第三章 第四节 三角函数的图像变换

三角函数的图像与性质优秀教案第一章：正弦函数的图像与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义和基本概念学会绘制正弦函数的图像掌握正弦函数的性质1.2 教学内容正弦函数的定义和基本概念正弦函数的图像特点正弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，引导学生理解正弦函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解正弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

1.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正弦函数的定义和图像的理解程度。

通过例题和练习题，评估学生对正弦函数性质的掌握程度。

第二章：余弦函数的图像与性质2.1 教学目标了解余弦函数的定义和基本概念学会绘制余弦函数的图像掌握余弦函数的性质2.2 教学内容余弦函数的定义和基本概念余弦函数的图像特点余弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性2.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，引导学生理解余弦函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解余弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

2.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对余弦函数的定义和图像的理解程度。

通过例题和练习题，评估学生对余弦函数性质的掌握程度。

第三章：正切函数的图像与性质3.1 教学目标了解正切函数的定义和基本概念学会绘制正切函数的图像掌握正切函数的性质3.2 教学内容正切函数的定义和基本概念正切函数的图像特点正切函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1. 引入正切函数的概念，引导学生理解正切函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解正切函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

3.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正切函数的定义和图像的理解程度。

三角函数图像变换【知识精要】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

三角函数图像的变换教案一、教学目标：1. 理解三角函数图像的基本特征。

2. 掌握三角函数图像的平移、缩放、翻折等变换方法。

3. 能够运用变换方法分析三角函数图像的性质。

二、教学内容：1. 三角函数图像的基本特征：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像。

2. 图像的平移变换：向上或向下平移、向左或向右平移。

3. 图像的缩放变换：水平方向缩放、垂直方向缩放。

4. 图像的翻折变换：水平翻折、垂直翻折。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数图像的平移、缩放、翻折变换方法。

2. 教学难点：变换方法在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解三角函数图像的基本特征及变换方法。

2. 利用多媒体展示图像，直观地演示变换过程。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳，自主探索图像的变换规律。

4. 运用例题讲解，让学生学会运用变换方法解决实际问题。

五、教学步骤：1. 导入新课：回顾三角函数图像的基本特征，引导学生关注图像的变换。

2. 讲解图像的平移变换：以正弦函数为例，讲解向上或向下平移、向左或向右平移的规律。

3. 讲解图像的缩放变换：以正弦函数为例，讲解水平方向缩放、垂直方向缩放的规律。

4. 讲解图像的翻折变换：以正弦函数为例，讲解水平翻折、垂直翻折的规律。

5. 运用例题，让学生学会运用变换方法解决实际问题。

6. 课堂练习：让学生独立完成一些图像变换的练习题，巩固所学知识。

8. 布置作业：布置一些有关三角函数图像变换的练习题，让学生课后巩固。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对三角函数图像变换的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评估他们的分析和应用能力。

3. 收集学生的课堂表现和互动情况，评价他们的参与度和合作精神。

七、教学拓展：1. 探讨三角函数图像变换在实际应用中的例子，如电子音乐合成器的波形调整、工程结构的优化设计等。

2. 引入高级数学工具，如计算机软件，让学生学会使用这些工具进行三角函数图像的变换和分析。

第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1。

能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．2．余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)（2）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。

(×) (3）y＝sin｜x｜是偶函数．(√）(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x（x∈R）的一个周期．（×）解析：根据三角函数的图象与性质知（1)(2）（4)是错误的，(3）是正确的．2．小题热身(1）函数y＝tan3x的定义域为（D）A。

三角函数图像的变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角函数图像的基本特征；（2）掌握三角函数图像的平移、伸缩、翻折等变换方法；（3）能够运用变换方法分析三角函数图像的性质。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、实践，培养学生的直观想象能力；（2）运用数形结合的思想，提高学生解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（2）培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学内容1. 三角函数图像的基本特征；2. 三角函数图像的平移变换；3. 三角函数图像的伸缩变换；4. 三角函数图像的翻折变换；5. 应用举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数图像的基本特征；（2）三角函数图像的平移、伸缩、翻折变换方法。

2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）运用变换方法分析三角函数图像的性质。

四、教学过程1. 导入：（1）复习三角函数图像的基本特征；（2）提问：如何对三角函数图像进行变换？2. 讲解：（1）讲解三角函数图像的平移变换；（2）讲解三角函数图像的伸缩变换；（3）讲解三角函数图像的翻折变换；（4）结合实例，讲解应用。

3. 练习：（1）让学生独立完成课本练习题；（2）组织学生进行小组讨论，分享解题心得。

4. 总结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角函数图像变换的重要性和应用价值。

五、课后作业1. 巩固所学知识，完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找三角函数图像变换的应用实例；3. 准备下一节课的预习内容。

六、教学评价1. 学生能够熟练掌握三角函数图像的基本特征及其变换方法；2. 学生能够通过观察、分析、实践，运用数形结合的思想，解决相关问题；3. 学生能够运用所学知识，解释生活中的数学现象，体现数学的应用价值。

七、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究；2. 利用多媒体技术，展示三角函数图像的变换过程，增强学生的直观感受；3. 设计具有挑战性的数学活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。

2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０1８届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第四节三角函数的图象与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1．能画出ｙ=sin x,y=ｃosｘ，y＝ｔan x 的图象,了解三角函数的周期性;２.理解正弦函数、余弦函数在区间［0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间错误!内的单调性。

201６,天津卷,1５,13分(三角函数的周期性、单调性)２016，山东卷,７，5分（三角函数的周期性)20１6,浙江卷，3,5分(三角函数的图象）２015，全国卷Ⅰ,8,5分（三角函数的图象与单调性)以考查基本三角函数的图象和性质为主,是高考的重点内容,题目涉及三角函数的图象、单调性、周期性、最值、零点、对称性。

微知识小题练自|主|排|查1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝ｓin x在［0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0，０）、错误!、(π，0)、错误!、（2π,0)。

２．三角函数的图象和性质函数性质y＝siｎx y＝cosｘy=tanｘ定义域错误!错误!{x|x≠kπ+＼ｆ(π,２) (k∈Z）}图象值域[-1，1]［-１,1］R对称性对称轴:x=kπ＋错误!(k∈Z）;对称中心：(kπ，0)（k∈Ｚ）对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心：错误!(k∈Z)对称中心:错误!(k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－错误!,２kπ＋错误!(ｋ∈Z)；单调减区间2kπ+＼f（π，２）,2ｋπ+3π2(k∈Z）单调增区间[２kπ-π，2kπ]（k∈Ｚ)；单调减区间[２kπ，2kπ+π］（ｋ∈Z）单调增区间错误!(ｋ∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数微点提醒1.判断函数周期不能以特殊代一般，只有x取定义域内的每一个值时，都有f（ｘ+T)=f(ｘ),Ｔ才是函数f(x）的一个周期。

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φωπ2－φω π－φω32π－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­4­1所示，则( )图3­4­1A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图3­4­2所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3­4­2A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32. 10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3­4­3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3­4­3A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。