九年级培优讲练：直线与圆的位置关系(2),压轴题专练

专题2.2 直线与圆的位置关系（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知⊙O 半径为5，点O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 有公共点（ ）. A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆，一定（ ） A ．与x 轴相切，与y 轴相切 B ．与x 轴相切，与y 轴相交 C ．与x 轴相交，与y 轴相切D ．与x 轴相交，与y 轴相交3．如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P 的坐标为(0,2)，将P 沿y 轴负方向平移1.5个单位长度，则x 轴与P 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，3AC =，4BC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（ ）A ．1205r ≤≤B ．1235r ≤≤ C ．1245r ≤≤ D ．34r ≤≤5．如图，OA 是⊙О的一条半径，点P 是OA 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PB ，点B 为切点． 若P A =1，PB =2，则半径OA 的长为（ ）A．43B．32C．85D．36．已知O的半径为5，直线AB与O有交点，则圆心O到直线AB的距离可能为（）．A．4.5B．5.5C．6D．77．O的圆心到直线a的距离为3cm，O的半径为1cm，将直线a向垂直于a的方向平移，使a与O相切，则平移的距离是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm8．如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A 于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，－2）B．（0，－3）C．（－3，0）或（0，－2）D．（－3，0）9．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如图，直线a⊙b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线a 相切，则t 为（ ）A ．2sB ．32s 或2sC ．2s 或52sD ．32s 或52s二、填空题11．如图，⊙O 的半径OC =10cm ，直线l ⊙OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A ，B 两点，AB =16cm ，则l 沿OC 所在直线向下平移_________cm 时与⊙O 相切．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，30AOC ∠=︒，圆P 的半径为1cm ，动点P 在直线AB 上从点O 左侧且距离O 点6cm 处，以1cm/s 的速度向右运动，当圆P 与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为 _____s ．13．已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，以r 为半径作圆．若此圆与线段AB 只有一个交点，则r 的取值范围为_____．14．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，若以点C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 所在直线相离，则r 的取值范围为 _____；若⊙C 与AB 边只有一个有公共点，则r 的取值范围为 _____．15．如图，半径为5个单位的⊙A 与x 轴、y 轴都相切；现将⊙A 沿y 轴向下平移 ___个单位后圆与x 轴交于点（2，0）．16．已知O 的半径为10，直线AB 与O 相交，则圆心O 到直线AB 距离d 的取值范围是______．17．如图，在直线l 上有相距7cm 的两点A 和O （点A 在点O 的右侧），以O 为圆心作半径为1cm 的圆，过点A 作直线AB ⊙l ．将⊙O 以2cm/s 的速度向右移动（点O 始终在直线l 上），则⊙O 与直线AB 在_____秒时相切．18．如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移________个单位时，它与x 轴相切．三、解答题19．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4BC =，3AC =， （1）斜边AB 上的高为________； （2）以点C 为圆心，r 为半径作⊙C⊙若直线AB 与⊙C 没有公共点，直接写出r 的取值范围； ⊙若边AB 与⊙C 有两个公共点，直接写出r 的取值范围； ⊙若边AB 与⊙C 只有一个公共点，直接写出r 的取值范围．20．如图，O的半径是5，点A在O上．P是O所在平面内一点，且2AP=，过⊥．点P作直线l，使l PA（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．21．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：⊙以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；⊙根据图形提供的信息，在图中标出该圆弧所在圆的圆心D．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙写出点的坐标：D（）；⊙⊙D的半径= （结果保留根号）；⊙利用网格试在图中找出格点E ，使得直线EC与⊙D相切（写出所有可能的结果）．22．如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移xcm，求x的取值范围23．如图，在平面直角坐标系中，O的半径为1，则直线25=-O的位置关y x系怎样？24．如图，30OM=，以M为圆心，r为半径作圆．AOB︒∠=，点M在OB上，且5cm（1）讨论射线OA 与M 公共点个数，并写出r 对应的取值范围；（2）若C 是OA 上一点，53cm OC =，当5cm r >时，求线段OC 与M 的公共点个数．参考答案1．C【分析】根据⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3得到直线l与⊙O相交，即可判断出直线l 与⊙O有两个公共点．解：⊙⊙O半径为5，点O到直线l的距离为3，⊙d＜r，⊙直线l与⊙O相交，⊙直线l与⊙O有两个公共点．故选：C【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r关系判断位置关系是解题关键．当d＞r时，直线与圆相离，没有公共点，当d=r时，直线与圆相切，有一个公共点，当d＜r时，直线与圆相交，有两个公共点．2．B【分析】由已知点(2,3)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．解：⊙点(2,3)到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径，⊙圆与y轴相交，与x轴相切．故选B．【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．3．A【分析】根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．解：如图，圆心P的坐标为(0,2)，将P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，∴平移后的点P 的坐标为(0,0.5)，0.5OP ∴=，半径为1.5，PO r ∴<，∴圆P 与x 轴相交，故选.A【点拨】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x 轴的位置关系是解题的关键．4．C 【分析】作CD⊙AB 于D ，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出125CD =然后根据直线与圆的位置关系得到当1254≤≤r 时，以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点．解：作CD⊙AB 于D ，如图，⊙⊙C=90°，AC=3，BC=4， ⊙22AB 5AC BC + 1122⋅=⋅CD AB BC AC ⊙CD 125=⊙以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点时，r 的取值范围为1254≤≤r 故选：C【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d=r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．5．B 【分析】由题意得， PBO 是直角三角形，设OA =x ，则OB =x ，在Rt PBO 中，1PO x =+，根据勾股定理得，2222(1)x x +=+，解得32x =，即可得． 解：由题意得，1PA =，2PB =，90PBO ∠=︒，⊙PBO 是直角三角形， 设OA =x ，则OB =x ，在Rt PBO 中，1PO x =+，根据勾股定理得，2222(1)x x +=+22421x x x +=++解得32x =， 则半径OA 的长为32，故选B ．【点拨】本题考查了圆，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 6．A 【分析】根据直线AB 和⊙O 有公共点可知：d ≤r 进行判断． 解：⊙⊙O 的半径为5，直线AB 与⊙O 有公共点，⊙圆心O 到直线AB 的距离0＜d ≤5． 故选：A ．【点拨】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线l 和⊙O 相交⊙d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⊙d =r ；直线l 和⊙O 相离⊙d ＞r ．7．D 【分析】根据直线与圆的位置关系,平移使直线a与O相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米.解：如图,当直线a向上平移至a'位置时,平移距离为3-1=2厘米;当直线a向上平移至a''位置时,平移距离为3+1=4厘米.故答案选:D.【点拨】本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键.8．D【分析】连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊙QP，由勾股定理可知22-AP AQ当AP有最小值时，PQ最短，根据垂线段最短可得到点P的坐标．解：连接AQ，AP.根据切线的性质定理，得AQ⊙PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知当AP⊙x轴时，AP最短，⊙P点的坐标是(−3,0).故选D.【点拨】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知圆的位置关系.9．B【分析】作出OC⊙AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l 与⊙O 相切，则需要将直线l 向下平移的长度．解：作OC ⊙AB ，又⊙⊙O 的半径为5cm ，直线l 交⊙O 于A 、B 两点，且弦AB ＝8cm⊙BO ＝5，BC ＝4，⊙由勾股定理得OC ＝3cm ，⊙要使直线l 与⊙O 相切，则需要将直线l 向下平移2cm ．故选：B ．【点拨】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC 的长度是解决问题的关键．10．D【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可．解：设圆与直线b 交于A 、B 两点，当O 从点P 出发以2 cm/s 速度向右作匀速运动，OP=2t ，PB=2t+1，PA=2t -1， 当PB=PH 时即2t+1=4，t=1.5与直线a 相切，当PA=PH 时即2t -1=4，t=2.5与直线a 相切．故选：D ．【点拨】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题．11．4【分析】根据垂径定理可求出182AH AB cm ==，再利用勾股定理可得6OH cm =，从而4CH cm =，再由l 与⊙O 相切，则点O 到直线l 的距离等于OC =10cm ，从而得到l 沿OC所在直线向下平移的距离等于4CH cm =，即可求解．解：⊙直线l ⊙OC ，AB =16cm ，⊙182AH AB cm == ，90AHO ∠=︒ ， ⊙10OA OC cm == ，在Rt AOH 中，由勾股定理得22221086OH AO AH cm =-=-= ，⊙4CH OC OH cm =-= ，若l 与⊙O 相切，则点O 到直线l 的距离等于OC =10cm ，⊙l 沿OC 所在直线向下平移的距离等于4CH cm =即l 沿OC 所在直线向下平移4cm 时与⊙O 相切．故答案为：4 ．【点拨】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．4或8##8或4【分析】求得当⊙P 位于点O 的左边与CD 相切时t 的值和⊙P 位于点O 的右边与CD 相切时t 的值即可．解：当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图1，过P 作PE ⊥CD 于E∴PE ＝1cm ，∵∠AOC ＝30°∴OP ＝2PE ＝2cm∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（6﹣2）cm 后与CD 相切∴⊙P 移动所用的时间＝621-＝4（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图2，过P 作PE ⊥CD 于E∴PF＝1cm∵∠AOC＝∠DOB＝30°∴OP＝2PF＝2cm∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，⊙⊙P移动所用的时间＝621＝8（秒）∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算．13．3＜r≤4或r＝125．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．解：过点C作CD⊙AB于点D，⊙AC＝3，BC＝4．⊙AB＝5，如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，⊙CD×AB＝AC×BC，⊙CD＝r＝125，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，⊙3＜r≤4，故答案为3＜r≤4或r＝125．【点拨】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．14．0<r<245r=245【分析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，可得答案；根据圆心到直线的距离等于半径时直线与圆只有一个公共点．解：如图，作CH⊙AB于H．在Rt⊙ABC中，⊙⊙ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙AB222268AC BC++，⊙S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，⊙CH=245，⊙以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，⊙0<r<245；⊙以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线只有一个公共点，⊙r=245．故答案为：0<r <245；r =245． 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．15．1或9【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算．解：设将A 沿y 轴向下平移x 个单位后，根据题意作图，(2,0),(5,0),'(5,5)C B A x ∴-，由勾股定理：22''CB A B A C +=，222(52)(5)5x -+-=，解得1x =或9，∴应将A 沿y 轴向下平移1或9个单位后圆与x 轴交于点(2,0)．故答案为：1或9．【点拨】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单．16．010d ≤<【分析】根据直线AB 和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．解：⊙⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相交，⊙圆心到直线AB 的距离小于圆的半径，即0≤d ＜10；故答案为：0≤d ＜10．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．17．3或4##4或3【分析】根据切线的判定方法，当点O 到AB 的距离为1cm 时，⊙O 与直线AB 相切，然后分两种情况：⊙O 在直线AB 左侧和在直线AB 右侧，进行计算即可．解：⊙直线AB ⊙l ，⊙当⊙O 在直线AB 左侧距AB 的距离为1cm 时，⊙O 与直线AB 相切，此时⊙O 移动了7－1=6cm ，所需时间为6÷2=3s ；当⊙O 在直线AB 右侧距AB 的距离为1cm 时，⊙O 与直线AB 相切，此时⊙O 移动了7+1=8cm ，所需时间为8÷2=4s ．故答案为：3或4．【点拨】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键．18．1或5欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d ，再与半径r 进行比较．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离． 解：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离d ，要使圆与x 轴相切，必须d=r ；⊙此时d=3，⊙圆向上平移1或5个单位时，它与x 轴相切．19．（1）2.4；（2）⊙1205r <<；⊙1235r <≤；⊙125r =或34r <≤ 【分析】（1）勾股定理求得斜边AB ，进而根据等面积法求得斜边上的高；（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得r 的取值范围．解：（1）Rt ABC 中，90C ∠=︒，4BC =，3AC =， 225AB AC BC ∴=+= 设斜边AB 上的高为h ,1122AB h AC BC ⋅⋅=⋅, 341255AC BC h AB ⋅⨯∴===, 故答案为：125（2）⊙若直线AB与⊙C没有公共点，则AB⊙C相离，则r的取值范围是125r<<；⊙若边AB与⊙C有两个公共点，A点在圆外或者圆上，则r的取值范围是1235r<≤；⊙若边AB与⊙C只有一个公共点，则AB⊙C相切，或者A点在圆内，则r的取值范围是125r=-或34r<≤【点拨】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键．20．（1）7；（221【分析】（1）当点P在圆外且,,O A P三点共线时，点O到直线l距离的最大，由此即可得；（2）先确定线段MN是O的直径，画出图形，再在Rt AOP△中，利用勾股定理即可得．解：（1）如图1，l PA⊥，∴当点P在圆外且,,O A P三点共线时，点O到直线l距离的最大，此时最大值为527AO AP+=+=，故答案为：7；（2）如图2，,M N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直径，⊥，l PA∴∠=︒，90APOOA=，2AP=，52221∴=-=OP OA PA21【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．21．（1）见分析；（2）①（2，0）；②5⊙（7，0）．【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；（2）⊙根据第一问画出的图形即可得出D的坐标；⊙在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆D 的半径；⊙根据半径相等得出5EF=x，在Rt△CDE和Rt△CEF中，根据勾股定理列出两个式子即可求出x的值，从而求出E点坐标解：(1)根据题意画出相应的图形，如图所示：(2)⊙根据图形得：D(2,0)；⊙在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根据勾股定理得：AD225OA OD则D的半径为5⊙⊙EC与⊙D相切⊙CE⊙DC⊙△CDE为直角三角形即⊙DCE=90°⊙AD和CD都是圆D的半径，⊙由⊙知，5设EF=x在Rt△CDE中，（52+CE2=(4+x)2在Rt△CEF中，22+x2=CE2⊙（52+（22+x2）=(4+x)2解得，x=1，即EF=1⊙OE=2+4+1=7⊙E点坐标为（7,0）【点拨】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:坐标与图形性质,垂径定理,勾股定理及逆定理,切线的判定,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是解本题的关键.22．（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果；（2）由（1）的结果即可得出答案．解：（1）⊙⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，⊙将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm，⊙2cm＜x＜12cm，x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．【点拨】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．23．相切，理由见详解【分析】首先画出直线25y x =-+O 作OC AB ⊥，垂足为C ，再根据函数关系式求得5A ⎫⎪⎪⎝⎭，(5B ，进而利用勾股定理得到5AB =1OC =，从而得到结论圆心点O 到直线25y x =-O 的半径，可见直线25y x =-+O 的位置关系是：相切．解：结论：直线25y x =-+O 的位置关系是：相切理由：画出直线25y x =-O 作OC AB ⊥，垂足为C ，如图：⊙直线AB 的解析式为25y x =-⊙令0x =，解得5y =0y =，解得5x =⊙5A ⎫⎪⎪⎝⎭，(5B ⊙5OA =5OB =⊙在Rt AOB 中，根据勾股定理得2252AB OA OB =+ ⊙1122AOB S AB OC OA OB =⋅=⋅⊙552152OC ABOA OB ⋅=== ⊙O 的半径为1 ⊙圆心点O 到直线25y x =-O 的半径，即d r =⊙直线25y x =-O 的位置关系是相切．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．24．（1）见分析 （2）0个【分析】(1) 作MN OA ⊥于点N ,由30,5cm AOB OM ︒∠==，可得点M 到射线OA 的距离1 2.5cm 2d MN OM ===,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA 与圆M 的公共点个数；(2) 连接CM ．可得53ON =,由53cm,OC =可得ON CN =,得到5cm CM OM ==,故当5cm r >时，可判断线段OC 与M 的公共点个数．解：（1）如图，作MN OA ⊥于点N ．30,5cm AOB OM ︒∠==，⊙点M 到射线OA 的距离1 2.5cm 2d MN OM ===． ⊙当 2.5cm r =时，M 与射线OA 只有一个公共点； 当0cm 2.5cm r <<时，M 与射线OA 没有公共点； 当2.5cm 5cm r <时，M 与射线OA 有两个公共点；当5cm r >时，M 与射线OA 只有一个公共点．（2）如图，连接CM ． 1 2.5cm,2MN OM == 53ON ∴=． 53cm,OC =ON CN∴=,CM OM∴==.5cmr>时，线段OC与M的公共点个数为0．⊙当5cm【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.。

专题04直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 (1)【考点二由直线和圆的交点个数求半径或距离的大小】 (2)【考点三直线和圆相切问题的应用】 (2)【考点四动点问题在直线和圆的位置关系中的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】A．01r<<B．【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；【详解】解：过原点作OC AB⊥交AB于点-+与坐标轴的交点为x2解得2x=，故A点坐标为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．△中，4．Rt ABC．【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，A．(0，0)B．(2，0)C．（【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．综上所述：圆心M的坐标为(2,0)故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．【答案】(1)当半径r为何值时，(2)当半径r为何值时，2【答案】【分析】根据题意可得，进行分类讨论：②当点P 在点A 左边，且P 与线段【详解】解：∵点()30A -,，点(0,B ∴3,3OA OB ==，【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系．【过关检测】一、单选题∵90ACB ∠=︒，AB =∴cos302BC AB =⨯︒=∴1322CD BC ==<故直线AB 与C 的位置关系是相交二、填空题由三角形的面积公式得：∴6810CD ⨯=⨯，∴ 4.8CD =，即 4.8R =．②如图2，当68R <≤时，故答案为： 4.8R =或6R <【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．6．O 的半径为R ，点O 到直线相切时，m 的值为_________【答案】35r <<【答案】56r <≤或245r =【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．△中，12．在Rt ABC位置关系是__________内【答案】点A在C42(1)求顶点D的坐标；(2)求直线BC的解析式；设21(,)3442E x x x ++-（0BCE BOCCOBE S S S =-四边形 BHE BOCCOHE S S S =+-梯形 0804(,)22M ++∴即(4,2)M 22(04)(42)CM ∴=-+-32030532025,444=<∴<，MD MC∴直线CD与圆M有两个交点，即直线与圆M的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．。

中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(二)一、学习目标1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。

2、理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法。

3、能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论的题设和结论，并能应用它们解有关的计算和证明题，会作两条线段的比例中项。

二、基本内容及应注意的问题1、“切线长”是切线上一条线段的长度，具有数量的特征；而“切线”是一条直线，它是向两方无限延展的，不可以度量长度。

2、切线长定理包含两个结论，如图(1)所示，PA、PB切⊙O于点A、B，则有：(1)“切线长相等”，即PA＝PB。

(2)“圆心和这点的连线平分两切线的夹角”，即：PO平分∠APB；根据PA=PB，PO平分∠APB，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分AB、＝以及∆OAC∽∆APC∽∆OPA等结论，由此可得，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例，垂直关系的重要依据。

3、讲过切线长定理以后，已知一条切线时，通常有如下五个性质可用：(1)切线和圆有且只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于该圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

若已知一个圆的两条切线相交，则又多了“切线长相等”的性质；若已知一个圆的两条切线互相平行，则可得出“圆上两个切点的连线为直径”的性质。

4、弦切角有两个基本特征：(1)顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；(2)一边和圆相交，另一边和圆相切，实际上就是角的一边是过切点的一条弦（所在的直线），角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

5、弦切角定理与圆周角定理的证明思路类似，都分三种情况，而且在证明过程中利用了圆周角的推论。

在学习时一定要注意与圆周角定理对比，注意它们的内在联系。

专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB AD BC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、 提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的 结论仍成立例4、（1）略 （2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF AP AN AD≠，则MN ∥CD 。

90D ∠=︒， CD ∴⊥AD ，MN ⊥AD ，A 与P 关于MN 对称，MN ∴⊥AP ，而P 与D 不重 合，这与“过一点（A ）”只能作一条直线与已知直线（MN ）垂直”矛盾，∴假设不成立，即AF AP AN AD≠ （3）证明ABM ∆≌MCP ∆，得4MC AB ==，设PD x =，则4CP x =-， 4BM PC x ∴==-，连接HO 并延长交BC 于J ，则四边形HDCJ 为矩形，OJ ∴ ∥CP ，~MOJ MPC ∴∆∆得12OJ MO CP MP ==，1(4)2OJ x ∴=--，12OH MP == 14(4)2OJ x -=+，222MC MP CP =-，22(4)(4)16x x ∴+--=，解得1x = 即1PD =，3PC =，7BC BM MC PC AB ∴=+=+=，由此画图例6 连切点半径IS ，IM 和ID ，得D A E O ，，，四点共圆，得SI DI MI ==，PSI ∠= 90IMC IMB ∠=∠=︒，设2B A C B α∠=∠=，则PCB α∠= ，SPI B PCB ∠=∠+∠ 3α=，则90903S I P S P I α∠=︒-∠=︒-，MD ∥AC ，2DMB ACB α∴∠=∠=， 90902IMD DMB IDM α∠=︒-∠=︒-=∠1804DIM IDM IMD α∴∠=︒-∠-∠=， 而9090MIC ICM α∠=︒-∠=︒-，180903DIP DIM MIC α∴∠=︒-∠-∠=︒-= SIP ∠，在PIS ∆与PID ∆中，PI PI =，SIP DIP ∠=∠，SI DI =，PIS ∆≌PID ∆， 90PDI PSI ∠=∠=︒，故PD 是⊙I 的切线A 级1、51︒或129︒2、AB AC =3、62︒或118︒4、D 提示：以AB 为直径的圆与DC 相交5、A6、D7、（1）略 （2）满足条件的点有两个：①过点C 作1CP ∥AB 交AE 于点P ，则1A PC ∆~ 1BCA ∆，这时18AP BC cm ==； ②过点C 作⊙O 的切线交AE 于点2P ，则2AP C ∆~CAB ∆，这时1252AP cm = 8、（1）提示：连接OE ，证明90OED ∠=︒，12OD AB =，2BC DE = （2）在R t A C B ∆中，2BC BE AB =，又2B C D E =，2(2)DE BE AB =，又AB =2OD ，2(2)2DE BE OD ∴=，22DE BE OD ∴=9、（1）由已知，得2(4)4(2)0x c x c -+++=，由两根关系得4a b c +=+，2ab c =+， 22222()2(4)8(2)a b a b ab c c c ∴+=+-=+-+=，ABC ∴∆是直角三角形（2）提示：连接OE ，则OE ∥BC ，6a =，8b =，10c =，5AE =10、（1）连接OD ，OE ，BD ，AB 是⊙O 的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=︒， E 是BC 的中点，DE CE BE ∴==，OD OB =，OE OF =，ODE ∴∆≌OBE ∆，90ODE OBE ∴∠=∠=︒，∴直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH ⊥AC 于点H ，由（1）知BD ⊥AC ，EC =EB ．∵OA =OB ，∴OE ∥AC 且OE =12AC ，∴∠CDF =∠OEF ，∠DCF =∠EOF ．∵CF =OF ，∴△DCF ≌△EOF ，∴DC =OE =AD ，∴BA =BC ，∴∠A =45°． ∵OH ⊥AD ，∴OH =AH =DH ，∴CH =3OH ，故tan ∠ACO =13OH CH =． 11．（1）略 （2）连接DO 并延长与⊙O 相交于点E ，连接BE ．设AH =3k ．∵tan ∠ADB =34，P A AH ，AC ⊥BD 于点H ．∴DH =4k ，AD =5k ，P A =3)k ，PH =P A +AH =．∴tan ∠P =DH PH =P =30°，PD =8k ． ∵BD ⊥AC ，∴∠P +∠PDB =90°．∵PD ⊥DE ，∴∠PDB +∠BDE =90°．∴∠BDE =∠P =30°．∵DE 是直径，∴∠DBE =90°，DE =2r =50．∴BD =DE ·cos ∠BDE =50·cos30°=．（3）连接CE ．∵DE 是直径，∴∠DCE =90°．∴CD =DE ·sin ∠CED =DE ·sin ∠CAD =450=405⨯． ∵∠PDA =∠ABD =∠ACD ，∠P =∠P ，∴△PDA ∽△PCD ．∴PD DA PA PC CD PD==．∴8540k k PC ==．解得PC =64，k =3-．∴AC =PC －P A =64－23)3)7k ==+∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =1111253(79002222BD AH BD CH BD AC +==⨯+=+ B 级1．86° 2．45°3．连接BP ，MQ ，PC ，QN ，由PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，PQ ⊥BC 可得P ，Q ，C ，N 四点共圆，P ，Q ，B ，M 四点共圆． 由△MPQ ∽△QPN 得PQ 26MP NP =．4．C5．B 【提示】连接OB ，过C 作CH ⊥BD 交BD 于点H ．∴OBHC 是正方形，CH =1．∵∠ABC =30°，∴∠OAC =60°=∠D ．在Rt △CDH 中，=sin CH D CD ∠，∴CD=． 6．D7．提示：（1）连接OD ，由△BDO ∽△BCA ，得BD =12BC ，又BD 2=BP ·BC ． （2）由（1）可知BC =2BD ，BD =2BP ，得BC =4BP ，∴PC +BP =4BP ，∴PC =3BP ．8．（1）∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PD ∥QC ．∴当PD =QC 时，四边形PQCD 是平行四边形．由题意可知AP =t ，CQ =2t ， ∴8－t =2t ，3t =8，t =83时，四边形PQCD 为平行四边形． （2）设PQ 与⊙O 相切于点H ，过P 作PE ⊥BC 于E ．∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PE =AB ．有题意可知AP =BE =t ，CQ =2t ，∴BQ =BC －CQ =22－2t ，EQ =BQ －BE =22－2t －t =22－3t ．∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC =∠DAB =90°，∴AD 、BC 为⊙O 的切线．∴AP =PH ，HQ =BQ ．∴PQ =PH +HQ =AP +BQ =22－t ．在Rt △PEQ 中，PE 2+EQ 2=PQ 2，∴122+(22－3t )2=(22－2t )2，即8t 2－88t +144=0，t 2－11t +18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD边运动时间为8811ADs==，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴当t=2时，PQ与⊙O相切．9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=32．作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得OD AO BH AB=．∴12,5BH=S△BCD=185．10．（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．∵P A切⊙O于点C，∴OC⊥P A．又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．（2）过点C作CF⊥OP于点F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP5，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=125．在Rt△COF中，95 OF．∴EF=EO+OF=245，∴CE=11．（1）AC=165．（2）连接AC，则A，O’，C共线．设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=163，∴O’8 (2)3，．（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，∴CO CD=，∴OC=CD．∵∠AOC =90°，∴AC 是⊙O ’的直径．∴∠D =90°，∴△AOC ≌△ADC ，∴AD =AO =4．设OC =DC =a ，在Rt △BCD 中，BC =a +3，BD =9，CD =a ， ∴（a +3）2=a 2+92，解得a =12，∴AC 2=OA 2+OC 2=42+122=160，AC =∴⊙O ’的半径长为12．连接AD ，由△CDE ∽△CAD ，有CD CA DE AD =①． 又由△ADE ∽△BDA ，有AE AB DE DA=②． 由①②及AB =AC ，得AE =CD ．由∠DAE =∠EDC ，知CD 是△ADE 外接圆的切线． 故CD 2=CE ·CA ，即AE 2=CE ·CA ．设AE =x ，则CE =d －x ，∴2()x d d x =-，即x 2+dx －d 2=0，解方程并取正根得AE =x ．。

初中数学直线与圆的位置关系学习目标一、考点突破1. 探索直线与圆的位置关系，感受类比、转化、数形结合等数学思想；2. 理解直线和圆的三种位置关系，注意区分相切和相交的概念。

二、重难点提示重点：会判断直线和圆的位置关系；概念。

难点：直线和圆的位置关系的综合运用。

考点精讲1. 直线与圆的位置关系①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

【要点诠释】判断直线与圆的位置关系时，直接比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可。

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。

那么：直线l与⊙O相交＜====＞d＜r直线l与⊙O相切＜====＞d＝r直线l与⊙O相离＜====＞d＞r2. 切线的判定和性质①切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

注意：证明圆的切线必须满足两个条件：（1）点A在圆上，（2）过点A的半径与直线垂直。

【核心归纳】在解题过程中，如果有“圆的切线”这个条件，我们常用的方法是连接切点与圆心，构造直角三角形，记住口诀“见切点，连半径”，它是解决有关切线问题的重要辅助线。

③三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA＝OB＝OC；（2）外心不一定在三角形的内部。

内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部。

3. 切线长定理①切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

专项训练一：直线与圆的位置关系名师点金：直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，考查方向主要体现在：根据已知条件判断直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系求值或取值范围，有关直线与圆的位置关系的动态探究等．根据d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系1．(中考·江西)在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴、y轴都相切2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线AB的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，试确定直线AB与⊙O的位置关系．根据直线与圆的位置关系求值或取值范围3．如图，⊙P的半径为2，圆心P是抛物线y＝12x2－1上的点，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．(第3题)4．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16 cm，cos∠OBH＝4 5 .(1)求⊙O的半径；(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？(第4题)有关直线与圆的位置关系的动态探究5．如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．(第5题)(1)动点P与Q哪一点先到达终点？此时t为何值？(直接写出结果)(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图②)．(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．专项训练二：证明切线的技巧名师点金：有关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．已知半径，证明垂直1．如图，已知⊙O的半径OB＝1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长．(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(第1题)连半径，证垂直类型1：连一条半径证垂直2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE ⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．(第2题)类型2：连两条半径证垂直3．(中考·玉林)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于点F，若AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝8，DF＝40，求⊙O的半径r.(第3题)作垂直，证半径4．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．(第4题)专项训练三：切线性质的应用名师点金：在应用切线的性质时，如果只有切线，没有半径，就要添加辅助线——连结过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．利用切线的性质求线段的长度1．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB 于D.若PC＝4，⊙O的半径为3，求OD的长．(第1题)利用切线的性质求角的度数2．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE 的延长线交于F，且AF＝BF，求∠A的度数．(第2题)利用切线的性质证明线段相等3．如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：CD ＝CE.(第3题)利用切线的性质证明角相等4．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D.求证：∠D＝∠DFE.(第4题)答案专项训练一1．A2．解：∵方程x 2－2x ＋d ＝0没有实数根，∴(－2)2－4d ＜0，即d ＞1.当1＜d ＜2时，直线AB 与⊙O 相交；当d ＝2时，直线AB 与⊙O 相切；当d ＞2时，直线AB 与⊙O 相离．3．(6，2)或(－6，2)点拨：当⊙P 与x 轴相切时，由⊙P 的半径为2，且圆的切线垂直于过切点的半径，可得P 点纵坐标为2；又P 在抛物线y ＝12x 2－1上，故将y ＝2代入得：2＝12x 2－1，解得：x 1＝6，x 2＝－ 6. 4．解：(1)∵直线l 与半径OC 垂直，∴HB ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． ∵cos ∠OBH ＝HB OB ＝45，∴OB ＝54HB ＝54×8＝10(cm)，即⊙O 的半径为10 cm. (2)在Rt △OBH 中，OH ＝OB 2－HB 2＝102－82＝6(cm)．∴CH ＝OC －OH ＝10－6＝4(cm)．∴将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置时，平移的距离必须大于4 cm.5．(1)解：点P 先到达终点，此时t ＝5.(2)证明：如图，过点B 作BM ⊥AD ，垂足为M ，设圆与AB 交于N ，易得AM ＝2.(第5题)又∵AB＝4，∴∠A＝60°.连结QN，∵PQ为直径，∴∠QNP＝90°，∴∠NQA＝30°.∵AQ＝t，AP＝2t，∴AN＝12t，∴PN＝32t，NQ＝32t，∴PQ＝PN2＋NQ2＝3t.∴AQ2＋PQ2＝AP2.∴△APQ为直角三角形，且∠AQP＝90°.∴以PQ为直径的圆与AD相切．(3)解：能．设圆心为F，作FE⊥CD于E，PH⊥AD于H.∵CP＝10－2t，DQ＝8－t，∴EF＝12(CP＋DQ)＝12(18－3t)，PQ＝2EF＝18－3t.∵PQ2＝PH2＋HQ2，且PH＝AB·sin60°＝23，HQ＝(8－t)－(10－2t)＝t－2，∴(t－2)2＋(23)2＝(18－3t)2.解得t＝13－152或t＝13＋152(舍去)．故当t＝13－152时，以PQ为直径的圆与CD相切．专项训练二1．解：(1)连结BD，∵DE是直径，∴∠DBE＝∠ABD＝90°. ∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，∵C为AD的中点，∴BC＝12AD＝1，∴AD＝2.(2)是，理由如下：∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形．∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切线．2．(1)证明：连结CD.∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.又∵BC＝AC，∴点D是AB的中点．(2)解：DE与⊙O相切．证明如下：连结OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.又∵BC＝AC，D是AB的中点，∴∠BCD＝∠ACD.∵DE⊥AC，∴∠ACD＋∠CDE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．3．(1)证明：如图，连结OA，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∴∠OAD＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∴∠OAD ＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝8，OB＝r，∴OF＝8－r.∵在Rt△OFD中，OD2＋OF2＝DF2，∴r2＋(8－r)2＝(40)2，解得r＝2(舍去)或r＝6.点拨：圆中和中点有关的问题常常结合垂径定理寻找解题方法．(第3题)4．证法一：连结DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．证法二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．专项训练三1．解：连结OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴△OPC为直角三角形．∵PC＝4，r＝3，∴OP＝5.易得OC2＝OD·OP，即5·OD＝9，∴OD＝9 5 .2．解：连结OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∵AF⊥CD，∴AF∥OC.∴∠A＝∠BOC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.∵AF＝BF，∴∠A＝∠B，∴∠BOC＝∠B＝∠OCB.∴∠B＝60°，则∠A＝60°.3．证明：连结OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠CDE＋∠ODA＝90°.∵CO⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠CDE＝∠AEO＝∠CED.∴CD＝CE.4．证明：连结OE，∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.∵OB＝BC，OB＝OE，∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，∴∠C＝30°，∴∠COE＝60°.∴∠A＝12∠COE＝30°.∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°.∴∠DFE＝∠BFC＝60°. ∴∠D＝∠DFE.。

直线与圆的位置关系专项训练[A 组]1.如图，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ,AB 为直径,若∠BCD=︒40,则ABC ∠的度数是_____________.2.如图,⊙M 与x 轴相交于点A (2,0),B (8,0),与y 轴相切于点C ,则圆心M 的坐标是___________.3.如图,在同心圆O 中,大圆的弦AB 与小圆相切,若大圆的半径是13cm,弦AB =24cm,则小圆的半径是_______.4.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为︒35,过C 的切线PC 与AB 的延长线交于P ,那么P ∠等于( )A.︒15B.︒20C.︒25D.︒305.如图,P A 、PB 是⊙O 的切线,切点分别为A 、B ,点C 在⊙O 上,如果︒=∠50P ,那么ACB ∠等于( )A.︒40B.︒50C.︒65D.︒1306.如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AC=BC=a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，与AB 分别相交于点G 、H ，且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D ，则CD 的长为( )A.a 2122- B.a 212+ C.a 2 D.a )412(-7.如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。

根据以上条件写出三个正确结论（除AB=AC 、AO=BO 、ACB ABC ∠=∠外），并选择其中一个加以证明。

（允许添加辅助线）8.如图，P 为正比例函数x y 23=上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )。

(1)求⊙P 与直线x=2相切时点P 的坐标；(2)请直接写出⊙P 与直线x =2相交、相离时x 的取值范围。

9.如图，形如量角器的半圆O 的直径DE=12cm ，形如三角板的ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30ABC ，BC =12cm 。

初三直线和圆的位置关系的练习题在初三数学学习中，直线和圆是基础且重要的几何概念。

理解直线和圆的位置关系，对于解决问题和推导几何定理都起着至关重要的作用。

在本文中，我们将通过一些练习题来加深对初三直线和圆的位置关系的理解。

1. 在平面直角坐标系中，直线y = 2x + 1和圆x² + y² = 9相交于两个点A和B。

求点A和B的坐标。

解析：首先，我们将直线方程和圆方程代入，得到：2x + 1 = ±√(9 - x²)解方程得：x = -1, 2将x带入直线方程求解y的值，得到：当x = -1时，y = -1;当x = 2时，y = 5。

因此，点A和B的坐标分别为(-1, -1)和(2, 5)。

2. 直线y = -3x + 4与圆x² + y² = 16相交于两个点A和B，求点A 和B的坐标。

解析：将直线方程和圆方程代入，得到：-3x + 4 = ±√(16 - x²)解方程得：x = 1, 3将x带入直线方程求解y的值，得到：当x = 1时，y = 7;当x = 3时，y = -5。

因此，点A和B的坐标分别为(1, 7)和(3, -5)。

3. 直线y = 2x - 1与圆x² + y² = 25相切于一点A，求点A的坐标。

解析：当直线与圆相切时，切点的切线与圆的切点在平面直角坐标系中重合。

因此，我们只需要求解直线方程与圆方程的交点即可。

将直线方程和圆方程代入，得到：2x - 1 = ±√(25 - x²)解方程得：x = 4/5将x带入直线方程求解y的值，得到：当x = 4/5时，y = 3/5。

因此，点A的坐标为(4/5, 3/5)。

4. 直线y = x与圆x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0相交于两个点A和B，求点A和B的坐标。

解析：将直线方程和圆方程代入，得到：x = ±√(4 - y²)代入圆方程，得到：x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0代入x，得到：(4 - y²) + y² - 4√(4 - y²) - 2y + 4 = 0整理方程得：y² + y - 2 = 0解方程得：y = 1, -2将y带入直线方程求解x的值，得到：当y = 1时，x = 1;当y = -2时，x = -2。

2.1 直线与圆的位置关系(二)1.下列说法中，不正确的是(D ) A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线2.如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中，不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是(D ) A. AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5 B. ∠B ＝45°，AB ＝AT C. ∠B ＝55°，∠TAC ＝55° D. ∠ATC ＝∠B(第2题) (第3题)3.如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 经过AB 的中点D ，CE ∥AB ，点F 在⊙O 上，连结OA ，CF ，BF ，则下列结论中，不正确的是(B )A. ∠F ＝12∠AOC B. AB ⊥BFC. CE 是⊙O 的切线D. AC ︵＝BC ︵4.如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C )A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第4题) (第5题)5.如图，△ABC 的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线，你所添加的条件为∠ABC ＝90°(答案不唯一) .(第6题)6.如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，12BO 长为半径作⊙O .当射线BA绕点B 按顺时针方向旋转60°或120°(不超过360°)时与⊙O 相切.(第7题)7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.【解】 ∵AB 是⊙O 的直径，CE ＝DE ，∴AB ⊥C D. ∵BF ∥CD ，∴BF ⊥A B.又∵OB 为⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线.(第8题)8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F . (1)求证：四边形BEDF 为矩形.(2)若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 【解】 (1)∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BED ＝∠DFB ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠FBC ＝∠DFB ＝90°＝∠BED ＝∠ED A. ∴四边形BEDF 为矩形.(2)直线CD 与⊙O 相切.理由如下： ∵BD 2＝BE ·BC ，∴BD BE ＝BCBD. 又∵∠DBE ＝∠CBD ，∴△BED ∽△BD C. ∴∠BDC ＝∠BED ＝90°.∴CD 与⊙O 相切.9.如图，P 为⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A ，且OA ＝2AP ，甲、乙两人想作一条过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：(第9题)甲：以点P 为圆心，OP 长为半径画弧，交⊙O 于点B ，连结PB ，则直线PB 即为所求； 乙：作OP 的中垂线，交⊙O 于点B ，连结PB ，则直线PB 即为所求. 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(B ) A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确【解】 甲：如解图①，以点P 为圆心，OP 长为半径画弧，交⊙O 于点B ，连结OB ，BP ，则OP ＝BP ，∴∠OBP ＝∠BOP <90°， ∴PB 不是⊙O 的切线，∴甲错误.(第9题解①) (第9题解②)乙：如解图②，作OP 的中垂线，交⊙O 于点B ，交OP 于点M ，连结OB ，BP ，则OB ＝PB ，OM ＝PM . ∵OA ＝2AP ，∴OM ＝34OA ＝34OB ，∴∠BOP＝∠BPO≠45°，∴∠OBP≠90°，∴PB不是⊙O的切线，∴乙错误.(第10题)10.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.【解】连结O C.∵BC＝OB，∴∠BCO＝∠BO C.∵∠AOB＝90°，∴∠EOC＋∠BOC＝90°.∵OD⊥AB，∴∠BCO＋∠DOC＝90°，∴∠EOC＝∠DO C.又∵OE＝OD，OC＝OC，∴△EOC≌△DO C.∴∠CEO＝∠CDO＝90°.∴CE是⊙O的切线.11.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥C D.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长.(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.(第11题)【解】(1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4.(2)如解图，连结O C.(第11题解)∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠CA B.又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CB A.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OC A.∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线.12.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.(1)求证：CE是⊙O的切线.(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.(第12题)【解】(1)如解图，连结CO.(第12题解)∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OA C.∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥F D.∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线.(2)如解图，连结B C.在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝12＋22＝ 5. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°， ∴∠CEA ＝∠BC A.又∵∠CAE ＝∠BAC ，∴△ACE ∽△ABC ， ∴AC AB ＝AE AC，∴5AB ＝1 5，∴AB ＝5， ∴AO ＝2.5，即⊙O 的半径为2.5.13.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(－1，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 长为直径作⊙P 交y 轴正半轴于点C.(第13题)(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线所对应的函数表达式. (2)设M 为(1)中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数表达式. (3)试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论.(第13题解)【解】 (1)如解图，连结CP . ∵点A (4，0)，B (－1，0)， ∴AB ＝5， ∴PC ＝PB ＝PA ＝52，∴OP ＝52－1＝32.在Rt △CPO 中，由勾股定理，得OC ＝PC 2－OP 2＝2，∴点C (0，2).设经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式是y ＝a (x －4)(x ＋1). 把点C (0，2)的坐标代入y ＝a (x －4)(x ＋1)， 得2＝a (0－4)(0＋1)，∴a ＝－12，∴y ＝－12(x －4)(x ＋1)＝－12x 2＋32x ＋2.(2)∵y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋258，∴点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，258.设直线MC 的函数表达式是y ＝kx ＋b .把点C (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，258的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，258＝32k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝2.∴y ＝34x ＋2.(3)直线MC 与⊙P 相切.证明如下： 如解图，设直线MC 交x 轴于点D. 当y ＝0时，0＝34x ＋2，∴x ＝－83，∴点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，0，∴OD ＝83. 在Rt △COD 中，由勾股定理，得CD 2＝OC 2＋OD 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝1009＝40036.∵PC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝254＝22536，PD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋832＝62536，∴CD 2＋PC 2＝PD 2，∴∠PCD ＝90°，∴PC ⊥D C.又∵PC 为⊙P 的半径，∴直线MC 与⊙P 相切.初中数学试卷。

2019学年度九年级数学直线与圆的位置关系专项训练题二（附答案详解）1．下列四个命题中正确的是( )①与圆有公共点的直线是该圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线;④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.A．①②B．②③C．③④D．①④2．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点，若，，则下列结论：①；②的周长为；③．正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．如图，直线与的外接圆相切于点，若，则等于（）A．B．C．D．4．⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，如果圆心到直线l的距离为d，那么d与R的大小关系是（）A．d≥R B．d≤R C．d>R D．d<R5．如图，在O中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若∠A=25°，则∠D的大小为（）A．25°．B．40°．C．50°．D．65°．6．若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（）A．-2＜a＜4 B．a＜4 C．a＞-2 D．a＞4或a＜-27．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠C的度数之比为1:2，则∠A的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．90°8．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，交BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果CD=8，CE=6，求⊙O的半径．10．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．12．如图，已知为的直径，过上的点的切线交的延长线于点，于点且交于点，连接，，．求证：；若，，求的长．13．已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．15．已知：PA是的切线，点B在上，连接OB，OP，连接AB交OP于点C，．如图1，求证：；如图2，OP交于点D，过点D作交AB于点E，连接OE，求证：；如图3，在的条件下，延长PO交于点N，连接AN交DF于点M，连接OM、EP，若，，求线段BE的长．16．若点到上点的最大距离是，最小距离是，则的半径是________．17．如图，是的外接圆，于，为的中点，是延长线上一点，若，则________．18．如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1___S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）19．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点的直线上有两点、，且，°，不经过点，则的最小值为_____.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y=kx-2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为____．21．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠A=______．22．⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离为d，R、d是方程x2－6x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为____．23．如图，点是的内心，若，则________．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为_________．25．如图，P A，PB分别切⊙O于A，B两点，C是上的一点，∠P＝40°，则∠ACB 的度数为________．参考答案1．C【解析】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；②中，应经过此半径的外端，故错误；③中，根据切线的判定方法，正确；④中，根据切线的判定方法，正确。