6【数学】广东省深圳市新安中学高二下学期期末考试(理)含答案

广东省深圳市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数满足（是虚数单位），则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二下·乐安期中) 已知在的展开式中，奇数项的二项式系数和为32，则含项的系数是（）A . ﹣2B . 20C . ﹣15D . 153. （2分）用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A . 三个内角都不大于60°B . 三个内角都大于60°C . 三个内角至多有一个大于60°D . 三个内角至多有两个大于60°4. （2分） (2016高二下·郑州期末) 在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 405. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点。

过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。

若，则的离心率为（）A .B . 2C .D .6. （2分）(2019高二下·佛山月考) 某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为）A .B .C .D .7. （2分）已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A . cB . a+b+cC . 8a+4b+cD . 3a+2b8. （2分）已知ξ的分布列为：ξ0123P则Dξ等于（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（）A . 36种B . 39种C . 60种D . 78种10. （2分）曲线在点处的切线的斜率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·武汉模拟) 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·定远期末) 设函数 ,则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是（）A .B . [0，1]C .D . [1，＋∞)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·长沙模拟) 若，则 ________．14. （1分） (2016高二下·三原期中) 观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为________．15. （1分） (2015高二下·黑龙江期中) 已知（x2+x+1）（2x﹣a）5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中，a0=﹣32，则a0+a1+a2+…+a7=________．16. （1分） (2015高二下·射阳期中) 函数f（x）=xe﹣x ，x∈[0，4]的最小值是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）已知复数z=（m2﹣3m）+（m2﹣m﹣6）i，（1）当复数z所对应的点在虚轴上时；求m的值（2）当复数z所对应的点在第三象限时．试求m的取值范围．18. （10分）已知函数f(x)＝lnx－x＋，其中a>0.（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；（2）设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．19. （10分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．20. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园．（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）21. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .22. （10分） (2019高一上·鸡东月考)（1）求函数的值域；（2）若函数的定义域为 ,求实数的取值范围.23. （10分） (2016高一上·盐城期中) 已知奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数f（x）的图象（2）求函数f（x）的表达式，（3）写出函数f（x）的单调区间．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。

2020年广东省深圳市数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（ ） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]36【答案】B 【解析】因为32x ππ<<，所以33323x ππωππωπω-<-<-，由正弦函数的单调性可得32{33232ππωπωπππ-≥-≤，即1132{313232ωω-≥-≤，也即56{31126ωω≥≤，所以51169ω≤≤，应选答案B 。

点睛：解答本题的关键是将函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭看做正弦函数()sin f x x =，然后借助正弦函数的单调性与单调区间的关系，依据区间端点之间的大小关系建立不等式组32{33232ππωπωπππ-≥-≤，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解。

2．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2018项和为（ ） A ．20172018-B ．20172018C ．20182019-D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】利用313a b ==，15715a b ==求出数列{}n a ，{}n b 的公差，可得数列{}n a ，{}n b 的通项公式，从而可得n c =111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，进而可得结果. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为a d ，b d ，则由已知得1531212a a a d -==，71612b b b d -==，所以1a d =，2b d =，所以3(3)n a a a n d n =+-=，1(1)21n b b b n d n =+-=+，所以121(1)(1)n n n c n n -+=-=+111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，所以数列{}nc 的前2018项和为201812201811111223S c c c ⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭... 11113445⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1120172018⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ (1111201820182019120192019)⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,故选D . 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，考查了数列的求和，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数()3221()11()3f x x ax a x a =++-+∈R 的导数()y f x ='的图象，则(1)f -等于（ ）A ．13B ．73C ．13-或53D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解. 【详解】因为导函数()()()2221f x x ax a a R =++-∈'，所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以0a < ， 又()00f '=，即210a -=，所以1a =-， 所以()()()()()()322111111111133f -=⨯-+-⨯-+-⨯-+=-. 故选D. 【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质. 4．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ． 考点：集合的运算5．若随机变量ξ服从正态分布(4,9)N ，则(113)P ξ<≤=（ ） 参考数据：若()2~,N ξμδ，则()0.6826P μδξμδ-<<+=,(22)0.9544P μδξμδ-<<+=，(33)0.9974P μδξμδ-<<+=A ．0.84B ．0.9759C ．0.8185D ．0.6826【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，4,3μδ==，所以(113)(3)P P ξμδξμδ<≤=-<≤+， 由公式即可求出． 【详解】根据题意可知，4,3μδ==，所以(113)(3)P P ξμδξμδ<≤=-<≤+()()(3)3P P P μδξμδμδξμμξμδ-<≤+=-<<+<≤+()(0.683260.99740.842223)P P μδξμδμδξμδ-<<+-<<++=+==，故选A ．【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用． 6．函数1y x x=+的极值情况是（ ）． A ．有极大值2-，极小值2 B ．有极大值1，极小值1- C ．无极大值，但有极小值2-D ．有极大值2，无极小值【答案】A 【解析】 【分析】求导分析函数导数的零点,进而求得原函数的单调性再判断即可. 【详解】由题,函数定义域为{}|0x x ≠,21'1y x=-,令'0y =有1x =±. 故1y x x=+在(),1-∞-上单调递增,在()1,0-上单调递减. 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增. 且当1x =-时, 2y =-；当1x =时, 2y =故1y x x=+有极大值2-,极小值2. 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数极值的求解,需要求导分析单调性.同时注意函数在()1,0-和()0,1上分别单调递减.属于基础题.7．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960- B ．960 C ．1120 D ．1680【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ． 【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．8．已知全集U =R ，集合2{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．(3,2]--B ．(2,3]-C ．(2,3]D ．[3,7)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】分析：先求出A 集合，然后由图中阴影可知在集合A 中出去A,B 的交集部分即可. 详解：由题得：{|27}=-<<A x x 所以(2,3)A B ⋂=-故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为()A C A B ⋂=[)3,7 故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题. 9．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -< D ．ln0a b> 【答案】D 【解析】 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错；当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错； a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对； 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为（ ）A ．3B ．3C ．13或23D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c 的值． 【详解】由随机变量的分布列知，290c c -≥，380c -≥，29381c c c -+-=， ∴13c =，故选A ． 【点睛】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题． 11．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【详解】解：对于A ，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A 正确；对于B ，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B 正确； 对于C ，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示； ∴C 错误；对于D ，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．12．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样【答案】C 【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C. 考点：分层抽样．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．【答案】283π-． 【解析】试题分析：由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则：，211212333S Sh ππ==⨯⨯=圆锥．得体积为：283π-考点：三视图与几何体的体积．14．极坐标方程2cos 21ρθ=为所表示的曲线的离心率是______ ．【解析】 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，即可求得曲线的离心率. 【详解】极坐标方程2cos 21ρθ=， 展开化简可得()222cos sin 1ρθθ-=，即()()22cos sin 1ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ== 代入可得221x y -=则曲线为双曲线，由双曲线标准方程可知1,a b c ===所以双曲线离心率为ce a==. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，双曲线离心率的求法，属于基础题.15．若定义在[)1,-+∞上的函数()21143,1x f x x x x -≤≤=-+>⎪⎩，则()31f x dx -=⎰________．【答案】423π-【解析】由定积分的几何意义可得，1-⎰是以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的一半，112π-∴=，()()313211143f x x x dx --∴=+-+⎰⎰32311423|2323x x x ππ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭，故答案为423π-. 16．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB ="______________________."【答案】【解析】 【分析】 【详解】解：过点（3， 0）且与极轴垂直的直线方程为 x=3，曲线ρ=1cosθ 即 ρ2=1ρcosθ， 即 x 2+y 2=1x ，（x-2）2+y 2=1． 把 x=3 代入 （x-2）2+y 2=1 可得 3，故3三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市10万名男生的身高服从正态分布2(,)N μσ.现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和190cm 之间，将身高的测量结果按如下方式分成5组：第1组[160,166)，第2组[166，172)，...，第5组[184，190]下表是按上述分组方法得到的频率分布表： 分组 [160，166) [166，172) [172，178) [178，184) [184，190] 人数31024103这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6.68，且这50个数据的方差为231.68=s .(同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表)：(1)求μ，σ；(2)给出正态分布的数据：()0.6826P X μσμσ-≤+=＜，(22)0.9544P X μσμσ-≤+=＜. (i)若从这10万名学生中随机抽取1名，求该学生身高在(169,179)的概率；(ii)若从这10万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中身高在(169，184)的人数，求X 的数学期望.【答案】 (1) μ=174；5σ=； (2) (i) 0.6826 ；(ii)8185 【解析】 【分析】（1）由每组的中间值乘以该组的人数，再求和，最后除以总人数，即可求出平均值，根据题意即可得到μ，再由231.68=s ，以及题中条件，即可得出σ；（2）(i)先由题意得(169，179)=(μσ-，μσ+)，根据题中所给数据，即可求出对应概率；(ii)由题意可知(169，184)=(μσ-，2μσ+)，，先求出一名学生身高在(169，184)的概率，由题意可知X 服从二项分布，再由二项分布的期望，即可求出结果. 【详解】解：(1)根据频率分布表中的数据可以得出这50个数据的平均数为1633169101752418110187317550x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==所以1751174μ=-=，又2s =31.68，所以31.68 6.685σ=-=.(2) (i)由题意可知(169，179)=(μσ-，μσ+)， 所以该学生身高在(169，179)的概率为p=0.6826 (ii)由题意可知(169，184)=(μσ-，2μσ+)， 所以一名学生身高在(169，184)的概率为0.68260.95440.81852P +==根据题意~(10000,0.8185)X B ，所以X 的数学期望()100000.81858185=⨯=E X . 【点睛】本题主要考查平均值与标准差的计算，正态分布特殊区间的概率，以及二项分布的期望问题，熟记公式即可，属于常考题型.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且22AD CD ==，42BC =，2PA =，点M 在PD 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若12PM MD =，求三棱锥M PBC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）169. 【解析】 【分析】（1）证明AB PC ⊥，转化成证明AB ⊥平面PAC 即可．（2）根据12PM MD =，可得1133M PBC D PBC P BCD V V V ---==，从而得出体积．【详解】证明：（1）取BC 中点E ，连结AE ， 则AD EC =，//AD EC ，∴四边形AECD 为平行四边形，AD CD AE BC ⊥∴⊥Q ， 又22AE BE EC ===，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，AB AC ∴⊥，又PA ABCD AB PA ⊥∴⊥Q 平面，AC PA A ⋂=，AB ∴⊥平面PAC ，AB PC ∴⊥．解：（2）Q 12PM MD =，13PM PD ∴=， ∴三棱锥M PBC -的体积为：11111116224223333929M PBC D PBC P BCD BCD V V V S PA ---∆===⨯⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直．三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同．那么通常选择已知的高和底从而求出体积．19．已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】 (1)12a =,1b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】【分析】 （1）先对函数求导，得到()2b f x ax x '=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到()212f x x lnx =-，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间. 【详解】 解：（1）()'2.b f x ax x =+Q 又()f x 在1x =处有极值12, ()()112'10f f ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即1220a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得12a =,1b =-． （2）由（1）可知()212f x x lnx =-,其定义域是()0,∞+,()()()111'x x f x x x x +-=-=． 由()'0f x <,得01x <<；由()'0f x >,得1x >．∴函数()y f x =的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【点睛】 本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.20．已知实数，设函数． （1）证明：； （2）若，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式的性质直接求解消去，再由基本不等式求之即可；（2）由得，又，所以先去掉一个绝对值符号得到，写出造价形式解之即可．试题解析：（1）证明：（2） ，，， ， 得：考点：含绝对值的不等式的性质与解法．21．（．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的概率分布列．【答案】（1）23；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】 ⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案()2依题意可知，X 的所有可能取值为010205060，，，，，用古典概型分别求出概率，列出分布列【详解】（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P ＝112464*********C C C C +==.（或用间接法，P=1-262101521453C C =-=）. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且P(X ＝0)＝024621013C C C =，P(X ＝10)＝113621025C C C =，P(X ＝20)＝23210115C C =， P(X ＝50)＝1116210215C C C =，P(X ＝60)＝1113210115C C C =.所以X 的分布列为： X0 10 20 50 60 P13 25 115 215 115【点睛】 本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏22．为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围；（2）求管道长度u 的最小值.【答案】（1）2010cos 20sin u θθ-=+，0cos 5θ<<（2）(20+ 【解析】【分析】 (1)由三角函数值分别计算出CE 、CF 、FA 的长度，即可求出管道长度u 的表达式，求出cos θ的取值范围(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为10sin CF θ=，10tan OF θ=，1020tan AF θ=-， 所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θθθθ-=+-=+，其中，0cos θ<<. （2）由2010cos 20sin u θθ-=+，得21020cos sin u θθ-'=， 令0u '=，1cos 2θ=， 当10cos 2θ<<时，0u '>，函数()u θ为增函数；当1cos 25θ<<时，0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2θ=，即3πθ=时，min 1201022020sin 3u π-⨯=+=+ 答：管道长度u的最小值为(20+.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法。

2022-2023学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣45．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 36．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√27．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．138．（5分）已知点A 在直线x ＝2上运动，若过点A 恰有三条不同的直线与曲线y ＝x 3﹣x 相切，则点A 的轨迹长度为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下： 45 48 46 52 47 49 43 51 47 45 则下列结论正确的为（ ） A ．平均数为48 B ．极差为9C ．中位数为47D ．第75百分位数为51（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x =−π6对称，则（ ）A ．f(π6)=−12B ．f （x ）在区间(−π4，π6)单调递减C ．f （x ）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D ．f （x ）在区间(0，π3)有两个零点（多选）11．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（ ） A ．当|AM |＝|AF |时，AM ⊥lB ．当|AM |＝|AF |＝|MF |时，|AF |＝2|BF |C ．当MA ⊥MB 时，A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列D ．当MA ⊥MB 时，|AM |•|BM |≥2|AF |•|BF |（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x +1x 2)6的展开式中常数项是 ．（用数字作答） 14．（5分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 3﹣a 1＝3，a 4﹣a 2＝6，则S 5＝ ．15．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝2f （x +2），当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ），若方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a 的取值范围为 ． 16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA +12a =c ．（1）求B ；（2）若c ＝2a ，且b =3√3，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC 的三个顶点A ，B ，C 在圆O 上，AB 为圆O 的直径，△P AC 是边长为2的正三角形，且平面PBC ⊥平面P AC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若BC =2√3，点E 为PB 的中点，点F 为圆O 上一点，且F 与C 位于直径AB 的两侧，当EF ∥平面P AC 时，求平面EFB 与平面ABC 的夹角的余弦值．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A ，B 两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A 盒内随机取出1个小球放入B 盒，再在B 盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．21．（12分）已知f（x）＝axe2x（a∈R）．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）﹣2x﹣lnx≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，且C的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．（1）求C的方程；（2）设点A为C的左顶点，若过点（3，0）的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}【解答】解：集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}， 故选：D ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z ＝4﹣2i ，则z =（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3﹣iD ．3+i【解答】解：因为（1+i ）z ＝4﹣2i ， 所以z =4−2i 1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i ， 故z =1+3i ． 故选：B ．3．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【解答】解：因tan α＝2，则cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=−35． 故选：D ．4．（5分）已知a →=(−2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．4D ．﹣4【解答】解：由a →∥b →可得，﹣2×（﹣2）﹣x ＝0，解得x ＝4． 故选：C ．5．（5分）白酒又名烧酒、白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（ ）A ．55π6cm 3B ．51π6cm 3 C ．47π6cm 3D ．43π6cm 3【解答】解：由题意可得该组合体的体积V ＝π×（32）2•6−13π[（32）2+12+1×32]•（6﹣2）=43π6．故选：D ．6．（5分）若正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．1m+1n≥2C ．m 2+n 2≤2D ．√m +√n ≤√2【解答】解：由m +n ＝2及m ，n 均为正实数可得：0＜mn ≤(m+n 2)2=1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， 选项A ，函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，所以lnm +lnn ＝ln （mn ）≤ln 1＝0，A 错误；选项B ，由均值不等式，1m+1n≥2√1mn≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等．B 正确；选项C ，m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ＝4﹣2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等，C 错误；选项D ，（√m +√n ）2＝m +n +2√mn =2+2√mn ≤4，当且仅当m ＝n ＝1时取等，所以√m +√n ≤2，D 错误． 故选：B ．7．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若AF⊥BF ，且|AF |＝3|BF |，则C 的离心率为（ ） A ．√104B ．√105 C ．25D ．13【解答】解：设左焦点为F ′，由O 是FF ′，AB 的中点， ∴|AF ′|＝|BF |，AF ⊥AF ′，设|BF |＝m ，则|AF |＝3m ，又|AF ′|+|AF |＝2a ， ∴m =12a ，∴|AF |=32a ，|AF ′|=12a ，∴（12a ）2+（32a ）2＝（2c ）2，∴c2a2=1016∴e=ca=√104．故选：A．8．（5分）已知点A在直线x＝2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，则点A的轨迹长度为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：由题意设点A（2，a），过点A的直线l与曲线y＝x3﹣x相切于点B（x0，y0），∵y＝x3﹣x，∴y′＝3x2﹣1，∴l的方程为y=(3x02−1)(x−x0)+x03−x0，把A（2，a）代入，可得(3x02−1)(2−x0)=a−x03+x0，化简得a=−2x03+6x02−2，设g（x）＝﹣2x3+6x2﹣2，g′（x）＝﹣6x2+12x，∴g（x）在区间（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在区间（0，2）上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y＝x3﹣x相切，∴满足条件的x0恰有3个，∴g（0）＜a＜g（2），即﹣2＜a＜6，则点A的轨迹长度为8．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分．已知各位评委对某名选手的打分如下：45 48 46 52 47 49 43 51 47 45则下列结论正确的为（）A．平均数为48B．极差为9C．中位数为47D．第75百分位数为51【解答】解：平均数是110×（45+48+46+52+47+49+43+51+47+45）＝47.3，选项A错误；极差为52﹣43＝9，选项B正确；按从小到大顺序排列为：43，45，45，46，47，47，48，49，51，52；所以中位数是12×（47+47）＝47，选项C正确；因为10×75%＝7.5，所以第75百分位数是第8个数，为49，选项D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0＜φ＜π2)的图像关于直线x=−π6对称，则（）A．f(π6)=−12B．f（x）在区间(−π4，π6)单调递减C．f（x）在区间(−π2，π2)恰有一个极大值点D．f（x）在区间(0，π3)有两个零点【解答】解：∵f（x）的图像关于直线x=−π6对称，∴2×（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，得φ=π3+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴当k＝0时，φ=π3，则f（x）＝cos（2x+π3），则f（π6）＝cos（2×π6+π3）＝cos2π3=−12，故A正确，当−π4＜x＜π6时，−π2＜2x＜π3，−π6＜2x+π3＜2π3，则f（x）不单调，故B错误，当−π2＜x＜π2时，﹣π＜2x＜π，−2π3＜2x+π3＜4π3，则当2x+π3=0时，函数f（x）取得唯一一个极大值，故C正确．当0＜x＜π3，0＜2x＜2π3，π3＜2x+π3＜π，则只有当2x+π3=π2时，函数f（x）＝0，即f（x）在区间(0，π3)只有1个零点，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的一条直线与C交于A，B两点，若点M在l上运动，则（）A．当|AM|＝|AF|时，AM⊥lB．当|AM|＝|AF|＝|MF|时，|AF|＝2|BF|C．当MA⊥MB时，A，M，B三点的纵坐标成等差数列D．当MA⊥MB时，|AM|•|BM|≥2|AF|•|BF|【解答】解：对于选项A：由抛物线定义可知，若|AM|＝|AF|，则AM⊥l，故选项A正确；对于选项B ：当|AM |＝|AF |＝|MF |时，△AMF 为正三角形，∴直线AB 的倾斜角为π3 设直线AB 的方程为y =√3(x −p2)，A （x 1，y 1），B （x ，y 2），由{y =√3(x −p2)y 2=2px，可得y 23−p 2=0，∴y 1=√3p ，y 2=−√33p ， ∴|AF||BF|=|y 1||y 2|=3，故选项B 错误；对于选项C ：过点A ，B 作直线垂直于l ，垂足分别为A '，B '，由B 可知A ′（−p 2，y 1），B ′（−p2，y 2），作AB 的中点N ，∵MA ⊥MB ，∴|MN|=12|AB|，由定义可知|AB |＝|AF |+|BF |＝|AA ′|+|BB ′|，∴|MN |=12（|AA ′|+|BB ′|），∴M 为A 'B '的中点，∴A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：设M （−p2，y 0），直线MF 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1=y 0−p 2−p 2=−y 0p ，由B 可知k 2=y 1−y 2x 1−x 2=y 1−y 2y 122p −y 222p=2py 1+y 2， 由C 可知y 1+y 2＝2y 0，k 2=2p y 1+y 2=py 0，k 1k 2=−y 0p •p y 0=−1，∴MF ⊥AB ， 又∵MA ⊥MB ，|AM |﹣|BM |＝|MF |•|AB |，且|MF |2＝|AF ||BF |，由基本不等式可得|AM |•|BM |＝|MF ||AB |＝（|AF |+|BF |）•√|AF|⋅|BF|≥2|AF |•|BF |，故选项D 正确． 故选：ACD ．（多选）12．（5分）在四面体ABCD 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为m ，则（ ） A ．当AB ＝AD ＝m 时，AC ⊥BDB ．当AB ＝CD ＝m 时，四面体ABCD 的外接球的表面积为(m 2+2)π2C ．m 的取值范围为(0，√2)D ．四面体ABCD 体积的最大值为√312【解答】解：当AB ＝AD ＝m 时，可知△ABD 与△BCD 为等腰三角形，取BD 中点E ， ∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∵AE ∩EC ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，可得AC ⊥BD ，故A 正确； 当AB ＝CD ＝m 时，可知四面体ABCD 的所有对棱相等， 将四面体ABCD 补为长方体，其中四面体ABCD 的各条棱为该长方体各面的对角线，∴四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为x，y，z，则x2+y2＝1，y2+z2＝1，x2+z2＝m2，∴外接球的半径为R=12√x2+y2+z2=12√m2+22=14√2m2+4，∴四面体ABCD的外接球的表面积为(m2+2)π2，故B正确；当AB＝AD＝m时，取BD的中点E，则AE=√m2−14，CE=√32，AC＝1，则在△ACE中，由三角形性质可得√m2−14+√32＞1，√m2−14−√32＜1，解得：√2−√3＜m＜√2+√3；当AB＝CD＝m时，取CD的中点F，则AF＝BF=√1−m2 4，则在△ABF中由三角形性质可知2√1−m24＞m，∴0＜m＜√2．综上可得，0＜m＜√2+√3，故C错误；当AB＝AD＝m时，若四面体ABCD的体积最大时，则底面BCD上的高为1，即AC⊥平面BCD，此时四面体ABCD体积的最大值为√3 12；当AB＝CD＝m时，由（3）可知此时AF=BF=√1−m2 4，则△ABF的面积为12m⋅√1−m22，∴四面体ABCD的体积为16m2⋅√1−m22=16√m4(2−m2)2，设f（x）＝x4（2﹣x2），f′（x）＝2x3（4﹣3x2），当x∈（0，2√33）时，f′（x）＞0，当x∈（2√33，√2）时，f′（x）＜0，∴当x=2√33时，f（x）的最大值为3227，∴四面体ABCD体积的最大值为2√327，又√312＞2√327，∴四面体ABCD体积的最大值为√312，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）(x+1x2)6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：(x+1x2)6展开式的通项T k+1=C6k x6−k(1x2)k=C6k x6−3k，令6﹣3k＝0，解得k＝2，所以常数项是C62=15．故答案为：15．14．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝6，则S5＝31．【解答】解：因为等比数列{a n}中，a3﹣a1＝3，a4﹣a2＝（a3﹣a1）q＝6，所以q＝2，则a3﹣a1＝4a1﹣a1＝3，所以a1＝1，则S5=1−251−2=31．故答案为：31．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）＝2f（x+2），当x∈（0，2]时，f（x）＝4x（2﹣x），若方程f（x）＝a在区间(112，+∞)内有实数解，则实数a的取值范围为[0，34)．【解答】解：因为f（x）＝2f（x+2），所以f （x ﹣2）＝2f （x ），f （x ）=12f （x ﹣2），又因为当x ∈（0，2]时，f （x ）＝4x （2﹣x ）， 所以当x ∈（2，4]时，x ﹣2∈（0，2]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）=12×4（x ﹣2）（4﹣x ）＝2（x ﹣2）（4﹣x ），当x ∈（4，6]时，x ﹣2∈（2，4]，所以f （x ）=12f （x ﹣2）＝（x ﹣4）（6﹣x ），所以f （112）＝（112−4）•（6−112）=34， ……作出函数f （x ）的部分图象，如图所示：又因为方程f （x ）＝a 在区间(112，+∞)内有实数解， 即y ＝a 与y ＝f （x ）的图象在(112，+∞)内有交点， 结合图象可知a ∈[0，34）．故答案为：[0，34）．16．（5分）已知线段AB 是圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4上的一条动弦，且|AB|=2√3，设点O 为坐标原点，则|OA →+OB →|的最大值为 2√2+2 ；如果直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0相交于点M ，则MA →⋅MB →的最小值为 6−4√2 ． 【解答】解：设D 为AB 中点，则|CD |＝1， ∴点D 的轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1，∴|OA →+OB →|=2|OD →|，则最大值为2√2+2； 又直线l 1：x ﹣my ﹣3m +1＝0与l 2：mx +y +3m +1＝0， ∴l 1⊥l 2，且l 1过定点（﹣1，﹣3），l 2过定点（﹣3，﹣1）， ∴点M 的轨迹为（x +2）2+（y +2）2＝2，∴MA →⋅MB →=(MD →+DA →)(MD →+DB →)=(MD →+DA →)(MD →−DA →)=MD →2−DA →2， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3，又∵|MD →|⩾√(1+2)2+(1+2)2−1−√2=2√2−1， ∴MA →⋅MB →=|MD →|2−3⩾(2√2−1)2−3=6−4√2， ∴MA →⋅MB →的最小值为6−4√2． 故答案为：2√2+2；6−4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a na n +1(n ∈N ∗)． （1）证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝a n a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】（1）证明：依题意，由a n+1=a na n +1两边取倒数， 可得1a n+1=a n +1a n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，∵1a 1=1，∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1a n=1+1•（n ﹣1）＝n ，∴a n =1n，n ∈N *．（2）解：由（1）可得，b n ＝a n a n +1=1n •1n+1=1n −1n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1＝1−1 n+1=nn+1．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+12a=c．（1）求B；（2）若c＝2a，且b=3√3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC和bcosA+12a=c，可得sinBcosA+12sinA=sinC，又∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，∴sinBcosA+12sinA=sinC=sinAcosB+sinBcosA，∴12sinA=sinAcosB∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴cosB=1 2，∵0＜B＜π，∴B=π3．（2）记△ABC的面积为S，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，及B=π3，b＝3√3可得a2+c2﹣ac＝27，将c＝2a代入上式，得a2＝9，故a＝3，c＝6，∴S=12acsinB=9√32．19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，△P AC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥平面P AC．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）若BC=2√3，点E为PB的中点，点F为圆O上一点，且F与C位于直径AB的两侧，当EF∥平面P AC时，求平面EFB与平面ABC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取PC的中点D，∵△P AC为等边三角形，∴AD⊥PC，∵平面PBC⊥平面P AC，平面PBC∩平面P AC＝PC，∴AD⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AD，∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵AC∩AD＝A，∴BC⊥平面P AC，∵BC⊂平面ABC，∴平面P AC⊥平面ABC．（2）（法一）由三角形中位线的性质可知EO∥AP，又∵EO⊄平面P AC，AP⊂平面P AC，∴EO∥平面P AC，∵EF∥平面P AC，EO∩EF＝E，∴平面EOF∥平面P AC，∵平面EOF∩平面AFBC＝FO，平面P AC∩平面AFBC＝AC，∴FO∥AC，由题可知BC=2√3，AB=4，取AC中点M连接PM，则PM⊥AC，∵平面P AC∩平面AFBC＝AC，由（1）可知PM⊥平面ABC，如图1建立空间直角坐标系，∴P(0，0，√3)，A(1，0，0)，B(−1，2√3，0)，E(−12，√3，√32)，F(2，√3，0)，∴BF →=(3，−√3，0)，EF →=(52，0，−√32)，设平面BEF 的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则{3x −√3y =0，5x −√3z =0，令x =√3，则y ＝3，z ＝5，∴m →=(√3，3，5)， 由（1）可知平面ABC 的一个法向量n →=(0，0，1)， ∴设平面BEF 与平面ABC 的夹角为θ， 则cosθ=m →⋅n →|m →⋅n →|=√37=5√3737，∴平面BEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为5√3737． （法二）如图2，由三角形中位线的性质可知EO ∥AP ，又∵EO ⊄平面P AC ，AP ⊂平面P AC ，∴EO ∥平面P AC ，∵EF ∥平面P AC ，EO ∩EF ＝E ， ∴平面EOF ∥平面P AC ， ∵平面EOF ∩平面AFBC ＝FO ，平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，∴FO ∥AC ，由题可知BC =2√3，AB =4，取AC 中点M 连接PM ， 则PM ⊥AC ，∵平面P AC ∩平面AFBC ＝AC ，由（1）可知PM ⊥平面ABC ，连接BM ，过点E 作EH ∥PM ， ∴H 为BM 的中点，且EH ⊥平面ABC ，∵BF ⊂平面ABC ，∴EH ⊥BF ，过点H 作HN ⊥BF ，垂足为N ，连接EN ，∵EH ∩HN ＝H ， ∴BF ⊥平面ENH ，∴EN ⊥BF ，则∠ENH 为平面EFB 与平面ABC 的夹角， 在△BHF 中，FH =52，∠BFH =π6，∴HN =FHsin π6=54，∵EH=12PM=√32，由勾股定理可得EN=√374，cos∠ENH=54√374=5√3737，∴平面BEF与平面ABC的夹角的余弦值为5√37 37．20．（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球．规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如表（小球除颜色外大小质地完全相同）：（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）记“在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球”为事件C，根据条件概率可知P(C)=15×C22C62=175，故在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率为1 75．（2）（i）X的可能取值为1，3，5，对应概率分别为：P(X=5)=25×C32C62+25×C22C62+15×C22C62=325，P(X=3)=25×C31C31C62+25×C21C41C62+15×C21C41C62=1425，P(X=1)=25×C32C62+25×C42C62+15×C42C62=825，故X的分布列为：（ii）由（i）中分布列可知：E(X)=5×325+3×1425+1×825=135，甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为Y ，每轮游戏的结果相互独立，根据期望的性质公式可知E （Y ）＝5E （X ）＝13． 21．（12分）已知f （x ）＝axe 2x （a ∈R ）． （1）当a ≠0时，讨论f （x ）的单调性；（2）若关于x 的不等式f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝a （e 2x +xe 2x •2）＝a （2x +1）e 2x ，∵当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＜−12，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＜−12，由f ′（x ）＜0，解得x ＞−12，∴当a ＞0时，f （x ）的单调增区间为(−12，+∞)，单调减区间为(−∞，−12)，当a ＜0时，f （x ）的单调增区间为(−∞，−12)，单调减区间为(−12，+∞)．（2）由f （x ）﹣2x ﹣lnx ≥0，得axe 2x ﹣2x ﹣lnx ≥0，……① 令g （x ）＝axe 2x ﹣2x ﹣lnx ，则g ′(x)=a(1+2x)e 2x −2−1x =(1+2x)(axe 2x −1)x， ∵当a ⩽0时，g （1）＝ae 2﹣2＜0不满足条件，∴a ⩽0不成立， 当a ＞0时，令k （x ）＝axe 2x ﹣1，k ′（x ）＝a （1+2x ）e 2x ＞0，∵当x →0+时，k(x)→−1，k(1a)=e 2a −1＞0，∴∃x 0∈(0，1a)，使得k （x 0）＝0，即ax 0e 2x 0=1，∴当x ∈（0，x 0）时，k （x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，k （x ）＞0，∴g （x ）在区间（0，x 0）上单调递减，在区间（x 0，+∞）上单调递增，当x ＝x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0），由ax 0e 2x 0=1，取对数得lna +lnx 0+2x 0＝0，则g(x 0)=ax 0e 2x 0−2x 0−lnx 0=1+lna ， 要使不等式①恒成立，需1+lna ⩾0，解得a ⩾1e ，∴实数a 的取值范围是[1e，+∞）．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√2，且C 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1． （1）求C 的方程；（2）设点A 为C 的左顶点，若过点（3，0）的直线l 与C 的右支交于P ，Q 两点，且直线AP ，AQ 与圆O：x2+y2＝a2分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．【解答】解：（1）考虑右焦点到一条渐近线的距离，由题可知C的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，右焦点为（c，0），∴右焦点到渐近线的距离d=|bc|√b+a2=b＝1，由离心率e=ca=√2，有√a2+b2a=√2，解得a＝1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．（2）设直线l的方程：x＝ty+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x2−y2=1x=ty+3⇒（t2﹣1）y2+6ty+8＝0，因为直线l与双曲线C的右支交于两点，Δ＝（6t）2﹣4（t2﹣1）×8＝4t2+32＞0恒成立，还需{y1y2=8t2−1＜0t2−1≠0，解得﹣1＜t＜1，∵A点坐标为（﹣1，0），∴k AP⋅k AQ=y1x1+1⋅y2x2+1=y1y2(ty1+4)(ty2+4)=y1y2t2y1y2+4t(y1+y2)+16，将y1+y2=−6tt2−1，y1y2=8t2−1代入，得k AP⋅k AQ=8t2−1t2⋅8t2−1+4t⋅−6tt2−1+16=88t2−24t2+16t2−16=−12，设AP：x＝m1y﹣1，AQ：x＝m2y﹣1，且|m1|＞1，|m2|＞1，∴1m1⋅1m2=−12，即m1•m2＝﹣2，故|m1|•|m2|＝2，∵|m2|=2|m1|＞1，∴1＜|m1|＜2，由{x2−y2=1x=m1y−1⇒(m12−1)y2−2m1y=0，∴y P=2m1m12−1，同理可得y Q=2m2m22−1，由{x2+y2=1x=m1y−1⇒(m12+1)y2−2m1y=0，∴y M=2m1m12+1，同理可得y N=2m2m22+1，∴S△APQS△AMN=12|AQ||AP|sin∠QAP12|AN||AM|sin∠QAP=|AQ||AP||AN||AM|=y Q⋅y Py N⋅y M=2m2m22−1⋅2m1m12−12m2m22+1⋅2m1m12+1=(m12+1)(m21+1)(m12−1)(m22−1)=m12m22+m12+m22+1m12m22−m12−m22+1=5+(m12+m22)5−(m12+m22)，令t=m12+m22，由|m1|•|m2|＝2，1＜|m1|＜2，得t=m12+4m12，t∈[4，5），∴S△APQS△AMN=5+t5−t=10−t+5−1，t∈[4，5），令f（t）=10−t+5−1，t∈[4，5），∵f（t）在区间[4，5）上为增函数，所以f（t）的取值范围为[9，+∞），∵S1S2=S MNPQS AMN=S△APQ−S△AMNS△AMN，∴S1S2的取值范围为[8，+∞）．。

广东省深圳市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·集宁期中) 已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A . 0B . ﹣2C . ﹣4D . 22. （2分） (2015高二下·宜昌期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P （0＜ξ＜1）的值为（）A . 0.6B . 0.4C . 0.3D . 0.23. （2分）用反证法证明“a、b∈N+，ab可被5整除，那么，a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（）A . a不能被5 整除B . a,b不能被5整除C . a、b都不能被5 整除D . 以上都不对4. （2分）18×17×16×…×9×8=（）A .B .C .D .5. （2分）复数z=+ai（a∈R且a≠0）对应的点在复平面内位于（）A . 第一、二象限B . 第一、三象限C . 第二、四象限D . 第三、四象限6. （2分）(2017·孝义模拟) 设a=（1﹣2x）dx，则二项式（ x2+ ）6的常数项是（）A . 240B . ﹣240C . ﹣60D . 607. （2分）(2014·湖北理) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，和都是圆内接正三角形，且BC//EF，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则（）A .B .C .D .9. （2分）如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A . 在区间（﹣3，﹣2）内f（x）是增函数B . 在（1，3）内f（x）是增函数C . 当x=4时，f（x）取极大值D . 当x=2时，f（x）取极大值10. （2分）甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·三原期中) 函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间为（）A . （﹣∞，1）B . （1，+∞）C . （0，1）D . （0，+∞）12. （2分） (2015高二下·福州期中) 如图，已知△ABC周长为2，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）下表提出了某厂节能耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产耗能（吨）的几组相对数据．根据上表提供的数据，求出关于的线性回归直线方程，那么表中 ________．14. （1分） (2016高二下·三门峡期中) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数字作答）．15. （1分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是________．16. （1分）正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知复数z满足 i(z+1)=-2+2i（ i 是虚数单位）（1）求z的虚部；（2）若求．18. （15分）(2020·海南模拟) 某公司组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数甲1812乙328（1）从甲、乙两个部门所有员工中随机抽取1人，求该员工学习活跃的概率；（2）根据表中数据判断能否有的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；（3）活动第二周，公司为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？参考公式：，其中 .参考数据：，， .19. （5分）(2017·金华模拟) 已知的两个极值点为α，β，记A（α，f（α）），B（β，f （β））（Ⅰ）若函数f（x）的零点为γ，证明：α+β=2γ．（Ⅱ）设点，是否存在实数t，对任意m＞0，四边形ACBD均为平行四边形．若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．20. （15分） (2018高三上·长春期中) 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．21. （10分） (2017高三上·长葛月考) 设为数列的项和，，数列满足，.（1）求即；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前项和.22. （10分） (2015高二下·遵义期中) 设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2021-2022学年广东省深圳市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{N1},{04}A x x B x x =∈>=<<∣∣，则A B =（ ） A ．{14}x x <<∣ B ．{0}xx >∣ C ．{}2,3 D ．{}1,2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题意，{N14}A x x B ∈<<==∣{}2,3 故选：C2．若()1i 2z +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】B【分析】由复数除法运算直接求解即可. 【详解】由题意得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-. 故选：B. 3．已知3cos 5α=，π02α<<，则()sin πα+的值为（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin α，再由诱导公式计算可得； 【详解】解：因为3cos 5α=，π02α<<，所以24sin 1cos 5αα， 所以()4sin πsin 5αα+=-=-；故选：A4．如图，ABC 中，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，若BM BA BC λμ=+，则实数对(),λμ=（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算求解即可【详解】因为M 为AD 的中点，且AD 为BC 边上的中线，故11112224BM BA BD BA BC =+=+，故(),λμ=11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A5．已知直线,m n 与平面,,αβγ，则能使αβ⊥的充分条件是（ ） A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．m n ⊥，m αβ=，n β⊂C ．//m α，//m βD ．//m α，m β⊥【答案】D【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，αγ∴⊥，βγαβ⊥⊥，A 错误；对于B ，若m n ⊥，m αβ=，n β⊂，则只需,m n 在平面β内互相垂直即可，无法得到αβ⊥，B 错误；对于C ，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，//m α∴，//m βαβ⊥，C 错误；对于D ，//m α，∴存在直线l α⊂，满足//m l ，又m β⊥，l β∴⊥，l α⊂，αβ∴⊥，D 正确. 故选：D.6．国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】首先安排爸妈，再将孩子放在中间，根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】将爸妈安排在两边，有22A 种排法；将三个小孩放在中间，有33A 种排法；则所有不同的排法种数为：2323A A 2612=⨯=种.故选：B.7．如图，12,F F 分别为椭圆22143x y +=的左､右焦点，P 为椭圆上的点，PT 为12F PF △的外角平分线，2F T PT ⊥，则OT =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长2F T 交1F P 的延长线于点M ，所以2PTF PTM △△≌，结合椭圆的定义得14MF =，所以在12F F M △中，112OT MF =． 【详解】如图所示：延长2F T 交1F P 的延长线于点M ，因为PT 为12F PF ∠的外角平分线，2F T PT ⊥，所以易得2PTF PTM △△≌，所以2PF PM =，2TF TM =， 结合椭圆的定义得1112||4MF PF PM PF PF =+=+=， 又T 为2F M 的中点，O 为12F F 的中点，所以在12F F M △中，1122OT MF ==， 故选：B.8．设函数()ln ,01,0x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若方程()f x x b =+有3个不同的实根，则b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】令()()g x f x x =-，将问题转化为()g x 与y b =有3个不同的交点；结合导数可求得()g x 单调性，由此可得()g x 的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】令()()ln ,01,0x x x g x f x x x x->⎧⎪=-=⎨<⎪⎩；方程()f x x b =+有3个不同的实根等价于()g x 与y b =有3个不同的交点； 当0x >时，()111xg x x x-'=-=， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11g x g ∴==-； 则可得()g x 图象如下图所示，由图象可知：当1b <-时，()g x 与y b =有3个不同的交点； 综上所述：实数b 的取值范围为(),1-∞-. 故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题基本思路是将问题转化为两函数图象交点个数的问题，作出函数图象，采用数形结合的方式确定参数范围.二、多选题9．已知样本数据1221,21,,21n x x x ++⋅⋅⋅+的平均数是2，方差为16，则样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的（ ） A ．平均数是0.5 B ．平均数是1 C ．方差是4 D ．方差是5【答案】AC【分析】根据平均数和方差的运算性质直接求解即可. 【详解】由题意知：()212E X +=，()2116D X +=，()()21212E X E X +=+=，()0.5E X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为0.5；()()21416D X D X +==，()4D X ∴=，即12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为4.故选：AC.10．已知直线:10l x y -+=，圆22:1C x y +=，则（ ） A ．直线l 与圆C 相交B ．圆C 上的点到直线l C ．直线l 关于圆心C 对称的直线的方程为10x y --=D ．圆C 关于直线l 对称的圆的方程为()()22111x y ++-= 【答案】ACD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；利用圆心到直线距离d r <知直线与圆相交，得A 正确；由圆上点到直线距离最大值为d r +，可知B 错误；由直线关于点的对称直线的求法可知C 正确；利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程，知D 正确.【详解】由圆C 方程知：圆心()0,0C ，半径1r =；对于A ，圆心C 到直线l 距离1d ==<，∴直线l 与圆C 相交，A 正确；对于B ，圆心C 到直线l 距离d =，∴圆C 上的点到直线l 距离的最大值为1d r +=，B 错误； 对于C ，设直线l 关于圆心C 对称的直线方程为：()01x y m m -+=≠，则圆心C 到直线l 和到其对称直线的距离相等，解得：1m =（舍）或1m =-，∴直线l 关于圆心C 对称的直线的方程为10x y --=，C 正确；对于D ，设圆心C 关于直线l 对称的点为(),a b ，则11022baa b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩，∴所求圆的圆心为()1,1-，半径为1，∴圆C 关于直线l 对称的圆的方程为()()22111x y ++-=，D 正确.故选：ACD.11．已知数列{}n a 中，12a =，111n na a ++=，n +∈N ，则（ ） A ．20221a =B ．12320221011a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．12320221a a a a ⋅⋅⋅=-D ．122334202220231011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=- 【答案】BD【分析】根据递推关系式可推导可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列，由202267433a a a ⨯==可知A 错误；由()1232022123674a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++知B 正确；由()6741232022123a a a a a a a ⋅⋅⋅=知C 错误；根据递推关系式得到11n n n a a a +=-，可知1223342022202312320222022a a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-，得到D 正确. 【详解】由题意得：211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，541112a a =-=，…，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列；对于A ，2022674332a a a ⨯===，A 错误；对于B ，()1232022123367467410112a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++=⨯=，B 正确；对于C ，()67412320221231a a a a a a a ⋅⋅⋅==，C 错误；对于D ，由递推关系式知：11n n n a a a +=-，()()()12233420222023122022111a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-12320222022101120221011a a a a =+++⋅⋅⋅+-=-=-，D 正确. 故选：BD.12．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为sin y A x ω=，其中A 影响音的响度和音长，ω影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是()111sin sin 2sin 3sin 23f x x x x nx n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅.令()11sin nn k f x kx k==∑则下列说法正确的有（ ）A ．()n f x 是奇函数B ．()n f x 是周期函数C ．()2y f x =的最大值为32D ．()3f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ABD【分析】由奇偶性定义可知A 正确；由()()2n n f x f x π+=知B 正确；利用导数可求得()2f x 在[]0,π上的值域，结合奇偶性和周期性可确定()2f x 最大值，知C 错误；求导后可证得()30f x '≥，由此可知D 正确. 【详解】对于A ，()()()1111sin sin nnn n k k f x kx kx f x k k==-=-=-=-∑∑，()n f x ∴是奇函数，A 正确；对于B ，()()()11112sin 2sin nnn n k k f x kx kx f x k k ππ==+=+==∑∑，2π∴是()n f x 的一个周期，B 正确； 对于C ，()21sin sin 22f x x x =+，()()()22cos cos22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x '∴=+=+-=-+；当[]0,x π∈时，cos 10x +≥，则当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()20f x '≥；当,3x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()20f x '≤；()2f x ∴在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又()()2200f f π==，23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭则当[]0,x π∈时，()20f x ≤≤()2f x 为奇函数，∴当[]0x π∈-，时，()20f x ≤≤；又()2f x 周期为2π，()2f x ≤≤()2f x C 错误； 对于D ，()311sin sin 2sin 323f x x x x =++，()3cos cos2cos3f x x x x '∴=++；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos x ⎤∴∈⎥⎣⎦，[]cos20,1x ∈，cos3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()30f x '∴≥， ()3f x ∴在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数奇偶性、周期性、单调性和最值的求法；求解关键是能够充分理解所给函数的表达式，灵活应用导数求解函数在一个周期内的单调区间和值域，通过函数的周期性推导得到结果. 三、填空题 13．若()()131x af x x =+∈+R 是奇函数，则实数=a ___________. 【答案】2-【分析】利用()00f =可求得a ，验证可知满足题意. 【详解】()f x 定义域为R ，且()f x 为奇函数，()0102af ∴=+=，解得：2a =-； 当2a =-时，()23113131x x x f x -=-=++，()()31133113x xxxf x f x ----∴-===-++， ()f x ∴为R 上的奇函数，满足题意；综上所述：2a =-. 故答案为：2-.14．已知双曲线的渐近线方程是y =，且双曲线经过点()4,3M ，则双曲线的标准方程为___________.【答案】22143x y -=【分析】根据渐近线方程可设双曲线的方程，再代入()4,3M 计算即可【详解】双曲线的渐近线方程为32y x =±,可设双曲线的方程为22430y tx t （）,代入()4,3M ,可得2243143t,则双曲线的方程为22143x y -=. 故答案为：22143x y -=15．如图，已知一个圆锥的底面半径为1dm ，高为3dm ，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为___________3dm .3【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为()01r r <<，高为h ，利用相似关系可知33h r =-，由此可将正三棱柱体积表示为关于r 的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值.【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆；要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆； 设小圆的半径为()01r r <<，正三棱柱的高为h ，331h r-∴=，解得：33h r =-；又正三棱柱的底面三角形面积21333332S r r ==，∴正三棱柱的体积())223339333V Sh r r r ==-=-，则()9323V r '=-；∴当20,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>；当2,13r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<；∴当23r =时，max 93483927V ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.四、双空题16．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.例如：取正整数5n =，根据上述运算法则得出5168421→→→→→，共需5个步骤变成1，称为5步“雹程”.一般地，对于正整数n ，根据上述运算法则，第一次变成1时，所需步数称为n 的“雹程”，记为()B n .则()17B =___________；若()8B n =，则n 的所有可能取值的集合为___________. 【答案】 12； {}6,40,42,256.【分析】当17n =时，根据运算法则即可得出结果；当()8B n =时，根据运算规则逆向寻找结果即可.【详解】解：当17n =时，根据运算法则可得：175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，共需要12个步骤，故()1712B =.若()8B n =，根据运算规则需要8步才第一次变成1，所有可能的情形有： 1248163264128256←←←←←←←←； 12481632642142←←←←←←←←； 1248165102040←←←←←←←←； 12481651036←←←←←←←←.故满足()8B n =的正整数n 的所有可能取值的集合为{}6,40,42,256. 故答案为：12；{}6,40,42,256. 五、解答题17．已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比8q =.在{}n a 中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{}n b . (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)设2log n n c b =，n +∈N ，证明：122311111n n c c c c c c +++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)2n n b =(2)证明见解析【分析】（1）由12b =，416b =可求得数列{}n b 的公比，由等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n c ，采用裂项相消法可求得12231111n n c c c c c c +++⋅⋅⋅+，进而得到结论. 【详解】(1)由题意知：112b a ==，42116b a a q ===，则等比数列{}n b 的公比3418b q b '==，解得：2q '=，2n n b ∴=. (2)由（1）得：22log log 2n n n c b n ===，()1111111n n c c n n n n +∴==-++， 122311111111111122311n n c c c c c c n n n +∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++， 又101n >+，1111n ∴-<+，即122311111n n c c c c c c +++⋅⋅⋅+<. 18．记ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos cos tan a B b A A +. (1)求A ；(2)若2,a b ==ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可； （2）根据余弦定理可得2c =或4c =，再根据面积公式求解即可 【详解】(1)由正弦定理可得sin cos sin cos tan A B B A C A +=，故()sin tan A B C A +=，因为A B C π++=，故()sin tan sin A B C A C +=，故tan A =，又()0,A π∈，故6A π=(2)根据余弦定理可得(22222c =+-⨯，故()()240c c --=，故2c =，4c =.当2c =时，111sin 2222ABCSbc A ==⨯⨯=；当4c =时，111sin 4222ABCSbc A ==⨯⨯=ABC19．如图（1），在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，且122BC CD AB ===，取AB 的中点O ，连结OD ，并将AOD △沿着OD翻折，翻折后AC =,M N 分别是线段,AD AB 的中点，如图（2）.(1)求证：AC OM ⊥；(2)求平面OMN 与平面OBCD 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）连接OC ，利用勾股定理可证得OA OC ⊥，结合OA OD ⊥可证得OA ⊥平面OCD ，结合线面垂直的性质与判定得到CD ⊥平面OAD ，得到CD OM ⊥；由等腰三角形三线合一得到OM AD ⊥，进而证得OM ⊥平面ACD ，由线面垂直的性质可得结论； （2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. 【详解】(1)连接OC ，//AB CD ，AB BC ⊥，122BC CD AB ===，O 为AB 中点， ∴四边形ODCB 为正方形，22OC ∴=，翻折后，23AC =((222222223OA OC AC ∴+=+==，OA OC ∴⊥；又OA OD ⊥，OC OD O =，,OC OD ⊂平面OCD ，OA ∴⊥平面OCD ，CD ⊂平面OCD ，OA CD ∴⊥，又CD OD ⊥，OA OD O =，,OA OD ⊂平面OAD ，CD平面OAD ，OM ⊂平面OAD ，CD OM ∴⊥； OA OD =，M 为AD 中点，OM AD ∴⊥，又CDAD D =，,CD AD ⊂平面ACD ，OM ∴⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，AC OM ∴⊥.(2)以O 为坐标原点，,,OD OB OA 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,1M ，()0,1,1N ，()1,0,1OM ∴=，()0,1,1ON =；z 轴⊥平面OBCD ，∴平面OBCD 的一个法向量()0,0,1m =； 设平面OMN 的法向量(),,n x y z =，则00OM n x z ON n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；13cos ,3m n m n m n⋅∴<>===⋅ 即平面OMN 与平面OBCD 320．为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有,,A B C 三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对,,A B C 三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：问题 ABC答对的概率0.6 0.50.2获得的荣誉积分 1000 2000 3000(1)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；(2)若小明按照,,A B C 的顺序答题所获得的总积分为X ，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为Y ，请分别求,X Y 的分布列，并比较它们数学期望的大小.①,,C B A ；②,,B A C ：③,,A C B注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)1330(2)答案见解析【分析】（1）根据全概率公式计算可求得结果；（2）首先确定X 和Y 所有可能的取值，根据独立事件概率乘法公式依次确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望，从而得到数学期望的大小关系.【详解】(1)记事件E ：小明随机选择一道题并答对；事件1D ：小明选择问题A ；事件2D ：小明选择问题B ；事件3D ：小明选择问题C ；则123D D D Ω=，且123,,D D D 两两互斥；事件,,A B C 分别为：小明答对问题,,A B C ； 由题意知：()()()12313P D P D P D ===，()10.6P A D =，()20.5P B D =，()30.2P C D =；()()()()()()()112233P E P D P A D P D P B D P D P C D ∴=++111130.60.50.233330=⨯+⨯+⨯=. (2)由题意知：X 所有可能的取值为0,1000,3000,6000，()()00.4P X P A ∴===；()()10000.60.50.3P X P AB ===⨯=；()()30000.60.50.80.24P X P ABC ===⨯⨯=；()()60000.60.50.20.06P X P ABC ===⨯⨯=； X ∴的分布列为：则数学期望()00.410000.330000.2460000.061380E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 若选条件①，Y 所有可能的取值为0,3000,5000,6000，()()00.8P Y P C ∴===；()()30000.20.50.1P Y P CB ===⨯=；()()50000.20.50.40.04P Y P CBA ===⨯⨯=；()()60000.20.50.60.06P Y P CBA ===⨯⨯=；Y ∴的分布列为：E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，则数学期望()00.830000.150000.0460000.06860 ()()∴>；E X E Y若选条件②，Y所有可能的取值为0,2000,3000,6000，()()20000.50.40.2===⨯=；P Y P BA∴===；()()00.5P Y P B()()P Y P BAC===⨯⨯=；30000.50.60.80.24()()===⨯⨯=；P Y P BAC60000.50.60.20.06∴的分布列为：YE Y=⨯+⨯+⨯+⨯=；则数学期望()00.520000.230000.2460000.061480 ()()∴>；E Y E X若选条件③，Y所有可能的取值为0,1000,4000,6000，()()P Y P AC10000.60.80.48===⨯=；00.4∴===；()()P Y P A()()===⨯⨯=；40000.60.20.50.06P Y P ACB()()===⨯⨯=；60000.60.20.50.06P Y P ACB∴的分布列为：YE Y=⨯+⨯+⨯+⨯=；则数学期望()00.410000.4840000.0660000.061080 ()()∴>.E X E Y21．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M的纵坐标为(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且MA MB ⊥，证明直线l 过定点. 【答案】(1)抛物线2:2C y x =；()2,2M (2)证明见解析【分析】（1）设(0M x ，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得0,x p ，由此可得抛物线方程和点M 坐标；（2）设:l x my n =+，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得1MA MB k k ⋅=-，代入韦达定理的结论可整理得到24n m =+，代入直线方程可得定点坐标.【详解】(1)设(0M x ，则0052224p x px p⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：021x p =⎧⎨=⎩，∴抛物线2:2C y x =；()2,2M .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y xx my n ⎧=⎨=+⎩得：2220y my n，2480m n ∴∆=+>，即220m n +>；122y y m ∴+=，122y y n ；1121112224222MA y y k y x y --===--+，2222222224222MB y y k y x y --===--+，又MA MB ⊥，()()()12121244412224244MA MBk k y y y y y y n m ∴⋅====-+++++-++； 则24n m =+（此时()222248240m n m m m +=++=++>成立）， ∴直线():2424l x my m m y =++=++，当2y =-时，4x =，∴直线l 恒过定点()4,2-.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.22．设函数()()e xf x x a =+，已知直线21y x =+是曲线()y f x =的一条切线.(1)求a 的值，并讨论函数()f x 的单调性； (2)若()()12f x f x =，其中12x x <，证明：124x x ⋅>.【答案】(1)1a =；()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增 (2)证明见解析.【分析】（1）设切点为()()00,x f x ，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到00e 210x x +-=；设()e 21x g x x =+-，利用导数可确定()g x 有唯一零点0x =，由此可得a ；代入()f x 后，根据()f x '的正负可得单调区间；（2）根据()f x 单调性和()f x 的正负可确定1221x x <-<<-，将所证不等式转化为()224f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意()22,1x ∈--恒成立；令()()()421h x f x f x x ⎛⎫=--<<- ⎪⎝⎭，利用导数可求得()h x 单调递增，得到()()20h x h >-=，由此可得结论. 【详解】(1)设直线21y x =+与曲线()y f x =相切于点()()00,x f x ，()()1e x f x x a '=++，()()0001e 2x f x x a '∴=++=；又()()0000e 21x f x x a x =+=+，002e 21xx ∴-=+，即00e 210x x +-=；设()e 21x g x x =+-，则()e 20xg x '=+>，()g x ∴在R 上单调递增，又()00g =，()g x ∴有唯一零点0x =，00x ∴=，12a ∴+=，解得：1a =；()()1e x f x x ∴=+，()()2e x f x x '=+，则当(),2x ∞∈--时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>；()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增.(2)由（1）知：()()2min 2e 0f x f -=-=-<；当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，1221x x ∴<-<<-； 要证124x x ⋅>，只需证1242x x <<-；()f x 在(),2-∞-上单调递减，∴只需证()124f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又()()12f x f x =，则只需证()224f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意()22,1x ∈--恒成立；设()()()421h x f x f x x ⎛⎫=--<<- ⎪⎝⎭，()()()()444333822e 2e e e 8xx xxxx x h x x x x x -⎛⎫++'∴=++=+ ⎪⎝⎭； 设()()43e821x xp x x x -=+-<<-，则()2437e024x xp x x x -⎡⎤⎛⎫'=⋅++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()p x ∴在()2,1--上单调递减，()()2880p x p ∴<-=-+=，又当21x -<<-时，()432e 0xx x +<，()0h x '∴>，()h x ∴在()2,1--上单调递增，()()()()2220h x h f f ∴>-=---=，即()4f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭在()2,1x ∈--时恒成立，又()22,1x ∈--，()224f x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，原不等式得证.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于12x x a >（12,x x 满足()()12f x f x =）的问题的基本步骤如下：①求导确定()f x 的单调性，得到12,x x 的范围；②构造函数()()a F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导后可得()F x 恒正或恒负；③得到()1f x 与1a f x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系后，将()1f x 置换为()2f x ；④根据2x 与1a x 所处的范围，结合()f x 的单调性，可得到2x 与1ax 的大小关系，由此证得结论.。

广东省深圳市2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理． 命题②不正确，缺少a α⊄条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件． 命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．2．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ） A ．250x y ++=或250x y +-= B ．250x y ++=或250x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．250x y -+=或250x y --=【答案】A 【解析】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，22521=+，解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A. 3．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数，则所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C ．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若，则（ ）A ．-2B ．C ．2D ．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以，故选C.考点：复数的运算.视频5．函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解． 【详解】由角函数的周期公式，可得函数cos y x =的周期2T π=，又由绝对值cos y x =的周期减半，即为最小正周期为π，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．6．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（ ） A ．18种 B ．24种C ．48种D ．36种【答案】C【解析】 【分析】将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘22A 即可得出结论． 【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列44A ， 再考虑甲乙顺序为22A ，故共4242=48A A ⋅种站法.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.7．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】 【分析】()1根据新定义由[]1OP x y =+=，讨论x 、y 的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；()2运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[]OP 的最小值；()3根据k 等于1或1-都能推出[]OP 最小的点P 有无数个可判断其错误；()4把P 的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得[]OP x y =+的最大值说明命题正确． 【详解】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 为直线3220x y +-=上任一点，可得31y x =， 可得312x y x x +=+-， 当0x ≤时，[]3111OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]3113OP x ⎛⎛=+∈ ⎝⎝⎭； 当3x ≥时，可得[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin 10sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]10max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ． 【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.8． “5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可知当5n =时，只需3r =即可得到常数项，可知充分条件成立；当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】n⎛ ⎝展开式的通项公式为：(()35621rn rn rr rn r rn n C C x ---⎛⋅⋅=⋅- ⎝当5n =时，通项公式为：()15556521r rrrC x--⋅-令1550r -=，解得：3r =，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立 令350n r -=，解得：35n r =∴当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立∴“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的充分不必要条件 本题正确选项：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当x 幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.9．已知空间向量(3,a =r 1，0)，(),3,1b x =-r ，且a b ⊥r r ，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值． 【详解】由题意知，空间向量a (3,r =1，0)，()b x,3,1=-r ，且a b ⊥r r ， 所以a b 0⋅=rr ，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=. 故选C ．本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100 B ．99C ．98D ．97【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 11．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为6，当[3,3)x ∈-时，1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()22log 3log 12f f -+=（ ）A ．373B ．403C ．433D ．463【答案】C【分析】根据函数的周期性以及[3,3)x ∈-时的解析式结合22log 31-<-<-，23log 124<<可得()22log 34log 3f -=+，()()22log 126log 12f f =-+利用对数的运算性质，化简可得答案．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 的周期为6，当[3,3)x ∈-时，1()12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又∵22log 31-<-<-，23log 124<<∴()22log 3log 322221log 3log 312log 314log 32f -⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭，()()23log 162222231316log 126log 12log log 1log 35162163f f f ⎛⎫⎛⎫=-+==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()2243log 3log 123f f -+=，故选C.【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．11)2x dx ⎰= . 【答案】14π+ 【解析】，则221x y +=（y≥0），∴1dx ⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰，所以101)2x dx +⎰=10dx ⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分.14．{}n a 为等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______. 【答案】123n -• 【解析】 【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。

2020年深圳市数学高二下期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥ D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D. 【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.2．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的22⨯列联表：根据表中数据，得到2256(8121620) 4.66728282432K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：2 3.84()10.05P K ≥≈，2( 6.635)0.01≥≈P K ） A ．99% B ．95%C ．1%D ．5%【答案】B 【解析】 【分析】利用2K 与临界值比较，即可得到结论. 【详解】结合题意和独立性检验的结论，由2 4.667 3.841K ≈>，23.84()10.05P K ≥≈，故这种判断出错的可能性至多为0.05，即005， 故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系. 故选：B 【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.3．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为( ) A ．1 4B ．3 4C ．1 2D ．79【答案】B 【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题， 则()()()23P AB P A P B =⋅=， ()()()8|9P AB P B A P A ∴==. ()34P A ∴=. 故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.4．三棱锥A BCD -的棱长全相等，E 是CD 中点，则直线AE 与直线BD 所成角的正弦值为（ ）A B ．2C ．6D ．12【答案】C 【解析】分析：取BC 中点F ，连接EF ，由三角形中位线定理可得//EF BD ，直线EF 与AE 所成的角即为直线AE 与直线BD 所成角，利用余弦定理及平方关系可得结果. 详解：如图，取BC 中点F ，连接EF ，EF 分别为,CD BC 的中点，则EF 为三角形CBD 的中位线，//EF BD ∴，∴直线EF 与AE 所成的角即为直线AE 与直线BD 所成角，三棱锥A BCD -的棱长全相等，设棱长为2a ，则EF a =， 在等边三角形ABC 中，F 为BC 的中点，AF ∴为边BC 上的高， ()222223AF AB BF a a a ∴=-=-=，同理可得3AE a =， 在三角形AEF 中，22223cos 223AE EF AF AEF AE EF a a+-∠===⋅⋅， 21cos sin AEF AEF ∠-∠=33， ∴直线AE 与直线BD 所成角的正弦值为336，故选C.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值. 5．设P 是曲线21ln 2y x x x =--上的一个动点，记此曲线在点P 点处的切线的倾斜角为θ，则θ可能是（ ） A ．6π B ．34π C ．56π D ．4π 【答案】B 【解析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值详解：由21ln 2y x x x =--，得110y x x x'=--（＞），111111x x x x --=-+≤--（），当且仅当1x = 时上式“=”成立．1y ∴'≤- ，即曲线在点P 点处的切线的斜率小于等于-1．则1tan θ≤- ，又[0θπ∈，） ，3]24ππθ∴∈（，．故选：B ．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．6．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为（ ）A ．3B ．3C ．13或23D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c 的值． 【详解】由随机变量的分布列知，290c c -≥，380c -≥，29381c c c -+-=， ∴13c =，故选A ． 【点睛】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题． 7．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是( ) A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）【答案】C 【解析】 【分析】试题分析：设()()()lg 27(3)lg310,(4)lg410(3)(4)0h x f x g x x x h h h h =-=+-⇒=-=+⇒<()h x ⇒的零点在区间()3,4⇒()lg f x x =与()72g x x =-图象交点的横坐标所在区间是()3,4，故选C ．考点：曲线的交点． 【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，都有()()20xf x f x '+>恒成立，且1f=，则使()22x f x <成立的实数x 的集合为（ ）A ．(()2-∞-+∞，，B ．(C ．(-∞，D ．)+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】抽象函数解不等式考虑用函数的单调性，构造函数()()2h x x f x ＝，可得()h x 为偶函数，且在()h x 在()0+∞，上为增函数，将不等式化为(||)h x h <，即可求解.【详解】令()()2h x x f x ＝，易知函数()h x 为偶函数，当0x >时，()()()()()()2220h x xf x x f x x f x xf x '+'+'＝＝>，所以()h x 在()0+∞，上为增函数，所以()222x f x f =<，即()||h x h <，所以x <，解之得x <.故选:B. 【点睛】本题考查抽象函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题.9．计算：20182019C=（）A．2018B．2019C．4037D．1【答案】B【解析】【分析】直接利用组合数公式求解即可．【详解】由组合数公式可得201820192019!2019 2018!1!C==⨯.故选：B.【点睛】本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．10．用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90︒时”，应假设（）A．四个内角都大于90︒B．四个内角都不大于90︒C．四个内角至多有一个大于90︒D．四个内角至多有两个大于90︒【答案】A【解析】【分析】对于“至少一个不大于”的否定为“全都大于”，由此得到结果.【详解】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90︒”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于90︒”，即反证法时应假设：四个内角都大于90︒本题正确选项：A【点睛】本题考查反证法的假设，关键是明确至少问题的否定的形式，属于基础题.11．在同一直角坐标系中，函数11,log(02axy y x aa⎛⎫==+>⎪⎝⎭且1)a≠的图象可能是（）A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.12．函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．()311-， B ．()311， C ．[]2，7D ．[]311， 【答案】D 【解析】 【分析】要使原式恒成立，只需 m 2﹣14m≤f（x ）min ，然后再利用导数求函数f （x ）＝﹣x 3﹣2x 2+4x 的最小值即可． 【详解】因为f （x ）＝﹣x 3﹣2x 2+4x ，x∈[﹣3，3]所以f′（x ）＝﹣3x 2﹣4x+4，令f′（x ）＝0得2x x 23==-或， 因为该函数在闭区间[﹣3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零， 所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f （﹣3）＝﹣3，f （﹣2）＝﹣8，f （23）4027=，f （3）＝﹣33， 所以该函数的最小值为﹣33， 因为f （x ）≥m 2﹣14m 恒成立， 只需m 2﹣14m≤f（x ）min ，即m 2﹣14m≤﹣33，即m 2﹣14m+33≤0 解得3≤m≤1． 故选C ． 【点睛】本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题 二、填空题：本题共4小题13．若“R x ∃∈，使2x 2x m 0-+=成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】m≤1 【解析】x R ∃∈，使220x x m -+=为真命题则440m =-≥解得1m ≤则实数m 的取值范围为1m ≤14．已知复数z 满足（1+2i ）•（1+z ）＝﹣7+16i ，则z 的共轭复数z =_____． 【答案】4﹣6i 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算法则求得复数z ，再根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】由（1+2i ）•（1+z ）＝﹣7+16i ， 得716112i z i -+=-+(716)(12)1(12)(12)i i i i -+-=-+-253015i +=-56146i i =+-=+，所以46z i =-. 故答案为：46i -. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 15．命题“0x ∃∈R 2000,x x +>”，此命题的否定是___．(用符号表示)【答案】∀x∈R，x2+x≤1．【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x1∈R，x12﹣2x1+1＞1的否定是：∀x∈R，x2+x≤1．故答案为：∀x∈R，x2+x≤1．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查．16．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台．【答案】30；【解析】【分析】根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等. 【详解】抽到乙种型号的吊车台，则，解得：.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省深圳市2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．3010B ．56C ．15D ．242．()61x +的展开式中有理项系数之和为（ ）A ．64B ．32C ．24D ．163．下列点不在直线212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是( )A ．(－1，2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3，2)4．已知,若.则实数的值为( )A ．-2B ．2C ．0D ．15．在等差数列{}n a 中，47,a a 是函数2()318f x x x =--的两个零点，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．15-B ．15C ．30D ．30-6．甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（ ） A ．0.216 B ．0.36C ．0.352D ．0.6487．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．椭圆C ：的左右顶点分别为，点P 在C 上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( ) A ．435B ．635C ．1235D ．3634311．8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为A ．1-B ．0C ．1D ．212．已知0>ω，函数()cos24cos 3f x a x x a ωω=-+，若对任意给定的[1,1]a ∈-，总存在1212,[0,]()2x x x x π∈≠，使得12()()0f x f x ==，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．14．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，则127...a a a +++=_____．15．若)11fx x =+，则()f x 的解析式为________________.16．1-的平方根为______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知定圆M ：22(1)16x y -+=，动圆N 过点F (1,0)-且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)已知直线:l 1y x =-交圆M 于,A B 两点.,C D 是曲线E 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.18．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,2P -，43(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:(1)l y kx m m =+≠与椭圆C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 必过定点，并求出该定点的坐标． 19．（6分）已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．20．（6分）如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，(cos3,sin 3)C θθ，其中03πθ<≤，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ；（2）求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值． 21．（6分）如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若3AB BO ==.（1）求失败点组成的区域；（2）电子狗选择x 正半轴上的某一点P ，若电子狗在线段AP 上获胜，问点P 应在何处？22．（8分）某球员是当今CBA 国内最好的球员之一，在20172018-赛季常规赛中，场均得分达23.9分。

广东省深圳市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·长春期中) 设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（）A . {0}B . {1}C . {0，1}D . {0，1，2，3，4}2. （2分）已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（）A . -=1B . -=1C . -=1D . -=13. （2分） (2016高二上·湖北期中) 已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A . 该几何体的表面积为4+2πB . 该几何体的体积为πC . 该几何体的表面积为4+4πD . 该几何体的体积为π4. （2分）设（是虚数单位），则复数的实部是（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数则是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2018·大新模拟) 若，函数有两个极值点，则的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·舒城期末) 已知随机变量满足，，且，．若，则（）A . ，且B . ，且C . ，且D . ，且8. （2分） (2019高二上·桂林月考) 若对任意恒成立，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·双流期中) 已知F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，点，则的最小值是（）A .B .C . 1D .10. （2分） x+1与y﹣1的等差中项为10，则x+y等于（）A . 0B . 10C . 20D . 不确定二、填空题 (共3题；共3分)11. （1分） (2019高二下·无锡期中) 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为________．12. （1分）(2020·浙江模拟) 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为________；若过且斜率为的直线与椭圆相交于AB两点，且，则k=________.13. （1分）(2017·丰台模拟) 已知函数f（x）=ex﹣e﹣x ，下列命题正确的有________．（写出所有正确命题的编号）①f（x）是奇函数；②f（x）在R上是单调递增函数；③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．三、双空题 (共4题；共4分)14. （1分） (2019高二上·开封期中) 已知实数、满足约束条件，则的最小值为________．15. （1分） (2020高二下·北京期中) 某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有________种.16. （1分） (2016高三上·苏州期中) 设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2+c2=kb2 ，则实数k的取值范围是________．17. （1分）(2019·绵阳模拟) (2+ )(2＋x)5的展开式中x2的系数是________．(用数字作答）四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高一上·东方月考) 已知f(x+1)=lg( ,（1）求f(x)（2）判断f(x)的奇偶性（3）写出f(x)的单调区间19. （10分）(2017·黑龙江模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，AC⊥BC，AC=BC=BB1 ，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求二面角B1﹣AD﹣B的正弦值；（3）判断在线段B1B上是否存在一点M，使得A1M⊥B1D？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20. （10分）(2018·栖霞模拟) 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，且对任意恒成立，求实数的最大值.21. （10分）(2019·河南模拟) 如图，将宽和长都分别为x ，的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形，（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x ， y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．22. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知函数，为的导数.（1）讨论的单调性；（2）若在上恒成立，求整数a的最大值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：三、双空题 (共4题；共4分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：第21 页共21 页。

2022-2023学年广东省深圳中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，z ＝1+i ，则z 2﹣|z |2＝（ ） A ．0B ．2﹣2iC ．2i ﹣2D ．2i +22．已知集合M ＝{x |0＜ln （x +1）＜3}，N ＝{y |y ＝sin x ，x ∈M }，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1]C ．（0，1]D ．[0，1]3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝3，且S 8＝a 8，则a 19＝（ ） A ．﹣15B ．﹣18C ．﹣21D ．﹣224．已知向量a →，b →满足a →⋅b →=−2，且b →=(1，√3)，记c →为a →在b →方向上的投影向量，则|b →−c →|=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为（ ） A ．1920B ．120C ．45D ．156．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，且|DF 2|＝2√2|OD |，则C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2C ．√5D ．37．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ﹣1）关于（1，0）中心对称，f （x +1）是偶函数，且f(−32)=1．则下列选项中说法正确的有（ ） A ．f （x ）为偶函数 B ．f （x ）周期为2 C ．f(92)=1D ．f （x ﹣2）是奇函数8．已知实数x ，y 满足e x ＝ylnx +ylny ，则满足条件的y 的最小值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．e 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。