高二数学等差数列复习课

高二数学复习考点知识精讲与练习 专题9 等差数列的前n 项和公式【考点梳理】考点一 等差数列的前n 项和公式考点二 等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 考点三 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，S n关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．大重难点规律总结： (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a1，d ，n ，an 和Sn ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d 的方程组，解出a1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则am ＋an ＝ap ＋aq ，常与求和公式Sn ＝n a1＋an2结合使用．(3)等差数列前n 项和Sn 最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和Sn 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0或⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．【题型归纳】题型一：等差数列前n 项和的有关计算1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }中： （1）已知5104958,50a a a a +=+=，求10S ； （2）已知7342,510,45n n S S a -===，求n .3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列{}n a 的前n 项和n S ：（1）12a =，5d =，10n =； （2）12a =-，6n a =，12n =．题型二：等差数列片段和的性质4．（2022·全国·高二单元测试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（ ）A ．28B ．32C ．16D ．245．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知55S =，1521S =，则10S =（ ）A ．9B ．10C ．12D ．136．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ）A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列题型三：等差数列前n 项和与n 的比值问题7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040B ．-2020C ．2020D ．40408．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（ ） A ．0B ．2018C ．2019-D ．20209．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列{}n a 的通项公式是=12n a n -，前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 A ．45-B ．50-C ．55-D ．66-题型四：两个等差数列前n 项和的比值问题10．（2022·河南·高二月考）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（ ） A ．16B ．14C ．2D ．311．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A ．1929B ．1125C ．1117D ．2312．（2022·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若3123nn S n T n -=+，则1010ab =（ ）A ．54B ．4041C ．5641D ．2921题型五：等差数列前n 项和的最值问题（二次函数、不等式）13．（2022·北京市一零一实验学校高二期末）设n S 是等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和，且675S S S >>，则下列结论正确的有（ ） A ．110S >B ．120S <C ．130S >D ．86S S >14．（2022·全国·高二课时练习）已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20C ．19D ．1815．（2022·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列{}n a 满足247,3a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使n S 取最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7题型六：等差数列前n 项和偶数项和奇数项和与绝对值问题16．（2022·浙江杭州·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（ ）A ．22S =B ．24144S =C ．31243S =D ．60660S =17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列{}n a 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 A ．10B ．20C ．30D ．4018．（2022·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ） A ．18B ．16C ．12D ．8题型七：等差数列的简单应用19．（2022·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.（1）求第六排的座位数；（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议20．（2022·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？21．（2022·全国·高二课时练习）新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元. （1）每台充电桩第几年开始获利？(5.7≈) （2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n 年的年平均利润=n n前年的利润总和年数).【双基达标】一、单选题22．（2022·陕西·千阳县中学高二月考）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．823．（2022·河北省唐县第一中学高二月考）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S24．（2022·河南·高二月考（理））设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有n nS T ＝2343n n --，则2313a b b +＋14511a b b +的值为（ ）A ．2945B ．1329C ．919D ．193025．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（ ） A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919926．（2022·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市.下列说法正确的是（ ） A ．前四天共行1877由旬 B ．最后三天共行53由旬C ．从第二天起，每天比前一天多行的路程为237由旬 D ．第三天行了587由旬 27．（2022·全国·高二课时练习）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是（ ） A ．②③B ．①② C ．①③D ．①④28．（2022·河南·高二期中（理））设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n ∈N 时，n a ，1n +，1n a +成等差数列，给出下列说法：①当*n ∈N 时，1n n S S +<；②9S 的取值范围是()48,52；③642112S =；④存在*n ∈N ，使得2060n S =.其中正确说法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．429．（2022·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为nS和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（ ） A ．16B ．14C ．2D ．330．（2022·河南南阳·高二期中）已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（ ）A ．20B ．19C ．18D ．1731．（2022·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若3516a a a ++的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A ．7S B ．8S C ．13S D ．15S32．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210a a a ++⋅⋅⋅+的值为( )A ．68B ．67C ．65D ．56【高分突破】一：单选题33．（2022·江苏·高二单元测试）设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324n S =，则n 的值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1834．（2022·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）A ．39B ．45C ．48D ．5135．（2022·全国·高二单元测试）已知非常数数列{}n a 满足()()()()2221140n n n n n n a a a a a a n *++++----=∈N ，n S 为数列{}n a 的前n 项和.若22020S =，20202S =，则2022S =（ ）A ．2022B ．2022-C ．2021-D ．202236．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }和{b n }中，a 1=25，b 1=75，a 100+b 100=100，则数列{a n +b n }的前100项的和为（ ）A ．10000B ．8000C ．9000D ．1100037．（2022·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则17121217,,,S S S a a a 中最大的项为（ ） A ．1100S a B ．99S a C ．88S a D ．77S a38．（2022·江苏·苏州中学高二月考）已知数列{}n a满足11a =，)*2,N n n ≥∈且()*2cos 3n n n a b n π=∈N ，则数列{}n b 前36项和为（ ） A ．174B ．672C ．1494D ．590439．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若123nnS n T n +=+，则105510a ba b =（ ）A ．8281B ．8182C ．4241D ．414240．（2022·全国·高二专题练习）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S <，212520S S +=，则n S 取最小值时，n 的值为() A ．11B ．12C ．13D ．1441．（2022·全国·高二课时练习）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，且()2019201820190a a a +>，()2020201920200a a a +<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036二、多选题42．（2022·江苏·高二专题练习）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则（ ）A ．a n ＝－112n -B ．a n ＝*1,1,11,2,1n n n N n n-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩ C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．20110111+..S S S ++=－505043．（2022·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S <，60a >，则（ ） A ．70a <B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列 C ．0n S >时，n 的最大值为11D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项44．（2022·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是（ ）A ．若90S <，100S >，则6a 是数列{}n a 中绝对值最小的项B ．若3614S S =，则61247S S =C ．若18a =，42a =，则12832a a a +++=D ．若48a a =，0d ≠，则110S =45．（2022·辽宁大连·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n项和为n T ，且12nnS n T n +=，则下列选项中正确的是（ ）A ．3335a b =B ．321a b = C ．数列{}n a 是递增数列D ．数列{}n a 是递减数列46．（2022·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则下列选项中正确的是（ ） A ．数列{a n }是公差为2的等差数列B ．满足S n ＜100的n 的最大值是9C ．S n 除以4的余数只能为0或1D ．2S n ＝na n47．（2022·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n 天所织布的尺数为n a ，2nan b =，则（ ）A ．1058b b =B ．数列{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++三、填空题48．（2022·河南·高二月考（文））若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.49．（2022·江苏·高二专题练习）已知等差数列{a n }的首项a 1=a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足22213n n n a S n S -+=，0n a ≠，n ≥2，n ∈N *，那么a =____．50．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-．令()*14m m m m T a a a m N ++=+++∈，则m T 的最小值为_______．51．（2022·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列{}n a 中，120212022202120220,0,0a a a a a >+><，则使0n S >成立的最大自然数n 为_______52．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．四、解答题53．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （1）求公差d ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值．54．（2022·全国·高二课时练习）（1）等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{}n a 的前3m 项的和S 3m ；（2）两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知723nn S n T n +=+，求55ab 的值.55．（2022·河南南阳·高二期中）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .56．（2022·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，315S a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列21n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，用符号[]x 表示不超过x 的最大数，当[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=时，求n 的值.【答案详解】1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）S 10＝210 （2）n ＝20 （1）由已知条件得11014912135821150a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，10110(101)10910103421022S a d ⨯-⨯∴=+=⨯+⨯=； （2）()177447742,62a a S a a +===∴=， ()()143(645)510222n n n n a a n a a n S -+++∴====，20n ∴=. 3． （1）245 （2）24 （1）()1110920524522n n n S na d -⨯=+=+⨯=. （2）()()112262422n n n a a S +⨯-+===. 4．B 【详解】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列， 可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故选：B 5．C 【详解】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项，由等差数列前n 项和的性质可知：5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()()105515102S S S S S -=+-，即()()101025521S S -=+-，解得：1012S =， 故选：C. 6．D 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．C设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列，所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．D 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=， 552d∴⨯=， 解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=. 故选：D. 9．D 【详解】由题意知数列{}n a 为等差数列， ∴2[1(12)]2n n n S n -+-==-．∴nS n n=-， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为11(111)1211(1211)662⨯+----=-+++=-=-． 选D ． 10．B【详解】因为{}{},n n a b 为等差数列，故2855522a a a a a +=+==，即51a =，同理可得：54b =，所以19951995912492a a S ab bT b +⨯===+⨯. 故选：B ． 11．A 【详解】∵2132n nS n T n +=+，∴195519919551999()22911929()2392292a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯+======++⨯+， 故选：A 12．C 【详解】因为3123nn S n T n -=+，则()()11910119101919193191562192193412a a S ab b T b +⨯⨯-====+⨯⨯+． 故选：C ． 13．A 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以由675S S S >>可知，0d <，抛物线开口向下，其对称轴在()6,6.5之间， 所以抛物线与x 轴正半轴交点的横坐标范围是()12,13，结合二次函数的图象和性质可知110S >；120S >；130S <；86S S <. 故选：A 14．B 【详解】∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值． 故选：B. 15．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，11733a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：19,2a d ==-，于是得9(1)(2)211n a n n =+-⋅-=-+，由0n a >得，5n ≤，因此，数列{}n a 是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使n S 取最大值的自然数n 是5.故选：B 16．B 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=， 可得：20a =，11n n a a n -+=-，21S =，所以A 不正确；可得111n n a a +--=，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，24123412012311144S ∴=++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以B 正确； 31123415012315241243S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=≠，所以C 不正确；60123430012329900S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以D 不正确；故选：B ． 17．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为4d =，项数为n ，前n 项和为n S ，则2402n S S d n -===奇偶，即这个数列的项数为20，故选择B . 18．C 【详解】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k 使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，根据等差数列的性质，所以n 的最大值为12，选项C 正确，选项ABD 错误 故选：C.19．（1）19；（2）95. 【详解】（1）根据题意：每排座位数构成等差数列{}n a ，且19a =，2d =. 所以692519a =+⨯=，即第六排的座位数为19. （2）因为每排座位数都为奇数，所以得到第一排做5人，第二排做6人，第三排做7人，……. 即每排人数构成等差数列{}n b ，且15b =，1d =，10n =. 所以10109105952S ⨯=⨯+=，即最多可安排95人同时参加会议. 20．至少运送7趟，最少行驶14700米.【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 21．（1）3（2）8 【详解】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+--216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+<14142625.4325n .n n N n ∴-<+<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利（2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n -+-- ][64=20028200282400n n ⎡⎛⎫-+≤-=⎢ ⎪⎝⎭⎣当且仅当64,8n n n==时取等号 所以每台充电桩前8年的年平均利润最大 22．C 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =.故选：C. 23．D 【详解】由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1n n a a +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 24．C 【详解】由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴2313a b b +＋14511a b b +＝21482a a b +＝88a b ＝1515S T ＝21534153⨯-⨯-＝2757＝919故选：C ． 25．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 26．D 【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列{}n a ，则12a =又以后每天均比前一天多行相同的路程，故{}n a 构成一个等差数列，不妨设公差为d 七天一共行军80由旬，即780S = 故71767802S a d ⨯=+=，解得227d = 4143188427S a d ⨯=+=，A 错误； 567741883728077a a a S S ++=-=-=，B 错误； 由于227d =，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为227由旬，C 错误；31225822277a a d =+=+⨯=，D 正确 故选：D 27．B 【详解】∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确. S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确. {S n }中最大项为S 6，④不正确. 故正确的是①②. 故选：B 28．C解：因为数列{}n a 的各项都是正数，所以1n n S S +<，所以①正确；由n a ，1n +，1n a +成等差数列，可得12(1)n n a a n ++=+，*n ∈N ，则124a a +=，348a a +=，5612a a +=，；236+=a a ，4510a a +=，6714a a +=，，所以数列{}212n n a a -+是首项为4，公差为4的等差数列；{}221n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列.所以()()()912345891143464482S a a a a a a a a a ⨯=+++++++=+⨯+⨯=+， 由214a a =-，得11040a a >⎧⎨->⎩解得104a <<，所以9S 的取值范围是()48,52，所以②正确；643231324421122S ⨯=⨯+⨯=，所以③正确； 因为642060S >，所以()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++1113130316418618602046(2046,2050)2a a a ⨯=+⨯+⨯=++=+∈，632060S <，所以④错误. 故正确的命题的个数为3个， 故选：C.29．B 【详解】由等差数列的求和公式可得()199992a a S +==，()()19469993622b b b b T ++===， 因此，9991364S T ==.故选：B. 30．A 【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =. 故选：A. 31．D解：设3516a a a p ++=（常数），1321a d p ∴+=，即813a p =． 11515815()1552a a S a p ⨯+∴===． 故选：D ． 32．A 【详解】当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦； 当1n =时，113a S ==-符合上式， 所以25n a n =-，所以12108(115)|3||1|135154682a a a +++⋅⋅⋅+=-+-++++⋅⋅⋅+=+=． 故选：A. 33．D 【详解】 解：由题意可得612345324144180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=-=即12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=①612345636S a a a a a a =+++++=②且等差数列满足12132435465n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----+=+=+=+=+=+∴①②两式相加得16()18036216n a a +=+= ∴136n a a +=代入求和公式可得1()183242n n n a a S n +=== 解得18n = 故选：D. 34．D 【详解】设该塔群共有n 阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{}n a ，依题意可知5a ，6a ，…，n a 成等差数列，且公差为2，55a =，则()()()4513355421082n n n --++++-+⨯=，解得12n =.故最下面三价的塔数之和为()101112113352651a a a a ++==+⨯=. 故选：D35．B∵()()()2221140n n n n n n a a a a a a ++++----=，∴()()()()221121140n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-+----=⎡⎤⎣⎦， 化简得()()22110n n n n a a a a +++---=⎡⎤⎣⎦， ∴212n n n a a a +++=，∴数列{}n a 为等差数列. 又22020S =，20202S =，∴()202023420203202010092018S S a a a a a -=+++=+=-， ∴32020120222a a a a +=+=-， ∴()120222022202220222a a S +==-.故选：B. 36．A由已知得{a n +b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100=11100100100[()()]2a b a b +++50(2575100)10000=⨯++=.故选：A 37．B 【详解】()117179171702a a S a +==>，得90a >， ()()1181891018902a a S a a +==+<，所以1090a a +<，即100a < 所以1090a a -<，数列的公差0d <，10a >，综上可知，9a 是数列正项中的最小值，9S 是n S 中的最大值，所以99S a 是17121217,,,SS S a a a 中的最大项.故选：B 38．B 【详解】在数列{}n a 中，11a =，当*2,N n n ≥∈(n=⇔-于是得数列{是常数列，则1=，即21n a n =， 因*n ∈N ，2cos3n n n a b π=，则22cos 3n n b n π=， 因此，*n ∈N ，32313222115(32)(31)(3)9222n n n n c b b b n n n n --==----+=-++，显然数列{}n c 是等差数列， 于是得1121234563435361212122b b b b b b b b b c c c c c ++++++++++=+++=⨯1356(912)67222=+⨯-=， 所以数列{}n b 前36项和为672. 故选：B 39．C 【详解】因为()()1191011919101191911919191202192193412a a a a a S b b b T b b +++=====+⨯++，()()1951995199199911029293212a a a a a Sb b b T b b+++=====+⨯++，可得552110b a =，所以105510202142411041a b a b =⨯=，故选：C. 40．A 解：10S <，212520S S +=，∴公差0d >．∴11212025242(21)25022a d a d ⨯⨯⨯+++=， 1677200a d ∴+=，67072067067<<+，1116767067720067737a d a d a d∴+<+=<+，111267067a a ∴<<，即11120a a <<n S ∴取最小值时，11n =．故选：A ． 41．B由题意，得数列{}n a 是递减数列，由()2019201820190a a a +>，且()2020201920200a a a +<，可得20190a >，20200a <，且20192020a a >，201920200a a +>，∴4039202040390S a =<，()201920204038201920204038201902a a S a a +=⨯=+>， ∴使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B 42．BCD 【详解】S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1， 则S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理得11n S +－1n S ＝－1(常数)，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11S ＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C 正确；所以1nS ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n .所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝11n -－1n，11a =-不适合上式， 故a n ＝1,1,11,2,,1n n n N n n '-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩故B 正确，A 错误；所以()1231001111...123...1005050S S SS ++++=-++++=-， 故D 正确． 故选：BCD 43．ACD 解：112126712()6()02a a S a a +==+<，670a a ∴+<，又60a >，70a ∴<，A 对；由A 的分析可知，当16n 时0n a >，当7n 时0n a <，可知等差数列{}n a 为递减数列，当16n 时，数列1{}na 为递增数列，B 错；11111611()1102a a S a +==>，又120S <，C 对； [1n ∈，11]时0n S >，[12n ∈，)+∞时，0nS <，[1n ∴∈，6][12，)+∞时，0nnS a >， 当[7n ∈，11]时，0n nS a <、0n a <且递减、n S 为正数且递减，∴77Sa 最小．D 对．故选：ACD ．44．CD 【详解】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且9100S S <⎧⎨>⎩， 所以1911000a a a a +<⎧⎨+<⎩，即55600a a a <⎧⎨+>⎩，所以65||a a >，即5a 是数列{}n a 中绝对值最小的项. 故选项A 错误；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列，设3S x =，由3614S S =得：64S x =，故x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列 解得1216S x =，所以61241164S x Sx ==. 故选项B 错误；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，42a =， 所以36d =-，2d =-， 则82(1)210n a n n =--=-+. 则 128||||||a a a +++8642024632=+++++++=.故选项C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=， 则481111111()11()022a a a a S ++===. 故选项D 正确； 故选：CD. 45．AB 【详解】由题意并结合等差数列前n 项和的特征,可设:()21,2n n S kn n T kn =+=,其中k ≠0对于A ： 33222332342333232255a S S k k k b T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯，故A 正确；对于B ：3322222134236122216a S S k k kb T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯,故B 正确；对于C ：当k <0时,11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴>，，所以{}n a 不是递增数列,故C 错误；对于D ：当k >0时，11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴<，，所以{}n a 不是递减数列,故D 错误. 故选：AB 46．ABC 【分析】 令nn a b n=，由题干条件可得1111n n b b n n +-=-+，可得12n b n =-，可求得21n a n =-，2n S n =，依次分析即可判断 【详解】由题意，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，故11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++令n n a b n=，则1111n n b b n n +-=-+ 则1122111111()()...() (11212)n n n n b b b b b b n n n n ----+-++-=-+-++---- 即11112n n b b b nn-=-∴=-故121,2n n n n a nb n a a -==--=，数列{a n }是公差为2的等差数列，A 正确；21()2n n a a nS n +==，满足S n ＜100的n 的最大值是9，B 正确； 当41,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当42,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0；当43,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当44,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0，C 正确； 222n S n =≠22n na n n =-，D 错误.故选：ABC 47．BD 【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，首项15a =， 则13029309410303902d a ⨯+=⨯⨯+=，解得1629d =，∴()116129129n n a a n d +=+-=. ∵2na nb =，∴1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===， ∴数列{}n b 是等比数列，B 选项正确； ∵16803292595d =⨯=≠，∴()553105222d d b b ==≠，A 选项错误； 3012921a a d =+=，∴2113052105a b =⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， ∴357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.48．2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩【详解】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 显然当n ＝1时，不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2,1,65, 2.n n n =⎧⎨-≥⎩ 故答案为：2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩49．3 【详解】在22213n n n a S n S -+=中，因为a 1=a ，所以分别令n =2，n =3得(a +a 2)2=12a 2+a 2，(a +a 2+a 3)2=27a 3+(a +a 2)2，因为0n a ≠，所以a 2=12-2a ，a 3=3+2a ． 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即2(12-2a )=a +3+2a ，解得a =3． 经检验a =3时，a n =3n ，S n =3(1)2n n +，S n -1=3(-1)2n n ，满足S n 2=3n 2a n + S n -12．所以a =3． 故答案为：3. 50．5由等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-． 根据等差数列的性质可得2553135m m T a m +==-≥， 当4m =时取等号，此时m T 的最小值为5． 故答案为：5 51．4022 【详解】由等差数列的性质可得14022202120220a a a a ++=> 又202120220a a <，所以20212022,a a 异号，又10a >，所以等差数列{}n a 必为递减数列，202120220,0a a ∴><，14023202220a a a =∴<+所以()()140221440023224023402240230,022a a a a S S =++=><，使0n S >成立的最大自然数n 为4022. 故答案为：4022. 52．227 【详解】由题得每一行数字个数分别为11a =，23a =，35a =，…，21n a n =-， 它们成等差数列，则前15行总共有()1151515(129)22522a a ++==个数， 因此第16行从左边起第2个数为227． 故答案为:227 53．（2）215n a n =- （3）7n = （1）1032103-==-a a d （2）311249a a d a =+=+=-，解得113a =-，所以215n a n =-． （3）()()1221321514(7)4922n n n a a n n S n n n +-+-===-=--由二次函数的性质得当7n =时，使得n S 最小. 54．（1）210；（2）6512. 【详解】（1）在等差数列{}n a 的性质，可得232,,m m m m m S S S S S --成等差数列， 即330,70,100m S -成等差数列，所以327030100m S ⨯=+-，解得3210m S =. （2）由等差数列的前n 项和的性质，且723n n S n T n +=+， 可得9119515199999()1()792652219()9312()22a a a a ab b b T b b S ++⨯+====+++=. 55． （1）12n na ，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+（1）由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=. 又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥， 两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-. 12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,N n n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. 11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n ∴=； （2）01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 两式相减，得11121222212212n n nn n n n T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅- (1)21n n T n . 56．（1）21n a n =+（2）9（1）不妨设等差数列{}n a 的公差为d ， 故3127a a d =+=，131533S a a d =+=，解得13a =，2d =，从而1(1)21n a a n d n =+-=+， 即{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2） 由题意可知，1()(2)2n n n a a S n n +==+， 所以2211111(2)2n S n n n n +=+=+-++， 故11111111111132435112n T n n n n n =⨯+-+-+-++-+--++ 1111()212n n n =++--++， 因为当2n ≤时，1110212n n --<++；当3n ≥时，1110212n n -->++， 所以,2[]1,3n n n T n n ≤⎧=⎨+≥⎩， 由[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=可知，1245152n ++++++=，即(2)(41)3522n n -+++=，解得9n =， 即n 的值为9.。

等差数列复习课教案(公开课)等差数列复习课宜良县职业高级中学董家金(一) 教学目标1．学问与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质.2．过程与办法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深同学的理解.3．情感与价值：培养同学观看、归纳的能力，培养同学的应用意识.(二) 教学重、难点重点：等差数列相关性质的理解。

难点：等差数列相关性质的应用。

(三) 教学办法师生共同探讨复习本课时的主要学问点，再通过例题、习题加深同学的应用意识，本节课采纳多媒体辅助教学。

(四) 课时支配1课时(五) 教具预备多媒体课件(六) 教学过程Ⅰ学问回顾1、等差数列定义普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

2、等差数列的通项公式假如等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。

注重：等差数列的通项公式收拾后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。

3、等差中项假如a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。

即：2b a A +=，或b a A +=2。

4、等差数列的前n 项和公式等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。

注重：1) 该公式收拾后为n d a n d s n )2(212-+=，是关于n 的二次函数，且常数项为0。

2) 等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。

3) 数列n a 与前n项和n s 的关系-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 5、等差数列的推断办法a) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。

b) 等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。