八年级数学上册153二次根式的加减运算二次根式解题中的常见错误素材冀教版!

15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2√5与√20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)y+2y+3y;(4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图]复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是√5米,第二块草坪的长是20米,宽也是√5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10√5+20√5等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图]从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)√2+√3呢?(3)√2+√2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算思路一 1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)5√3+2√3; (2)√12+√75; (3)6√7-√17. 2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么? 3.你能试着解决它们吗?解:(1)5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.(2)√12+√75=2√3+5√3=(2+5)√3=7√3. (3)6√7-√17=6√7-17√7=(6-17)√7=41√77.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像5√3和2√3,3√a 和2√a ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关. 5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变. [设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系. 思路二(针对导入三)说理:事实上,如果√2+√3=√5,那么√2+√2=√4,而√4=2,也就是说√2+√2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?(12+13=15)(2)那么√2+√2到底等于多少呢?√2+√3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:√18+√32-√50.解:√18+√32-√50=3√2+4√2-5√2=(3+4-5)√2=2√2.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用. 活动二:例题讲解 【课件4】计算下列各式. (1)2√3-3√12+5√27;(2)√8+√0.5-(√0.2-√132).先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=2√3-6√3+15√3=11√3. (2)原式=2√2+√12-( √15-14√12)=2√2+√22-√55+√28=21√28-√55. 说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式. (1)2√28-3√63+5√49; (2)√24+√16-( √56+√0.96).引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成. 提示:(1)35-5√7. (2)53√630-√306. 【课件6】计算下列各式.(1)2√12-3√13-√27; (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13). 提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗? (2)能否将它们化简呢? 学生自主完成.解:(1)2√12-3√13-√27=4√3-√3-3√3=0. (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13)=4√3-10×√55-3×(3√5-√33)=4√3-2√5-9√5+√3=5√3-11√5.总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+√5=2√5是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如2 3√2+5√2=173√2,不能写成523√2.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:[设计意图]通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.。

二次根式化简的“误区”
在二次根式的化简中，常常出现一些似“是”而“非”的步骤和结论，这些“非”就形成了二次根式化简的一些“误区”，本文就二次根式化简容易出错的“误区”作些剖析，以求对同学们有所启发．
“误区”一 将分子、分母都乘以分母的有理化因式时，有些步骤的分母有可能为零，从而在解题步骤中出现错误．
剖析 此题的结果正确，但在运用分式的基本性质a am b bm
=时，忽视了m≠0，即把原
22可能为零。

事实上，当x=4时，有
2=0
无意义，因而造成解题步骤错误，此题正确解法应为：
“误区”二 不同条件下的结论混为一团，造成结果表达不准确的错误．
剖析 a =时，应注意，当a≥0a =，当a<0a =-。

a =±是错误的。

此题正确解法为：
“误区”三 化简的最后结果不是最简根式，造成化简不彻底的错误．
剖析不是最简根式，应考虑到a2－2ab+b2=(a－b)2,所以应将
==-
c(a b)“误区”四忽视隐含条件，造成符号错误．
剖析中隐含的条件是b<0，因此，正确解法为
“误区”五类比时出现错误．
=≥≥，得
剖析0,b0)
=≥≥是错误的。

此题正确解法应为
0,b0)
==。

15.3 二次根式的加减运算专题 二次根式的加减运算规律与技巧1.计算：()()3-231+．2.已知25x =+，52y =-，求22x xy y -+的值.3.观察下列各算式： ①2246816(28)1616420⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ②24681016(410)1640444⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ③268101216(612)1672476⨯⨯⨯+=⨯+=+=； ④2810121416(814)161124116⨯⨯⨯+=⨯+=+=，…（1）根据以上规律计算：200620082010201216⨯⨯⨯+（注意计算技巧哦！）； （2）请你猜想2(22)(24)(26)16n n n n ++++的结果（用含n 的式子表示）.4. 如果记)(1x f x x y =+=，并且)1(f 表示当1=x 时y 的值，即21111)1(=+=f ；)2(f 表示当2=x 时y 的值，即212)2(+=f ；)21(f 表示当21=x 时y 的值，即12121121)21(+=+=f ；…. 求++++)3()21()2()1(f f f f )1001()100()31(f f f +++ 的值．状元笔记【知识要点】1.同类二次根式化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.2. 二次根式的加减运算法则二次根式的加减运算法则：首先将每个二次根式化为最简二次根式，然后按原运算将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.【温馨提示】1.判断几个二次根式是同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化简；（2）看被开方数是否相同.2.注意简便方法的运用.参考答案1.解：原式=2-3+233-=31-.2.解：由已知得25x y +=，3xy =，原式=2()3x y xy +-=22(25)311-=.3.解：（1）原式=2(20062012)162006201244036076⨯+=⨯+=；（2）原式=[]222(26)162(26)44124n n n n n n ⨯++=⨯++=++.4.解：原式=12131212211331+++++++++…+ 100111001001+++= 1221311213+++++++…+10011100++=12+1+1+…+1=12+99=9912.初中数学试卷灿若寒星 制作。

冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》是学生在学习了二次根式的性质和乘除运算的基础上进行学习的。

本节内容主要让学生掌握二次根式的加减运算法则，进一步提高学生解决实际问题的能力。

教材通过具体的例题和练习，使学生逐步掌握二次根式的加减运算方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质、乘除运算，并具备一定的代数运算基础。

但部分学生在解决实际问题时，仍存在对二次根式加减运算法则理解不深、运用不熟练的情况。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减运算法则，掌握二次根式加减运算的方法。

2.能够运用二次根式的加减运算解决实际问题。

3.培养学生的运算能力、逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减运算法则。

2.如何运用二次根式的加减运算解决实际问题。

五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究二次根式的加减运算法则。

2.运用例题讲解法，让学生通过具体例题理解并掌握二次根式加减运算的方法。

3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

4.运用巩固练习法，及时检查学生对知识点的掌握情况。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT，展示例题和练习题。

2.准备二次根式的相关练习题，用于课堂练习和巩固。

3.准备黑板，用于板书解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，引导学生思考如何运用二次根式解决该问题。

通过问题导入，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减运算法则，并通过PPT展示相关例题，让学生跟随老师一起解题，体会二次根式加减运算的方法。

3.操练（10分钟）让学生分成小组，共同解决一些二次根式的加减运算问题。

冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握二次根式加减的运算方法，发展学生的逻辑思维能力。

本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和乘除运算的基础上进行学习的，为以后学习更复杂的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本性质，能进行二次根式的乘除运算。

但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算规则理解不深。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式加减的运算规则，并通过大量的练习，巩固所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的加减运算方法，能正确进行二次根式的加减运算。

2.过程与方法：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生体验到数学的乐趣。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减运算方法。

2.难点：理解二次根式加减的运算规则，并能灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式加减的运算规则。

2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式加减的运算规则，培养学生的自主学习能力。

3.练习法：通过大量的练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式加减运算的课件，用于课堂演示。

2.练习题：准备适量的练习题，用于课堂练习和课后巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，引导学生思考二次根式加减的问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现二次根式加减的运算规则，引导学生发现并理解规则。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式加减的运算练习，及时纠正学生的错误，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师继续提供练习题，让学生独立完成，检查学生的掌握情况。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式加减在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

15．3二次根式加减法运算同类二次根式的定义：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式合并同类二次根式的法则：只把系数相加减，根号部分不变1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式，则a 的取值范围是______2.进行加减合并的根式有_________．3.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）A B C D ．184.，则它的周长是 cm ．5.下列说法正确的是：(A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a(C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式6.已知x ，y 为实数，且满足y y x ---+1)1(1=0，那么x 2011﹣y 2011=7.计算：①1254551520+-- ② ③1827122+-④32+3－22－33 ⑤50511221832++-+ ⑧9654+⑨ ⑩54540290+- ⑴+18－8－32 ⑵)27131(12-- ⑶ 27–45–20+75⑷2127–2318–(43–412)， ⑸2a －3a 2b ＋54a －2b a 2b ，⑹200320022323)()(+•- ⑺ 21)+ ⑻（35-）（5＋3）－（2＋6）2⑼（x ＋2xy ＋y ）÷（x ＋y ） ⑽（x 2－y 2）÷（x ＋y ）⑾()()223131+-- ⑿32（212－481＋348） ⒀（ab ab ab b a •-+)33 ⒁)52)(103(-+ ⒂)23()23(-⨯+8、若最简二次根式n 是同类二次根式，求m 、n 的值．9.已知a ＝2，b ＝2，试求a b b a -的值．10(写出过程)11.若01=++-y x x ，则20052006y x+的值；12.已知：x ＝352-，求x 2－x ＋1的值13.已知：x ＝32+，y ＝32-，则代数式x ＋y 的值14.已知2323,2323-+=+-=y x 求代数式22353y xy x +-的值15.a ，小数部分是b ，试求22a b +的值。