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2024年高考数学必考知识点总结一、函数与方程1. 一次函数与二次函数- 函数定义与函数图像- 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等- 一次函数的表示与性质- 二次函数的表示与性质：顶点坐标、对称轴等- 一次函数与二次函数的图像变换2. 指数与对数- 指数与对数的性质：乘法规则、除法规则、幂次规则、换底公式等- 指数函数与对数函数的图像与性质- 指数方程与对数方程的解法3. 三角函数- 常用角的定义：正弦、余弦、正切、余切等- 三角函数的周期性与对称性- 三角函数的图像变换- 三角函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等- 三角函数的主要公式与应用4. 线性方程组- 线性方程组的解的判定方法与解法- 线性方程组的应用问题二、平面几何1. 直线与曲线- 直线与平面的位置关系：平行、垂直等- 直线与曲线的交点问题- 直线方程与曲线方程的解法2. 三角形与四边形- 三角形的基本性质：内角和、外角和、中线定理、垂心、内心、外心、重心等- 三角形的判定方法- 三角形的相似与全等- 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等3. 圆与圆锥曲线- 圆的性质：弦长定理、弧长定理、切线定理等- 圆与直线、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质三、空间几何1. 空间几何基础- 点与向量的运算与性质- 平行四边形法则与向量共线性- 点、线、面的位置关系2. 空间直线与空间曲线- 空间直线的方程与性质- 空间曲线的参数方程与性质3. 空间几何体- 空间几何体的基本概念与性质：球、柱、锥、棱柱、棱锥等- 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的定义与性质：加法原理、乘法原理等- 事件的独立性与互斥性- 概率计算：古典概型、几何概型、条件概率等2. 统计与抽样- 数据的分布：频数分布与频率分布- 统计指标：平均数、中位数、众数等- 抽样与样本调查- 点估计与区间估计3. 随机变量与概率分布- 随机变量的基本概念与性质- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布等- 期望、方差、标准差的计算与应用以上是____年高考数学必考的知识点总结，希望可以帮助你更好地准备高考。
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2。
选修1--1：重点：高考占30分。
1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。
选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。
理科：选修2—1、2—2、2—3。
选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。
高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论整理人：余河洛特别说明：（49—52和57—62为理科内容，文科生不作要求） 1.U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆I U2.若{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=,则Ａ的子集有2n 个,真子集有2n －1个,非空真子集有2n －2个..3.函数的的单调性： (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.4.函数()y f x =的图象的对称性:①()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=；②()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=；③()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()()()()02=-++⇔--=⇔x a f x a f x a f x f ，()y f x =的图象关于点(,)a b 对称⇔()()()()b x a f x a f x a f b x f 222=-++⇔--=.5.两个函数的图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称； ②函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称； ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-； ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--；⑤函数)(x f y =和函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称.6.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+ 7.（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=++a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, T=2a ； (3))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(4))()()-(a x f x f a x f +-=，则)(x f 的周期T=6a. 8.①b N N a a b=⇔=log ； ②()N M MN a a a log log log +=；③N M N M a a alog log log -=； ④log log m n a a nb b m=.(a>0,a ≠1) 9.对数的换底公式:log log log m a m N N a=. (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).对数恒等式:log a Na N =.10.①等差数列{}n a 的通项公式:()d n a a n 11-+=,或d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=⇔.②前n 项和公式: 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 11.对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+(m 、n 、p 、q 为正整数)，则q p m n a a a a +=+.12.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列,其公差d k D 2=，如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. 13．数列{}n a 是等差数列⇔n a kn b =+；数列{}n a 是等差数列⇔n S =2An Bn +.14.若等差数列{}n a 和{}n b 的前12-n 项的和分别为12-n S 和 12-n T ，则1212--=n n n n T S b a . 15.①等比数列{}n a 的通项公式:nn n q qa qa a ⋅==-111；或m n m n m n m n a a q q a a =⇔=--.②前n 项和公式:11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.16.（1）对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+(n 、m 、u 、v 为正整数)，则v u m n a a a a ⋅=⋅.（2）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和且q ≠-1，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列，其公比为kq Q =.. 17.裂项法：①()11111+-=+n n n n ； ②()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋅=+-1211212112121n n n n ；③()11b a ba b a --=+ ；④()()! 11! 1! 1+-=+n n n n .18.（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤|sin ||cos |1x x +≥.19.①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin （Z k k ∈+≠,2ππθ）；②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ= ).20.①αααcos sin 22sin =.②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.(3)221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. 21.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-（正切倍角公式）.22.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+.23.①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).24.tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈.. 25.三角形面积公式：①111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）；②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=（4）2,2a b c S r r a b c ∆∆∆+==++斜边内切圆直角内切圆－ 26.在△ABC 中，有①()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+；②B A b a sin sin >⇔>（注意是在ABC ∆中）.27.向量的平行与垂直： 设=11(,)x y ,=22(,)x y ，且≠，则①∥⇔=λ12210x y x y ⇔-=；② ⊥ (≠)⇔·=012120x x y y ⇔+=.28.若OA xOB yOB =+u u u r u u u r u u u r，则A 、B 、C 共线的充要条件是1=+y x .29.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则其重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 30. 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r.31.常用不等式：(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥222b a ab +≤⇔(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．(2),a b R +∈⇒2a b +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔b a ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．(3) abc c b a 3333≥++⇔33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取“=”号)．(4)b a b a b a +≤±≤-,(注意等号成立的条件).（5）22ab a b a b +≤≤≤+当且仅当a ＝b 时取“=”号)。
高考数学知识点公式总结数学作为一门理科学科，对于高中阶段的学生来说，可能是其中最具挑战性的一门课程。
而在高考中，数学科目的考试分值往往较高，所以对于考生来说，熟练掌握数学的知识点和公式是非常重要的。
本文将对一些重要的数学知识点和公式进行总结和归纳。
1. 代数与函数在高考数学中，代数与函数是非常重要的一块内容。
代数中的基本运算法则是学习代数的基础，如加减乘除法则、等式与方程的性质等。
同时需要掌握的还有函数的概念、函数的性质、函数的图像、函数的变化规律等。
2. 平面几何平面几何是高考数学中的重要内容之一。
在平面几何中，需要掌握直线、角、三角形、四边形、圆的性质和计算等。
特别是在解决几何问题时，需要灵活运用各种几何定理和推理。
3. 立体几何立体几何也是高考数学中的重要内容。
掌握空间几何图形的性质、立体几何的计算和推理方法是解答立体几何问题的关键。
此外，需要特别注意立体几何和平面几何相结合的题型，这是高考中经常出现的难点。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的实用分支。
在高考中，概率与统计的考查往往涉及到实际问题的分析与解决。
需要熟悉概率的基本概念、概率计算的方法和统计的基本概念、统计数据的处理等。
接下来，我们将对一些具体的数学知识点和公式进行总结和归纳。
1. 二次函数的顶点坐标公式：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）来说，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=c-b²/4a。
2. 三角函数的基本关系：三角函数中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们之间有一些基本的关系，如sin²θ+cos²θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等。
3. 圆的相关公式：圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的方程为（x-a）²+(y-b)²=r²。
同时，圆的弧长公式为L=2πr，圆的面积公式为A=πr²。
4. 空间几何中的体积公式：长方体的体积公式为V=a·b·c，正方体的体积公式为V=a³，圆柱体的体积公式为V=πr²h等。
理科高考数学必考知识点归纳理科高考数学是高中数学教育的重要组成部分，其知识点广泛而深入，涵盖了代数、几何、概率统计、函数等多个领域。
以下是理科高考数学必考知识点的归纳：1. 代数基础：包括实数、复数、指数和对数运算，以及代数式的简化和因式分解。
2. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、分式方程、不等式的基本解法，以及高次方程和线性方程组的解法。
3. 函数：函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、函数的图像，包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数。
4. 导数与微分：导数的定义、几何意义、基本导数公式，以及微分的概念和应用。
5. 积分：不定积分和定积分的概念、性质、计算方法，以及积分在几何和物理中的应用。
6. 三角函数：三角函数的定义、图像、性质，包括正弦、余弦、正切等函数，以及和差化积、积化和差等恒等变换。
7. 解析几何：包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程，以及它们的性质和位置关系。
8. 立体几何：空间直线与平面的位置关系，多面体和旋转体的体积和表面积的计算。
9. 概率与统计：随机事件的概率、条件概率、独立事件，以及统计数据的收集、描述和分析。
10. 数列：数列的概念、通项公式、求和公式，包括等差数列和等比数列。
11. 组合与排列：组合数和排列数的计算，以及二项式定理的应用。
12. 不等式证明：基本不等式的应用，如柯西不等式、詹森不等式等，以及不等式的证明方法。
13. 极限：极限的概念、性质和计算方法，以及无穷小量的比较。
14. 级数：级数的概念、收敛性判断，包括等差级数和等比级数。
15. 矩阵与行列式：矩阵的运算、行列式的性质和计算，以及线性方程组的矩阵表示。
16. 函数的极值与最值问题：利用导数研究函数的极值，以及实际问题中的最值问题求解。
17. 复数：复数的运算、性质、复平面上的表示，以及复数在几何和代数中的应用。
理科高考数学的复习是一个系统性的过程，需要对每个知识点进行深入理解和大量练习。
高考数学推论知识点总结数学是高考中最具挑战性和决定性的科目之一。
在高中阶段，学生们会学习许多推论，这些推论在解决问题中起到关键作用。
本文将总结高考数学中的一些重要推论知识点，帮助同学们更好地备考。
一、三角函数推论1. 同角三角函数关系在解三角函数题目时，我们经常需要使用相互之间的关系。
例如，正弦函数和余弦函数关系为：sinθ = cos(90° - θ)。
这个推论在解决角度变化问题时非常有用。
2. 三角函数的周期性正弦、余弦和正切函数都是周期性函数。
在计算角度时，我们可以利用周期性来简化计算。
例如，sin(θ + 360°) = sinθ，这意味着一个角度加上一个完整的周期后，正弦值保持不变。
二、数列与数列极限推论1. 数列的通项公式在求解数列时，通项公式起到了至关重要的作用。
通项公式是数列中每一项和项数之间的关系式。
学会寻找通项公式可以更快地求解数列中的任意项。
2. 数列极限的性质当数列的项数趋于无穷大时，数列的极限可以帮助我们了解数列的趋势。
比如，如果一个数列的极限趋近于0，并且当项数无穷大时数列递增，那么该数列可以认为是收敛于0的正项数列。
三、平面几何推论1. 同位角性质当两条直线被一条直线所截时，同位角是非常重要的性质之一。
如果两直线分别与截线形成的内角互补，那么这两条直线是平行的。
2. 弧长、扇形和面积关系对于一个圆，我们有以下推论：弧长和圆心角之间的关系为：弧长= （圆心角/360°）×（2πr），其中r是半径。
这个推论在计算扇形的面积和弧长时非常有用。
四、概率统计推论1. 条件概率条件概率是指在某个条件下发生某个事件的概率。
例如，事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以表示为P(A|B)。
条件概率可以帮助我们更准确地计算复杂事件的概率。
2. 期望值和方差在概率统计中，期望值和方差是重要的概念。
期望值可以帮助我们计算一个随机变量的平均值，而方差则表示了这个随机变量取值的波动性。
高中数学必背公式与结论一、集合：1.元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个. 3.集合的运算：（1）交集：由所有属于A 且属于B 的元素组成的集合，}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。
（2）并集：由所有属于A 或属于B 的元素组成的集合，}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或。
（3）补集：若S A ⊆，S 中所有不属于A 的元素组成的集合，}|{A x S x x A C S ∉∈=且。
4.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.5.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=二、简易逻辑：1.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题：（1）原命题：若p 则q ； （2）逆命题：若q 则p ；（3）否命题：若p ⌝则q ⌝； （4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝。
2.两个命题的等价关系：（1）原命题与其逆否命题同真同假； （2）逆命题与原命题的否命题同真同假． 四个命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 3.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.利用真值表判断复合命题的真假：5.命题的否定：对命题的结论否定。
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。
三、函数：1.判断同一函数的依据：两个函数当且仅当定义域和对应关系完全相同时为同一函数。
2.函数的定义域：即求使函数式)(x f 有意义的一切实数x 的集合，主要依据有：（1）分式的分母不能为零： （2）偶次根式被开方数非负：（3）0的0次幂无意义，0的负实数次幂无意义：（4）在对数形式中，真数大于0，底数大于0且不等于1（指数类似）： （5）正切函数定义域不能取2ππ+k （Z ∈k ），余切函数定义域不能取πk （Z ∈k ）。
高考理科数学158个知识点高考是每个学生都会经历的一次考试，对于理科生来说，数学是必考科目之一。
数学作为一门学科，内容庞大且涵盖广泛。
下面简单罗列了高考理科数学的158个知识点，供同学们参考学习。
1. 数列与数列的概念2. 等差数列的性质与求和公式3. 等比数列的性质与求和公式4. 联立方程与应用5. 一次函数与函数的概念6. 函数与函数的图像7. 二次函数与一元二次方程8. 三角函数与基本变换9. 同角三角函数与变换10. 平面向量的概念与性质11. 向量的运算与应用12. 空间几何基本概念13. 点、直线和平面的相交性质14. 解析几何基本概念与方程15. 立体几何的基本概念与性质16. 立体几何的平行性质与判定17. 空间向量运算的应用18. 几何推理与证明19. 几何画图与证明20. 三角比的性质与公式21. 三角函数的图像与变换22. 三角函数的基本性质与方程23. 三角函数的综合运用24. 三角恒等式的证明与应用25. 三角函数的图像与变换26. 三角函数的基本性质与方程27. 三角函数的综合运用28. 平面向量的基本概念与线性运算29. 平面向量的数量积与运算性质30. 平面向量的投影与夹角31. 平面向量的位置关系与证明32. 空间向量的基本概念与线性运算33. 平面向量的数量积与运算性质34. 空间向量的投影与夹角35. 空间向量的位置关系与证明36. 数学归纳法与递推关系37. 数列极限的定义与性质38. 数列极限的判断与计算39. 数列极限的应用与证明40. 函数的极限基本概念41. 函数的极限运算法则42. 函数极限的应用与证明43. 一元函数与一元函数的概念44. 函数与函数的图像45. 函数的奇偶性与周期性46. 函数的复合与反函数47. 一元函数的极值与最值48. 一元函数的单调性与变化率49. 一元函数的应用与证明50. 二次函数与一元二次方程51. 幂函数与指数函数52. 对数函数与指数方程53. 三角函数与三角方程54. 反比例函数与反比例方程55. 一元函数的综合应用与证明56. 求解与运算57. 解直线方程与运算58. 解一元一次方程组59. 解二元一次方程组60. 解非线性方程与运算61. 解代数方程与应用62. 二次函数与二次方程63. 几何方程与应用64. 复数的基本概念与运算法则65. 复数的几何意义与性质66. 复数方程与应用67. 导数的定义与性质68. 导数的基本运算法则69. 导数与函数的图像70. 导数与函数的极值与最值71. 导数与函数的单调性与变化率72. 高阶导数与高阶导数运算73. 函数的求导法与运算74. 隐函数与参数方程求导75. 函数的导数与应用76. 积分的概念与性质77. 不定积分与不定积分的计算78. 定积分的概念与性质79. 定积分的计算与应用80. 积分中值定理与不等式81. 微积分定理与应用82. 典型函数的导函数与原函数83. 可导函数的应用与证明84. 函数的导数与微分方程85. 曲线与弧长的计算与应用86. 空间的坐标与方向余弦87. 直线方程与直线的基本性质88. 平面方程与平面的基本性质89. 平面与平面的位置关系与相交性质90. 空间向量的基本概念与性质91. 空间向量的坐标运算与数量积92. 空间向量的垂直运算与夹角93. 空间向量的投影与线性运算94. 空间基本图形的性质与等距变换95. 空间坐标定位与证明96. 空间向量与线距离的应用97. 空间向量与面积体积的计算98. 空间向量与曲线方程的关系99. 空间立体图形与方程100. 空间几何的证明与应用101. 三角比的概念与性质102. 三角函数的诱导公式103. 三角函数的图像与变换104. 三角函数的奇偶性与周期性105. 三角函数的单调性与变化率106. 三角函数的综合运用与证明107. 三角恒等式的证明与应用108. 三角函数的和角、差角与倍角109. 三角函数在第一、二象限的值110. 三角函数在第三、四象限的值111. 三角函数与方程的综合运用112. 平面数形结构的性质与判断113. 几何推理与证明基本方法114. 几何图形的相似性质与判定115. 几何图形的全等性质与判定116. 几何图形的对称性质与判定117. 几何图的合成、拆分等应用118. 几何平面图形的坐标运算119. 几何平面图形与不等式证明120. 几何平面图形与证明综合运用121. 平面向量的坐标运算与数量积122. 三角函数与向量的夹角123. 向量的投影与垂直运算124. 平面向量的位置关系与证明125. 平面向量与线距离的应用126. 平面向量与面积的运算与应用127. 平面向量与曲线方程的应用128. 立体图形的视图与展开图129. 立体图形的线、面与实物的关系130. 立体图形的表面积与体积计算131. 立体图形的旋转与相似变换132. 立体几何的位置关系与证明133. 几何证明与几何构造134. 不等式的性质与解法135. 一元二次不等式与方程组136. 绝对值与不等式的应用137. 分式函数的基本性质与应用138. 开方与不等式的综合运用139. 数列与数列的概念与性质140. 等差数列的性质与求和公式141. 平面几何图形的统计与分析142. 凸多边形的定义与性质143. 多面体的定义与性质144. 三角形的定义与性质145. 三角形的三线及特殊点146. 直角三角形的定义与性质147. 平行四边形的定义与性质148. 等腰三角形的定义与性质149. 等边三角形的定义与性质150. 二次函数的定义及性质151. 二次函数的图像与变换152. 二次函数的解析式与作图方法153. 二次函数的最值与单调性154. 二次函数的根与零点问题155. 二次函数的平移与旋转156. 二次函数的求解与方程组157. 二次函数与实际问题的应用158. 数学知识的积累与运用通过了解高考理科数学的158个知识点，可以帮助同学们清晰地掌握数学学科的核心概念和考点，更好地进行学习和备考。
2024年高考数学知识点归纳总结1. 函数与方程- 函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等- 初等函数与非初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等- 函数的图像与性质：平移、反射、缩放等- 一元二次方程：求解方法、解的性质、根与系数的关系等- 二元一次方程组：解的存在唯一性、解的判别、解的性质等2. 三角函数与解析几何- 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等- 三角函数的图像与性质：周期性、对称性、增减性等- 三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式等- 解析几何的基本概念：点、直线、平面、距离、角度等- 解析几何中的基本定理：垂直定理、平行定理、相交定理等3. 概率与统计- 随机事件与概率：样本空间、事件的概率、事件的运算等- 概率的计算方法：古典概型、几何概型、排列组合等- 离散型随机变量与概率分布：离散型随机变量、概率质量函数、期望、方差等- 正态分布与标准正态分布：正态分布的性质、标准化、概率计算等- 统计与抽样：样本、总体、样本统计量、抽样分布等4. 数列与数列极限- 数列的定义与性质：有界性、单调性、极限等- 等差数列与等比数列：通项公式、求和公式、递推公式等- 数列的极限：极限存在性、夹逼定理、单调有界准则等- 无穷级数与数列项数的关系：收敛性、发散性、级数求和等- 函数极限：无穷小与无穷大、连续性、导数等5. 导数与微分- 导数的定义与性质：导数的计算、导数与函数的关系、高阶导数等- 函数的极值与最值：驻点、强弱单调性、极值判定等- 导数的应用：函数与图像的性质、曲线的弧长、曲率、斜率等- 微分与中值定理：微分的定义、中值定理的应用、不等式等- 函数的逼近与泰勒展开：泰勒公式、泰勒展开、误差估计等通过对以上知识点的归纳总结可以发现，2024年高考数学考试的重点主要集中在函数与方程、三角函数与解析几何、概率与统计、数列与数列极限以及导数与微分等方面。
高考数学知识点总结及公式大全《高考数学知识点总结及公式大全》一、函数与方程1. 一次函数- 方程：y = ax + b- 直线的斜率公式：a = Δy / Δx- 直线的截距公式：b = y - ax2. 二次函数- 方程：y = ax^2 + bx + c- 抛物线的顶点坐标公式：(h, k) = (-b / (2a), c - b^2 / (4a))3. 三角函数- 正弦函数：y = sin(x)- 余弦函数：y = cos(x)- 正切函数：y = tan(x)- 三角函数间的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 14. 指数函数与对数函数- 指数函数：y = a^x- 对数函数：y = loga(x)- 对数运算法则：loga(m * n) = loga(m) + loga(n)5. 不等式- 线性不等式：ax + b > 0- 二次不等式：ax^2 + bx + c > 0二、解析几何1. 直线与曲线- 一次函数的图像是一条直线- 二次函数的图像是一个抛物线2. 二维坐标系- 直角坐标系：以x轴和y轴为基准构建的坐标系- 极坐标系：以原点O和角度θ为基准构建的坐标系3. 几何图形- 圆：由所有与一个点的距离相等的点所组成的图形- 圆柱体：由一个圆沿着一条平行于其平面的直线旋转一周形成的立体图形三、概率与统计1. 概率- 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)- 互斥事件：P(A ∩ B) = 0- 独立事件：P(A ∩ B) = P(A)P(B)2. 统计- 平均数：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n- 方差：Var(X) = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) / n - (A)^2- 标准差：σ = √[ (x1 - A)^2 + (x2 - A)^2 + ... + (xn - A)^2 / n ]四、解题技巧1. 代入法：将未知数用已知条件中的数进行代入，并求解方程。
高考数学必备知识点及公式总结高考数学是一门需要掌握一定的数学知识和公式的科目。
下面是高考数学常见的知识点及相关公式的总结。
一、函数与方程1.函数的定义与性质-函数的定义：对应关系、自变量、因变量、定义域、值域等。
-函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、极值点、对称轴等。
2.一次函数与二次函数- 一次函数的表达式：y = kx + b。
- 二次函数的表达式：y = ax² + bx + c。
-一次函数与二次函数的性质与图像：斜率、判别式、顶点、对称轴等。
3.指数函数与对数函数-指数函数：y=a^x，其中a>0且a≠1- 对数函数：y = logₐx，其中 a > 0 且a ≠ 1-指数函数与对数函数的性质：指数函数的增减性、对数函数的定义域等。
4.三角函数-基本三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-三角函数的基本关系：辅助角公式、三角恒等式等。
5.方程与不等式-方程的解的情况：无解、唯一解、无穷多解。
-一元二次方程的求解法：配方法、根的性质、韦达定理等。
-一元二次不等式的解集表示：区间表示、集合表示等。
二、空间几何与向量1.平面几何-平面上点与线的位置关系：点与直线的距离、点到线段的距离等。
-直线的方程：一般式、点斜式、两点式等。
-圆的方程：标准方程、一般方程等。
2.空间几何-空间中点与线的位置关系：点与直线的距离、点到线段的距离等。
-空间中直线的方程：点向式、两点式等。
-空间中平面的方程：一般式、点法式等。
3.向量的运算-向量的定义与性质：向量的模、方向、共线关系等。
-向量的加法与减法：平行四边形法则、三角形法则等。
-向量的数量积与向量积：数量积的定义与性质、向量积的定义与性质等。
4.空间向量的应用-点到直线的距离：点到直线的单位法向量与点的坐标的内积。
-直线与平面的位置关系：直线与平面的夹角等。
三、概率与统计1.随机事件与概率-随机事件的定义与性质：必然事件、不可能事件、事件的互斥与对立等。
新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。
以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。
通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
高考必考的数学知识点总结数学作为高中阶段的一门主要学科，对于我们来说非常重要。
高考考试中，数学占据了相当大的权重，因此，我们必须对数学知识点进行全面的总结和复习。
本文将系统地总结高考必考的数学知识点，以助你有效备考。
一、函数与方程1. 二次函数：二次函数是高考数学中的重要知识点，包括函数图像、顶点坐标、对称轴、零点等等。
2. 指数与对数：指数与对数也是常考的数学知识点，包括指数函数的性质、对数函数的性质、指数与对数方程等。
3. 三角函数：三角函数是高考数学中的重点内容，包括正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、性质和变换等。
4. 不等式与方程组：不等式与方程组是高考数学中的难点，包括一元一次不等式、二元一次方程等。
二、数学运算1. 多项式与配方法：多项式是高考中经常考察的内容，包括多项式的基本运算、因式分解、根与系数的关系等等。
2. 四则运算与分数：四则运算和分数是数学的基础知识，需要掌握加减乘除、分数化简等运算规则。
3. 向量与复数：向量与复数也是高考数学中重要的部分，包括向量的相加减、数量积、向量积以及复数的运算等。
4. 数列与数列的求和：数列是高考数学中的考点，包括等差数列、等比数列的性质和求和公式等等。
三、几何与空间1. 平面几何：平面几何是高考数学的基础，包括平面图形的性质、平面几何证明等。
2. 立体几何：立体几何也是高考数学中的重要内容，包括体积、表面积、空间几何等。
3. 相似与全等：相似与全等是高考数学中的重难点，包括相似三角形的性质、全等三角形的几何证明等。
4. 坐标几何：坐标几何是高考数学中常见的考点，包括平面直角坐标系、点、线、曲线方程等。
四、概率与统计1. 概率：概率是高考数学中的重点内容，包括事件、样本空间、概率计算等。
2. 统计与抽样：统计与抽样是高考数学中的难点，包括频数分布、中心倾向性度量、样本与总体等。
3. 核心与信度：核心与信度是高考数学中的重要知识点，包括集中趋势、离散程度、样本误差等。
高考数学必考知识点理在高考数学中，有一些知识点是必考的，掌握这些知识点对于考试成绩的提升非常关键。
下面将以不同的小节讨论这些必考知识点。
一、函数与方程函数与方程是高考数学中最为基础的内容之一。
首先要明确函数的概念，函数是一种关系，它将一个自变量对应到一个因变量上。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数等。
在方程的解法上，要掌握一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等常见类型的解法。
此外，还要了解绝对值方程、分式方程以及含有根号的方程的解法。
二、数列与数学归纳法数列是数学中重要的内容，它可以用来描述一组有规律的数字排列。
高考中经常会考察等差数列、等比数列以及用递推公式求数列通项的方法。
在解题时，可以运用数学归纳法来证明数列的性质或结论。
数学归纳法是一种推理方法，通过证明当n=k时结论成立，并推导当n=k+1时结论也成立，从而证明结论对于一切自然数成立。
三、平面几何平面几何是高考中的重点内容，要掌握角的概念、角的性质以及各种角的计算方法，如相交线间的夹角、平行线与交线之间的角、角的平分线等。
此外，还要熟悉平面图形的性质，如三角形的角、边关系、判定三角形相似的方法、四边形的性质等。
这些知识点在解题时经常会涉及到，掌握好平面几何的知识对于解题有很大的帮助。
四、概率与统计概率与统计是数学中的实际应用部分，也是高考必考的内容。
在概率方面，要了解事件的概率、条件概率、互斥事件、独立事件等基本概念，并且熟悉计算这些概率的方法。
在统计方面，要学会对数据进行整理和分析，掌握频率表、频率分布直方图、平均数、中位数、众数等统计量的求解方法。
此外，还要了解抽样调查的基本原则和方法。
五、解析几何解析几何是高考数学中较为复杂的内容之一。
要掌握坐标系的建立及其性质，了解曲线方程的表达形式，掌握直线和曲线的基本性质。
在解题时，要灵活运用直线的斜率、截距以及两点式方程等知识，解决直线的方程、位置关系等问题。
对于曲线方程，要熟悉椭圆、双曲线、抛物线的基本性质和方程的求解方法。
两小时数学高考知识点全扫描集合● 包含关系A B A A B B =⇔= B A ⊂⇔● 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.二次函数，二次方程● 方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件● 闭区间上函数的最值只能在0)(='x f 处及区间的两端点处取得。
二次函数0)(2>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是 ⎩⎨⎧<->0402ac b a .简易逻辑●●●:否定一个含有量词(∀或)的命题,不但要改变量词(∀改为∃)，还要对量词后面的命题加以否定，但作用范围不变。
● 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数)(a mx f +与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. ()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.● 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.● 指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.● 对数的换底公式log log log m a m N N a=. 推论 log log m na a nb b m =.● 对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.● 设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.数列● 等差数列的通项公式11(1)()n a a n d dna d n N =+-=+-∈； ● 其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. ● 等比数列的通项公式111()n n n a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.● 分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). ● 数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩三角函数● 常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则s i nt a n x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1s i n c o s2x x <+≤(3) |sin ||1x x +≥.● 同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. ● 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).● 二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=- ● 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+的周期T πω=. ● 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===. ● 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-;● 面积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B === 向量.● a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． ● a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.● 向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b(b ≠0)12210x y x y ⇔-= a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.● 线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. ● 三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. ● 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心（中垂线）222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心（中线）0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心（高）OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心（角平分线）0aOA bOB cOC ⇔++=.不等式● 常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）柯西不等式 ))(()(2221222122211b b a a b a b a ++≤+，(当且仅当i i b a λ=时取“=”号)．（4）b a b a b a +≤+≤-.直线方程● 两条直线的平行和垂直 ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.两直线垂直的充要条件是 12120A AB B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B +=● 点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).圆● 直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x . （t 为参数）● 圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （θ为参数）椭圆● 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.（θ为参数）● 焦点三角形：P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，则三角形12PFF 的面积S=212tan ;2PF F b ∠∙特别地，若12,PF PF ⊥此三角形面积为2b ；● 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使12PF PF ⊥的条件是c≥b,即椭圆的离心率e 的范围是； 双曲线● 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值） 抛物线● 焦点与准线22(0),(,0),;44(0),(),;44a ay ax a x a aay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y ● 焦半径公式抛物线22(0)y p x p =>，C 00(,)x y 为抛物线上一点，焦半径02pCF x =+. ● 过抛物线px y 22=（p>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于211221212(,)(,),,4,1(4A x yB x y y y p x x p O =-=OA OB 则有即k .K =-为原点) 4,4/221-=⋅=⋅O B O A K k p x x 即。
高考数学必考知识点及公式总结是对某一特定时间段内的学习和工作生活等表现情况加以回顾和分析的一种书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律。
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最后祝各位考生高考顺利。
高考数学必考知识点及公式高考数学必考知识点1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h 为圆柱体高）2、圆锥体：表面积：πR2+πR[（h2+R2）的平方根]体积：πR2h/3（r为圆锥体低圆半径，h为其高，3、正方体a-边长，S=6a2，V=a34、长方体a-长，b-宽，c-高S=2（ab+ac+bc）V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积h-高，V=h（S1+S2+4S0）/69、圆柱r-底半径，h-高，C—底面周长S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径，r-内圆半径h-高V=πh（R^2-r^2）11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径，R-下底半径，h-高V=πh（R2+Rr+r2）/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径V=πh（3a2+h2）/6=πh2（3r-h）/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3（r12+r22）+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh（2D2+d2）/12，（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）/15（母线是抛物线形）高考数学必考公式知识点1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=（x-1）/（x+1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
2024高考数学知识点归纳总结一、集合与常用逻辑用语。
1. 集合。
- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。
- 集合间的关系：子集（包含、真包含）、相等集合的判定与性质。
- 集合的运算：交集、并集、补集的定义、性质和运算规则。
例如：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}，A∪ B={xx∈ A或x∈ B}，∁_U A={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）。
2. 常用逻辑用语。
- 命题：命题的概念（能判断真假的陈述句），命题的真假性判断。
- 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的相互关系（互为逆否命题同真同假）。
- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充要条件。
- 逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）的含义和真假判断规则。
例如：p∧ q为真当且仅当p真且q真；p∨ q为真当且仅当p真或q真；¬ p 的真假与p相反。
二、函数。
1. 函数的概念。
- 函数的定义：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
定义域是自变量x的取值范围；值域是函数值y = f(x)的取值集合；同一函数的判定（定义域和对应关系相同）。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1 < x_2时，都有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。
判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。
- 奇偶性：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)（或f(-x)=f(x)），那么函数y = f(x)是奇函数（或偶函数）。
高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。
复合函数导数：引入中间量内导乘外导□10 极值与最值 (1)判断极大、极小值的方法 当函数f (x )在点x 0处连续时①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)是极大值． ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)是极小值．[提醒] 1可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，x ＝0时就不是极值点，但f ′(0)＝0.2极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值．“在x 0处有f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x 0处取得极值”的必要不充分条件．3函数f (x )在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f (x )在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．(2)极值与最值的区别与联系 函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值②联系：(i)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； (ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． □11 定积分 (1)由定积分的定义可得定积分⎠⎛ab f (x )dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )dt ＝⎠⎛ab f (u )d u .(2)定积分满足性质：①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)；②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．[提醒] 1⎠⎛a b x m d x ＝1m ＋1x m ＋1⎪⎪ba (m ∈Q *)； 2⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪ba ； 3⎠⎛ab sin xdx ＝(－cos x )⎪⎪b a.□12 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商的关系：tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )．[提醒]1公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α等．2对“同角”的理解：只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α等都成立，但sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1就不一定成立． □13 三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限[提醒]“奇、偶”指的是π2的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n ·π2±α(n ∈Z )是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．□14 三角函数的图象变换 (1)y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．(2)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到y ＝sin ωx 的图象．(3)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y ＝A sin x 的图象．[提醒]1由y＝sin ωx的图象经过平移变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是|φω|.2函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．□15正弦、余弦、正切函数的奇偶性、周期性、对称性函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)，k∈Z 对称轴x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴最小正周期2π2ππ□16三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.(2)二倍角公式sin 2α＝2sinαcosα.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tanα1－tan2α.(3)降幂、升幂公式①降幂公式sin2α＝1－cos 2α2；cos2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.②升幂公式1＋cos α＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cosα2)2；1－sin α＝(sin α2－cosα2)2.(4)万能公式sin θ＝2tanθ21＋tan2θ2，cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2，tan θ＝2tanθ21－tan2θ2.□17正、余弦定理及其推论(1)正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)⇔a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C⇔a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.(3)三角形内角和定理在△ABC中，有A＋B＋C＝π⇔C＝π－(A＋B)⇔C2＝π2－A＋B2⇔2C＝2π－2(A＋B)．(4)三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C (A ，B ，C 是△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角)□18 平面向量 (1)平面向量共线的坐标表示的两种形式①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，此形式对任意向量a ，b (b ≠0)都适用．②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 2y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.需要注意的是可以利用x 1x 2＝y 1y 2来判定a ∥b ，但是反过来不一定成立．(2)向量法证明三点共线①对于OA →＝λ OB →＋μ OC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1，反之，也成立．②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线，则(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 2－x 1)(y 3－y 1)＝(x 3－x 1)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．同样地，当这些条件中有一个成立时，A ，B ，C 三点共线．(3)平面向量的数量积已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21 数量积 a·b ＝|a||b|cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2夹角cos θ＝a ·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22续 表结论几何表示 坐标表示 a ⊥b 的 充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a·b| 与|a||b| 的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21· x 22＋y 22(4)两向量的夹角与数量积设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 当θ＝0°时，cos θ＝1，a·b ＝|a||b|； 当θ为锐角时，cos θ>0，a·b >0； 当θ为直角时，cos θ＝0，a·b ＝0； 当θ为钝角时，cos θ<0，a·b <0； 当θ＝180°时，cos θ＝－1，a·b ＝－|a||b|. □19 等差数列与等比数列 (1)辨析两类特殊数列等差数列等比数列概念从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数的数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为0)的数列相同点①都强调每一项与它的前一项的关系； ②结果都必须是同一常数；③数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定 不同点①强调的关系为差；②首项a 1和公差d 可以为零； ③两数的等差中项唯一①强调的关系为比；②首项a 1和公比q 均不为零 ③如果两数有等比中项，则等比中项有两个(2)①等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，点(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．因此，当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． ②等比数列与指数函数的关系当q >0时，且q ≠1时等比数列的通项公式可以看作指数型函数．当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n ，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上．因此，当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列．(3)两数列前n 项和的函数特性①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .等差数列的前n 项和公式与函数的关系：由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 可得S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，设a ＝d 2，b ＝a 1－d2，则有S n＝an 2＋bn .当a ≠0(即d ≠0)时，由{a n }的前n 项和S n 组成的新数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是二次函数y ＝ax 2＋bx 图象上一系列孤立的点．②等比数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一群孤立的点．对于是常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一群孤立的点．□20 等差、等比数列的判断方法 (1)等差数列的判断方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法：a n ＝a 1＋(n －1)d (其中a 1，d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ③等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (2)等比数列的判断方法①定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．②等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．③通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[提醒] 判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n 项和公式法：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)，则数列{a n }是公比为q 的等比数列．但此方法不能用于证明一个数列是等比数列．□21 数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．(2)利用数列的单调性求解，由不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．(3)转化为关于n 的不等式组求解：若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后再确定取得最值的项．□22 不等式的性质 别名 性质内容注意 性质1 对称性 a >b ⇔b <a ； a <b ⇔b >a可逆 性质2 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ；a <b ，b <c ⇒a <c 同向 性质3可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c可逆□23 (1)分式不等式的解法分式不等式f （x ）g （x ）>0(或<0)的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解．f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）≠0，f （x ）·g （x ）≥0（≤0）. [提醒] 对于解分式不等式，将分式不等式转化成整式不等式时，如果不等式是含有等号的不等式形式，则很容易忘掉分母不为0的情形，从而导致出错；另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时，容易扩大或缩小不等式的范围． (2)一元二次不等式的恒成立问题①在实数集R 上，ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立，则a >0(a <0)，且Δ<0，反之也成立；ax 2＋bx ＋c ≥0(≤0)恒成立，则a >0(a <0)，且Δ≤0，反之也成立．②若一元二次不等式在某一区间上恒成立，则可结合相应二次函数的图象，判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可．③一般地，不等式恒成立的问题通常转化为函数的最值问题来解决．如f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a .(2)线性目标函数在约束条件下的最值问题 □25 基本不等式 (1)基本不等式的变形①根式形式：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②整式形式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，以上不等式当且仅当a ＝b 时，等号成立．③分式形式：b a ＋ab ≥2(ab >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．④倒数形式：a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．(2)利用基本不等式求最值①对于正数x ，y ，若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p .②对于正数x ，y ，若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.③已知a ，b ，x ，y 为正实数，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y ＝(ax ＋by )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋axy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2. ④已知a ，b ，x ，y 为正实数，若a x ＋b y ＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2. [提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy 的最大值时，要看和x ＋y 是否为定值，求和x ＋y 的最小值时，要看积xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当各项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．□26 根据几何体的三视图判断几何体的结构特征 (1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥．(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥． (3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥．(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱． (5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱． □27 空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S 侧＝cl (c 是底面周长，l 为侧棱长)．正棱锥的侧面积：S 侧＝12ch ′(c 是底面周长，h ′为斜高)．正棱台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ，c ′分别是上、下底面周长，h ′为斜高)．圆柱的侧面积：S 侧＝cl ＝2πrl (c 是底面周长，l 为母线长)．圆锥的侧面积：S 侧＝12cl ＝πrl (c 是底面周长，r 是底面圆半径，l 为母线长)．圆台的侧面积：S 侧＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)l (c ，c ′分别是上、下底面周长，r ，r ′分别是上、下底面圆半径，l 为母线长)．球的表面积：S ＝4πR 2.(2)柱体的体积：V 柱＝Sh (S 为底面积，h 是柱体的高)．锥体的体积：V 锥＝13Sh (S 为底面积，h 是锥体的高)．球的体积：V 球＝43πR 3＝13S 表R .□28 球的组合体 (1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a (正四面体高63a 的14)，外接球的半径为64a (正四面体高63a 的34)．□29 证明空间位置关系的方法 (1)线面平行： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α. (2)线线平行： ⎭⎪⎬⎪⎫ a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ∥c ⇒c ∥b .(3)面面平行：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oa ∥β，b ∥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ.(4)线线垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .(5)线面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β α∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α. (6)面面垂直：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β.[提醒] 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．□30 空间向量的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)； (3)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(b ≠0)；(4)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(5)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a ≠0，b ≠0)； (6)点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)间的距离d ＝|AB →|＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2. □31 空间向量的应用 (1)夹角公式：设非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.推论：(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2≤(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)．(2)异面直线所成的角：cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a |·|b |＝|a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3|a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23，其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ，b 所成的角，a ，b 分别表示异面直线a ，b 的方向向量．(3)直线AB 与平面α所成的角θ满足：sin θ＝|cos 〈AB →，m 〉|＝|AB →·m ||AB →|·|m |(m 是平面α的法向量)．(4)二面角αl -β的平面角θ满足：|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |(m ，n 分别是平面α，β的法向量)．[提醒] 在处理实际问题时，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角，以确定角的大小．(5)点B 到平面α的距离：d ＝|AB →·n ||n |(n 为平面α的法向量，A ∈α，AB 是平面α的一条斜线段)．□32 直线 (1)直线方程的5种形式名称 方程的形式常数的几何意义 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) (x 0，y 0)是直线上一定点，k 是斜率 不垂直于x 轴斜截式 y ＝kx ＋b k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两定点不垂直于x 轴和y 轴 截距式x a ＋y b ＝1a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距 不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般式Ax ＋By ＋C＝0(A ，B 不同时为零) A ，B 都不为零时，斜率为－AB，在x 轴上的截距为－C A ，在y 轴上的截距为－CB任何位置的直线(2)①已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，A 2，B 2全不为0)，则l 1，l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1，l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2. 当A 1，B 1，A 2，B 2中有0时，应单独讨论．②直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 21＋B 21≠0，且A 22＋B 22≠0)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[提醒] 讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们也垂直．□33 圆 (1)圆的四种方程①圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．②圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．③圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．④圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))． (2)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切．(3)圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法 公切线 的条数 圆心距d 与r 1，r 2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 4 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 3 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 2 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解1 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解□34 椭圆 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形几何性质范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)； B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )； B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) 轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a ，短轴长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率 焦距与长轴长的比值：e ∈(0，1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2[提醒] 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越趋近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba 越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．当且仅当a ＝b ，c ＝0时，椭圆变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2. □35 双曲线 (1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形几 何 性 质范围 |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R 对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c离心率 焦距与实轴长的比值：e ∈(1，＋∞) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2[提醒] 1离心率e 的取值范围为(1，＋∞)．当e 越接近于1时，双曲线开口越小；当e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大．2满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的点P 的轨迹不一定是双曲线，当2a ＝0时，点P 的轨迹是线段F 1F 2的中垂线；当0<2a <|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，点P 的轨迹不存在．(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，即y ＝±bax .②若渐近线的方程为y ＝±b a x ，即x a ±y b ＝0，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ.③若所求双曲线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线，其方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ>0，焦点在x 轴上；λ<0，焦点在y 轴上)．④焦点到渐近线的距离总是b . □36 抛物线 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)图形几何性质对称轴x 轴y 轴顶点O (0，0)焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R离心率e ＝1□37 (1)弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．(2)中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y0.□38频率与概率的区别与联系(1)区别①频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；②概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的．(2)联系①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；②概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率．□39事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作B⊇A(或A⊆B)．(2)相等事件：如果B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(即A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．[提醒]互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．□40概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B，则P(A)≤P(B)．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.[提醒]当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率．□41古典概型与几何概型的异同(1)古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个[提醒]在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．□42离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)分布列的性质①p i≥0，i＝1，2，…，n；。
