优选整合高中数学人教A版选修2-31.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1教案

人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。

（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。

【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。

3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。

这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。

课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。

由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。

庖丁巧解牛知识·巧学一、分类加法计数原理完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有ｍ种不同的方法，在第2类方案中有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=ｍ＋ｎ种不同的方法.如果完成一件事有ｎ类不同的方案，在各个方案中又各有ｍ1，ｍ2，ｍ3，…，ｍｎ种不同的方法，那么完成这件事共有M=ｍ1＋ｍ2＋ｍ3＋…＋ｍｎ种不同的方法.解决“分类”问题，用分类加法计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B 就可以完成.要清楚怎样才算是完成一件事的含义，即知道做“一件事”或叫完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么.要点提示分类时,首先要确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,分类标准不同，分类的结果也不同.分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类，即不漏;任意不同类的两种方法是不同的方法，即不重.二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有ｍ种不同的方法，做第2步有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=ｍ×ｎ种不同的方法.如果完成一件事情需要ｎ个步骤，在各个步骤中又各有ｍ1，ｍ2，ｍ3，…，ｍn种不同的方法，那么完成这件事共有M=ｍ1×ｍ2×ｍ3×…×ｍn种不同的方法.解决“分步”问题，用分步乘法计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一件事件，注意各步骤之间的连续性.要清楚怎么才是完成一件事的含义，即知道做“一件事”在所给的题目中需要经过哪几个步骤.要点提示每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求是：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，即不漏步也不重步，二是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代.三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的意义与区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分为若干类，各类相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，缺少任何一步都不能完成该事件.只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分辨清楚完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个计数原理的前提.一般地,若需要同时利用两个原理时,应先分类,再分步.如果从集合的角度去看，会显得更加清楚.1.完成一件事有A、B两类办法，即集合A、B互不相交，在A类办法中有ｍ1种方法，在B类办法中有ｍ2种方法，即card（A）=ｍ1，card（B）=ｍ2，那么完成这件事的不同方法种数是card（A∪B）=card（A）＋card（B）=ｍ1＋ｍ2.这就是当ｎ=2时的分类加法计数原理.2.完成一件事需要分成A、B两个步骤，在实行A步骤时有ｍ1种方法，在实行B步骤时有有ｍ2种方法，即card（A）=ｍ1，card（B）=ｍ2，那么完成这件事的不同方法种数就是card（A·B）=card（A）·card（B）=ｍ1·ｍ2.这就是当ｎ=2时的分步乘法计数原理.当ｎ＞2时可类似得出.问题·探究问题1 随着人民生活水平的提高，“家庭理财”已经成为普通家庭一个关注的问题.王军大学毕业参加工作后，从每月工资中节余一笔钱，他打算从人民币定期储蓄和购买国债两种方式中选择一种来投资.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可从一年期、二年期和三年期三种中选择一种.问：王军一共有多少种不同的理财方式？思路:王军共有两类不同形式的选择：第一类，从一年期和二年期两种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种投资方法.以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此，王军的不同选择共有2＋3=5种.探究:分类是指做一件事，完成它可以有几类方案，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；分类时要注意满足两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；二是分属于不同类的方法是不同的方法.问题2 由于王军工资水平逐步提高，他决定把节余的钱分成两笔，其中一笔存入人民币定期储蓄，另一笔用来购买国债，定期储蓄和国债的种类与问题1相同，问：王军共有多少种不同的理财方式？思路:王军要完成定期储蓄和国债这两项投资，理财目标才算完成，所以可以分两步来做.第一步，将一笔钱存入人民币定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方法；第二步，用另一笔钱购买国债，从一年期、二年期和三年期中选择一种理财方法.对于第一步中的两种储蓄方法中的每一种方法，在第二步中都有不同的购买国债的选择，当这两步选择完成后，理财的任务也就完成了.所以所有的方式共有2×3=6种.探究:这一个问题与问题1不同，问题1是进行了分类，各类方法中任何一种都可以把这件事情完成.而问题2是进行了分步，每一个步骤中的任何一种方法都不能把这件事做完.只有把各个步骤依次全部完成，才能把这件事做完.分步时，首先根据问题的特点确定一个可行的分类标准，其次步骤的设置要满足完成这件事必须连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成.典题·热题例1 （2005湖南高考）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A.20B.19C.18D.16思路分析:从1，2，3，4，5这五个数中取两个不同的数作为A、B的值这一任务的完成，可以分两步进行，第一步取A的值，第二步取B的值.第一步：确定A的值，有5种方法；第二步：确定B的值，有4种方法.但由于当A取1，B取2时与A取2，B取4时，当A 取2，B取1时与A取4，B取2时所对应的直线为同一直线，所以应减少2条.综上，所得的不同直线的条数为5×4-2=18条.答案:C误区警示在此类问题中，容易忽视的是“不同直线”的含义.即在按分步乘法计数原理得出直线条数后，要把重复的直线剔除.例2甲、乙、丙、丁四个好朋友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种目B.9种C.11种D.23种思路分析:思路一：让四人甲、乙、丙、丁依次拿一张别人送出的贺年卡，如果甲先拿有3种取法，此时被甲拿走的那张贺年卡的作者也有3种取法，接下来的两人就各有一种取法（因为此时剩下两张贺年卡中至少有一张是其中一人所写，他就只能取另一张）.由于这是分步完成，用分步计数原理，有3×3×1×1=9种不同的分配方式，故应选B.思路二：设四人甲、乙、丙、丁所写的贺年卡分别是A、B、C、D，当甲拿贺年卡B 时，则乙可以拿A、C、D中任何一张，即乙拿A，丙拿D，丁拿C或乙拿C，丙拿D，丁拿A或乙拿D，丙拿A，丁拿C，所以甲拿B时有三种不同的分配方法.同理甲拿C、D时都各有三种不同的分配方法，这是对A的分类完成.用分类计数原理，共有3＋3＋3=9种分配方式，应选B.答案:B深化升华在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分步”还是“分类”，接着还要搞清楚“分步”或者“分类”的具体标准是什么.因此，我们在解题时，要认真审题，真正弄清问题的条件和结论，同时还要注意分类、分步不能重复，不能遗漏.例3把3封信投到4个邮箱，所有可能的投法共有（）A.24种B.4种C.43种D.34种思路分析:把第一封信投到信箱中有4种投法；把第2封信投到信箱也有4种投法；把第3封信投到信箱也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法.答案:C拓展延伸火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，问乘客下车的所有可能情况共有（）A.510种B.105种C.50种D.以上都不对思路分析:同例2类似，完成这件事情可分为10步，即10个乘客全部下车，每个乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为10个5相乘，即510种.故答案为A.答案:A方法归纳此类问题要注意到每个个体（每封信或每个乘客）的选择方法相互独立，互不影响.完成此事只需每个个体一个个的完成即可.同时要正确理解两个基本的计数原理，在解决相关问题时要优先考虑是否运用这两个基本原理.例4完成下列问题:（1）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有四班，轮船有3次，问此人的走法可有几种选择？（2）小明要从教学楼的底层上到三层，已知从底层到二层有4个扶梯可走，从二层到三层有2个扶梯可走，问小明从底层到三层的走法共有几种？思路分析:（1）要完成从甲地到乙地，只要选择任一种方式即可，可以利用分类加法计数原理求解;（2）要完成底层到三层，可分两步：从底层到二层和从二层到三层.可能用分步乘法计数原理来解决.解:（1）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，所以此人的走法可有4＋3=7种.（2）因为从底层到二层的走法有4种，而每一种走法又必须配合着由二层到三层的2种走法中的一种才能到达三层.所以小明从底层到三层的走法共有4×2=8种.深化升华应用分类计数原理与分步计数原理首先要分清“类”与“步”.应用分类计数原理，必须要各类的每一种方法都保证事件的完成；应用分步计数原理，则是各步均是完成事件必须经由的各个彼此独立的“步”.例5从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的有多少个数？思路分析:在1到200的自然数中，有个位数、两位数和三位数.可以把这三类数中符合条件的数分别找出.求和即可.解:由题意分三类：第一类：一位数中符合要求的数有8个；第二类：两位数中，十位数字除0和8外有8种选法，而个位数字除8外有9种选法，共有8×9=72个；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位上和个位上的数字均有9种选法，有9×9=81个；而百位上数字是2的就只有200一个数.所以符合条件的自然数的个数为N=8＋8×9＋9×9＋1=162个.深化升华本题是一个混合使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合问题.从整体上看需分类完成，用分类加法计数原理，从局部看需分步完成，用分步计数原理，可见使用两个基本原理时要密切配合，不能截然分开.例6用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码;（2）四位数;（3）四位奇数.思路分析:（1）可以分步选取数字，作四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；（2）可以分步选取数字，分别做为千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，且所取数字不能重复.与（1）的不同之处是千位数字不能为0；（3）四位奇数的个位只能是1或3，因此符合条件的四位奇数可以分为个位数字是1和个位数字是3的两类，每一类中再分步.要注意千位数字不能取0，且所取数字不能重复.解:（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2，3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96个.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法是四位奇数的个位取数字为1，这件事可分三个步骤完成：第一步，从2,3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从2,3，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法.利用分步乘法计数原理，第一类中的四位奇数共有N1=3×3×2=18个.第二类办法是四位奇数的个位取数字为3，这件事可分三个步骤完成.利用分步乘法计数原理，第二类中的四位奇数共有N2=3×3×2=18个.最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有N=18＋18=36.方法归纳如果完成一件事，可以有几类办法，这几类办法中的任一类办法都能独立的完成这件事，即方法是相互独立且互斥的，此时应用分类计数原理.如果完成一件事，需分成几个步骤进行，必须连续做完每个步骤才能完成这件事，且各个步骤是互相依存、缺一不可的，此时应用分步计数原理.。

课堂探究探究一分类加法计数原理分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．【典型例题1】某校高三共有三个班，各班人数如下表.(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？思路分析：(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理．(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．规律总结注意分类标准要明确，不能相互交叉或重复，每类办法都能独立地完成这件事．探究二分步乘法计数原理利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：(1)按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．【典型例题2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？思路分析：完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P的横坐标和纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解．解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.规律总结利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后才能完成整件事．探究三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用解决此类题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．首先要有意识地去区分该问题是“分类”还是“分步”，如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．【典型例题3】王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？思路分析：解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法完成后，是否完成整件事，从而区分加法原理和乘法原理．解：(1)完成的事情是带1本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都可完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)．(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)．(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)．规律总结对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．探究四易错辨析易错点两个基本原理分辨不清【典型例题4】(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()．A．24种B．4种C．43种D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．错解：(1)每个信箱有三种选择，由分步乘法计数原理可得共有34种方法，选D.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，根据分步乘法计数原理，可得此人的走法有4×3＝12(种)，故填12.错因分析：解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用分步乘法计数原理计算．正解：(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法，选C.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法有4＋3＝7(种)，故填7.。