高考数学课后限时集训5函数的单调性与最值(含解析)理

5函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)增函数、减函数自左向右看图象是04上升的自左向右看图象是05下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)D 叫做函数y ＝f (x )2．函数的最值1．(1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( )(3)若函数y ＝f (x )，x ∈D 的最大值为M ，最小值为m (M ＞m )，则此函数的值域为[m ，M ]．( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．小题热身设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案 [－1,1]，[5,7]3函数y ＝4x －x 2＋3，x ∈[0,3]的单调递增区间是________，最小值是________，最大值是________．答案 [0,2] 3 74函数f (x )＝(2a －1)x －3是R 上的减函数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 5函数f (x )＝3x ＋1(x ∈[2,5])的最大值与最小值之和等于________． 答案 326．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D7．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)8．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 解法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ·x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 解法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 练习二1．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)答案 B2．函数f (x )＝6x －x 2的单调递减区间是________． 答案 [3,6]3．用定义法证明：f (x )＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上单调递增．证明 ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 1－2)－log 2(x 2－2)＝log 2x 1－2x 2－2. 又由2＜x 1＜x 2，得0＜x 1－2x 2－2＜1.所以log 2x 1－2x 2－2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．4．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32 B ．－83 C ．－2 D ．2答案 A5．函数y ＝x －x －1的最小值为________． 答案 346．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x∈R )的最小值是________．答案 327．函数f (x )＝2a x －2020a x ＋1的值域为________．答案 (－2020,2)8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3 9．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 答案 {y |y ∈R 且y ≠3}10．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 答案 [3，＋∞)11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，若a ＝f (－1)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 214，c ＝f (20.3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c答案 B12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(－1，2＋1)C ．(0，2＋1)D ．(－1，2－1) 答案 D13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a －log a x ，x >1，对于任意x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(1,2]D ．(1,2) 答案 C14．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x ∈[－2,1]时，f (x )＝x 2－2x －4，则关于x 的不等式f (x )<－1的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，3)C ．(－1,3)D ．(－1，＋∞) 答案 D15．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 答案 C练习三1．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x3 C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案 D2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 答案 B3．已知f (x )在R 上是减函数，a ，b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 答案 D4．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 答案 D5．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 答案 B6．函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 B7．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A ．y ＝1f (x )在R 上为减函数 B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数 C ．y ＝2－f (x )在R 上为减函数 D ．y ＝－[f (x )]3在R 上为增函数 答案 C8．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________.答案 259．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)10．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1,4] 练习四1．(2019·安徽合肥模拟)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >3，mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f (x )存在最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33D ．[3，＋∞) 答案 A3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1)4．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为________．答案 13 [－1，＋∞) 5．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，证明：f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述，0<a ≤1.6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

课后限时集训(五) 函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上递减的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) A [f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，故选A.] 2．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a+1)≥f (2a-1),则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B.(－∞，2]C.[]2，6D.[2, +∞) B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数． ∵f (a+1)≥f (2a-1)，∴a +1≥2a -1解得a ≤2故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.]3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．(40,64)C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞) C [由题意可知k 8≤5或k 8≥8，即k ≤40或k ≥64，故选C.] 4．定义在R 上的函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A [∵f (x )的图像关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，∴f (x )在(2，＋∞)上是减函数，又f (－1)＝f (5)，且f (3)＞f (5)，∴f (3)＞f (－1)，选A.]5．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1) C [由函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，得函数f (x )在[－2,2]上递增． 由f (a 2－a )＞f (2a －2)得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＞2a －2，－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2. ∴0≤a ＜1，故选C.] 二、填空题 6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为________． (－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数， t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的递减区间为(－∞，－1)．]7．(2019·甘肃调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是________．(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得，f (x 2－4)＜f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.]8．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上递增，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1]∪[4，＋∞)[作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．[解] f (x )＝ax ＋1a (1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a， 当a －1a ＜0，即0＜a ＜1时， g (a )＝f (1)＝a ；当a －1a≥0，即a ≥1时， g (a )＝f (0)＝1a. 故g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1.所以g (a )的最大值为1.10．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内递减，求a 的取值范围．[解] (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]2．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 C [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1＜x ≤2.∵f (x )＝x －2在[－2,1]上递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－1；又f (x )＝x 3－2在(1,2]上递增，∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6.∴当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝6.]3．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.] 4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。

若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。

A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：由，，得，所以A错误；B 选项：由，，得，所以B错误；C选项：函数是定义在上减函数，所以C错误；D选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以D正确；故选D.【考点】函数求值；函数的单调性.2.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)＝，可知a＝，设|2x－4|＝t，当x≥2时，t为增函数，∴f(x)在此区间为减函数，选B项．3.已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）(－∞，3]【解析】解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－)．∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴2－>0，∴h(x 1)<h(x 2)，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a≤h(1)即a≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3]．4. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x 1)－f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【答案】（1）0 （2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． （3）－2 【解析】解：(1)令x 1＝x 2>0， 代入得f(1)＝f(x 1)－f(x 1)＝0， 故f(1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x 1)－f(x 2)<0，因此f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． 由f ＝f(x 1)－f(x 2)得， f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.5. [2014·沈阳模拟]已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不相等的实数x 1、x 2，不等式(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f(1－x)＜0的解集为________． 【答案】(－∞，0)【解析】∵f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，关于(0,0)对称，向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)＝0，又∵任取x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]＜0，∴f(x)在R 上单调递减．∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x ＞1，∴x ＜0，∴不等式f(1－x)＜0的解集为(－∞，0)．6. （2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y=ln （x+2）B ．C ．D ．【答案】A【解析】A ，y=ln （x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A 正确； B ，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C ，在R 上为减函数；排除CD ，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选 A7. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为0，所以f（x）在[0，+∞）上递增，排除B；当x=0时，f（0）=﹣1，即f（x）的图象过点（0，﹣1），排除C、D；故选A．9.已知函数，在时取得极值，则函数是（）A．偶函数且图象关于点（，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．奇函数且图象关于点（，0）对称【答案】D【解析】的图像关于对称，,,，显然是奇函数且关于点对称，故选D.【考点】三角函数的性质.10.已知其导函数的图象如图，则函数的极小值是（）A．B．C．D．c【答案】D【解析】由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.11.若在上是减函数，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的导数，若函数在上是减函数，则，在恒成立，即，因为，所以，即成立。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】[，＋∞)【解析】因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且【考点】分段函数单调性2.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法3.如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A． B． C． D （0，）【答案】C【解析】首先当时满足在区间上为减函数，所以；其次当时，由二次函数的图象和性质可知：要使在区间上为减函数，必须且只需：，综上知的取值范围为；故选Ｃ．【考点】一次函数与二次函数的单调性．4.如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lgx＋lgy，那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．【答案】【解析】由lg(x＋y)＝lgx＋lgy，得，由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：①<；②f(sin l)>f(cos l)；③<；④f(cos 2)>f(sin 2)．其中正确的是________(填序号)．【答案】④【解析】当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sin<cos，所以>；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以>；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.8.下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是（）A.【答案】A【解析】与满足,与满足,为奇函数，所以舍去，画出与的图象显然递增的是,故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.10.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图像可知，在和上是递增的，在上是递减的，故函数在区间上单调递增，则或，即或，故选Ｄ．【考点】函数的单调性．11.下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得函数在上单调递增。

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数.故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确.【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确；因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>，因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解.【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-．故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞B ．(,5)(0,1)-∞-C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(5,0)(1,)-+∞ 【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =，所以(3)(3)0f f -==．作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>，所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩解得1x >或5x 0-<<，即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞ ．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，()0,+¥单调递增B ．是奇函数，()0,+¥单调递减C ．是偶函数，()0,+¥单调递减D ．是偶函数，()0,+¥单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1x x x x x x =-++，因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(10x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在()0,+¥单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以(4)(4)0f f -=-=，所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数．作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<．综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-，D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减，故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性.【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-，所以，函数()f x 为偶函数，当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x =、1y x =在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，练提升2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q 都是假命题C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解.【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤-故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m-≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题．3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C．(D．(11---+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围.【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b d a ==-且2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞ ，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<，所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-+==∈，因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-+()0,1上单调递增，当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣；当[)0,1t ∈时，2d t =--，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =--[)0,1上单调递减，当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈--，故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ）A ．()f x 在定义域内单调递减B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义城内有两个零点D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解.【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞U U ，而1x 和11x +在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+，当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确；令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-，令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确，故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1(2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ）A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -< ，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误.故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定.【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）A ．2()f x x =；B ．1()f x x =；C ．1()f x x x=+；D ．23()1xf x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m =⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n mmn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在；对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，n =，即存在“倍值区间”；故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3+【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立，24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦，当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥+-，当1a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，．【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题．【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >．即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，.故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，.10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3-【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+，当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+，此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±（舍去）；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =-或3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3--.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，练真题所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.5.(2017天津)已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.2()ln(28)f x x x =--(,2)-∞-(,1)-∞-(1,)+∞(4,)+∞2280x x -->2x <-4x >()4,+∞()f x R 0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C ()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③。

专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础学问融会贯穿1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意条件(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【学问拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出详细解析式的函数的单调性 【典型例题】下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C ．【再练一题】已知函数f （x ）＝ln ，则（ ）A ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减C ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：依据题意，函数f （x ）＝ln，其定义域为R ，有f（﹣x）＝ln ln f（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，] D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满意0＜a＜1，依据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（）A．[1，e﹣1] B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得微小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再视察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较困难的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：依据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x）＝|ln（x）|＝|ln|＝|﹣ln（x）|＝|ln（x）|＝f （x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时，t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln（x）＝ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）＝0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）＝|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log94），b＝f（log52）＝f（log254），又由log254＜log94＜1＜1.80.2，则有b＜a＜c；故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．命题点2 解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2+x﹣2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．【再练一题】设定义在R上的奇函数f（x）满意f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满意f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．命题点3 求参数范围【典型例题】若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（0，2）C．（0，1] D．[1，2）【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；∴；解得0＜a≤1；∴a的取值范围为：（0，1]．故选：C．【再练一题】若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1＝1，即a2﹣1≤1，解之得a∵x≥0时，y＝ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a②函数的单调性是减函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1＝1，即a2﹣1≥1，解之得a或a．∵x≥0时，y＝ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a综上所述，得a∈故选：C．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值．基础学问训练1．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.2．已知函数且满意，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C3．已知函数，则函数有（）A．最小值，无最大值 B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值【答案】D【解析】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）t2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.4．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A．16 B．17 C．32 D．33【答案】B【解析】函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y= x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．5．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．∴当时，；当时，；∴函数的值域是．故选A．6．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，明显的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设递增，，可得，故选：B．7．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x），①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满意条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故选：A．8．奇函数单调递减，若，则满意的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满意的取值范围是，故选D.9．假如对定义在R上的奇函数，对随意两个不相邻的实数，全部，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，对于全部的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．10．已知定义在上的函数，对随意，有，且时，有，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对随意，所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数，因为，所以，即，所以，故选A.11．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．12．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】令上的增函数.当，即时，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故.所以选A.13．假如奇函数在区间上是减函数，值域为，那么______.【答案】12【解析】由f（x）在区间上是递减函数，且最大值为5，最小值为-2，得f（3）＝5，f（7）＝-2，∵f（x）是奇函数，∴．故答案为：12．14．已知函数，若上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=上单调递减，故只需满意，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．设函数f（x）=|x-1|在x∈[t，t+4]（t∈R）上的最大值为M（t），则M（t）的最小值为______．【答案】2【解析】作出函数f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t＜1＜t+4，即-3＜t＜1时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f（x）的最小值为0；当t=-1时，f（t）=f（t+4）=2；当-1＜t＜1时，f（t）＜f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t+4）=t+3，且M（t）∈（2，4）；当-3＜t＜-1时，f（t）＞f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t）=1-t，且M（t）∈（2，4）；综上可得M（t）的最小值为2．故答案为：2．16．已知函数，若当时，都有，则a的取值范围为______．【答案】【解析】①当时，即②当时，若，即时，若，即时，③当时，综上所述，17．对于区间，若函数同时满意：上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．求函数的全部“保值”区间．函数是否存在“保值”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得，又，所以，所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值”区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减，可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有，因为，可得；若，此时函数在区间上单调递增，可得，消去m得，整理得．因为，所以，可得，可得．由，即有．综合得，函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．18．已知函数常数．证明上是减函数，在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对随意，总存在，使得成立，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：：设，且，，，，当时，即，当时，即，时，，即，此时函数为减函数，当时，，即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数；时，，，设，则，，由可知上是减函数，在上是增函数；，即，即上是减函数，在上是增函数；由于为减函数，故又由（2）得由题意，的值域为的值域的子集，从而有，解得．19．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．20．已知函数．判定并证明函数的单调性；是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】函数上R上的单调递增函数．证明如下：设，，，且，，函数上R上的单调递增函数．函数，，是R上的奇函数，不等式对一切都成立，，对一切都成立，是R上的增函数，，对一切都成立，．存在实数，使得不等式对一切都成立．实力提升训练1．已知是自然对数的底数），，则的大小关系是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】记,可得x=e可知：上单调递增，又∴，即故选：A2．若函数，设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，则有，则；故选：D．3．已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A． B． C．3 D．或3【答案】C【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．4．若函数上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ).A．2 B．－2 C．2或－2 D．0【答案】C【解析】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C．5．已知直线分别与函数的图象交于两点，则两点间的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设t+1=u,t=u-1>0,原式等于依据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.故答案为：D.6．已知函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选C.7．已知函数的定义域为(1)试推断的单调性；(2)若，求的值域；(3)是否存在实数，使得有解，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增（2）（3）存在，且取值范围为【解析】解：（1）设单调递增.（2）令的值域为（3）由而当时，令，所以的取值范围为8．已知函数（1）设的两根，且，试求的取值范围（2）当时，的最大值为2，试求【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得故（2）当时，的最大值为2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为①若，则当时取得最大值，即，解得②若，则当时取得最大值，即，解得故9．已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】，则，得，即，则．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．10．已知函数.（Ⅰ）推断并证明的单调性；（Ⅱ）设，解关于的不等式.【答案】（Ⅰ）上单调递增；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（Ⅰ）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增.（Ⅱ），由是奇函数；又由（Ⅰ）知上单调递增，上单调递增，等价于，可得：，解得：不等式的解集是.。

高考数学精品复习资料2019.5专题05 函数的单调性与最值【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.3.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或求函数值大小，是高考的热点及重点．4.常与函数的图象及其他性质交汇命题．5.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 【热点题型】题型一 考查函数的单调性例1．探讨函数f (x )＝x ＋kx(k >0)的单调性．【提分秘籍】1．函数的单调区间是其定义域的子集．2．由函数单调性的定义可知，若函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)((f (x 1)>f (x 2))．3．一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．4．两函数f (x )、g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )的单调性与其正负有关，1f x与f (x )是否为0有关，切不可盲目类比． 5.判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是：取值⇨作差商变形⇨确定符号⇨得出结论 (2)利用导数的基本步骤是： 求导函数⇨确定符号⇨得出结论 【举一反三】下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝1x C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x 13【热点题型】题型二 求函数的单调区间 例2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]【举一反三】设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx >k取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)【热点题型】题型三 由函数的单调性求参数的范围【例3】 (1)定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．f (3)＜f (－4)＜f (－π) B ．f (－π)＜f (－4)＜f (3) C ．f (3)＜f (－π)＜f (－4) D ．f (－4)＜f (－π)＜f (3)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【举一反三】已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，a ∈R)．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．【热点题型】题型四 函数的最值问题（换元法）例4、已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．【举一反三】求y ＝x －1－2x 函数的值域：题型五 函数的最值问题（数形结合法）例5、用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．【举一反三】函数y＝x＋2＋16＋x－2＋4的值域为________．【高考风向标】1．（20xx·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D. 2．（20xx·湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x3．（20xx·江苏卷）已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x30＋3x0)成立．试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．4．（20xx·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝a ln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序5．（20xx·四川卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.6．（20xx ·北京卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．7．（20xx ·北京卷）下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x|8．（20xx ·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)9．（20xx ·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f ′(x 0)＝010．（20xx ·四川卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．11．（20xx·四川卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是()A．[1，e] B．[1，1＋e]C．[e，1＋e] D．[0，1]以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a 的取值范围是[1，e]．【随堂巩固】1．下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝2xD ．y ＝－x 22．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，25．已知实数a ＞0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，函数g (x )＝a x ＋1a x ，则下列选项正确的是( )A ．g (－3)＜g (2)＜g (4)B ．g (－3)＜g (4)＜g (2)C ．g (4)＜g (－3)＜g (2)D ．g (2)＜g (－3)＜g (4)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )－2x ]＝3，则f (3)的值是( )A ．3B ．7C ．9D ．128．函数f (x )＝|x 2－a |在区间[－1,1]上的最大值M (a )的最小值是________．9．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0,1]上的“非增函数”且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f (x )≤－2x ＋1恒成立．有下列命题： ①∀x ∈[0,1]，f (x )≥0；②当x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)； ③f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫511＋f ⎝⎛⎭⎫713＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2； ④当x ∈⎣⎡⎦⎤0，14时，f (f (x ))≤f (x )． 其中你认为正确的所有命题的序号为________．10．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．11．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.12．已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1).(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．13．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．14．已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f (－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．15．已知函数g(x)＝x＋1，h(x)＝1x＋3，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．。

教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数的单一性与最值含分析编辑： __________________时间： __________________建议用时： 45 分钟一、选择题1．以下函数中，在区间 (0，＋∞ )内单一递减的是 () 1A．y＝x－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x－xA [ 关于 A ，y1＝x在(0，＋∞ )内是减函数， y2＝ x 在(0，＋∞ )内是增函1数，则 y＝x－x 在 (0，＋∞ )内是减函数； B，C 选项中的函数在 (0，＋∞ )上均不但一；选项 D 中， y′＝ e x－ 1，而当 x∈ (0，＋∞ )时， y′＞ 0，所以函数 y＝e x－ x 在 (0，＋∞ )上是增函数． ]2．函数 f(x)＝ ln(x2－2x－8)的单一递加区间是 ()A．(－∞，－ 2)B．(－∞， 1)C．(1，＋∞ )D．(4，＋∞ )D[ 由 x2－ 2x－8＞0，得 x＞ 4 或 x＜－ 2.所以，函数 f(x)＝ln(x2－2x－ 8)的定义域是 (－∞，－ 2)∪ (4，＋∞ )，注意到函数 y＝x2－2x－8 在(4，＋∞ )上单一递加，由复合函数的单一性知， f(x)＝ln(x2－2x－8)的单一递加区间是 (4，＋∞)．]3．若函数 f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间 [3，＋∞ )和[－ 2，－ 1]上均为增函数，则实数 a的取值范围是 ()A. －11B．[－6，－ 4] 3，－3C．[－3，－2 2]D．[－4，－3]B [ 因为 f(x)为 R 上的偶函数，所以只要考虑函数f(x)在(0，＋∞ )上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞ )上为增函数，在 [1,2] 上为减函数，a故－2∈ [2,3]，即 a∈[－ 6，－ 4]．]4．已知函数 f(x)是定义在区间 [0，＋∞ )上的函数，且在该区间上单一递加，则知足 f(2x－1)＜f 1的 x的取值范围是 () 3A.1，2B.1，2 33331212C. 2，3D. 2，31 D[ 因为函数 f(x)是定义在区间 [0，＋∞ )上的增函数，知足 f(2x－ 1)＜f 3 .所以 0≤2x －1＜3，12解得 2≤ x ＜3.]5．定义新运算：当 a ≥b 时， a ○+ b ＝ a ；当 a ＜b 时， a ○+b ＝b 2，则函数 f(x)＝ (1○+x)x －(2○+x)， x ∈ [－2,2]的最大值等于 ( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C [ 由题意知当－ 2≤x ≤1 时， f(x)＝x －2，当 1＜x ≤2 时， f(x)＝x 3－2，又f(x)＝x －2，f(x)＝x 3－ 2 在相应的定义域内都为增函数，且 f(1)＝－ 1，f(2)＝6，∴ f(x)的最大值为 6.]二、填空题6．函数 f(x)＝ 4－ x － x ＋ 2的值域为 ________．[－ 6， 6][ 因为4－x ≥0， 所以－ 2≤ x ≤4，x ＋2≥0，所以函数 f(x)的定义域为 [－ 2,4]．又 y 1＝ 4－ x ，y 2＝－ x ＋ 2在区间 [ －2,4]上均为减函数，所以 f(x)＝ 4－x － x ＋2在 [－ 2,4]上为减函数，所以 f(4)≤f(x)≤f(－2)，即－ 6≤ f(x)≤ 6.]7．若 f(x)＝错误 ! 是定义在 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 ________．1， 1 [ 由题意知， 错误 !381a ＜ 3，1 11所以 a ∈.]解得8，3a ≥ 8，a ＞0，1，x ＞0，8．(20xx ·唐山模拟 )设函数 f(x)＝0，x ＝0，－1，x ＜0，g(x)＝ x 2f(x －1)，则函数 g(x)的递减区间是 ________．x2，x＞1，[0,1) [由题意知 g(x)＝0，x＝1，函数图象如下图，其递减区－x2，x＜1.间是 [0,1)． ]三、解答题9．已知 f(x)＝x(x≠ a)．x－a(1)若 a＝－ 2，试证 f(x)在 (－∞，－ 2)上单一递加；(2)若 a＞ 0且 f(x)在 (1，＋∞ )上单一递减，务实数 a的取值范围．[解 ](1)证明：设 x1＜ x2＜－ 2，x1x2则 f(x1)－f(x2)＝－＝错误! .x1＋2 x2＋2因为 (x1＋2)(x2＋2)＞ 0， x1－x2＜0，所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在(－∞，－ 2)上单一递加．(2)设 1＜x1＜x2，x1x2则 f(x1)－f(x2)＝－＝错误! .x1－a x2－a因为 a＞0， x2－x1＞0，所以要使 f(x1)－ f(x2)＞0，只要 (x1－a)(x2－a)＞ 0 恒建立，所以 a≤1.综上所述，实数 a 的取值范围是 (0,1]．10．已知函数 f(x)＝x2＋ a|x－2|－4.(1)当 a＝ 2时，求 f(x)在[0,3] 上的最大值和最小值；(2)若 f(x)在区间 [ －1，＋∞ )上单一递加，务实数 a的取值范围．[解 ](1)当 a＝2 时， f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝x2＋2x－8，x≥2＝错误 ! x2－2x，x＜2当 x∈[0,2] 时，－ 1≤f(x)≤0，当 x∈[2,3] 时， 0≤ f(x)≤ 7，所以 f(x)在[0,3] 上的最大值为 7，最小值为－ 1.x2＋ax－2a－4，x＞2，(2)因为 f(x)＝x2－ax＋2a－4，x≤2，又 f(x)在区间 [ －1，＋∞ )上单一递加，a所以当 x＞2 时， f(x)单一递加，则－2≤ 2，即 a≥－ 4.a当－ 1＜ x≤2 时， f(x)单一递加，则2≤－ 1.即 a≤－ 2，且 4＋2a－2a－ 4≥ 4－ 2a＋2a－4 恒建立，故实数 a 的取值范围为 [－ 4，－ 2]．1．函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，且 x∈R，若当 x∈ [0,2] 时， f(x)＝x2－2x＋2，则当 x∈[ －4，－ 2]时， f(x)的最小值为 ()1111A.9B.3C．－3D．－911A [ 因为 f(x＋2)＝ 3f(x)，所以 f(x)＝3f(x＋2)＝9f(x＋ 4)．因为当 x∈[0,2] 时， f(x)＝x2－ 2x＋2，所以当 x∈[ －4，－ 2]，即 x＋11114∈[0,2] 时， f(x)＝9f(x＋4)＝9(x＋3)2＋9，故当 x＝－ 3 时， f(x)获得最小值9，故选 A.]a，a≤b，2．(20xx ·常州期末 )关于随意实数 a，b，定义 min{ a，b} ＝b，a>b.设函数 f(x)＝－ x＋ 3，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝min{ f(x)，g(x)} 的最大值是 ____ ____．log2x ，0<x≤2，1 [依题意， h(x)＝－x＋3，x>2.当0<x≤2 时，h(x)＝log2x 是增函数，当 x>2 时， h(x)＝3－x 是减函数，所以 h(x)在 x＝2 时，获得最大值h(2)＝1.]x2－4x＋3，x≤0，3．已知f(x)＝－x2－2x＋3，x＞0，不等式 f(x＋a)＞f(2a－ x)在[ a， a＋1] 上恒建立，则实数 a的取值范围是 ________．(－∞，－ 2) [ 二次函数 y1＝x2－ 4x＋3 的对称轴是 x＝2，∴该函数在 (－∞， 0]上单一递减，∴x2－ 4x＋3≥3，相同可知函数 y2＝－ x2－2x＋ 3 在(0，＋∞ )上单一递减，∴－ x2－2x＋3＜ 3，∴ f(x)在 R 上单一递减，∴由 f(x＋ a)＞f(2a－x)获得 x＋a＜2a－x，即 2x＜a，∴ 2x＜a 在[a， a＋ 1]上恒建立，∴2(a＋1)＜ a，∴ a＜－ 2，∴实数 a 的取值范围是 (－∞，－ 2)．]4．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋ 1(a，b∈R)，F(x)＝错误 !(1)若 f(－1)＝0，且对随意实数 x均有 f(x)≥0建立，求 F(x)的分析式；(2)在 (1)的条件下，当 x∈[ －2,2]时， g(x)＝f(x)－kx是单一函数，务实数 k的取值范围．[解 ](1)∵f(－1)＝0，∴ b＝ a＋ 1.由 f(x)≥ 0 恒建立，知 a＞0 且方程 ax2＋ bx＋1＝0 中的＝b2－4a＝(a＋1)2－ 4a＝(a－ 1)2≤ 0，∴ a＝ 1，即 b＝2.进而 f(x)＝x2＋2x＋1.∴F(x)＝错误 !(2)由 (1)可知 f(x)＝x2＋ 2x＋1，∴g(x)＝ f(x)－ kx＝x2＋ (2－k)x＋1，2－k2－k由 g(x)在[－ 2,2]上是单一函数，知－2≤－2或－2≥2，得k≤－2或k≥6.即实数 k 的取值范围为 (－∞，－ 2]∪[6，＋∞ )．1．函数 f(x)的定义域为 D，若关于随意 x1，x2∈D，当 x1＜x2时，都有 f(x1)≤f(x2 )，则称函数 f(x)在D上为非减函数．设函数 f(x)在[0,1] 上为非减函数，且知足以下三个条件：x1①f(0)＝0；② f 3＝2f(x)；③ f(1－x)＝1－f(x)．11则f3＋ f 8＝________.3[由①③，令 x＝0，可得 f(1)＝1.48/101 1 111令 x＝3，可得 f 9＝2f 3＝4.1121由③联合 f 3＝2，可知 f3 ＝2，2 2 121令 x＝3，可得 f 9＝2f 3＝4，1 12因为9＜8＜9且函数 f(x)在 [0,1] 上为非减函数，1 1所以 f 8＝4，1 1 3 所以 f 3＋f 8＝4.]x1 2．已知定义在区间 (0，＋∞ )上的函数 f(x)知足 f x2＝f(x1)－f(x2)，且当 x>1时， f(x)<0.(1)求 f(1)的值；(2)证明： f(x)为单一递减函数；(3)若 f(3)＝－ 1，求 f(x)在 [2,9]上的最小值．[解 ](1)令 x1＝ x2>0，代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝ 0，故 f(1)＝0.x1(2)证明：任取 x1， x2∈(0，＋∞ )，且 x1>x2，则x2>1，x1当 x>1 时， f(x)<0，∴ f x2 <0，即 f(x1)－f(x2)<0，所以 f(x1)<f(x2)，∴函数 f(x)在区间 (0，＋∞ )上是单一递减函数．(3)∵ f(x)在(0，＋∞ )上是单一递减函数，∴f(x)在[2,9] 上的最小值为 f(9)．x19由 f x2＝ f(x1)－f(x2)，得 f 3＝ f(9)－f(3)，而 f(3)＝－ 1，∴ f(9)＝－ 2.∴f(x)在[2,9] 上的最小值为－ 2.2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数的单调性与最值含解析10/10。

考点 05 函数的单调性与最值1.已知函数f(x)=是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)【答案】B【解析】由f(x)在R 上是增函数,则有解得4≤a<8.2.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为( )A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)【答案】B【解析】设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1 或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3 的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t 在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).3.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a 满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.C.D.(0,2]【答案】C【解析】∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则( )A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c【答案】A【解析】∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),5.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a 的取值范围是( )A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥0【答案】C【解析】当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2 时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(log a2a)<6(a>0 且a≠1),则实数a 的取值范围是( )A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)【答案】B【解析】由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1 对称,∵x≥1 时,f(x)=2x+,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是( )A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>0【答案】D【解析】函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0 知,y=2x+sin x 在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0 时递增,因此f(x)在R 上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.8.已知f(x)表示x+2 与x2+3x+2 中的较大者,则f(x)的最小值为( )A.0B.2C.-D.不存在【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2 和y=x2+3x+2 的图像,由f(x)表示x+2 与x2+3x+2 中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2 时,函数f(x)有最小值0,故选A.9.已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数,且对任意的x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y 的最大值为( )A.2-5B.-5C.2+5D.5【答案】A【解析】对任意的x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R 上的函数,可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,当cos=1 即α=时,x+y 取得最大值2-5,故选A.10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2 取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a 的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】∵g(x) ===2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2 恒成立;等价于0<a+2x1-1<对任意x1∈恒成立,即<a<对任意x1∈恒成立,设p(x1)==-1,q(x1)==-,∵x1∈,∴∈,∴p(x1)max=-1=-,q(x1)min=-,∴a∈.故选D.，111．已知函数f(x)＝log2x＋1若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则( )1－xA．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0【答案】B【解析】因为函数y＝log2x 与函数y＝1＝－的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x1－x x－1＋1在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2) 1－x＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.12．定义新运算⊕：当a≥b 时，a⊕b＝a；当a＜b 时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )A．－1 B．1C．6 D．12【答案】C.【解析】由已知得当－2≤x≤1 时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2 时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2 在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )A．f(x)在(0，2)单调递增B．f(x)在(0，2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1 对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】f(x)的定义域为(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因为g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x＝1 是y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除A，B，D，故选C.2－4x＋3，x≤014．已知f(x)( )x2－2x＋3，x＞0，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是A．(－∞，－2) B．(－∞，0)C．(0，2) D．(－2，0)【答案】A＜ ＜【解析】作出函数 f (x )的图象如图所示，易知函数 f (x )在 R 上为单调递减函数，所以不等式 f (x＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于 x ＋a ＜2a －x ，即 x a 在 2 即 a ＜－2.故选 A.[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需 a ＋1 a 215.设 f (x )是定义在 R 上的增函数,若 f (1-ax-x 2)≤f (2-a )对任意 a ∈[-1,1]恒成立,则 x 的取值范围为 .【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)【解析】因为 f (x )是 R 上的增函数,所以 1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*) (*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0 对 a ∈[-1,1]恒成立. 令 g (a )=(x-1)a+x 2+1. 则解得 x ≥0 或 x ≤-1,即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).16.函数 f (x )=-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .【答案】3【解析】因为 y=在 R 上递减,y=log 2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以 f (x )在区间[-1,1]上递减. 所以 f (x )在区间[-1,1]上的最大值为 f (-1)=3.17．已知函数 f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若 f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数 a 的取值范围为 ．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞) a 2－a ＞0，a ＋3＞0， a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1 或 a ＞3，所以实数 a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．18．函数 f (x )＝ 【答案】3【解析】由于 y x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为． x在 R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以 f (x )在[－1，1]上单调递减，故 f (x )在[－1，1]上的最大值为 f (－1)＝3.1，x ＞0，19．设函数 f (x ) 0，x ＝0， g (x )＝x 2f (x －1)，则函数 g (x )的单调递减区间是．－1，x ＜0，1 3 1 3 ，【答案】[0，1)x2，x＞1，【解析】由题意知g(x)＝0，x＝1，函数图象如图所示，－x2，x＜1.由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0，1)．20.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,则实数a 的取值范围是. 【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)【解析】画出f(x)=的图像如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,所以a+1≤2 或a≥4,解得a≤1 或a≥4.故实数a 的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).21．如果对定义在R 上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，ln |x|，x≠0，则称函数f(x)为“H 函数”．给出下列函数：①y＝e x＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝0，x＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为．【答案】①③【解析】因为对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，所以不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数．①函数y＝e x＋x 在定义域上为增函数，满足条件．②函数y＝x2 在定义域上不单调，不满足条件．③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函数单调递增，满足条件．ln |x|，x≠0，当x＞0 时，函数单调递增，当x＜0 时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H ④f(x)＝0，x＝0，函数”的函数为①③.22．判断函数(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a>1,所以> ,即有>0,--- -所以 f (x 2)-f (x 1)=+-=()+=()+ >0,故函数 f (x )在(-2,+∞)上单调递增.23． (1)函数 y=ln(-x 2+2x+3)的单调递增区间是 ( )A .(-1,1]B .[1,3)C .(-∞,1]D .[1,+∞)(2)设函数 g (x )=x 2f (x-1),则函数 g (x )的单调递减区间是 .【答案】(1)A (2)[0,1)【解析】 (1)令 t=-x 2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3). 由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x ∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1], 故函数 y=ln(-x 2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].(2)由题意知 该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).24 ． 已知 f (x ) 是 定义 在 (0,+∞) 上 的函 数, 对 任意 两 个不 相 等的 正数 x 1,x 2, 都 有 >0. 记a=,b=,c=,则 ( )A .a<b<cB .b<a<cC .c<a<bD .c<b<a【答案】B【解析】∵f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数 x 1,x 2,都>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5= <2,0<0.32<1,log 25>2,∴0<0.32<30.2<log 25,∴b<a<c.故选 B .e －x －2，（x ≤0）25．已知函数 f (x )＝ 2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且 a ＞0)．对于下列命题：①函数 f (x )的最小值是－1； ②函数 f (x )在 R 上是单调函数；③若 f (x )＞0 a 的取值范围是 a ＞1；④对任意的 x 1＜0，x 2＜0 且 x 1≠x 2，恒有 ＜f （x 1）＋f （x 2）.其中正确命题的所有序号是 ．2【答案】①③④【解析】根据题意可画出函数图象， 由图象可知，①显然正确；函数 f (x )在 R 上不是单调函数，故②错误；若 f (x )＞0则 2a ×1－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的 x 1＜0，x 2＜0 且 x 1≠x 2，恒有2f （x 1）＋f （x 2）成立，故④正确．2。