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模糊数学模型
模糊数学模型是一种基于模糊集合理论，将模糊概念引入数学模型中，用来解决模糊
不确定性问题的数学方法。
模糊数学模型具有在模糊情况下进行决策和优化的能力，可以
有效地处理模糊性和不确定性的问题。
模糊数学模型最早是由L.A. Zadeh于1965年提出的，它可以被广泛地应用于工程、
管理、经济、环境等领域。
通过构建模糊数学模型，可以将人类对事物的模糊认知转化为
数学形式，用数学语言来描述和解决实际问题。
模糊数学模型基本元素包括：模糊集合、隶属函数和运算。
其中，模糊集合是一种比
传统集合更为广泛的概念，它可以描述某个事物与某种属性之间的关系。
隶属函数是模糊
集合的核心，它用来描述每个元素与模糊集合之间的隶属关系，通常用数学函数来表示。
运算则是针对模糊集合进行的各种运算，包括交、并、补、复合等。
在实际应用中，模糊数学模型可以用来解决许多具有模糊性和不确定性的问题。
比如，在工程中，可以利用模糊数学模型来设计模糊控制器，对不确定的系统进行控制；在管理中，可以利用模糊数学模型进行模糊决策，对模糊问题进行分析和解决；在经济学中，可
以利用模糊数学模型进行模糊预测，对经济变量进行分析和预测。
总之，模糊数学模型是一种能够应对模糊不确定性、处理大量信息、解决复杂问题的
有效工具，具有非常广泛的应用前景。
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
模糊数学的认识与理解1、模糊数学的产生1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
模糊数学又称FUZZY 数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
现代数学是建立在集合论的基础上。
集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。
一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。
符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。
从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。
经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。
对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。
但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。
以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。
更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。
从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。
比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。
模糊数学概述任何事物都具有质和量两个侧面。
在分析和解决问题时，我们既可以考察对象的性质、属性等质的方面，也可以对对象的数量关系与空间位置进行分析。
数学就是研究现实世界中量的关系和空间形式的学科。
现实世界中，客观现象在质的表现上具有确定性和不确定性，而不确定性又分为随机性和模糊性。
这种属性反映在量的方面，自然导致研究量的数学学科要按照如下三种划分来分别刻画客观现象：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧模糊数学研究的领域—模糊性的量随机数学研究的领域—随机性的量不确定性的量精确数学研究的领域—确定性的量量因而，与精确数学和随机数学一样，模糊数学创立并发展为一门独立的数学学科，也是科学技术发展和社会实践需求的历史必然。
模糊数学是从量上来研究和处理模糊现象的一个数学分支，它以“模糊集合论”为基础。
模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述模糊信息的有力工具，其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域。
由于模糊性数学发展的主流在于它的应用，因此人们也常称之为“模糊系统理论”、“模糊集与系统理论”或“模糊理论”。
1．模糊数学的产生现代数学是建立在集合论基础之上的。
集合论的重要意义就在于它能将数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处：用集合来描述概念，用集合的关系和运算表达判断和推理，从而将一切现实的理论系统都纳入集合描述的数学框架中。
毫无疑问，以经典集合论为基础的精确数学和随机数学在描述自然界多种客观现象的内在规律中，获得了显著的效果。
但是，和随机现象一样，在自然界和人们的日常生活中普遍存在着大量的模糊现象，如多云，阴天，小雨，大雨，贫困，温饱等。
由于经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的现象和概念上，它要求元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可，因而对于那些经典集合无法反映的外延不分明的概念，以前人们都是尽量回避它们。
然而，随着现代科技的发展，我们所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现；此外人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向，也把模糊性的数学处理问题推向中心地位；更重要的是，计算机科学、控制理论、系统科学的迅速发展，要求电脑要像人脑那样具备模糊逻辑思维和形象思维的功能。
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。
模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。
模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑，它是建立在[0，1]上的。
如若我们把年利税在100万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为1，那末，相比之下，年利税少1元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为0.99999，依此类推，企业的年利税每减少1元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。
这样下去，当企业的年利税为0时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为0了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。
现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。
各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。
自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。
随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。
模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。
研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。
和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。
自1980年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾7000多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。
如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于25℃时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行4608种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。
而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。
模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。
它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方面专家的思维互相补充。
虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。
我国自70年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。
但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。
需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国21世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。
第二章 模式识别§2-1模式识别及识别的直接方法在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。
如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。
这样的问题就是模式识别。
一、模糊模式识别的一般步骤模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。
但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。
模式识别主要包括三个步骤：第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设n x x ,,1 分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象x 就对应一个向量),,,(21n x x x ，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。
第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域{}),(1n x x U =的模糊集，i x 是识别对象的第i 个特征。
第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。
常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。
二、最大的隶属度原则若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。
最大隶属度原则：设)(,21U F A A A n ∈ 是n 个标准类型，U x ∈0，若{}n k x A x A k i ≤≤-1 )( max )(00则认为0x 相对隶属于i A 所代表的类型。
例 1 通货膨胀识别问题通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用+R (非负实数域,下同)上的模糊集54321,,,,A A A A A 表示,其隶属函数分别为:⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤=5 ],]35[ex p[50 ,1)(21x x x x A ))510(ex p()(22--=x x A ))720(ex p()(23--=x x A ))930(ex p()(24--=x x A ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=50 ,1 500 ),)1550(exp[)(25x x x x A其中对0≥x ,表示物价上涨%x 。
问40,8=x 时，分别相对隶属于哪种类型？解 3679.0)8(1=A ，8521.0)8(2=A0529.0)8(3=A ，0032.0)8(4=A0000.0)8(5=A0000.0)40(1=A ，0000.0)40(2=A0003.0)40(3=A ，1299.0)40(4=A6412.0)40(5=A由最大隶属原则，8=x 应相对隶属于2A ，即当物价上涨%8时，应视为轻度通货膨胀；40=x ，应相对隶属于5A ，即当物价上涨%40时，应视为恶性通货膨胀。
三、阈值原则在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象0x 关于模糊集n A A A 21,中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合n A A A 21,对元素x 不能识别；其二是有时待识别对象x 关于模糊集n A A A 21,中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小x 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。
阈值原则：)(,21U F A A A n ∈ 是n 个标准类型，]1,0(,0∈∈d U x 为一阈值（置信水平）令{}n k x A k ≤≤=1)(max 0α若d <α则不能识别，应查找原因另作分析。
若α≥d 且有d x A i ≥)(01，d x A i ≥)(02…d x A m i ≥)(0 则判决0x 相对地属于m i i i A A A 21例 2 三角形识别问题我们把三角形分成等腰三角形I ,直角三角形R , 正三角形E ,非典型三角形T ,这四个标准类型,取定论域{}C B A C B A C B A x x X ≥≥=++==,180),,,(这里C B A ,,是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：)]()[(6011)(C B B A x I -∧--=(21)(=x A n909011)(--=A x R )(18011)(C A x E --= ]902,),(3),(3min[1801)(----=A C A C B B A x T 现给定，)45,50,85(),,(0==C B A x ，0x 对上述四个标准类型的隶属度为：06.0)(7.0)( 94.0)( 916.0)(0000====x T x E x R x I由于0x 关于I ,R 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取8.0=d ，因8.0916.0)(0≥=x I ，8.094.0)(0≥=x R ，按阈值原则，0x 相对属于I ∩R ,即0x 可识别为等腰直角三角形。
例 3 癌细胞识别在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞)(M ，重度核异质细胞)(N ，轻度核异质细胞)(R ，正常细胞。
)(T选取表征细胞状况的七个特征：.:,:,:,:,:,:,:7654221核内平均透光率核内平均光密度核内总光密度细胞周长细胞面积核周长核面积x x x x x x x根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是{}),,,(:721x x x x x X == 上的模糊集：12324612122512672741213125212121])4(1[)(,:])4(1[)(,:])lg (1[)(,:)1()(,:)1()(,:)( )1()(:-------+=-+=++=+=+=+=πβπβββββx x x F F x x x E E x x x x D D x x C C x x B B a x a x A A 细胞畸形核畸形核内染色质不匀核桨比例置核染色增深正常核面积核增大上述621,,,βββ 是适当选取的常数细胞识别中的几个标准类型分别定义为：cc c c c cR N M T NM C B A R M C B A N FE D C B A M ====212121)]([ 上述定义中的模糊集21A 的隶属函数为21A 21))(()(x A x =。
