北京市朝阳区2019届高三数学第二次(5月)综合练习(二模)试题理(含参考答案)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的 部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列π3π122-2O y x开始 i =0结束i =i +1a >13?输出i 是否a =2a +3 输入a（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．BA（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．（13）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ． （14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计A （第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.服务时间/小时FABCDP E（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数2018．515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以355E ξ=⨯=． ……………13分 17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P ，1(,0,)22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD ，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．E P DCBAF设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ．…10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线． 因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CGx y z =-， 所以111212x y +--==． 所以1112λλ+---==故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-． 因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ．“当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立” 等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， 所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<．由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值， 且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥， 解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． ……………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=， 221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k -+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =． 因为120nn rrn r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m -===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． …………3分（Ⅱ）由120kk rr k r T xx -==∑，得54545551211221420r rr r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑．即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+． 所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--．……………8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．_（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数．由120k k r r k r T x x -==∑，得111112112200kkk rr k r r k k r r T x x x x x x ++--++====+∑∑．即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T x T x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+． 所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数． 即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120nn r rr x x -=∑的值都是整数．………13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =A.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为A.B. 1C. 0D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos C =,则b =A. B. 3 C.32 D. 435. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32 B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值28.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=, 2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ 在BC 方向上投影的最大值是A.13B. 12C. D.23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 .10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 . 11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.B14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[,]312x ππ∈-时，求证：()f x ≥某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.0.5a 0.2 789 10 评分O频率组距在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.B 1B已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值.已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a 的离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点.对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a b a A b A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A AS A=. （Ⅰ）若{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;（Ⅱ）若集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”; （Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆，求元素个数最少的集合A .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos f x x x x =+-sin 2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π.………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()=f x所以当[,]312x ππ∈-时， ()f x ≥ ………….13分 16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D ,所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C ,E ,(0,2,0)C.所以1(0,DB =-，DA =，1BC =. 又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥. 又因为1DADB D =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，B又(AC =-，1(0,4,B C =-，由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,40.y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则y =，z =，则2=n .所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos θ=………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时1321()ln()f a a a a a -=+-=,解得11ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4fa =--，由题意可得4a a--=， 解得2a =-+或2a =--. 因为10a -<<，所以2a =.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得2a =-+2a =--.综上所述2a =-+.………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A ，(1,B ，D . 此时，直线BD 的方程为：(2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=.所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++. 直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分 （Ⅱ）令12{,,}n A x x x =.不妨设12n x x x <<<.充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤ 且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-. 必要性：若(())21d S A n =-.因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-.所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++.任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-.所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/,1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(())T T A +=∈,若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++= 解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意. 当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A =满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =A.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为A.B. 1C. 0D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos 3C =,则b =A. B. 3 C.32 D. 435. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32 B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值28.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=, 2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ 在BC 方向上投影的最大值是A.13B. 12C. D.23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 .10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 . 11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.B14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[,]312x ππ∈-时，求证：()f x ≥16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.0.5a 0.2 789 10 评分O频率组距17.（本小题满分14分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a的离心率为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点.B 1B20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a b a A b A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A AS A=. （Ⅰ）若{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;（Ⅱ）若集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”; （Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆，求元素个数最少的集合A .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos f x x x x =+-sin 2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π.………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()=f x所以当[,]312x ππ∈-时， ()f x ≥ ………….13分 16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D , 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C ,E ,(0,2,0)C.所以1(0,DB =-，DA =，1BC =. 又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥. 又因为1DADB D =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，B又(AC =-，1(0,4,B C =-，由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,40.y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则y =，z =，则2=n .所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos θ=. ………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得14a a--=，解得2a =-+2a =--因为10a -<<，所以2a =.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得2a =-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+.………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2213x y +=.………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A ，(1,B ，D . 此时，直线BD 的方程为：2)y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y . 由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=.所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++. 直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=- 212213y y x y y -=- 2122143x x x x x --=- 2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分（Ⅱ）令12{,,}n A x x x =.不妨设12n x x x <<<.充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-.必要性：若(())21d S A n =-.因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-.所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++.任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-. 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/, 1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(()T T A +=∈, 若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++=解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意.当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A = 满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类）2019.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U=R，集合A={x︱0<2x<1},B={x︱log3x>0},则A∩(C U B)=(A){x︱x>1} (B){x︱x>0} (C){x︱0<x<1} (D){x︱x<0}（2）设x,y∈R那么“x>y>0”是“xy>1”的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为（A）8 （B）4 （C）43（D）3（4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为(A)1 (B)3(C)2 (D)4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。

现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120个（B）80个（C）40个（D）20个（6）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0,–1）的距离与到直线x=–1的距离和最小值是（A）5（B）3（C）2 （D）2（7）已知棱长为1的正方体ABCD–A1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1上的动点，且BE=D1 F=λ（0＜λ≤12）。

数学答案（理工类） ．5一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBCDADC二、填空题：（满分30分） 题号 91011121314答案33y x =±，4 3，16 6(,2][0,1)-∞-21960n n -+-,5221+（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为21cos 212sin 3A A =-=-，且 0A <<π，所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a cA C=，得66332a c =⋅=⨯=．…………………6分 (Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=． 解得5b =或3b =-（舍负）． 所以152sin 22ABC S bc A ∆==． …………………13分 解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25， 据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65天. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35,40,50,70．且(30)0.05P X ==；(35)0.10P X ==；(40)0.45P X ==； (50)0.25P X ==；(70)0.15P X ==；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX =⨯⨯⨯⨯⨯．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中，由//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，所以ABE ∆为等边三角形．如图2, 因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥． 又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE平面BCDE BE =，所以1A O ⊥平面BCDE ，所以1A O CE ⊥．………4分（Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点， 图2所以OC BE ⊥．由（Ⅰ）知1A O ⊥平面BCDE ， 所以11,A O BE A O OC ⊥⊥， 所以1,,OA OB OC 两两垂直．以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2BC =，易知13OA OC ==所以1(003),(100),(03(100)A B C E -，，，，，，，，， 所以111(103),(033),(103)A B AC A E =-=-=-，，，，，． 设平面1A CE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 110,0 AC A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得330, 30.y z x z =-=⎪⎩ 即0, 30. y z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ECDBA图1A 1xyz FOB CDE PCBFODA 1E取1z =，得(3,1,1)=-n ．设直线1A B 与平面1A CE 所成角为θ， 则133315sin cos ,255A B θ--=〈〉===⨯n 所以直线1A B 与平面1A CE 15． …………………9分 （Ⅲ）假设在侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ． 设11A P AC λ=，[0,1]λ∈．因为1111BP BA A P BA AC λ=+=+， 所以(103)(033)(333)BP λλλ=-+=-，，，． 易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，又由（Ⅰ）可知，1A O CE ⊥，所以CE ⊥平面1A OF ． 所以(1,3,0)CE =-为平面1A OF 的一个法向量．由(333)(1,3,0)130BP CE λλλ⋅=-⋅-=-=，得1[0,1]3λ=∈． 所以侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ，且1113A P A C =． …………14分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当3a =时, 21()42ln 2f x x x x =-+-，0x >． 2()4f x x x'=-+-．则(1)1421f '=-+-=，而17(1)422f =-+=． 所以曲线C 在点(1,(1)f )处的切线方程为712y x -=-，即2250x y -+=．…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意当[]1,2x ∈时，曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，等价于当12x ≤≤时，3()2x f x x ≤≤+恒成立． 设()()g x f x x =-211)ln 2x ax a x （=-++-，[]1,2x ∈． 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x ---++-'(1)(1))=x x a x---(-． （1）当11a -≤，即2a ≤时，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，()g x 为单调减函数，所以(2)()(1)g g x g ≤≤． 依题意应有131,222221ln20,()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩ 解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩所以12a ≤≤．（2）若 112a <-<，即23a <<时，当[)1,1x a ∈-，()0g x '≥，()g x 为单调增函 数，当x ∈(]1,2a -，()0g x '<，()g x 为单调减函数．由于3(1)2g >，所以不合题意． （3）当12a -≥，即3a ≥时，注意到15(1)22g a =-≥，显然不合题意． 综上所述，12a ≤≤． …………………………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）依题意可知2a =211c =-=，所以椭圆C 离心率为222e ==． …………… 3分 （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠． 令0y =，由0012x x y y +=得02x x =，则02(,0)A x ．令0x =，由0012x x y y +=得01y y =，则01(0,)B y ． 所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===．因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=． 所以200200122x y x y =+≥0022x y ≤，则0012x y ≥ 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥ 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，OAB ∆2． … 9分（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩ 解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++． 又因为200(1,)F P x y =-，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+ 222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线．综上所述，点2,,Q P F 三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,则12S S S =, 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． ………… 3分（Ⅱ）①若31,(1)2n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉．②若,x y T '∈,可设3,3nnx s y r =+=+，,r s T ∈,且3112n r s -≤<≤，此时31(3)(3)132n nnn x y s r s r --=+-+=-≤-<．所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y T T '-∉．③若y T ∈, 3nx s T '=+∈,s T ∈，则313331(3)()3(1)3222n n n nnnx y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉．又因为,y T s T ∈∈，所以s y T -∉．所以(3)()3n nx y s y s y T '-=+-=-+∉．所以'x y T T -∉．综上，对于,'x y TT ∀∈，x y >，都有'x y TT -∉． …………… 8分11 / 11 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ．（2）假设n k =(2k ≥)时，命题成立．即1231{1,2,3,,}2k k S S S S -==， 且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠，,(1,2,,),i x y S i k x y ∀∈=>，都有i x y S -∉． 那么 当1n k =+时，记{3|}k i i S s s S '=+∈,， 并构造如下 k +1个集合：111S S S '''=,222S S S '''=,,k k kS S S '''=， 1313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+， 显然()i j S S i j ''''=∅≠． 又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2k k k S S S S ++-''''''''=． 下面证明 ¢¢S i 中任意两个元素之差不等于 ¢¢S i 中的任一元素(1,2,,1)i k =+．①若两个元素13131,22k k k r s S +--''++∈,31112k r s -≤<≤+, 则313131()()222k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i i i S S S '''=(1)i k ≤≤,由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,,1)i k =+． 从而，1n k =+时命题成立．综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =>，{}|1B x x =≥，则A B =U （ ） A ．(12]， B ．(1)+∞， C ．(12)， D ．[1)+∞，2.在ABC △中，1AB =，2AC =，6C π∠=，则B ∠=（ ）A ．4π B ．4π或2π C ．34π D ．4π或34π3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．10B ．13C ．40D ．1214.在极坐标系中，直线l ：cos sin 2ρθρθ+=与圆C ：2cos ρθ=的位置关系为（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C.相切 D ．相离5.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+6.已知函数22()x x a f x x x a ⎧⎪=⎨<⎪⎩，，，≥则“0a ≤”是“函数()f x 在[0)+∞，上单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A ．4 B ．5 C.6 D ．78.若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ，3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x ，2x ，3x 成一个“β等差数列”.已知集合{}|100M x x x =∈Z ，≤，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ）A ．25B ．50 C.51 D ．100第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.计算21(1)i =+ ． 10.双曲线22x y λ-=（0λ≠）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 . 11.若31()n x x -展开式的二次项系数之和为8，则n = ；其展开式中含31x项的系数为 .（用数字作答）12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 .13.已知不等式组21(1) yx yy k x⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≤≥在平面直角坐标系xOy中所表示的平面区域为D，D的面积S，则下面结论：①当0k>时，D为三角形；②当0k<时，D为四边形；③当13k=时，4S=；④当13k<≤时，S为定值.其中正确的序号是．14.如图，已知四面体ABCD的棱AB∥平面α，且2AB=，其余的棱长均为1.四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数，记为()S x，则函数()S x的最小值为；()S x的最小正周期为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()2sin(sin cos)f x x x x a=+-的图象经过点(1)2π，，a∈R.（1）求a的值，并求函数()f x的单调递增区间；（2）若当[0]2xπ∈，时，不等式()f x m≥恒成立，求实数m的取值范围.16.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分，最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系.（只写结果）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值；（3）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由. 18. 已知函数2()2x f x xe ax ax =++（a ∈R ）（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为30x y +=，求a 的值； （2）当102a -<≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19. 已知抛物线2:2C y x =.（1）写出抛物线C 的直线方程，并求出抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点(20)，且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M . 1）求点M 的坐标；2）求OAM △与OAB △面积之和的最小值.20. 若无穷数列{}a 满足：存在p q a a =（p ，*q ∈Ν，p q >），并且只要p q a a =，就有p i q I a ta ++=(t 为常数，123i =L ，，，），则成{}n a 具有性质T . （1）若{}n a 具有性质T ，且3t =，14a =，25a =，41a =，55a =，78936a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S b =+（b ∈R ），证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ；（3）设{}n b 是一个无穷数列，数列{}n a 中存在p q a a =（p ，*q ∈N ，p q >），且1cos n n n a b a +=（*n ∈N ），求证：“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ，{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题理（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =UA.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 2. 复数i(1+i)的虚部为A.1 C. 0 D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos C =,则b =A. 3 C.32 D. 435. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值28.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=, 2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,则AQ uuu r 在BC uuur 方向上投影的最大值是A. 13B. 12C. 33D.23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 .10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 . 11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .ED 1C 1B DAF13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈u u u r u u u u r；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=u u u r u u u r.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[,]312x ππ∈-时，求证：()3f x ≥-. 16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：专家 A[ B C D E评分 9.9.9.8.9.0.5a0.2频率 组距N M H FEQy xLGPO BA[]（Ⅰ）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； （Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分. 方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x的极小值为1a，试求a 的值. B 1B[Z,X,X,K]19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 2221x y a+=(>1)a 的离心率为6.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a ba Ab A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =U . （Ⅰ）若{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;（Ⅱ）若集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”;[]（Ⅲ）若{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆L ，求元素个数最少的集合A .北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5一、选择题：（本题满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCBCDDC题号 91011121314答案c251-(2,2)(答案不唯一)60 3614双曲线三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-sin 23cos2x x =+2sin(2)3x π=+所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π. ………….6分（II ）因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()= 3.f x -所以当[,]312x ππ∈-时， ()3f x ≥-. ………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分 （Ⅱ）X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===. 所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=. 由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分（Ⅲ）122x x x +<. ………….13分 17．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D, 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D ，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -,[] 则(0,0,0)D ，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C,E ,(0,2,0)C .所以1(0,DB =-u u u u r ，DA =u u u r ，1BC =u u uu r.又因为100400BC DA ⋅=+⨯+⨯=u u u u r u u u r， 1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=u u u u r u u u u r,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥.又因为1DA DBD =I ，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，又(AC =-u u u r ，1(0,4,B C =-u u u r，B由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得2320,4220.x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则3y =，6z =，则2(1,3,6)=n . 所以121212110cos 1010,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角， 所以10cos 10θ=. ………….14分 18． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分 （Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x1(0,)a - 1a -1(,1)a- 1(1,)+∞()f x ' -+-()f x ↘极小值 ↗ 极大值 ↘此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x(0,1)11(1,)a-1a -1(,)a-+∞ ()f x ' -+-()f x↘极小值↗极大值↘此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得23a =-+或23a =--. 因为10a -<<，所以32a =-.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '-+()f x↘极小值↗此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=， 解得23a =-+23a =--.综上所述23a =-+………….13分 19． (本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得2221,6,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,3.b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分（Ⅱ）直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下 （1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设6(1,3A ，6(1,3B -，6(3,3D . 此时，直线BD 的方程为：6(2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). （2）当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330k x k x k +-+-=. 所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-212213y y x y y -=-2122143x x x x x --=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+.故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合{}0,1,2A =, 则{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分（Ⅱ）令12{,,}n A x x x =L .不妨设12n x x x <<<L .充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.则111(1)(1)2(2)(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-.必要性：若(())21d S A n =-.因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-L .所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++L L .任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-L . 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/, 1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 若2n =, 则()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 则223322331,2,,1,,1,2,,2(),a a a a a a a a T A +++∈从而1,2,3,4(())T T A ∈.若25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,则5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥. (i)若2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 则有81422,21428(())T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)若2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 则有16925(())T T A +=∈,若26(())T T A ∈, 则216226a +=或216(8)26,a ++=解得25a =或22a =.当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意.当{1,5,8}A =时,(()){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},T T A = 满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。

1北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）2019．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则AB =A.{|0}x x >B.{|12}x x <<C.{|12}x x ≤<D.{|0x x >且1}x ≠ 答案：A2. 复数i(1+i)的虚部为A. B. 1 C. 0 D. 1-答案：B3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制 的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4B.83C.5215D.304105答案：C4.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos 3C =,则b =A. B. 3 C. 32 D. 43答案：2sin 3=C ，由正弦定理sin sin =a bA B得3=b ，选B25. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 答案：C6. 已知函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A.(),0-∞B.(),1-∞C. ()1,+∞D. ()0,+∞ 答案：根据图像，若有零点，则函数与x 轴必有交点，答案选D7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32 B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2 答案：左视图 主视图 俯视图计算面积答案选D8.在同一平面内,已知A 为动点,,B C 为定点,且3BAC π∠=,1BC =,2ACB π∠≠,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 边所在直线于Q ,则AQ 在BC 方向上投影的最大值是A.13B. 12C. D.23答案：由题知，BC的圆的一条弦，点A 在圆弧上运动，点A 按逆时针运动到如图位置时，AQ 投影为BP 长，继续运动，AQ 的投影先增大后减小，减小到BP 长，由于圆弧的对称性，当运动到'A 时AQ在BC 投影最大；此时90'∠=PIA ,AQ 在BC 上的投影长度为'IA ,即为半径长度，答案选CB3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知3log e a =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 中最小的是 . 答案：331log e >c =log 2>=a ，ln31=>b ，综上最小的为c10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是 .答案：由题知2=p ，所以准线为1=-x ，抛物线上的点到交点距离为211.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P 到直线12,:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .答案：()22:11+-=C x y ,:230--=l x y，最小距离为11=-=d12. 已知实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若=+z x y 的最大值为4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是 .答案：直线4+=x y 上BC 之间任意一点均可以，（2，2）13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.答案：123560=C A ;111114345436++=C C C C C14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈；线段HN 的动点B 满足4HB HN λ=.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，则k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.答案：'422142λλλλλ=-=-=-=-=-=-=-BH HN k QH OP OP k OA OM ,所以14'⋅=k k ；2222:2:241416'-=+='∴-=∴-=QB y k x AP y kxy kk x y x 所以L 的轨迹为双曲线。