三角形的重心公式

三角形重心的推论三角形是平面几何中重要的基本图形，它有许多有趣的性质和定理，其中之一就是重心定理。

在三角形中，三条中线的交点称为三角形的重心，也是三角形的一个重要重心。

在本文中，我们将讨论一些关于三角形重心的推论。

三角形重心定理回顾首先，我们回顾一下三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，即重心，重心距离三角形三个顶点的距离相等，即重心是距离三个顶点的平均值的那个点。

通过重心定理，我们可以得到三角形重心的黄线段公式。

设三角形ABC 的重心为G，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。

则有:AG:GD = BG:GE = CG:CF = 2:1这个公式通常被称为三角形重心黄线段公式。

使用这个公式，我们可以计算出三角形重心到三个顶点的距离，从而确定重心的位置。

接下来，我们将讨论一些关于三角形重心的性质：1. 在等边三角形中，重心、垂心和外心三点重合。

等边三角形的三个中线和三个高线重合，所以三角形的重心和垂心重合。

另外，等边三角形的外心也恰好位于重心/垂心的位置，因此三点重合。

2. 重心到顶点线段的长度与与三条中线的长度成反比例关系。

3. 若以三角形的重心为一组相应顶点的中点，分别划分成三个小三角形，则相似于原三角形且比例系数为1：2。

结论综上所述，我们讨论了三角形重心的一些推论，包括三角形重心黄线段公式、重心到顶点线段长度与三条中线长度的反比例关系、在等边三角形中重心与垂心和外心三点重合，以及三角形重心将原三角形分为三个相似的小三角形。

这些推论不仅能够加深我们对三角形的理解，还可以拓展我们的数学思维。

2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（ ）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（ ）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式； （2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。

三角形重心的向量公式推导三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的重心则是三角形中的一个重要概念。

重心是三角形内所有点到三角形三边距离的平均值所在的点，也是三角形内所有线段的中点所在的点。

在三角形的许多性质中，重心有着重要的作用，本文将介绍三角形重心的向量公式推导。

一、三角形的定义先来回顾一下三角形的定义。

三角形是由三条边和三个顶点组成的平面图形，其中每两条边的交点称为顶点，三条边所夹的角称为内角。

三角形有三个内角，它们的和为180度。

根据三角形内角和定理，三角形的内角和恒为180度。

二、重心的定义重心是三角形内所有点到三角形三边距离的平均值所在的点，也是三角形内所有线段的中点所在的点。

重心是三角形内心的一种，是三角形内心的一种特殊情况。

在三角形的许多性质中，重心有着重要的作用。

三、向量的定义向量是数学中的一种概念，用来表示大小和方向的量。

向量在几何学和物理学中有着广泛的应用，例如在描述物体的运动、力学等方面。

四、三角形重心的向量公式三角形重心的向量公式可以通过向量的线性组合来推导，具体的推导过程如下：假设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)，则三角形的重心G(x, y, z)可以表示为：G = (A + B + C)/3其中，A + B + C表示三个向量之和，/3表示向量的平均值。

将向量A、B和C表示成列向量的形式，得到：A = (x1, y1, z1)TB = (x2, y2, z2)TC = (x3, y3, z3)T其中，T表示转置。

将A、B和C代入重心公式，得到：G = (A + B + C)/3= [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3, (z1 + z2 + z3)/3]T 这就是三角形重心的向量公式。

可以看出，重心的坐标分别为三个顶点的坐标分量之和的1/3。

五、三角形重心的性质三角形重心的性质有很多，其中一些比较重要的性质如下：1. 重心是三角形内心的一种特殊情况，是三角形内所有点到三边距离平均值所在的点。

三角形的重心三角形的重心是指连接三角形的三条中线的交点。

中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。

三角形重心的坐标可通过计算三个顶点坐标的平均值得出。

重心在三角形内部，距离三个顶点的距离相等。

三角形的重心在数学和几何学中有很重要的应用。

它是很多定理的基础，也是许多几何问题的解决方案。

在本文中，我们将更深入地了解三角形的重心，并探讨一些与它相关的性质和定理。

首先，让我们考虑一个普通三角形ABC。

我们可以通过连接顶点A 与边BC的中点D，顶点B与边AC的中点E，以及顶点C与边AB的中点F，得到三条中线AD，BE，CF。

我们可以使用以下公式来计算重心的坐标：重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x 坐标) / 3重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y 坐标) / 3例如，对于一个三角形ABC，假设A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，我们可以通过代入这些坐标计算重心的坐标。

重心的x坐标 = (1 + 3 + 5) / 3 = 3重心的y坐标 = (2 + 4 + 6) / 3 = 4因此，重心的坐标为(3,4)。

三角形的重心有一些非常有趣的性质。

其中一个性质是，重心将每条中线按两个比例分割。

具体来说，重心将AD分割成2:1，BE分割成2:1，CF分割成2:1。

这意味着重心到顶点的距离是重心到对应中点距离的二倍。

另一个重要的性质是，三角形的内心、重心和垂心共线。

内心是三角形内切圆的圆心，垂心是通过连接三角形的顶点与对应边垂直平分线的交点。

这个性质被称为Euler定理。

此外，重心还有其他一些性质。

例如，重心和对边的中点连线垂直。

重心还将每个顶点与重心的连线分割成1:2比例。

在许多三角形问题中，重心是求解问题的关键。

例如，通过重心可以确定一个三角形是否是等边三角形或等腰三角形。

如果一个三角形的三个顶点在同一直线上，那么这个三角形的重心就是这条直线的同一点。

重心法的公式
重心法公式包括：
1. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。

2. 空间直角坐标系中，横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3。

3. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4. (莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则
3PG^2=(AP^2+BP^2+CP^2)-1/3(AB^2+BC^2+CA^2)。

5. 在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，
则 AB/AP+AC/AQ=3。

6. 从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得
的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，
r=1/18(AB^2+BC^2+CA^2)为半径的圆周上。

如需了解更多重心法的公式，建议查阅数学书籍或咨询数学专家。

2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy 3是4次单项式；③将方程121.20.30.5x x -+-=中的分母化为整数，得1010102035x x -+-＝12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条．其中正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ） A ．1000（1+x ）2＝1210 B ．1210（1+x ）2＝1000 C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝12103．13的倒数是（ ） A.13B.3C.3-D.13-4．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF 将△AEF 沿EF 折叠得△HEF ，延长FH 交BC 于M ，现在有如下5个结论：①△EFM 定是直角三角形；②△BEM ≌△HEM ；③当M 与C 重合时，有DF ＝3AF ；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤FH•MH＝214AB ，在以上5个结论中，正确的有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )A ．3.8B ．2.4C ．1.9D ．1.26．多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A ．()2x 4x-B ．()()x 2x 2x -+C ．()()x x 2x 2-+D ．2x(2x)-7．若2是关于x 的方程()2120x m x m --++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长，则ABC ∆的周长为A ．7或10B ．9或12C ．12D ．98．某种病菌的直径为0.00000471cm ，把数据0.00000471用科学记数法表示为( ) A ．47.1×10﹣4 B ．4.71×10﹣5C ．4.71×10﹣7D ．4.71×10﹣69．若反比例函数2k y x-=的图象经过点(1,2)，则k 的值为（ ） A.2-B.0C.2D.410．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．11611．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为( )A ．65B ．75C ．3225D ．362512．下列运算正确的是（ ） A ．（y+1）（y ﹣1）＝y 2﹣1 B ．x 3+x 5＝x 8 C ．a 10÷a 2＝a 5D ．（﹣a 2b ）3＝a 6b 3二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个实数根，则x 12+x 22+3x 1x 2＝_____． 15．购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料，所需钱数为 元．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，点D 为线段AB 的中点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BE ，连接DE ，则DE 最大值是______．\17．不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为_____．18．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，用两枚骰子的点数作为点的坐标，则点在第一象限角平分线上的概率是_____．三、解答题19．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．20．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE．过点D作DM⊥AE，垂足为M，⊙O经过点A，B，M，与AD相交于点F．（1）求证：△ABM∽△DFM；（2）若正方形ABCD的边长为5，⊙O的直径为29，求DE的长．21．为了深入培养学生交通安全意识，加强实践活动，新华中学八年级（1）班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动，利用星期天到交通路口值勤，协助交通警察对行人、车辆及非机动车辆进行纠章．在这次实践活动中，若每一个路口安排5名学生，那么还剩下4人；若每个路口安排6人，那么最后一个路口不足3人，但不少于1人．（1）求新华中学八年级（1）班有多少名学生？（2）在值勤过程中，学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行：左转、直行、右转，而且每种前行方式的可能性相同．请通过画树形图或列表的方法，求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率．22．“五一”期间，小张把容积为60升的油箱加满后自驾出行，行驶一段路程后进入服务区停车休息，休息后，小张离开服务区继续前行，为能顺利到达目的地，小张需在相距S千米的加油站加油.若小张从出发点到服务区休息点行驶的路程为200千米，且这期间平均油耗为每千米0.12升.(1)求小张离开服务区休息点时，油箱内还有多少升汽油?(2)记小张从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗为每千米a升，请写出S与a的函数关系式；若0.08≤a≤0.1，求S的取值范围.23．如图，反比例函数y 1＝k x 与一次函数y 2＝ax+b 的图象交于点A （2，2）、B （12，n ）． （1）求这两个函数解析式；（2）直接写出不等式y 2＞1y 的解集．24．（1）计算：201(5)3tan 30|13|π︒-+-+--．（2）解不等式组：3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n 90≤x≤100200.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数m ＝ ，n ＝ ； （2）请在图中补全频数分布直方图；（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是 ； （4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C A B C D D B D A 二、填空题13．4或43.14．﹣115．（a+3b）.16．21+17．x＝1．18．1 6三、解答题19．（1）见解析；（2）①见解析；②AP=310.【解析】【分析】（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD，即可得出结论；（2）先构造出△ADG≌△ABM，进而判断出，△AMG为等腰直角三角形，即可得出NM=NG，即可得出结论；（3）由（2）得出MN+BM=DN，进而得出CN=18-2BC，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP∽△ACN，得出AP AB1AN AC2==，再利用勾股定理求出AN，代入即可得出结论．【详解】解：（1）如图①，∵AE垂直于AN，∴∠EAB+∠BAN=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD，又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，∴△ABE≌△AND；………………（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，∴△ADG≌△ABM，∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，∴△AMG为等腰直角三角形，∴AN⊥MG，∴AN为MG的垂直平分线，∴NM=NG，∴DN﹣BM=MN，即MN+BM=DN；（3）如图③，连接AC，同（2），证得MN+BM=DN，∴MN+CM﹣BC=DC+CN，∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，即8﹣CN+10=2BC，即CN=18﹣2BC，在Rt△MNC中，根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，∴CN=6，∴BC=6， ∴AC=62，∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°， ∴∠BAP=∠NAC ， 又∵∠ABP=∠ACN=135°， ∴△ABP ∽△ACN ， ∴AP AB 1AN AC 2== 在Rt △AND 中，根据勾股定理得AN 2=AD 2+DN 2=36+144， 解得AN=65，∴AP 1652=， ∴AP=310． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD ，解（2）的关键是判断出△AMG 为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP ∽△ACN ． 20．（1）见解析;(2) 253【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得∠BAM ＝∠ADM ，再由四边形BAFM 为圆内接四边形，可得∠ABM ＝∠MFD ，可以求证；（2）连接BF ，得BF 为直径，由勾股定理可得到AF 的长，从而得FD ＝3，因为△ABM ∽△DFM ，所以有53AB AM DF DM ==，而易证△ADM ∽△DEM ，可得DE AMAD DM=，即可得DE 的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BAD ＝90°， ∴∠BAM+∠MAF ＝90°， ∵DM ⊥AE ，∴∠MAD+∠ADM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠ADM ，∵四边形BAFM 为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM ＝180° ∴∠ABM ＝∠MFD∴△ABM∽△DFM（2）如图，连接BF，∵∠BAF＝90°，BF为直径∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝22(29)5-＝2，∴FD＝3，∵△ABM∽△DFM，∴53 AB AMDF DM==，∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°，∴△ADM∽△DEM，∴DE AM AD DM=，∴DE＝53•AD＝553⨯＝253【点睛】此题主要考查相似三角形的判定及性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．21．（1）新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）1 3【解析】【分析】（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意列不等式组求解可得；（2）由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况，继而利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意得546(1)1 546(1)3 x xx x+--≥⎧⎨+--⎩＜，解得：7＜x≤9，∵x为正整数，∴x＝8或9，所以5x+4＝44或49．答：新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）列表可得：第一辆第二辆左转直行右转左转（左转，左转）（直行，左转）（右转，左转）直行（左转，直行）（直行，直行）（右转，直行）右转（左转，右转）（直行，右转）（右转，右转）由上表可知，所有可能发生的结果共有9种，并且它们发生的可能性都相等，连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种，分别为（左转，左转），（直行，直行），（右转，右转），∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为31 =93，答：连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是13．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．(1) 36升； (2)S＝36a. 360≤S≤450【解析】【分析】（1）根据剩下的油=原来油箱里的油-消耗的油，列出算式计算即可.（2）根据从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗=总油量÷总路程即可得到关系式，根据反比例函数的性质即可求解.【详解】(1)60－200×0.12＝36(升)(2)S＝36a.∵36>0,当0.08≤a≤0.1时，随增大而减小，∴360≤S≤450【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，把握题目中的数量关系及掌握反比例函数的性质是解题关键.23．（1）y1＝4x；y 2＝﹣4x+10；（2）12＜x＜2或x＜0．【解析】【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．【详解】解：（1）将A（2，2）代入反比例解析式得：k＝2×2＝4，则反比例解析式为y1＝4x；将B（12，n）代入反比例解析式得：n＝8，即B（12，8），将A与B坐标代y2＝ax+b中，得2218 2a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：410ab=-⎧⎨=⎩．2y＝﹣4x+10；则一次函数解析式为（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集为12＜x＜2或x＜0．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．(1)1;(2) 1＜x＜4．【解析】【分析】（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．（2）分别求出不等式的解集，即可解答【详解】解：（1）原式＝﹣1+1+3×33﹣3 +1＝1；（2）3(2)42113x xxx-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：x＞1，由②得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点睛】此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人【解析】【分析】（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值；（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．【详解】解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，故答案为：200、90、0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；（4）600×6020200＝240，答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形； 小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF ． 这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）A.小青B.小何C.小夏D.小雨2．二次根式：①29a -；②()()a b a b +-；③221a a -+；④1x；⑤0.75中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④3．如图，是小明作线段AB 的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC 一定是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定4．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（ ）A. B. C. D.5．北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：℃），则这组数据的平均数和众数分别是（ ） A ．6，5B ．5.5，5C ．5，5D ．5，46．弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长L （cm ）与重物质量x （kg ）的关系如下表所示： 弹簧总长L （cm ） 16 17 18 19 20 重物重量x （kg ） 0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg （在弹性限度内）时，弹簧总长L （cm ）是（ ） A.22.5B.25C.27.5D.307．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．240024008(120%)x x-=+ B ．240024008(120%)x x-=+ C ．240024008(120%)x x -=-D ．240024008(120%)x x-=- 8．如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为( )A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：69．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（ ）元 A ．8B ．16C ．24D ．3210．据报道，截至2018年12月，天津轨道交通运营线路共有6条，线网覆盖10个市辖区，运营里程215000米，共设车站154座.将215000用科学计数法表示应为( ) A ．321510⨯B ．421.510⨯C ．52.1510⨯D ．60.21510⨯11．如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，能判定AD 平行于BC 的是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠3＝∠4C ．∠D+∠DAB ＝180°D ．∠B ＝∠DCE12．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．6058二、填空题13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB ∆的顶点,,O A B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上. （Ⅰ）OEOB的值为_____________； （Ⅱ）DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧.在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为，连接E A '，E B '，当23E A E B +''的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E '，并简要说明点E '的位置是如何找到的（不要求证明）______.14．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC ∥EF ，则∠1的度数为______．15．把多项式a 3b-ab 分解因式的结果为______．16．如图，点A 1，A 2在射线OA 上，B 1在射线OB 上，依次作A 2B 2∥A 1B 1 ，A 3B 2∥A 2B 1 ， A 3B 3∥A 2B 2 ， A 4B 3∥A 3B 2 ， …．若△A 2B 1B 2和△A 3B 2B 3的面积分别为1、9，则△A 1007B 1007A 1008的面积是________．17．如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y＝____．18．已知32xy=，则x yx y-+=_____．三、解答题19．如图，A、B两点在反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．（1）若△AOC的面积为4，求k值；（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．20．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒(0＜t≤4)．(1)求A、B两点的坐标；(2)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S1，在直线m的运动过程中，当t为何值时，S1为△OAB面积的5 16？21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cosA=45，BE=1，求AD的长．22．解不等组533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩并求出其整数解．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若cos∠BAE＝45，AB＝5，求OE的长．24．如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个三角形（不写画法），要求每个三角形均需满足下列两个条件：①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②三角形的面积等于|k|的值．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求证：BC2＝2CD•OE．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C C B A C D C BD二、填空题 13．（Ⅰ）23（Ⅱ）取格点,M N ，连接MN ，交OB 于点F ；连接AF ，交DE 于点'E ，点'E 即为所求. 14．52°． 15．ab(a+1)(a-1) 16．20113 17．2x ﹣7 18．15三、解答题19．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，结合已知条件OA＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2222()()k k a b ab+=+，整理得到：2222()()k k a b b a -=- ，2222222(k a b a b a b --=），易得k b a =，故OC ＝OD ．【详解】解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4，∴12|k|＝4， ∴k ＝8；（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1）， ∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1， ∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AO ＝BO ． 又AO ＝AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ， ∴△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2， ∵OA ＝OB ，∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，即有：2222()()kk a b ab+=+，∴2222()()k k a b b a -=-，2222222(k a b a b a b--=）， 因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0，∴2221=k a b，∴1k ab =±，负值舍去，得：1k ab=， ∴kb a=， ∴OC ＝OD ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．20．(1)A(4，0)，B(0，4)；(2)t＝73或t＝3．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，分别让x、y为0，可求得A、B的坐标；（2）由已知易求得三角形ABO的面积，然后用t表示出重合部分的面积，根据题意列出方程即可得到答案．【详解】（1）y＝﹣x+4，令y=0，得x=4，令x=0，得y=4，故A(4，0)，B(0，4)；(2)S△ABO＝12×4×4＝8，当0＜t≤2时，S△MNP＝12t2，如图1由题意得12t2＝8×516，解得此时t＝5(不合题意舍去)，如图2，当2＜t≤4时，S1＝S△ABO﹣S△OMN﹣2S△MAF，即S1＝8﹣12t2﹣2×12(4﹣t)2＝516×8，解得t＝73或t＝3．【点睛】本题考查了一次函数的应用；在求解第二问时，要思考全面，分类讨论的应用是正确解答本题的关键．21．（1）略；（2）325.【解析】【分析】（1）连接AC，OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到415rr=+，解得r＝4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．【详解】解：（1）连接AC，OC，如图，∵CD＝BC，∴CD BC=，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝∠OCA，∴∠1＝∠OCA，∴OC∥AF，∵EF为切线，∴OC⊥EF，∴AF⊥EF；（2）∵OC∥AF，∴∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，∵cos∠COE＝cos∠DAB＝45OCOE=，即415rr=+，解得r＝4，连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，cos∠DAB＝45 ADAB=，∴AD＝45×8＝325．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．22．4【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再找到他们的公共解集.【详解】解：533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②，由①得：x＞3，由②得：x＜5，∴不等式的解集为：3＜x＜5，∴整数解是：4．【点睛】此题主要考查不等式组的解集，解题的关键是熟知不等式的性质.23．(1)证明见解析；(2)25.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AD ∥BC ，推出四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据三角函数的定义得到AE ＝4，BE ＝3，根据勾股定理得到AC ＝45，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∵CF ∥AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形；(2)在Rt △ABE 中，∠E=90°，∵cos ∠BAE ＝AE AB =45，AB ＝5， ∴AE ＝4，∴BE ＝22AB AE -=3，∵AB ＝BC ＝5，∴CE ＝8，∴AC ＝22AE EC +=45，∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，∵∠AEC=90°，∴OE ＝12AC=25．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）2y x=-；（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据三角形满足的两个条件画出符合要求的两个三角形即可．【详解】解：（1）∵反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点P，由图象易知P点坐标是（﹣2，1），∴将P（﹣2，1）代入y＝kx得，k＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数的解析式为2yx =-；（2）如图所示：△APO、△BPO即为所求作的图形；第三个点可以是（﹣4，0），（﹣2，﹣1），（4，0），（﹣2，3），（﹣6，1），（2，1），（0，2），（0，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接OD，根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE＝90°；（2）连接OE，根据三角形中位线性质证△ABC∽△BDC，BC2＝2CD•OE．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE＝DE＝BE＝ BC，∴∠C＝∠CDE，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：连接OE，∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BDC，．BC2＝2CD•OE．；【点睛】考核知识点：三角形中位线，相似三角形判定和性质.。

三角形中的重心与外心定理三角形是几何学中最基本的形状之一，研究三角形的性质和特点对于深入了解几何学具有重要意义。

在三角形中，重心和外心是两个重要的概念，通过重心与外心定理，我们可以揭示它们的关系和性质。

重心是指三角形三条中线的交点，记作G。

在一个三角形ABC中，连接顶点A与边BC的中点M，连接顶点B与边AC的中点N，连接顶点C与边AB的中点P，这三条线段分别称为三角形ABC的中线。

重心G是中线的交点，即G=MN∩NP∩PM。

外心是指三角形外接圆的圆心，记作O。

在一个三角形ABC中，若存在一个圆可以同时与三条边AB、BC、CA相切，称这个圆为三角形ABC的外接圆。

外心O则为外接圆的圆心。

重心与外心定理是指，三角形的重心、外心和三边中点构成一个等腰三角形。

换句话说，连接重心和外心的线段与连接三边中点的线段长度相等，且它们之间的夹角等于π/2。

证明这个定理的方法有很多，这里我们可以采用向量的方法。

考虑一个三角形ABC，其三个顶点的向量表示分别为a、b、c。

重心G可以表示为G=(a+b+c)/3，外心O可以表示为O=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)，其中|a|表示向量a的模。

首先，我们来证明 |G-M|=|O-G|。

注意到中点M的向量表示为M=(b+c)/2，连接线段GM的向量表示为G-M=(a+b+c)/3-(b+c)/2=(a-b/2-c/2)/3。

同理，O-G=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)-(a+b+c)/3=(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))。

我们将等式两边进行化简，得到：6(G-M)=2(a-b/2-c/2)=(2a-b-c)=3(a-b/2-c/2)=|a|∗(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))=|O-G|说明 |G-M|=|O-G| 成立。

1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半。

5．旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

每一题中三角形均为ABC一.中垂线交点（外心）分别作AB，BC的中垂线，交于点O，则OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，所以点O在AC中垂线上，所以三角形三条中垂线交于一点。

二.三高所在直线交点（垂心）分别过A,B,C作对边的平行线，交于3点，与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F，则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线，由“一”知，三角形三条中垂线交于一点，，所以三角形三条高线所在直线交于一点。

三.三条内角平分线交点（内心）设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。

四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点（旁心）（有3点）证明方法与“三”内心相似（略）五.三角形三条中线交于一点（重心）找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC，得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底等高），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。

三维三角形的重心公式三维空间中的三角形是由三个非共线的点组成的，其中有一个特殊的点，被称为三维三角形的重心。

重心是三角形的一个重要特征，可以帮助我们计算出三角形的性质和进行相关的运算。

G=(P1+P2+P3)/3其中，G是三角形的重心的坐标，P1、P2、P3分别是三角形的三个顶点的坐标。

这个公式的推导过程如下：首先我们知道，任意三维空间中的点都可以表示为(x,y,z)的形式。

对于三角形的三个顶点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)和P3(x3,y3,z3)，我们可以用向量的形式表示：P1=(x1,y1,z1)P2=(x2,y2,z2)P3=(x3,y3,z3)然后我们计算三角形的重心G(x,y,z)。

根据重心的定义，重心G是由三个顶点的坐标的平均值得出的，即：x=(x1+x2+x3)/3y=(y1+y2+y3)/3z=(z1+z2+z3)/3可以看出，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

重心不仅可以用于表示三维三角形的位置，还可以帮助我们计算三角形的面积、重心到各个顶点的距离以及重心到三条边的距离等。

下面我们来具体计算三维三角形的面积。

s=(a+b+c)/2其中，a、b、c分别是三角形的三条边的长度，s为三角形的半周长。

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]通过对三个边的长度进行计算后，我们可以得到三角形的半周长s。

然后再用海伦公式来计算三维三角形的面积：area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]d=√[(x-x1)²+(y-y1)²+(z-z1)²]其中，(x,y,z)为重心的坐标，(x1,y1,z1)为顶点P1的坐标。

同样地，三维三角形的重心到三条边的距离也可以使用欧氏距离公式来计算。

需要注意的是，三维三角形的边不能为负数或者为0，且重心的坐标、顶点的坐标必须是实数。

总结起来，三维三角形的重心公式是一个简单而重要的公式，可以方便地计算三角形的重心坐标、面积以及重心到各个顶点和边的距离。

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。