高中数学3.2倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修4

3.2.1 倍角公式点、易错点名师点拨(1)T 2α只有当α≠k π＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n m α)＝2sin(2n －1m α)cos(2n －1m α)；cos(2n m α)＝cos 2(2n －1m α)－sin 2(2n －1m α)；tan(2nm α)＝n －1m α1－tan 2n －1m α. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×＋cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。

教材习题点拨练习A 1．(1)22；(2)22；(3)32；(4)－32； (5)1；(6)14.2．由cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝513，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－12132－1＝119169.(由cos 2α＝1－2sin 2α也可以求得)sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－1213×513＝－120169. 3．因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，cot 2α＝1tan 2α＝34.4．y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，则该函数的周期是π，最大值是1，最小值是－1. 练习B1．(1)(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α； (2)sin θ2cos θ2＝12sin θ；(3)cos 4φ－sin 4φ＝(cos 2φ－sin 2φ)(cos 2φ＋sin 2φ)＝cos 2φ； (4)11－tan θ－11＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 2．因为cos(α－β)＝－45，而且α－β＝⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin(α－β)＝35. 因为cos(α＋β)＝45，而且α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin(α＋β)＝－35. 所以cos 2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)＝－725.3．原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.4．设∠AOC ＝θ，θ∈(0°，60°)．OC ＝1，OF ＝cos θ，CF ＝sin θ，OE ＝DE tan 60°＝CF 3＝sin θ3，EF ＝OF －OE ＝cos θ－sin θ3.矩形CDEF 的面积S ＝EF ·CF ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－sin θ3sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ3 ＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36 ＝33⎝⎛⎭⎫32sin 2θ＋12cos 2θ－36＝33(cos 30°sin 2θ＋sin 30°cos 2θ)－36 ＝33sin(2θ＋30°)－36≤36. 因为θ∈(0°，60°)，所以2θ＋30°∈(30°，150°)．当且仅当θ＝30°时S 取得最大值36，所以当C 点在AB 弧的中点时，矩形CDEF 的面积最大，此时∠AOC ＝30°.练习A1．(1)sin 22°30′＝1－cos 45°2＝2－22； (2)cos 67°30′＝1＋cos 135°2 ＝1－222＝2－22； (3)cos 13π12＝－cos π12＝－1＋cosπ62＝－1＋322＝－6＋24； (4)cot 5π8＝－tan π8＝－1－cosπ41＋cosπ4＝－1－221＋22＝1－ 2.2．因为cos 2α＝－0.5,45°＜α＜90°，所以cos α＝1＋cos 2α2＝1＋(－0.5)2＝12，sin α＝1－cos 2α2＝1－(－0.5)2＝32，tan α＝1－cos 2α1＋cos 2α＝1－(－0.5)1＋(－0.5)＝3或tan α＝sin αcos α＝3212＝ 3. 3．设顶角是θ，底角是α，则cos θ＝720，α＝π－θ2＝π2－θ2∈(0°，90°)．所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋7202＝33020，cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ2＝sin θ2＝1－cos θ2 ＝1－7202＝13020. 练习B1．因为sin θ＝0.64，且θ在第二象限，所以cos θ＝－1－sin 2θ≈－0.77. 又因为θ2为第一或第三象限角，所以sin θ2＝±1－cos θ2＝±1＋0.772≈±0.94， cos θ2＝±1＋cos θ2±1－0.772≈±0.34， tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1＋0.771－0.77≈2.78.2．(1)y ＝cos 2x 2＝1＋cos x2.所以周期为2π.(2)y ＝2sin 2x ＝1－cos 2x .所以周期为π. 3．(1)因为2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2－1 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， 所以1＋sin α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2. (2)因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，所以1－sin α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2. 习题3－2A1．因为sin θ＝0.28＝725，90°＜θ＜180°，则cos θ＝－2425.θ2∈(45°，90°)，即θ2为第一象限角，所以sin θ2＝1－cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫－24252＝7210，cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋⎝⎛⎭⎫－24252＝210，tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－24251＋⎝⎛⎭⎫－2425＝7或tan θ2＝sinθ2cos θ2＝7210210＝7. 2．由tan α＝2tanα21－tan 2α2得tan α2＝－1±1＋tan 2αtan α.3．(1)左边＝2(－sin α)(－cos α) ＝2sin α·cos α＝sin 2α＝右边； (2)左边＝⎝⎛⎭⎫cos 2x 2＋sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x2 ＝cos 2x 2－sin 2x2＝cos x ＝右边；(3)左边＝1＋2cos 2θ－(2cos 2θ－1)＝2＝右边；(4)左边＝sin(2θ＋θ)＝sin 2θcos θ ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos 2θ＋(1－2sin 2θ)sin θ＝2sin θ(1－sin 2θ)＋sin θ－2sin 3θ＝3sin θ－4sin 3θ＝右边；(5)左边＝cos(2θ＋θ)＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ＝(2cos 2θ－1)cos θ－2sin θcos θ·sin θ＝2cos 3θ－cos θ－2(1－cos 2 θ)cos θ＝4cos 3θ－3cos θ＝右边．4．(1)因为y ＝1＋cos x －sin x ＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos x sin π4－sin x cos π4 ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 所以函数的最大值是1＋2，最小值是1－2，周期是2π.(2)因为y ＝(sin x －cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝1－sin 2x ，所以函数的最大值是2，最小值是0，周期是π.5．原式＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝1.习题3－2B1．设顶角是θ，底角是α，由sin α＝513，α∈(0°，90°)，可求cos α＝1213.又θ＝180°－2α，所以sin θ＝sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×1213＝120169；cos θ＝cos(180°－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫5132＝－119169；tan θ＝sin θcos θ＝120169－119169＝－120119. 2．设顶角是θ，底角是α，则cos θ＝725，α＝180°－θ2＝90°－θ2∈(0°，90°)．所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫90°－θ2＝cos θ2＝1＋cos θ2＝1＋7252＝45，cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫90°－θ2＝sin θ2＝1－cos θ2＝1－7252＝35，tan α＝sin αcos α＝4535＝43. 3．(1)左边＝sin 2φ＋cos 2φ＋2sin φcos φsin φ＋cos φ＝(sin φ＋cos φ)2sin φ＋cos φ＝sin φ＋cos φ＝右边； (2)左边＝sin θ(1＋2cos 2θ－1) ＝2sin θcos 2θ＝sin 2θcos θ＝右边； (3)左边＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝cos α1＝cos α＝右边；(4)左边＝2sin θ(1＋cos θ)＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ ＝右边；(5)左边＝2sin α(1－cos α)2sin α(1＋cos α)＝1－cos α1＋cos α＝2sin 2α22cos 2α2＝tan 2α2＝右边；(6)左边＝cos 2α－cos αcos β＋sin 2α－sin αsin β＝1－cos(α－β)＝1－( 1－2sin 2⎭⎫α－β2＝2sin 2α－β2＝右边． 4．(1)y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，函数的最大值是12，最小值是－12，周期是π；(2)y ＝3cos 2x ＋12sin 2x ＝32(1＋cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.所以函数的最大值为1＋32，最小值为－1＋32，周期是π.。

【2019最新】高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-1倍角公式课后导练新人教B 版必修4 倍角公式课后导练基础达标1.sin α-cos α=51,则sin ２α的值是（ ） A.2524- B.2524 C.54 D.54- 解析：两边平方，1-2sin αcos α=215,∴sin2α=2524.答案：B2.已知tan α+αtan 1=m ，则sin2α等于（ ） A.m 1 B.m 2 C.2m D.21m 解析：切化弦ααcos sin 1=m,∴sin２α=m 2.答案：B 3.cos 17π·cos 172π·cos 174π·cos 178π的值为（ ） A.21 B.41 C.81 D.161解析：乘以17sin 17sin ππ，利用倍角公式化简得161.答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tan α+αα2sin 2tan 1=B.tan α-αα2tan 2tan 1-C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ,∴2sin 2θ=1-cos2θ.答案：D5.已知sin α=215-,则sin2(α-4π)=_____________.解析：原式=-cos2α（诱导公式）.答案：2-56.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π),求sin4x 的值. 解：∵sin(4π+x)sin(4π-x)=sin(4π+x)sin ［2π-(4π+x)］=sin(4π+x)cos(4π+x) =21sin(2π+2x)=21cos2x=61, ∴cos2x=31.∵x∈(2π,π), ∴2x∈(π,2π).∴sin2x=322-. ∴sin4x=2sin2xcos4x=924-. 8.已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值. 解:∵tan(4π+θ)=θθtan 1tan 1-+=3, ∴tan θ=21. ∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- 541tan 2tan 22-=+-=θθ. 综合运用9.已知cos(4π+x)=53,47127ππ<<x ,求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 解：∵47127ππ<<x , ∴65π<4π+x<2π. ∵cos(4π+x)=53,∴23π<4π+x<2π. ∴sin(4π+x)=54-,tan(4π+x)=34-. 又∵sin2x=-cos(2π+2x) =-2cos 2(4π+x)+1 =2518-+1=257. 原式=x x x x x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+ xx x x x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+==sin2xtan(4π+x)=257·(34-)=7528-. 10.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,2π),求sin α,tan α. 解:原等式可变为4sin 2αcos 2α+2sin α·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.∵α∈(0,2π),∴sin α+1≠0,cos 2α≠0. ∴sin α=21,α=6π.∴tan α=33 11.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=2π. 证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β,又sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α3sin 2α-sin α3sin αcos α=0.又0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π. 拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进310 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=103 m.在Rt△ABE 中,BE=AEcot θ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cot θ-cot2θ),同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ. 而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=3,∴2cos2θ=3⇒cos2θ=23⇒2θ=30°. ∴θ=15°, ∴AE=21AC=21BC=15 m. 故θ为15°，建筑物高为15 m.。

最新中小学教案、试题、试卷3.2.1 倍角公式自我小测1．若cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝602πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则sin 2θ＝( )A B C D 2． 23sin 702cos 10-︒-︒等于( )A ．12 B C ．2 D ．323．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( )A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32 D ．－2，324．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A C ．2 D5．( )A ．1B ．2C ． 2D ． 36．已知sin α，则sin 24a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝__________．7．若tan α＝12，则cos 22a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________． 8．若sin 6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，则cos 223a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________．9．已知α为锐角，且sin α＝45．(1)求22sin sin 2cos cos 2a aa a ++的值； (2)求tan 54a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝1,2x ⎫-⎪⎭，函数f (x )＝(m ＋n )·m ．(1)求f (x )的最小正周期T ；最新中小学教案、试题、试卷 (2)已知f (A )恰是f (x )在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值，求锐角A ．参考答案1．答案：B2．答案：C3．答案：C4．答案：B5．答案：C6．答案：27．解析：cos 22a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin 2α＝－222sin cos sin cos a a a a +＝－22tan 1tan a a +＝－1114+＝－45． 答案：－458．解析：观察发现23π＋2α＝23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而3a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2π，则cos 3a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以cos 223a π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1 ＝2sin 26a π⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝－79． 答案：－799．解：(1)因为α为锐角，且sin α＝45， 所以cos α35． 所以22sin sin 2cos cos 2a a a a ++＝22sin 2sin cos 3cos 1a a a a +- ＝2244325553315⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝20． (2)由(1)，得tan α＝sin cos a a ＝43，所以tan 54a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝5tan tan451tan tan 4a a ππ-+＝tan 11tan a a -+＝17． 10．解：(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2xx cos x ＋32＝1cos 22x -sin 2x ＋32x －12cos 2x ＋2 ＝sin 26π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝22π＝π． (2)由(1)，知f (x )＝sin 26π⎛⎫-⎪⎝⎭＋2． 当x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，－6π≤2x －6π≤56π． 由正弦函数的图象可知，当2x －6π＝2π时，f (x )取得最大值3，即f (A )＝3，此时2A －6π ＝2π， 所以A ＝3π．。

3.2 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值：(1)cos cos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)-+cos215°.思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解:(1)cos cos=cos sin=×2cos sin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=-；(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=====.解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50° cos50°)(sin70° cos70°)=sin20° sin60° sin100° sin140°=cos10° cos30° cos50° cos70° =N，∴M=，即sin10° sin30° sin50° sin70°=.例2(2005江苏高考卷，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于( )A.-B.-C.D.思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=-.答案:A绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1 已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4α的值.思路分析:发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解:∵(+α)+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α).∵sin(+α)sin(-α)= ，∴2sin(+α)cos(+α)=.∴sin(+2α)=.∴cos2α=.又∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=-.∴sin4α=2sin2αcos2α=-.变式训练2 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于( )。

2019年高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-1倍角公式课后导练新人教B 版必修4课后导练基础达标1.sin α-cos α=,则sin ２α的值是（ ）51 A. B. C. D.2524-25245454-解析：两边平方，1-2sin αcos α=5,21 ∴sin2α=.2524 答案：B2.已知tan α+=m ，则sin2α等于（ ）αtan 1A. B. C.2m D.m 1m 221m解析：切化弦=m,∴sin２α=.ααcos sin 1m2答案：B3.cos·cos·cos·cos 的值为（ ）17π172π174π178πA. B. C. D.214181161解析：乘以，利用倍角公式化简得.17sin 17sinππ161答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tan α+αα2sin 2tan 1= B.tan α-αα2tan 2tan 1-C.sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin2θ解析：cos2θ=1-2sin2θ, ∴2sin2θ=1-cos2θ. 答案：D5.已知sin α=,则sin2(α-)=_____________.215-4π解析：原式=-cos2α（诱导公式）. 答案：2-56.化简.︒--︒+100sin 1100sin 1 解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°. 7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x 的值.4π4π612π解：∵sin(+x)sin(-x)=sin(+x)sin［-(+x)］=sin(+x)cos(+x)4π4π4π2π4π4π4π=sin(+2x)=cos2x=,212π2161 ∴cos2x=.∵x∈(,π),312π∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.322-∴sin4x=2sin2xcos4x=.924-8.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.4π解:∵tan(+θ)==3,4πθθtan 1tan 1-+∴tan θ=.21 ∴原式=θθθθθθθθθ222222cossin cos2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- 541tan 2tan 22-=+-=θθ. 综合运用9.已知cos(+x)=,,求的值.4π5347127ππ<<x xx x tan 1sin 22sin2-+解：∵,47127ππ<<x ∴<+x<2π.65π4π∵cos(+x)=,4π53∴<+x<2π.23π4π∴sin(+x)=,tan(+x)=.4π54-4π34- 又∵sin2x=-cos(+2x)2π =-2cos2(+x)+14π =+1=.2518-257原式=x x xx x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+ =sin2xta n(+x)=·()=.4π25734-7528-10.已知sin22α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,),求sin α,tan α.2π解:原等式可变为4sin2αcos2α+2sin α·cos2α-2cos2α=0, ∴2cos2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. ∵α∈(0,),∴sin α+1≠0,cos2α≠0.2π ∴sin α=,α=.∴tan α=216π33 11.α,β是锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.2π 证明:由已知得3sin2α=1-2sin2β=cos2β, 又sin2β=sin2α=3sin αcos α,23 ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α3sin2α-sin α3sin αcos α=0. 又0<α<,0<β<,2π2π∴0<α+2β<π.∴α+2β=.232π拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？310 解：由已知BC=30 m,CD=10 m.3在Rt△ABE 中,BE=AEcot θ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cot θ-cot2θ),同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ),∴,)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC 即.3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ 而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=--=2cos2θ=,3∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.3⇒23⇒∴θ=15°, ∴AE=AC=BC=15 m.2121故θ为15°，建筑物高为15 m.。

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倍角公式1.（2012·广东揭阳测试)已知倾斜角为α的直线ｌ与直线x－2y+２＝0平行，则ｔａn 2α的值为( )A.45B.34C.43D.232.当cｏs 2α＝,sin4α＋coｓ4α的值是（）A.1B.79C．1118D．13183.若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是( )A.3ππ2π2π,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZB．π5π2π2π,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ZC.ππππ,44x k x k k⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ZＤ.π3πππ,44x k x k k⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z4.函数y＝2sin x(ｓiｎx＋ｃｏs ｘ）的最大值为（）A．1 B1C D.25.已知sinα，则πsin 24α⎛⎫-=⎪⎝⎭＿_______.6.已知θ是第三象限角，且siｎ4θ＋coｓ4θ=59,则sin 2θ＝________.7．已知2sin cos5sin3cosθθθθ+=--，则３cｏs 2θ＋sｉｎ2θ=_＿_____＿．8.在△ABC中，4cos5A＝,tａn B＝2,求taｎ(2A＋2Ｂ)的值.9.（2０１2·福建三明联考)已知函数ｆ(ｘ）x cos ｘ+sｉn2x。

§3.2 倍角公式和半角公式3．2.1 倍角公式一、基础过关1． 函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22C ．2 D.32 3． 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13B ．－79C.13D.79 4． 若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3B ．－3C ．－2D ．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 ( )A.459B.259 C ．－459D ．－2596． 2sin 222.5°－1＝________.7． 函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．8． 已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．二、能力提升9． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105B.105C ．－155D.15510．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.三、探究与拓展 13．化简：(1)cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x 2n .答案1．A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.－227.2 8.1459.C10.311.π612．(1)116(2) 213．解(1)原式＝125sin π11·25sinπ11·cosπ11cos2π11·cos⎝⎛⎭⎫π－8π11cos4π11·cos⎝⎛⎭⎫－π＋16π11＝1 25sin π11·24sin2π11cos2π11cos4π11·⎝⎛⎭⎫－cos8π11⎝⎛⎭⎫－cos16π11＝1 25sin π11·23sin4π11cos4π11cos8π11·cos16π11＝1 25sin π11sin32π11＝1 25sin π11sin⎝⎛⎭⎫3π－π11＝sinπ1125sin π11＝132.(2)原式＝12n sin x2n·2n sinx2n·cosx2·cosx4…cosx2n＝1 2n sin x2n·2n－1⎝⎛⎭⎫2sinx2n·cosx2n·cosx2cosx4…cosx2n－1＝1 2n sin x2n·2n－1sinx2n－1·cosx2·cosx4…cosx2n－1＝sin x 2n sin x2n .。

3.2.1 倍角公式课后导练基础达标1.sinα-cosα=51,则sin ２α的值是（ ） A.2524- B.2524 C.54 D.54-解析：两边平方，1-2sinαcosα=215,∴sin2α=2524.答案：B2.已知tanα+αtan 1=m ，则sin2α等于（ ） A.m 1 B.m 2 C.2m D.21m解析：切化弦ααcos sin 1=m,∴sin２α=m2.答案：B3.cos17π·cos172π·co s 174π·cos 178π的值为（ ） A.21 B.41 C.81 D.161 解析：乘以17sin 17sinππ，利用倍角公式化简得161.答案：D4.下列结论错误的是（ ）A.tanα+αα2sin 2tan 1=B.tanα-αα2tan 2tan 1-C.sin 2α-sin 2β=sin(α+β)sin(α-β)D.1+cos2θ=2sin 2θ解析：cos2θ=1-2sin 2θ,∴2sin 2θ=1-cos2θ. 答案：D 5.已知sinα=215-,则sin2(α-4π)=_____________. 解析：原式=-cos2α（诱导公式）. 答案：2-56.化简︒--︒+100sin 1100sin 1.解：原式=︒︒--︒︒+50cos 50sin 2150cos 50sin 21 =sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.7.已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π),求sin4x 的值.解：∵sin(4π+x)sin(4π-x)=sin(4π+x)sin ［2π-(4π+x)］=sin(4π+x)cos(4π+x)=21sin(2π+2x)=21cos2x=61, ∴cos2x=31.∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π).∴sin2x=322-. ∴sin4x=2sin2xcos 4x=924-. 8.已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值. 解:∵tan(4π+θ)=θθtan 1tan 1-+=3,∴tanθ=21.∴原式=θθθθθθθθθ222222cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin +-=+- 541tan 2tan 22-=+-=θθ. 综合运用9.已知cos(4π+x)=53,47127ππ<<x ,求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 解：∵47127ππ<<x , ∴65π<4π+x<2π.∵cos(4π+x)=53,∴23π<4π+x<2π.∴sin(4π+x)=54-,tan(4π+x)=34-.又∵sin2x=-cos(2π+2x) =-2cos 2(4π+x)+1 =2518-+1=257.原式=x x xx x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-+xxxx x x x x tan 1tan 12sin sin cos )sin (cos 2sin -+=-+==sin2xtan(4π+x)=257·(34-)=7528-.10.已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,2π),求sinα,tanα. 解:原等式可变为4sin 2αcos 2α+2sinα·cos 2α-2cos 2α=0,∴2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0. ∵α∈(0,2π),∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. ∴sinα=21,α=6π.∴tanα=3311.α,β是锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=2π. 证明:由已知得3sin 2α=1-2sin 2β=cos2β, 又sin2β=23sin2α=3sinαcosα, ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα3sin 2α-sinα3sinαcosα=0.又0<α<2π,0<β<2π, ∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.拓展探究12.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进310 m 至D 处,测得顶端A 的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE 的高吗？解：由已知BC=30 m,CD=103 m.在Rt△ABE 中,BE=AEcotθ,在Rt△ACE 中,CE=AEcot2θ, ∴BC=BE -CE=AE(cotθ-cot2θ),同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ), ∴)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC , 即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ.而θθθθθθθθθθθθθθ2sin 4sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cot 2cot cot =--=-- =2cos2θ=3,∴2cos2θ=3⇒cos2θ=23⇒2θ=30°. ∴θ=15°, ∴AE=21AC=21BC=15 m. 故θ为15°，建筑物高为15 m.。