二次根式的加减(基础)知识讲解

二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。

在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。

本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。

二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。

我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。

$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。

2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。

当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。

$\sqrt{25}=5$。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。

在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。

三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。

这个公式在化简乘法运算时非常有用。

2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。

3、二次根式的加减--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【答案】B．【解析】A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误【总结升华】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1 【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）4﹣+．（2）．【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2 =3x ． 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三： 【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=-类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×；(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+;(2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-∴=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x y ==求22x xy y -+的值。

二次根式的加减--知识讲解（基础）撰稿：赵炜审稿：杜少波【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.【思路点拨】只有同类二次根式才能合并.【答案】B.【解析】合并，故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式. 举一反三： 【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是( )A.a =2，b =1B.a =1，b =2C. a =1，b =-1D. a =1，b =1【答案】D. 根据题意，得 解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算 (1)+ (2) 311932a a a a a+- 【答案与解析】(1)+=2232(222=+=31111(2)9332321117(3)326a a a a a a a a a a ==+-= 【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=- 类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×；【高清课堂：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+; (2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．【高清课堂：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知32,32,x y ==求22x xy y -+的值。

二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。

在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。

下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。

一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。

例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。

2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。

例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。

二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。

例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。

2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。

有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。

例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。

初三数学《二次根式加减》说课稿本次课程是初三数学中的二次根式加减，本节课程主要针对二次根式进行深入讲解和练习，加强学生对此重点内容的掌握。

一、引入我们先来回顾一下二次根式的基本概念：如果x≥0，那么√x就叫做正的二次根式；如果 x<0，那么√x就是虚的二次根式。

不同的二次根式在运算中可能会发生加减运算，本节课程中我们就来深入探讨二次根式的加减。

二、授课重点本节课程的重点就是二次根式的加减，我们将从以下3个方面进行教学。

1.同类项相加减的细节问题。

2.二次根式的有理化。

3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题。

三、授课内容1.同类项相加减的细节问题同类项的加减其实并不难，就和我们小学时学到的一样，只需要将同类项的系数相加即可。

但是在运算中有时我们会遇到一些细节问题：①二次根式之间无法直接相加、相减，需要先化简为同类项。

如何化简二次根式呢？我们可以通过有理化的方法将二次根式中的分母部分去掉。

②二次根式中含有不同的根式符号。

这时我们就需要将其转化为同类项，规定一个符号作为相减运算的符号，并将不同符号的根式化为同一符号。

这时我们需要将相同的数字进行合并，再进行系数相加的操作。

同类项相加减既然清楚了，我们接下来就来探讨如何实现二次根式的有理化。

2.二次根式的有理化二次根式的有理化，即通过去除根号中分母中的根号，化为分母不含根号的分式。

*基本法则：$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{c}=\frac{\sqrt a\times\sqrt c+\sqrtb\times\sqrt c}{c\times\sqrt c}$方法一：有理化分母①如果根号后面的数字是一个整数，只需要将分母乘以这个数字即可。

②如果根号后面的数字不是一个整数，我们就需要将分母化为一个完全平方数，然后再将分母提出这个完全平方数的根号，并乘以有理化后的分母。

①一个二次根式加上一个整数，分子分母同时乘以（分子分母）共轭。

3.铺垫解析-构造一个二次根式加减的例题让我们通过一个二次根式的加减例题来更好地理解前面学过的基础知识。

二次根式的加减说课稿今天我说课的内容是义务教育教科书八年级数学下册第十六章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。

下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序等四个方面进行陈述。

一、说教材1、在二次根式性质和乘除运算的基础上,本课进一步学习二次根式的加减运算．二次根式的加减法是把二次根化为最简二次根式后，合并被开方数相同的二次根式就可以了，所以本课内容与整式的加减法类似，在教学中可以让学生体会类比思想的实质,通过具体例子，引导学生探索发现二次根式加减运算的核心是合并被开方数相同的二次根式，基本依据是二次根式的性质和分配律．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加减运算．2,教学目标知识与能力1、了解同类二次根式的概念掌握判断同类二次根式的方法.2、使学生能正确合并同类二次根式进行二次根式的加减运算过程与方法正确掌握合并同类二次根式的方法情感、态度与价值观在探究合并同类二次根式的方法过程中发展合作意识和合情推理能力.教学准备制作课件提高学生的学习兴趣教学重点：二次根式加减法则及其应用。

教学难点：法则的探索与理解。

二、教法与学法由于初二学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维但仍有很大程度的经验性而二次根式需要有一定的抽象思维能力。

因此本节课运用引导探究法在教师引导下学生进行自主探究的教学方法.三、教学构思本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习重点是探索二次根式的加减运算法则。

在设计本课时教案时先复习二次根式的化简并由此引出同类二次根式的定义注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。

在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中逐步渗透类比、概括等数学思想提高学生用数学方法 16 解决实际问题的能力。

在学习过程中采用小组学习方式组间竞争按各组表现评出最优小组激发学生学习积极性和兴趣。

四、说教学过程教师准备：制作课件、精选习题、学生分成十组教学过程（一）温故知新1、什么最简二次根式2、化简下列各数（1) (2） (3)学生活动以小组为单位抢答。

二次根式的知识点的总结二次根式是高中数学中重要的一个内容，也是学习代数的基础。

在学习二次根式时，需要了解其定义、性质、运算法则等知识点。

下面是对二次根式知识的总结：一、二次根式的定义和性质：1. 定义：对于非负实数a，b，如果存在非负实数x使得$x^2=a$，则称x为a的平方根，记作$x=\sqrt{a}$。

简记作$\sqrt{a}$，a称为二次根式的被开方数。

2.性质：（1）非负实数的平方根是唯一的。

即对于非负实数a，其平方根也是非负实数且唯一（2）非负实数a的平方根如果记作±$\sqrt{a}$，则规定非负实数a的平方根仅指称为非负实数$\sqrt{a}$。

（3）非负实数a的平方根的平方等于a。

即$(\sqrt{a})^2=a$。

（4）非负实数的平方根存在且非负。

即对于非负实数a，总是存在非负实数x使得$x^2=a$，且x唯一（5）相等的二次根式具有相等的平方根。

即如果$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，则有a=b。

（6）平方根的运算：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$、$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

二、二次根式的化简：1. 因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$对二次根式进行简化，最后利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$化简。

2. 合并同类项法：对于同根号的二次根式，可以合并同类项进行简化。

如$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$。

3.有理化法：对于含有分母的二次根式，可以通过有理化的方法将其化简为一个无理数。

三、二次根式的比大小：1. 利用性质$\sqrt{a^2}=，a，$，我们可以对二次根式的大小进行比较。