+⎰.9.解:(1)因为12)(2+-=z z z f 在2≤z 上是解析的,且21≤∈=z z ,根据柯西公式得i z z i dz z z z z z ππ4)12(21121222=+-=-+-=≤⎰(2)可令12)(2+-=z z z f ,则由导数的积分表达式得i z f i dz z z z z z ππ6)(2)1(121222='=-+-==⎰ 10.解:(1)若C 不含±z=1，则201zdzz π=-⎰csin4(2)若C 含z=1但不含有z=-1,则222122zdzi i z ππ=⋅=-⎰csin4(3)若C 含有z=-1,但不含 z=1,则：221zdzi z π=-⎰csin4 (4)若C 含有1z =±,则2111sin ()12411c zdzz dz z z z ππ=---+⎰⎰csin42222i i π=+= 11.证明: θθθθθπθθπθθ⎰⎰⎰-=++=+20sin cos 20sin cos )()sin (cos sin cos id e e i d i e dz z e i i C z ⎰⋅+-=πθθθθθ20cos cos )cos(sin )sin(sin d ie e再利用柯西积分公式 i d e dz z e C C z πξξξ20=-=⎰⎰则⎰=πθπθθ20cos 2)cos(sin d e ,由于)cos(sin cos θθe 关于πθ=对称,因此⎰=πθπθθ0cos )cos(sin d e12.解:令173)(2++=ξξξϕ,则 )173(2)(2)()(2++⋅==-=⎰z z i z i d zz f C πϕπξξξϕ 则 )76(2)(+='z i z f π因此 )166(2)766(2)1(i i i i f +-=++=+'ππ 13.证明:利用结论:)(z f 在D 内单叶解析,则有0)(≠'z f由题知,))((:b t a t z z C ≤≤=为D 内光滑曲线,由光滑曲线的定义有 1)C 为若尔当曲线,即21t t ≠时,)()(21t z t z ≠; 2)0)(≠'t z ,且连续于[a,b]要证Γ为光滑曲线,只须验证以上两条即可.而在)(z f w =的变换下, C 的象曲线下的参数方程为 ))](([)(:b t a t z f t w w ≤≤==Γ1) 因21t t ≠时,)()(21t z t z ≠,又因)(z f 在D 内单叶解析,所以当21t t ≠时,)()(21z f z f ≠.因此当21t t ≠时,有)()(21t w t w ≠.2) 因为0)(≠'t z 且连续于[a,b],又因0)(≠'z f ,则由解析函数的无穷可微性知)(z f ''在D 内也存在,所以)(z f '在D 内也连续,则由复合函数求导法则0)()()(≠''='t z z f t w ,且连续于[a,b].14.证明:由上题知C 和Γ均为光滑曲线,因)(w Φ沿Γ连续以及)(),(z f z f ''在包含C 的区域D 内解析,因此)()]([z f z f 'Φ也连续,故公式中的两端积分存在.则dt t z t z f t z f dz z f z f Cba)())(())](([)()]([''Φ='Φ⎰⎰⎰⎰ΓΦ='Φ=badw w dt t w t w )()()]([15.证明:应用刘维尔定理,因)(z f 恒大于一正的常数,则)(1z f 必恒小于一正的常数,则)(1z f 为常数,故)(z f 为常数. 16.解:(1)因为 22u x xy y =+-,所以有 22x y u x y v x y =+⇒=+22()2y v xy c x ⇒=++2()2x y v y c x u y x '⇒=+=-=-2()()2x x x c x D '⇒=-⇒=-+c2222()()(2)22y x f z x xy y xy D i ⇒=+-++-+由已知12Di D ⇒+⇒=i f(i)=-1+i -1+i=-1+222221()()(2)222y x f z x xy y i xy ⇒=+-++-+(2)由C R -条件,coy e y y y x e u v x x x y +-==)sin cos (,则 ⎰+-=dy coy e y y e y xe v x x x )sin cos ( ⎰-+=ydy y e y e y xe x x x sin sin sin )(cos sin x y y e y xe x x ϕ++= 又因x y v u -=,故))(cos sin sin (cos sin sin x y e y xe y e y y e y e y e x x x x x x Φ'+++-=---即C x x =Φ=Φ')(,0)(,故)cos sin ()sin cos ()(C y y e y xe i y y y x e z f x x x +++-=又因,0)0(=f 故00)0(=⇒==C iC f ,所以)cos sin ()sin cos ()(y y e y xe i y y y x e z f x x x ++-= (3) 由C R -条件, 222)(2y x xyv u x y +=-=,所以⎰++-=+=)()(222222x yx xdy y x xy u ϕ 又因x y u v =,故y xy x yx y x x )()()(2222'+='+'+-ϕ,即0)(='x ϕ. 所以C x =)(ϕ,故2222)(yx y i C y x x z f ++++-= 又因为0)2(=f ,所以21=C ,故 222221)(yx yi y x x z f ++++-= 17.证明：设222()4()4()x y f z u iv f z u v '=+⇒=+2()f z =22u v +，2()22y x f z uu vv x∂=+∂2222222()2222x x x x f z u uu v vv x∂=+++∂同理可得：2222222()2222y y y y f z u uu v vv y ∂=+++∂ 于是结合C R -条件及,u v 为调和函数可得：22222222222()()4()2()2()x x x y x y f z u v u u u v v v x y∂∂+=+++++∂∂=4（22x x u v +）=42()f z '18.证明: )(z f 在D 内解析,则)(z f '在D 内也解析.已知0)(≠'z f ,则)(ln z f '在D 内解析,于是其实部)(ln z f '为D 内的调和函数.19.解: ⎰-==zz i z k dz z v z f 022)()( 势函数和流函数分别为 kxy y x =),(ϕ)(2),(22y x ky x --=ϕ故势线和流线为双曲线.20.解:根据流量和环量的定义来计算i y x y x xyy x y x y x z z f 22222222222224)1(24)1(111)(+---+----=-= 环量 04)1(24)1(111222222222222=+---+----=Γ⎰dy y x y x xydx y x y x y x C C 流量为04)1(24)1(11222222222222=+--++----⎰dx y x y x xy dy y x y x y x C 同理,在32,C C 处也为0.（二） 1.答:)(z f 不必需要在0=z 解析,如zz f 1)(=在0=z 处不解析. 2.解:若沿负实轴]0,(-∞隔开z 平面,z 就能分成两个单值解析分支,即 )1,0,arg ()(22arg =<<-=+k z ez z k z ik πππ(1) 在πθθ≤≤=0,:1i e z C 上, z 取主值支.这时(1)式中argz 代换为0,=k θ,则2θie z =,故i zdz C 221+-=⎰.(2) 在πθθ≤≤=-0,:2i e z C 上,z 取主值支.这时(1)式中argz 代换为0,=-k θ,则i zdz C 222--=⎰.3.证明:利用积分估值定理及三角不等式212112111≤-+≤-+=-+z z z z且由积分估值定理有π811≤-+⎰Cdz z z 4.证明:因为sz e z f =)(在单连通区域z 平面上解析,则 ττ⎰=-bas as bs d se e e由积分估值定理有a b M d se bas -≤⎰ττ其中M 可由ττστσττ⋅+⋅≤⋅⋅=⋅=⋅=),max()(b a it t it s s e s e e s e s e s se 得出. 5. 解:设i z e α=,1c 为0到1的直线段,2c 为1到z 的圆弧，则由柯西积分定理12222111C dz dz dzc c z z z =++++⎰⎰⎰=1220011i i dx ied xe θαθθ+++⎰⎰=214C dz RE z π=+⎰6.解:z e z f z sin )(=在圆周a z =内解析,故其积分值与路径无关,只与起点终点有关,而积分路径为封闭的圆周,故⎰=Cz zdz e 0sin因此,原式=⎰⎰⎰==-CCCz a adz zdz e dz z 22sin π7.证明：因为()f z 在||1z ≤上连续，所以()f z 在||1z ≤一致连续，因此0ε∀>，0δ∃>，使当11r δ-<<时均有|()()|,2i i f e f re θθεπ-<(02)θπ<< 于是：||1||1||1|()||()()|z z z r f z dz f z dz f z dz r====-⎰⎰⎰ 22001|()()|i i i i f e ie d f re rie d r ππθθθθθθ=-⎰⎰ 20|()()|i i f e f re d πθθθε≤-<⎰所以||1()0z f z dz ==⎰.8.证明:首先由题设积分⎰rK dz z f )(存在,应用积分估值定理.r r M dz z f rK π2)()(⋅≤⎰而由题设(3)0)(lim =⋅+∞→r r M r ,故得证.9.证明:(1)参见教材(3.16)式的证明.因为)(z f 在点0=z 的邻域内连续,则对0ε∀>，0δ∃>,0=∈∀z z 的邻域,有 ε<-)0()(f z f 所以⎰⎰-=-πθπθθθπθ2020))0()(()0(2)(d f d re f f d re f i i⎰⎰=<-≤ππθπεθεθθ20202)0()(d d f d re f i故 )0(2)(lim 0f d re f i r πθθ=→(2)取(1)中的0=a ,再利用圆周的参数方程化简(1)中等式左端即证. 10.证明:||111[2()]()2z dzz f z i z z π=±+⎰ =2||112()()()]2z f z f z f z dz i z z π=±±⎰ =2(0)(0)2(0)f f f ''±=±11.证明:由题设,)(z f '在D 内含C 之单连通区域内解析, ⎰⎰'≤'=-babadz z f dz z f a f b f )()()()(考虑到)(z f '在有界闭集C 上的连续性,必存在点C ∈ξ,使得)(ξf '是)(z f ' 在C 上的最大值.⎰⎰-'≤'babaa b f dz z f )()(ξ由上得 a b f a f b f -'≤-)()()(ξ如果C ∈∀η,都有0)(='ηf ,则沿C ,0)(≡'z f ,于是沿C ,)(z f 为常数,故)()(a f b f =,题中等式成立.如果存在C ∈ξ使0)(≠'ξf ,且是)(z f '在C 上的最大值,则可令))(()()(a b f a f b f -'-=ξλ,则题中等式成立.12.证明:取圆周1<=ρz由于)(z f 在1<z 内解析,故知)(z f 在ρ≤z 上解析,且有ρ-=-≤1111)(z z f 由柯西不等式,知 )1(!)(!)0()(ρρρρ-=≤nnn n M n f 对于ρ在(0,1)上,当1+=n n ρ时,)1(ρρ-n 取最大值)11()1(nn n n n +-+ 于是得)1(!ρρ-nn 的最小值为n n n n )1()!1(++,当∞→n 时e n n n 1)1(→+ 所以有 )0()(n f 的估值为e n f n )!1()0()(+≤. 13.证明:由柯西不等式n n RR M n a f )(!)()(≤,其中 ,2,1,)(m ax )(===-n z f R M R a z 可知 ⎰⎰==⋅≤='1212)(21)(21)0(z z dz zz f dz z z f i f ππ1112112=≤⎰=z dz π14.证明:应用反证法假设满足R z >且M z f >)(的z 不存在,则必存在某正数M R ,,使得对于任意的z ,R z >时, M z f ≤)(,又由)(z f 的连续性.则当R z ≤时, )(z f 必有最大值,设其为1M ,令{}10,m ax M M M =,则在∞<z 时有0)(M z f ≤,于是得到)(z f 在全平面上是有界的,则由刘维尔定理, )(z f 必为常数,与题矛盾,假设错误.15.解:由22()(4)2(),v x y x xy y x y μ+=-++-+得22(4)()(24)2x x v x xy y x y x y μ+=+++-+-=223362x y xy -+-两式相加并结合C R -条件得：22332x x y μ=--从而 323232,32x y x x v y x y y μ=--=-+-故 322332(32)f x y x x i x y y y =--+--16.解:在D 内,由条件(1),(2)已知满足柯西积分公式的条件,故得在D 内 )()(21z f z f =在C 上,由条件(3)知)()(21z f z f =故综合得在C D D +=上有)()(21z f z f =.。
