下载文档原格式
2020年广西高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，复数z=1−i在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.等差数列{a n}中，已知a1+a9=10，则a3+a4+a5+a6+a7=()A. 5B. 10C. 15D. 253.已知集合A={x|x<1}，B={x|e x<1}，则()A. A∩B={x|x<1}B. A∪B={x|x<e}C. A∪B={x|x<1}D. A∩B={x|0<x<1}4.已知α满足sinα=13，则cos2α=()A. 79B. 718C. −79D. −7185.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x≤5π12)的值域为()A. [−12,1] B. [0,12] C. [0,1] D. [−12,0]7.在区间[−1,1]上随机取一个数k，使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A. 12B. 13C. √24D. √238.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为()A. 5B. 6C. 7D. 89.设m=ln2，n=lg2，则()A. m−n>mn>m+nB. m−n>m+n>mnC. m+n>mn>m−nD. m+n>m−n>mn10.过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√311.已知函数f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则2a+b的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. [2√2,+∞)D. (2√2,+∞)12.在一个数列中，如果∀n∈N∗，都有a n a n+1a n+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+⋯+ a2020=()A. 4711B. 4712C. 4713D. 4715二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则m=______．14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为______．15.点P在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为______．16.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令．游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组．如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色．已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理(如表)，得到了散点图x −y −w −∑(10i=1x i −x −)2∑(10i=1w i −w −)2∑(10i=1x i −x −)(y i −y −) ∑(10i=1w i −w −)(y i −y −)1.47 20.6 0.782.350.81 −19.3 16.2表中w i =1x i2,w −=110∑w i 10i=1．(1)根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +dx 2哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，(u 3,v 3)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i −v )ni=1i −u )∑(u −u )2n ，α̂=v −β̂u ．18. △ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若√5b =4c ，B =2C(Ⅰ)求cos B(Ⅱ)若c =5，点D 为边BC 上一点，且BD =6，求△ADC 的面积19.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．(1)求证：EG⊥DF；(2)求三棱锥F−BEG的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，与x轴负半轴交于A(−2,0)，离心率e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，连接AM，AN并延长交直线x=4于E(x3,y3)，F(x4,y4)两点，若1y1+1y2=1y3+1y4，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21.设函数f(x)=1+ln(x+1)x(x>0)．(1)设ℎ(x)=(x+1)f(x)，求曲线y=ℎ(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)>kx+1恒成立，求整数k的最大值．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．23. 已知f(x)=|x −1|+1，F(x)={f(x),x ≤312−3x,x >3．(1)解不等式f(x)≤2x +3；(2)若方程F(x)=a 有三个解，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：复数z =1−i 在复平面上对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限． 故选：D ．由已知求得z 的坐标得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.答案：D解析：解：等差数列{a n }中，已知a 1+a 9=10=2a 5，∴a 5=5， 则a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25， 故选：D ．由题意利用等差数列的性质，求得要求式子的值． 本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 3.答案：C解析：解：∵A ={x|x <1}，B ={x|x <0}， ∴A ∩B ={x|x <0}，A ∪B ={x|x <1}． 故选：C ．可以求出集合B ，然后进行交集和并集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵α满足sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79．故选：A ．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 5.答案：A解析：解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键． 6.答案：A解析：解：∵0≤x ≤5π12，∴π3≤2x +π3≤7π6，∴y =sin (2x +π3)∈[−12,1]．故选：A．由0≤x≤5π12，可得π3≤2x+π3≤7π6，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解析：解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)圆心到直线y=k(x+3)的距离为√k2+1要使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交，则|3k|√k2+1<1，解得−√24<k<√24．∴在区间[−1,1]上随机取一个数k，使y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为2√242=√24．故选：C．8.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得i=0n=10不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=5，i=1不满足条件n=1，不满足条件n是偶数，n=16，i=2不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=8，i=3不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=4，i=4不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=2，i=5不满足条件n=1，满足条件n是偶数，n=1，i=6此时，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：解：∵0<m<1，0<n<1，m>n，1 n −1m=m−nmn=log210−log2e=log 210e>1，故m −n >mn ，所以1m +1n =log 2(10e)>1，故m +n >mn ，由m +n >m −n故m +n >m −n >mn ， 故选：D ．利用倒数，作差法，判断即可．考查对数换底公式，对数的运算性质和不等式比较大小，基础题． 10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1,0)，过F(1,0)且斜率为√3的直线的方程为y =√3(x −1)， 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方)，由：{y 2=4x y =√3(x −1)，解得M(3,2√3).可得N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即√3x +y −√3=0， 则M 到直线NF 的距离为：√3+2√3−√3|√3+1=2√3．故选C ． 11.答案：C解析：解：∵f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1，画出图象：∵0<a <b 且f(a)=f(b)，∴0<a <1<b ，−lna =lnb ， ∴ln (ab)=0，则ab =1．∴2a +b ≥2√2ab =2√2，当且仅当ab =1，2a =b >0，即a =√22，b =√2时取等号．∴2a +b 的取值范围是[2√2,+∞)． 故选：C ．先画出函数f(x)=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab 的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出2a +b 的取值范围．本题考查函数的零点与方程的根的关系，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和基本不等式的性质是解题的关键，是中档题． 12.答案：B解析：解：a n a n+1a n+2=k(k 为常数)，且a 1=1，a 2=2，公积为8， ∴a n a n+1a n+2=8，a 1=1，a 2=2，∴1×2a3=8，解得a3=4，∴2×4a4=8，a4=1，同理可得：a5=2，a6=4．∴a n+3=a n．则a1+a2+⋯+a2020=a1+(1+2+4)×673=4712．故选：B．a n a n+1a n+2=k(k为常数)，且a1=1，a2=2，公积为8，可得a n a n+1a n+2=8，a1=1，a2=2，可得其周期性，进而得出数列的和．本题考查了数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：1解析：【分析】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．由题意可得a⋅b⃗=0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．【解答】解：∵向量a⃗=(2,−6)，b⃗ =(3,m)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⋅b⃗=0，即2×3−6m=0，则m=1，故答案为：1．14.答案：24=30人，则高三被抽取的人数90−36−30=24，解析：解：高二年级抽取的人数为：2000×362400故答案为：24．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．15.答案：53解析：解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，即4b−2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=(a+c)2，即4(c2−a2)=(a+c)2，c，可得a=35即e =53， 故答案为：53．运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得|MF 2|=2a ，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b −2c =2a ，结合a ，b ，c 的关系，可得a ，c 的关系，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 16.答案：9解析：解：根据题意：14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；①若新加入的学生是土兵，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令；所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组下：3名士兵；连长、营长、団长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知加入的学生也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；所以新加入的学生可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令答1名；2名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长；所以新加入的学生可以是团长； 综上所述：新加入学生可以扮演9种角色； 故答案为：9根据题意，分析可得14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；据此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，分析其中的关系．17.答案：解：(1)y =c +dx 更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型．(2)由公式可得：d̂=i −w )10i=1i −y )∑(w −w )210=16.20.81=20，ĉ=y −d̂w =20.6−20×0.78=5， 所以所求回归方程为y =5+20x 2．(3)设t =kx ，则煤气用量S =yt =kx(5+20x 2)=5kx +20k x≥2√5kx ⋅20k x=20k ，当且仅当5kx =20k x时取“=”，即x =2时，煤气用量最小．所以x为2时，烧开一壶水最省煤气．解析：(1)根据散点图作答；(2)根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC又√5b=4c，所以cosC=sinB2sinC =b2c=2√55…(4分)所以cosB=cos2C=2cos2C−1=35…(6分)(Ⅱ)因为c=5，√5b=4c，所以b=4√5…(7分)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，则80=a2+25−2×5×35×a，化简得，a2−6a−55=0，解得a=11，或a=−5(舍去)，…(9分)由BD=6得，CD=5，由cosC=2√55，得sinC=√1−cos2C=√55…(10分)所以△ADC的面积s=12DC⋅AC⋅sinC=12×5×4√5×√55=10…(12分)解析：(Ⅰ)利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果．(Ⅱ)利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．19.答案：(1)证明：连接AC，由AE//CG，AE=CG，可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG//AC，由题意知AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF，∵BD∩BF=B，∴EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF；(2)解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE//平面BCGF，平面ADHE∩平面EFGH=EH，平面BCGF∩平面EFGH=FG，∴EH//FG，同理可得：EF//HG，∴四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP//AE且OP=AE，由OP=3，DH=4，由梯形中位线定理得BF=2．∴S △BFG =12×BF ×BC =4．∵EA//FB ，FB ⊂平面BCGF ，EA ⊄平面BCGF ，∴EA//平面BCGF ， ∴点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离，为2√3． ∴V F−BEG =V E−BGF =V A−BGF =13S △BFG ×2√3=8√33．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题．(1)连接AC ，由题意可知四边形AEGC 为平行四边形，得到EG//AC ，再由已知证明EG ⊥BF ，可得EG ⊥平面BDHF ，进一步得到EG ⊥DF ；(2)设AC ∩BD =O ，EG ∩HF =P ，由已知证明EH//FG ，EF//HG ，得到四边形EFGH 为平行四边形，则P 为EG 的中点，由OP =3，DH =4，由梯形中位线定理得BF =2.求出三角形BFG 的面积，再证明EA//平面BCGF ，可得点A 到平面BCGF 的距离等于点E 到平面BCGF 的距离．然后利用等体积法求三棱锥F −BEG 的体积．20.答案：解：(1)由题有a =2，e =c a =12.∴c =1，∴b 2=a 2−c 2=3．∴椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0⇒m 2<12k 2+9， x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．又k AM =k AE ∴y 1−0x 1+2=y 3−04+2⇒y 3=6y 1x1+2同理y 4=6y 2x2+2又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4∴y 1+y 2y 1y 2=x 1+26y 1+x 2+26y 2=x 1y 2+x 2y 1+2(y 1+y 2)6y 1y 2⇒4(y 1+y 2)=x 1y 2+x 2y 1⇒4(kx 1+m +kx 2+m)=x 1(kx 2+m)+x 2(kx 1+m)⇒(4k −m)(x 1+x 2)−2kx 1x 2+8m =0， ⇒(4k −m)−8km3+4k 2−2k(4m 2−12)3+4k 2+8m =0⇒24(k+m)3+4k 2=0．∴m =−k ，此时满足m 2<12k 2+9∴y =kx +m =k(x −1)∴直线MN 恒过定点(1,0)． 法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2 则{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0， ∴y =0或y 1=12t3t 12+4，∴x 1=t 1y 1−2=t 112t13t 12+4−2=6t 12−83t 12+4同理x 2=6t 22−83t 22+4，y 2=12t23t 22+4， 当x 3=4时，由x 3=t 1y 3−2有y 3=6t 1．∴E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，又1y 1+1y 2=1y 3+1y 4，∴3t 12+412t 1+3t 22+412t 2=t 16+t 26，⇒(t 1+t 2)(3t 1t 2+4)12t 1t 2=t 1+t 26，当t 1+t 2≠0时，t 1t 2=−4，∴直线MN 的方程为y −y 1=y 1−y2x 1−x 2(x −x 1) ⇒y −12t 13t 12+4=12t 13t 12+4−12t23t 22+46t 12−83t 12+4−6t 22−83t 22+4(x −6t 12−83t 12+4)⇒y −12t 13t 12+4=4t 1+t 2(x −6t 12−83t 12+4)⇒y =4t 1+t 2x −4t 1+t 2⋅6t 12−83t 12+4+12t 13t 12+4=4t 1+t 2x −4(3t 12+4)(3t 12+4)(t 1+t 2)=4t 1+t 2(x −1)，∴直线MN 恒过定点(1,0)当t 1+t 2=0时，此时也过定点(1,0)综上直线MN 恒过定点(1,0)．解析：(1)利用已知条件求出a 、c ，得到b ，即可求椭圆C 的方程；(2)法1：{y =kx +m,x 24+y 23=1．⇒(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，通过韦达定理，结合k AM =k AE 推出y =kx +m =k(x −1)，说明直线MN 恒过定点(1,0)． 法2：设直线AM 的方程为：x =t 1y −2，通过{x =t 1y −2x 24+y 23=1⇒(3t 1+4)y 2−12t 1y =0求出E(4,6t 1)同理F(4,6t 2)，得到直线系方程说明直线过定点(1,0)．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查发现问题解决问题的能力，是难题．21.答案：解：(1)由已知得ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x， 所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，∴ℎ(1)=2+2ln2，ℎ′(1)=−ln2．∴切线方程为y −(2+2ln2)=−ln2×(x −1)，即xln2+y −2−3ln2=0．(2)若f(x)>kx+1恒成立，由x >0得，原式可化为：k <(x+1)+(x+1)ln (x+1)x． 令ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x，则以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，又令m(x)=x −1−ln (x +1)，∵m′(x)=1−1x+1=xx+1>0，∴m(x)在(0,+∞)上递增，而m(2)=1−ln3<0，m(3)=2−ln4>0．∴存在t ∈(2,3)，使得t −1−ln (t +1)=0……①，且当x ∈(−∞,t)时，m(x)<0；x ∈(t,+∞)时，m(x)>0． ∴x =t 即为函数ℎ(x)的最小值点， ∴ℎ(x)min =ℎ(t)=t+1+(t+1)ln (t+1)t，结合①式得ln (t +1)=t −1．∴ℎ(t)=t+1+(t+1)(t−1)t=t +1，2<t <3∴3<ℎ(t)min <4．所以整数k 的最大值取3．解析：(1)先将x =1代入函数求出切点坐标，然后对原函数求导，进一步求出斜率，代入直线的点斜式方程即可．(2)将k 分离出来，然后研究函数ℎ(x)=(x+1)+(x+1)ln (x+1)x的最小值，因为ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2，.再研究分子的符号、零点，确定函数ℎ(x)的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等．同时考查了学生利用函数思想、转化与化归思想等解决问题的能力．是一道压轴题．22.答案：解：(1)曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1，曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ；(2)设直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数) 又直线l 与曲线C 2：y 2=4x 存在两个交点，因此sinα≠0． 联立直线l 与曲线C 1：x 22+y 2=1，可得(1+sin 2α)t 2+2tcosα−1=0， 则：|FA|⋅|FB|=|t 1t 2|=11+sin 2α，联立直线l 与曲线C 2：y 2=4x 可得t 2sin 2α−4tcosα−4=0， 则|FM|⋅|FN|=|t 3t 4|=4sin 2α， 即|FA|⋅|FB||FM|⋅|FN|=11+sin 2α4sin 2α=14⋅sin 2α1+sin 2α=14⋅11+1sin 2α∈(0,18]．解析：(1)直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．本题主要考查：极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：解：(1)f(x)=|x −1|+1={x(x ≥1)−x +2(x <1)，①当x ≥1时，解不等式x ≤2x +3得：x ≥1，②当x <1时，解不等式−x +2≤2x +3得：−13≤x <1， 综合①②得：不等式f(x)≤2x +3的解集为：[−13,+∞)(2)F(x)={|x −1|+1,x ≤312−3x,x >3，即F(x)={2−x,x <1x,1≤x ≤312−3x,x >3．作出函数F(x)的图象如图所示，当直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点时，方程F(x)=a 有三个解，所以1<a <3． 所以实数a 的取值范围是(1,3)．解析：(1)由f(x)=|x −1|+1为分段函数，可分段讨论①当x ≥1时，②当x <1时，求不等式的解集，(2)方程F(x)=a 有三个解等价于直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点，先画出y =F(x)的图象，再画直线y =a 观察图象即可本题考查了分段函数及数形结合的思想方法，属中档题。
2020年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3，4，5}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2. 已知复数z =1+i ，则|zi |等于( )A. 4B. 2C. √2D. 123. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费(单位：元)由函数f(m)={3.71,0<m ⩽41.06×(0.5[m]+1),m >4给出，其中[m]是不小于m 的最小整数，例如[2]=2，[1.21]=2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为( )A. 3.71元B. 4.24元C. 4.7元D. 7.95元4. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，则|c ⃗ |等于( ) A. −2 B. 4 C. 2 D. −45. 两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1则z =3x +y 的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 37. 将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin(2x +π6) B. f(x)=sin(2x −π3) C. f(x)=sin(8x +π6)D. f(x)=sin(8x −π3)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 4=9，则a 6=( )A. 3B. 4C. 5D. 69.函数f(x)=(x−1x)cosx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()A. B.C. D.10.与下边三视图对应的几何体的体积为()．A. 43B. 83C. 23D. 211.已知双曲线C：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=35|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A. 8B. 8√7C. 8√14D. 1612.已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是______ ．A. (−1,1)B. (−2,1)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若α∈(0,π2)，且cos2α=sin2α，则tanα=______ ．14.在等比数列{a n}中，若a5=8，a8=1，则a1=______ ．15.已知函数f(x)=(x2−2x)e x−1，当x>1时，关于x的不等式f(x)−mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为________．16.过椭圆C：x24+y23=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知a=2，c=√2，cosA=−√2，求：4(1)sinC；(2)b和三角形△ABC的面积．18.为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为4．5(1)在上表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为______；(2)是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？19.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．20.已知函数f(x)=alnx+x2−x，其中a∈R．(Ⅰ)若a<0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．≥4．23.已知a，b是正数，求证：a2+4b2+1ab【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查函数模型的应用，属于基础题．由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.2]=6，所以f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+1)= 1.06×4=4.24．解：由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.2]=6．所以f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+1)=1.06×4=4.24．故选B．4.答案：C解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a ⃗ =(1,√3)， ∴|a ⃗ |=√12+(√3)2=2； 又向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2， ∴|a ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos π3=2|c ⃗ |⋅12=2，∴|c ⃗ |=2． 故选：C ．5.答案：C解析：解：两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，由甲⇒乙，反之也成立，否则l//β，m//β，l ∩m =P ，l ，m ⊂α，可得α//β，矛盾． 则甲是乙的充要条件． 故选：C ．根据两个平面相交、平行的充要条件即可判断出结论．本题考查了两个平面相交、平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8． 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解析：本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，故选：A ．8.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式，由已知求出首项与公差，然后利用通项公式求解即可． 解： 设{a n }的公差为d ， 则由已知有{a 2=a 1+d =2S 4=4a 1+4×32d =9, 解得a 1=32,d =12， 所以a 6=a 1+5d =4． 故选B ．9.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的判断，属于基础题．由条件可得函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据x =π时，f(π)<0，得出结论． 解：对于函数f(x)=(x −1x )cosx(−π≤x ≤π且x ≠0)，由于它的定义域关于原点对称， 且满足f(−x)=(1x −x)cosx =−f(x)，故函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x =π，f(π)<0，故排除C ，10.答案：A解析：本题考查几何体的三视图，解决问题的关键是根据所给三视图分析可得当其为正八面体时，体积最大．解：根据所给三视图分析可得当其为正八面体，.如图，FO=1,AC=BD=√2，易知其体积为V=2V F−ABCD=2×13×√2×√2×1=43，故选A．11.答案：C解析：解：∵双曲线C：x29−y216=1中a=3，b=4，c=5∴F1(−5,0)，F2(5,0)∵|PF2|=35|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+6=12，|PF2|=6，|F1F2|=10∴cos∠PF1F2=144+100−362×12×10=1315，∴sin∠PF1F2=2√1415∴△PF1F2的面积为12×12×10×2√1415=8√14．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得||PF 1|，求出cos∠PF 1F 2=144+100−362×12×10=1315，sin∠PF 1F 2=2√1415，即可求出△PF 1F 2的面积．此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；属于中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用．先把原函数转化为函数f (x )={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f (x )={2x −1,x >0−x 2−2x,x ≤0={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0， 得到图象为：又函数g(x)=f(x)−m 有3个零点， 知f(x)=m 有三个零点， 则实数m 的取值范围是(0,1)． 故选C ．13.答案：12解析：解：∵cos2α=sin2α=2sinαcosα，且α∈(0,π2)，即cosα≠0，∴cosα=2sinα，则tanα=sinαcosα=sinα2sinα=12．故答案为：12由α的范围得到cosα≠0，已知等式右边利用二倍角的正弦函数公式化简，再两边除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出tanα的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14.答案：128解析：解：设等比数列{a n}的公比是q，∵a5=8，a8=1，∴q3=a8a5=18，则q=12，∵a5=a1⋅q4=8，解得a1=128，故答案为：128．设等比数列{a n}的公比是q，根据等比数列的通项公式和题意求出q，再利用a5=8求出a1．本题考查等比数列的通项公式的简单应用，属于基础题．15.答案：(−1,+∞)解析：本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f′(x)=(x2−2)e x−1，令f′(x)=0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1,√2)上递减，在(√2,+∞)上递增，当x>2时，f(x)>0，又f(1)=−1，f(√2)<−1，f(2)=0，∵f′(1)=−1，∴m >−1，故答案为(−1,+∞)．16.答案：52解析：解：椭圆C ：x 24+y 23=1的a =2，b =√3，c =1，右焦点F 2为(1,0)，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得y =±√3⋅√1−14=±32， 由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a =4，可得|AF 1|=4−|AF 2|=4−32=52．故答案为：52．求得椭圆的a ，b ，c ，右焦点坐标，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得|AF 2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：(1)∵在△ABC 中，已知a =2，c =√2，cosA =−√24， ∴sinA =√1−cos 2A =√144， 由正弦定理c sinC =a sinA 得：sinC =csinA a =√2×√1442=√74； (2)由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即4=b 2+2+b ，解得：b =1或b =−2(舍去)，则△ABC 面积为12absinC =12×2×1×√74=√74．解析：(1)由cos A 的值求出sin A 的值，利用正弦定理即可求出sin C 的值；(2)利用余弦定理列出关系式，把a ，c ，cos A 的值代入求出b 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：5，30，80，20，55，45解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男生50555女生301545合计8020100则表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为5，30，80，20，55，45；(2)根据列联表数据可得K2的观测值为k=100×(50×15−5×30)255×45×80×20≈9.091>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．(1)根据题意填写列联表，得出表中a，b，c，d，e，f对应的数据；(2)根据列联表数据计算K2的观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题．19.答案：证明：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，在△PBD中，EF//PB，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，∴PB//面AEC．解：(2)∵DC//AB，AC⊥AB，∴DC⊥AC，又DC⊥PA，AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DC⊥PC，在Rt△PDC中，EC=12PD=12√PA2+AD2=12√PA2+AC2+CD2=32，同理AE=32，EF=√(32)2−(12)2=√2，在等腰△AEC中，∴S△EAC=12×AC×EF=12×1×√2=√22，设D到平面AEC的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，得13⋅S△EAC⋅ℎ=13⋅S△ADC⋅EH，∴√22ℎ=1×1，解得ℎ=√2，∴D到平面AEC的距离为√2．解析：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，推导出EF//PB，由此能证明PB//面AEC．(2)推导出AC⊥AB，DC⊥AC，DC⊥PA，从而DC⊥平面PDC，进而DC⊥PC，设D到平面AEC 的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，能求出D到平面AEC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(I)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax +2x−1=2x2−x+ax，令f′(x)=0得2x2−x+a=0，解得x1=1−√1−8a4，x2=1+√1−8a4，∵a<0，∴x1<0，x2>0，∴当0<x<1+√1−8a4时，f′(x)<0，当x>1+√1−8a4时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增．(II)若a=0时，f(x)=x2−x，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意．若a<0，由(I)可知f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增，当1+√1−8a4≤1即−1≤a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意，当1+√1−8a4>1即a<−1时，f(x)在[1,1+√1−8a4)上单调递减，在[1+√1−8a4,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1+√1−8a4)<f(1)=0，不符合题意．若a>0，令f′(x)=0得2x2−x+a=0，∴当△=1−8a≤0即a≥18时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min (x)=f(1)=0，符合题意．若0<a <18，则2x 2−x +a =0有两正实数解，x 1=1−√1−8a 4，x 2=1+√1−8a 4， ∴f(x)在(0,1−√1−8a 4)上单调递增，在(1−√1−8a 4,1+√1−8a 4)上单调递减，在(1+√1−8a 4,+∞)上单调递增， ∵1+√1−8a 4<1，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min (x)=f(1)=0，符合题意，综上，a 的取值范围是[−1,+∞)．解析：(I)令f′(x)=0求出f(x)的极值点，结合f(x)的定义域得出f′(x)的符号变换情况，从而得出f(x)的单调性；(II)对a 进行讨论，判断f(x)在[1,+∞)上的单调性，得出f(x)在[1,+∞)上的最小值f min (x)，即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题． 21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p 2=2，所以p =4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0， 所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值． 22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0，联立{x 2+y 2=4x x −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)，|AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =2=√5sin(θ−α)+4|2，当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．23.答案：证明：因为a ，b 是正数，所以a 2+4b 2≥4ab(当且仅当a =2b 时，取等号)所以a 2+4b 2+1ab ≥4ab +1ab ≥2√4ab ×1ab =4(当且仅当ab =12时取等号，亦即a =1，b =12时，取等号)即a 2+4b 2+1ab ≥4．解析：利用基本不等式，先证明a 2+4b 2≥4ab ，再利用基本不等式，即可证得结论． 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
2020年广西来宾市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，2，4，，则A. 2，B. 0，2，C. 2，4，D.2.已知复数是虚数单位，则z的共轭复数是A. B. C. D.3.若，且，则A. B. C. 7 D.4.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是A.B. 83C. 93D. 725.已知命题p：若，则；命题q：若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为下列说法正确的是A. 为真命题B. q为真命题C. p为假命题D. 为假命题6.设实数x，y满足不等式组则的最小值为A. B. 2 C. 1 D. 77.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.8.若双曲线的右焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为A. 3B.C.D.9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.B.C.D.10.在中，，点D在线段BC上，，，则A. B. C. D.11.已知函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是，且，则函数在下列区间单调递减的是A. B. C. D.12.已知抛物线C：的焦点为F，过y轴上的一点E作直线EF与抛物线C交于A，B两点若，且，则点A的横坐标为A. 1B. 3C. 2D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．14.已知函数则函数的零点个数为______．15.如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为______．16.在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD 的中点，点R在线段SD上．若，，，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某学校高中三个年级共有4000人，为了了解各年级学生周末在家的学习情况，现通过分层抽样的方法获得20位学生周末学习时间如下单位：小时，其中高一学生周末的平均学习时间记为．高一：高二：高三：求每个年级的学生人数；从高三被抽查的同学中随机抽取2人，求2人学习时间均超过的概率．18.已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；设数列的前n项和为，求证．19.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F分别是，AB，的中点，点G在线段BC上，．求证：平面；若平面平面，，，求点到平面FEG的距离．20.已知函数．若，求函数的极值；当时，，求实数m的取值范围．21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，，，且的离心率为抛物线，点M，N在上．求椭圆的方程；过点M，N作的切线，，若，直线MN与交于P，Q两点，求面积的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；若，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．23.已知函数．若，求不等式的解集；若，，使得，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：1，2，3，4，，0，2，4，，2，．故选：A．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】由已知结合同角基本关系及两角和的正切公式进行化简即可求解．本题主要考查了同角基本关系及两角和的正切公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．【解答】解：若，且，则，所以，所以．故选：D．4.答案：A解析：解：将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，则这组数据的中位数是．故选：A．把茎叶图中10个数据按照从小到大的顺序排好，取中间两数的平均值即可．本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数据还是奇数个数据，从而求出中位数．解析：解：，则函数与函数在上单调递增，所以，，命题p是真命题；函数在上单调递增，解得，命题q是假命题．故选：D．分别判断出p，q的真假，再结合复合命题的真假即可得出结论．本题主要考查复合命题的真假判断，其中涉及到函数单调性的应用以及指数对数的运算性质，属于中档题目．6.答案：B解析：解：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，观察可知，当直线过点A时，目标函数的截距最大，此时z有最小值，由，解得最小值为：．故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解，然后求解最小值即可．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.答案：D解析：解：的导数为，可得切线的斜率为，切线方程为，即．故选：D．求得函数的导数，将代入可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由题意，得双曲线C的右焦点到渐近线的距离为，故，则，即，解得，则，所以双曲线C的离心率为．故选：C．由题意求出渐近线的方程，由点到直线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离，再由题意可得a，b，c之间的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱进行切割所得的组合体，圆柱的底面半径为2，下半部分高为2，上半部分高为3．所求表面积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱进行切割所得的组合体，再由圆柱的表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.答案：D解析：解：如图所示：，在中，由余弦定理和推论，得，故，在中，由正弦定理，得，解得，故选：D．在中，利用余弦定理求出cos B，进而求出sin B，再在中，利用正弦定理即可求出AC的值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是基础题．11.答案：D解析：解：因为函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是，所以，解得．利用，整理得，解得，所以对于选项A：当时，，所以函数的图象先增后减，故错误．对于选项B：当时，，所以函数的图象单调递增，故错误．对于选项C：当时，，所以函数的图象先减后增，故错误．对于选项D：当，，所以函数在该区间内单调递减，故正确．故选：D．首先利用函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的关系式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：C解析：解：设直线，，，与联立可得，则，E为y轴上的一点，又，为E，F的中点，则．由，得，则，解得舍去，所以．故选：C．设直线，，，直线与联立，利用韦达定理，结合抛物线的性质，求出，，通过，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．13.答案：解析：解：根据题意，向量，，若，则，解可得，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的数量积判断向量垂直的方法可得的值，即可得的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积判断向量垂直，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：2解析：解：在同一直角坐标系中分别作出，的图象如右图所示，由图可知与的图象有2个交点，即函数恰有2个零点．故答案为：2．函数的零点，转化为方程的根，通过数形结合，转化求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，数形结合的应用，二次函数的性质以及指数函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为边长为2的正六边形的面积．据题设分析知阴影区域面积．故答案为：．由已知求出正方形面积，根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．本题主要考查几何概型的应用，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，属于基础题．16.答案：解析：解：取SA的中点E，连接PE，QE．平面ABCD，平面ABCD，，而，，平面SAD，故平面SAD，又平面SAD，．又，，平面PEQ，平面PEQ，．，Q分别为SA，AD的中点，，则，在直角三角形ASD中，，，可求得．由等面积法可得．故答案为：．取SA的中点E，连接PE，由已知证明，结合已知，可得平面PEQ，得到，进一步得到，在直角三角形SAD中，由等面积法求解AR．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算能力，是中档题．17.答案：解：由于三个年级被抽查的人数分别是8，7，5，故高一年级的学生人数为，高二年级的学生人数为，高三年级的学生人数为．依题意，，在高三被抽查的同学中随机抽取2人，所以可能的情况为：，，，，，，，，，，共10种，其中满足条件的为：，，，，，，共6种，故所求概率．解析：由于三个年级被抽查的人数分别是8，7，5，利用分层抽样的性质能求出每个年级的学生人数．求出，在高三被抽查的同学中随机抽取2人，利用列举法能求出2人学习时间均超过的概率．本题考查每个年级的学生人数的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：当时，，解得；当时，，两式相减，得，解得．又当时，也适合，故．证明：依题意，得，，故．解析：利用，求得，并检验当时是否适合；先利用中求得的求出，再利用裂项相消法求，从而证明结论．本题主要考查由数列前n项和求通项公式及裂项相消法求数列的前n项的和，属于基础题．19.答案：证明：在中，，F分别是AB，的中点，，又平面，平面，平面．解：设点到平面EFG的距离为，点G到平面的距离为，取BC中点H，连接AH，可证．平面平面，平面，平面EFG，得平面EFG．又平面ABC，平面平面，．又E为AB中点，为BH中点，即，则，，，，，在中，由余弦定理的推论，得，故，故，解得，即点到平面EFG的距离为．解析：在中，由E，F分别是AB，的中点，得，再由直线与平面平行的判定可得平面．设点到平面EFG的距离为，点G到平面的距离为，求出，求解三角形得到，进一步得到，再由解得，即可得到点到平面EFG的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：当时，，则，分当时，，函数在上单调递增：当时，，函数在上单调递减，分所以当时，函数有极大值为，无极小值．分依题意，得，即，令，则，，令，则分令，所以，所以在上单调递增，，当时，，所以在上单调递增，且，分当时，，，在上单调递增，，满足条件；分当时，．又因为，所以存在，使得，当，；当，，所以在上单调递减，当时，都有，不符合题意．分综上所述，实数m的取值范围为分解析：将代入，求导，解关于导函数的不等式，进而得出单调性，由此求得极值；依题意，，令，问题转化为在上恒成立，接下来利用导数分及即可得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查分类与整合思想，函数与方程思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力等，属于中档题．21.答案：解：依题意，得，解得，，故椭圆的方程为．设直线MN方程，，，，，由得，则，，由，得，，，，又，，所以直线MN：；联立，得，所以，，，而原点到直线PQ的距离，故，设，则与代入上式可得，当时，即时，面积最大，最大值为．解析：依题意，得，解得a，b进而可得椭圆的方程．设直线MN方程，，，，，联立直线MN与抛物线的方程，结合韦达定理得，，又由因为过点M，N作的切线，，若，可解得m的值，进而可得直线MN：，在联立直线MN与椭圆的方程，结合韦达定理，得，原点到直线PQ的距离，得表达式，再求最大值．本题考椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，考查了计算能力，属于中档题．22.答案：解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线C的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．把直线l的参数方程转换为标准式为为参数，代入，得到：，所以，，所以解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为．，当时，．，，使得，，或，的取值范围为．解析：将代入中，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式求出的最小值，然后求出的最小值，再根据条件的到关于m的不等式，进一步求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = ) AB ．2 C．D3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.24．（5分）已知向量a r 与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．57．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．169．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A．(B．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= ．14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = ． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 ．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]【解答】解：{|1}A x x =-Q …，{|2}B x x =„， [1A B ∴=-I ，2]．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = )A B ．2C ．D【解答】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，∴||z =故选：A ．3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.2【解答】解：Q 人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2， (18.5,23.9)BMI ∈为正常，身高为1.4，∴体重正常值为：2(18.5 1.4⨯，223.9 1.4)(36.26⨯=，46.844)， ∴她的体重可能是42.4．故选：C ．4．（5分）已知向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：Q 向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，∴122133a b =⨯⨯=rr g ，∴2222(3)6946993a b a a b b -=-+=-⨯+=r rr r r r g ，∴|3|3a b -=r r． 故选：B ．5．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥【解答】解：对于A ，由m α⊥，//m βαβ⊥⇒，故A 错误， 对于B ，m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则α，β可以平行，故B 错误， 对于C ，//m n ，m α⊥，n β⊥，可以求出//αβ，故C 错误， 对于D ，由//m α，m β⊥，得αβ⊥，是充分条件， 反之，由αβ⊥，不一定得到//m α，m β⊥，不必要条件， 故选：D ．6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，代入目标函数z x y =+得235z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为5． 故选：D ．7．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--【解答】解：将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()6y x π=-，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，即()2sin()26g x x π=-+，故选：C ．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．16【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊五人分五得的钱数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，则由题意可得，55S =，12345a a a a a +=++，115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解可得143a =，1512463d a a d =--=-=， 故选：A ．9．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 【解答】解：根据题意，由所给的图象可得：()f x 为偶函数， 据此分析选项：对于A ，1()cos 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()cos()()1x f x x lnf x x---=-=--g ，为奇函数，不符合题意； 对于B ，1()cos 1x f x x lnx +=-g ，同理可得其为奇函数，不符合题意； 对于C ，1()sin 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()sin()()1x f x x lnf x x---=-=-g ，为偶函数， 在区间(1,)π上，101x lnx-<+，而sin 0x >，则有()0f x <，符合题意； 对于D ，1()sin 1x f x x ln x +=-g ，同理可得其为偶函数，在区间(1,2)上，()0f x >，不符合题意； 故选：C ．10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π【解答】解：由题意几何体是圆台，上底半径为1圆台的外接球的半径为R，解得3R =， 所以外接球的体积为：34363R ππ=g ． 故选：B ．11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D【解答】解：设2||PF n =，根据双曲线的定义：1||2PF n a =+，则22212||(2)448||PF n a a n a a PF n n+==++…， Q 212||||PF PF 的最小值为8，1a ∴=． 则双曲线C的离心率为3e ==．故选：B ．12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(B ．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 【解答】解：函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点等价于方程23||3()222x m m ---=g 有2个不等根，则23||4()x m m -=--，即2||1x m m =--，要想满足方程有2个不等根，则210m m -->，解得m >或m即m 取值范围为(-∞⋃，)+∞， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= 89- ．【解答】解：1sin cos 3αα+=Q ，21(sin cos )9αα∴+=，即112sin cos 9αα+=， 则8sin 22sin cos 9ααα==-．故答案为：89-14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = 127． 【解答】解：13a =Q ，234a a =， 223(3)3q q ∴=，解可得13q =，∴45113()327a =⨯=． 故答案为：127． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 [1，)+∞ ．【解答】解：1()(1)x f x e lnx x'=+-， 令1()1g x lnx x =+-，则22111()x g x x x x-'=-=，01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，故()g x g …（1）0=，即()0f x '…恒成立， 从而()f x 在(0,)+∞上单调递增，且f （1）e =-， 故1m …．故答案为[1，)+∞．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由1(F 0)可知12(BF x =u u u r ，2)y -，11(F A x =+u u u r1)y ，则213x x =+213y y -=，213x x ∴=-，213y y =-，又221114x y +=，222214x y +=，解得1x =，1y =，∴直线l=故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 【解答】（1）证明：(22)cos cos c b A a B c -=-Q ． 由正弦定理可得，2sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos C A B A A B C A B A B B A -=-=--，即2sin cos sin cos 0C A B A -=，A Q 为锐角，则cos 0A ≠，2sin sin C B ∴=，由正弦定理可得2b c =，（2）由题意可得1cos 4A ==， 由余弦定理可得，221244b c bc +-⨯=， 因为2b c =，解可得，2b =，1c =，故ABC ∆的面积122⨯=18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：2()()()()K a b c d a c b d =++++． 【解答】解：（1）由已知表格中的数据求得22100(30104515)1003.03 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．∴没有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系；（2）记A 班抽取的非常满意的家长为a ，b ；B 班抽取的非常满意的家长为1，2，3． 则从5人中任选2人有(,)a b ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共10种可能．其中来自同一个班级的有(,)a b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共4种可能．∴这2人都来自同一班级的概率42105P ==． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．【解答】解：（1）证明：如图，连结AC ，BD ，交于点O ，连结OF ， 1//FO BB Q ，12FO BB =，//FO BE ∴，FO BE =，∴四边形BEFO 为平行四边形，//EF OB ∴，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊂/平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．（2）解：由题意知11B C ⊥平面11ABB A ， 11B C ∴是点1C 到平面11ABB A 的距离，又1AB ⊂平面11ABB A ，11B C AB ∴⊥， 设点E 到平面11AB C 的距离为h ，Q 1111C AB E E AB C V V --=，∴111111133AEB AB C S B C S h =V V g g ，∴111111113232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =∴点E 到平面11AB C20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， ①0a „时，()0f x '>，函数在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，易得(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，（2）由1a e <<可得()f x 在[1，)a 上单调递减，在(a ，]e 上单调递增， 则m f =（a ）1a alna =-+，f （1）2=，f （e ）1e a =-+， 由f （e ）f -（1）1e a =--，①当11a e <<-时，M f =（e ）1e a =-+，(1)(1)2M m e a a alna alna a e -=-+--+=-+， 令()2g x xlnx x e =-+，(11)x e <<-， 则()10g x lnx '=-<，所以()g x 在(1,1)e -上单调递减，所以(1)(1)2(1)(1)2(1)()2e ln e e e ln e e e g x e ---+=----+<<-， 故此时M m -的范围((1)(1)2e ln e e ---+，2)e -，②当1e a e -<„时，M f =（1）2=，2(1)1M m a alna alna a -=--+=-+， 令()1h x xlnx x =-+，(1)e x e -<„，则()0h x lnx '=>，此时()h x 单调递增，则有(1)(1)2(1)(1)(1)1()11e ln e e e ln e e h x e e ---+=----+<-+=„， 此时M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)， 综上可得，M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． 【解答】解：（1）由抛物线和圆的的对称性可得两条曲线的交点关于x 轴对称，由弦长为4可得，交点的纵坐标为2±，设交点(,2)P a ，由题意可得22222,(1)24pa a ⎧=⎨-+=⎩，解得1a =，2p =， 所以抛物线的标准方程为：24y x =．（2）设直线AB 的方程为：(0)y kx b k =+≠，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与抛物线的方程：24y xy kx b⎧=⎨=+⎩，整理可得：222(24)0k x kb x b +-+=，△222(24)40kb k b =-->，可得1kb <，12242kb x x k -+=，2122b x x k =，2222221212122424()kb k b b y y k x x kb x x b b b k k -=+++=++= 由90AFB ∠=︒可得：0FA FB =u u u r u u u rg ，即1(1x -，12)(1y x -g ，2)0y =， 整理可得：121212()10x x x x y y -+++=，即22242410b kb bk k k--++=， 可得2264b kb k ++=，221212122211114225||||(1)(1)(1)(1)()222236AFBb kb b k S AF BF x x x x x x k k k ∆-+=⨯⨯=++=+++=++==， 所以56b k k +=±，可得：6k b =-或611b k =-， 所以由226461b kb k k b kb ⎧++=⎪=-⎨⎪<⎩可得12k =，2b =-，或12k =-，2b =，所以直线方程为：122y x =-或122y x =-+；所以由22646111b kb k b k kb ⎧++=⎪⎪=-⎨⎪<⎪⎩，可得方程组无解，综上所述：直线AB 的方程为：122y x =-或122y x =-+．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．转换为直角坐标方程为42y x =-．曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．转换为直角坐标方程为2212y x +=．（2）设曲线上任一点的坐标为(cos )θθ到直线240x y +-=的距离d ==，当且仅当sin()1θα+= [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…． 【解答】证明：（1）由222229()[(1)(1)](1)(1)2(1)2(1)(1)2(1)a b c a b c a b c a b b c a c =++=+++-=+++-++++-+- 222222222222(1)(1)[(1)]{(1)(1)][(1)]3[(1)(1)]a b c a b b c a c a b c +++-++++++-++-=+++-„（当且仅当1a =，0b =，2c =时等号成立）．故有222(1)(1)3a b c +++-…； （2）由3a b c ++=，可得222(2)(1)[(1)()(2)]t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++222(1)()(2)2(1)()2()(2)2(1)(2)a b t c t a b t b t c t a c t =-+-+++--+-++-+ 2222222(1)()(2)[(1)()]{()(2)][a b t c t a b t b t c t -+-+++-+-+-+++„ 22222(1)(2)]3[(1)()(2)]a c t a b t c t -++=-+-++， 由1t …，有2(2)9t +…， 则1t …时222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．。
2020年广西高考数学适应性试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（）A．5 B．10 C．25 D．503．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．24．若，则tanθ等于（）A．B．C．﹣4 D．45．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，则φ的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．若x，t满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．108．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．139．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（）A．20 B．28 C．20或32 D．20或2810．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计教龄在10年以上的教师12 34 46教龄在10年以下的教师22 23 45合计34 57 91附表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828给出相关公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d．（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660．参照附表，下列结论中正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（）A．4 B． C．4或D．4或512．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设函数，则f（f（﹣1））=________．14．设向量=（1，m），=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则•的最小值为________．15．在△ABC中，B=，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6，则△ABC的周长为________．16．设m ＞0，点A （4，m ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 为焦点，以A 为圆心|AF |为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列为等差数列，且a 1=8，a 3=26．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：X 人数YA B C A 14 40 10B a 36 bC 28 8 34若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A 等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人．已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（2）已知a ≥8，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率． 19．如图，在四棱锥A ﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF=2，四边形EFCB 是高为的等腰梯形，EF ∥BC ，O 为EF 的中点．（1）求证：AO ⊥CF ；（2）求O 到平面ABC 的距离．20．如图，椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，直线x=﹣a 与y=b 交于点D ，且|BD |=3，过点B 作直线l 交直线x=﹣a 于点M ，交椭圆于另一点P ．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．21．设a ∈R ，函数f （x ）=ax 2﹣lnx ，g （x ）=e x ﹣ax ．（1）当a=7时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．[选做题]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．[选做题]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．[选做题]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2020年广西高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】交集及其运算．【分析】求出A∩B中的元素，从而判断出n的值即可．【解答】解：集合A={x∈N|x＞2}，集合B={x∈N|x＜n，n∈N}，若A∩B的元素的个数为6，即A∩B={3，4，5，6，7，8}，则n等于9，故选：D．2．设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则|a+bi|等于（）A．5 B．10 C．25 D．50【考点】复数求模．【分析】分别求出a，b的值，从而求出|a+bi|即可．【解答】解：∵（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），∴a+bi=﹣7+24i，则|a+bi|==25，故选：C．3．设奇函数f（x）满足3f（﹣2）=8+f（2），则f（﹣2）的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【考点】函数的值．【分析】求出f（2）=﹣f（﹣2），代入3f（﹣2）=8+f（2），得到3f（﹣2）=8﹣f（﹣2），解出即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（2）=﹣f（﹣2），∵3f（﹣2）=8+f（2），∴3f（﹣2）=8﹣f（﹣2），∴4f（﹣2）=8，∴f（﹣2）=2，故选：D．4．若，则tanθ等于（）A．B．C．﹣4 D．4【考点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和与差的正弦函数化简已知条件，然后求解即可．【解答】解：，可得：sinθ+cosθ=5sinθ，∴cosθ=4sinθ，∴tanθ=．故选：B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由题意可得=，即为b=a，c==a，可得e==．故选：A．6．若函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，则φ的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（4x+φ）（φ＜0）的图象关于直线x=对称，∴4•+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，故φ的最大值为﹣，故选：B．7．若x，t满足约束条件，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则a等于（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值，得到10=6+a，解出即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：，显然直线过A（3，a）时，直线取得最大值，且目标函数z=2x+y的最大值为10，则10=6+a，解得：a=4，故选：C．8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（mod m），例如10≡4（mod 6）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A．17 B．16 C．15 D．13【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，即被15除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：A9．一底面是直角梯形的四棱柱的正（主）视图，侧（左）视图如图所示，则该四棱柱的体积为（）A．20 B．28 C．20或32 D．20或28【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据正（主）视图，侧（左）视图，可得梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，代入棱柱的体积公式计算．【解答】解：由图可知，梯形的上底为1或3，下底为4，高为2，棱柱的高为4，所以体积为=20或=28．故选：D．10．某市对在职的91名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计教龄在10年以上的教师12 34 46教龄在10年以下的教师22 23 45合计34 57 91附表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828给出相关公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d．（12×23﹣22×34）2=222784，34×57×46×45=4011660．参照附表，下列结论中正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”C．在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”D．我们没有理由认为“教龄的长短与支持新教材有关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据列联表中的数据，计算观测值K2，对照数表即可得出结论．【解答】解：根据列联表中的数据，计算观测值K2==≈5.0536＞3.841，对照数表得出结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“教龄的长短与支持新教材有关”．故选：B．11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为（）A．4 B． C．4或D．4或5【考点】球的体积和表面积．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故选：C．12．函数f（x）=lg（ax3﹣x2+5a）在（1，2）上递减，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．（，]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】令y=ax3﹣x2+5a，由条件利用复合函数的单调性可得在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax2﹣2x＜0，再利用二次函数的性质求得a的范围．【解答】解：令y=ax3﹣x2+5a，则f（x）=lgy，∴在（1，2）上，y＞0且y单调递减，故y′=3ax2﹣2x=x（3ax﹣2）＜0，∴①，或②．解①可得≤a≤，解②求得a无解．综上可得，≤a≤，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设函数，则f（f（﹣1））=0．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数得f（﹣1）=，则f（）=2×﹣1=1﹣1=0，故．故答案为：014．设向量=（1，m），=（2m，﹣1），其中m∈[﹣1，+∞），则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入向量的数量积公式得出关于m的函数，根据二次函数的性质得出的最小值．【解答】解：=（2m+1，m﹣1）．∴=2m+1+m（m﹣1）=m2+m+1=（m+）2+．∵m∈[﹣1，+∞），∴当m=﹣时，取得最小值．故答案为：．15．在△ABC中，B=，3sinC=8sinA，且△ABC的面积为6，则△ABC的周长为18．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得3c=8a，又由B=，利用三角形面积公式可求ac=24，联立可解得：a，c的值，利用余弦定理可求b的值，即可得解三角形周长．【解答】解：∵3sinC=8sinA，由正弦定理可得3c=8a，①又∵B=，△ABC的面积为6=acsinB=ac，解得：ac=24，②∴由①②联立，可解得：a=3，c=8，∴由余弦定理可得：b===7，∴△ABC的周长为：a+b+c=3+7+8=18．故答案为：18．16．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|=，则，∴p=2．∵点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列为等差数列，且a1=8，a3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公差，然后求出通项公式．（2）直接把数列变为两个数列，一个是等差数列一个是等比数列，分别求和即可．【解答】解：（1）设数列的公差为d，∵，∴，…∴，∴…（2）…18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：XA B C人数YA 14 40 10B a 36 bC 28 8 34若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组，其中a＞b+2的共8 组，故所求概率为：．…19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．（1）求证：AO⊥CF；（2）求O到平面ABC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可．【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF…又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF，所以AO⊥平面EFCB，…又CF⊂平面EFCB，所以AO⊥CF…（2）解：取BC的中点G，连接OG．由题设知，OG⊥BC…由（1）知AO⊥平面EFCB，又BC⊂平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC．…因为，所以，即O到平面ABC的距离为．（另外用等体积法亦可）…20．如图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件列出，求解可得椭圆的方程．（2）设M（﹣2，y0），P（x1，y1），推出=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x1，y1，然后求解为定值．【解答】解：（1）由题可得，∴，∴椭圆的方程为…（2）A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（﹣2，y0）．直线BM的方程为：，即，…代入椭圆方程x2+2y2=4，得，…由韦达定理得，…∴，∴，…∴=﹣2x1+y0y1=﹣+==4．即为定值．…．21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=e x﹣ax．（1）当a=7时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）由f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，a＞（）max，设h（x）=（x＞0），求出a的范围，结合f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，得到a＜对x∈（0，+∞）恒成立．设H（x）=，求出a的范围，取交集即可．【解答】解：（1）函数f（x）=7x2﹣lnx的导数为f′（x）=14x﹣，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为14﹣1=13，切点为（1，7），可得切线的方程为y﹣7=13（x﹣1），即为13x﹣y﹣6=0；（2）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，即ax2﹣lnx＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＞（）max，设h（x）=（x＞0），则h′（x）=，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，函数h（x）递增；当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）递减．所以当x＞0时，h（x）max=h（e）=，∴a＞．∵h（x）无最小值，∴f（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立不可能．∵f（x）•g（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴g（x）=e x﹣ax＞0，即a＜对x∈（0，+∞）恒成立．设H（x）=，∴H′（x）=，当0＜x＜1时，H'（x）＜0，函数H（x）递减；当x＞1时，H'（x）＞0，函数H（x）递增，所以当x＞0时，H（x）min=H（1）=e，∴a＜e．综上可得，＜a＜e．[选做题]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…[选做题]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）化简曲线方程C，可得ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，结合ρsinθ=y，ρcosθ=x，即可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的方程为ρ=2cos（θ﹣）﹣2sinθ=2cosθ+2sinθ﹣2sinθ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，又∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得，l的普通方程为y=（x+2），即x﹣+2=0，∴圆C的圆心到l的距离为d==，∴|PQ|的最小值为d﹣1=﹣1，∴|PQ|的取值范围为[﹣1，+∞）．[选做题]24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2020年9月7日。
2020年桂林市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3} 2. 已知复数z =1+i ，则|z i |等于( )A. 4B. 2C. √2D. 12 3. 某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( )A. 608元B. 574.1元C. 582.6元D. 456.8元4. 若|m⃗⃗⃗ |=2，m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =8，m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为60°，则|n ⃗ |的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 设α，β表示平面，m ，n 表示直线，则m//α的一个充分不必要条件是( )A. α⊥β且m ⊥βB. α∩β=n 且m//nC. α//β且m ⊂βD. m//n 且n//α6. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3C. −5D. −6 7. 将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( ) A. f(x)=sin(2x +π6)B. f(x)=sin(2x −π3)C. f(x)=sin(8x +π6)D. f(x)=sin(8x −π3) 8. 我国明代数学家程大位《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为A. 30.8贯B. 39.2贯C. 47.6贯D. 64.4贯9.下列函数中，其图象可能为图是()A. f(x)=1||x|−1|B. f(x)=1|x−1|C. f(x)=1|x+1|D. f(x)=1x2−110.与下边三视图对应的几何体的体积为()．A. 43B. 83C. 23D. 211.已知双曲线C：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=35|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A. 8B. 8√7C. 8√14D. 1612.已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是______ ．A. (−1,1)B. (−2,1)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα+cosα=45，那么sin2α=__________．14.已知等比数列{a n}满足a1=12，且a2a4=4(a3−1)，则a5=______．15.若函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．16.过椭圆C：x24+y23=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与性别有关，调研部(共10人)分三组对高中三个年级的学生进行调查，每个年级至少派3个人进行调查．(1)求调研部的甲、乙两人都被派到高一年级进行调查的概率．(2)调研部对三个年级共100人进行了调查，得到如下的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d19.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．20.已知函数f(x)=lnx+a(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．21. 已知抛物线Γ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN|=4．(Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆(x −1)2+y 2=1内切于△PBC ，求△PBC面积的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．≤1；(1)求证：|a−b||1−ab|(2)若ab>0，求(a+b)(a3+b3)的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x>2}；∴A∩B={3,4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：C解析：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．由题意可得分段函数解析式，由此易得答案．解：根据题意，应付款y={x,x⩽2000.9x,200<x⩽5000.9×500+0.85(x−500),x>500付款176元时没有折扣，付款432元实际价格为432÷0.9=480(元)．故两次购物的实际价格为176+480=656(元)，若一次购物，则只需要500×0.9+(656−500)×0.85=582.6(元)．故选C．4.答案：D解析：本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可． 解：因为， 所以．故选D ． 5.答案：C解析：解：根据面面平行的性质可知若α//β且m ⊂β，则m//α，反之不一定成立，故α//β且m ⊂β是m//α成立的一个充分不必要条件，故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行和面面平行的关系进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行和面面平行的关系是解决本题的关键． 6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3， 表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y −9=3x +y，解得A(−2,−3)， 当y =−x +z 经过点A 时，z 最小，由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5．故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：A解析：本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：函数y=sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x−π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，故选：A．8.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．运用等差数列的相关公式，建立关于首项，公差的方程组，从而得解．解：由题意，设等差数列{a n}的前5项a1,a2,a3,a4,a5分别为甲、乙、丙、丁、戊所得钱数，等差数列{a n}的公差为d，则有{S5=5a1+5×42d=238a1−a5=−4d=33.6，解得{d=−8.4a1=64.4,所以戊所得钱数为a5=a1+4d=64.4−8.4×4=30.8贯，故选A9.答案：A解析：本题考查了函数的图象的判断，属于简单题．由奇偶性排除B，C，由特殊值x=0排除D．解：由图象知：f(x)为偶函数，排除B，C，由x=0得f(0)=1，排除D，故选A．10.答案：A解析：本题考查几何体的三视图，解决问题的关键是根据所给三视图分析可得当其为正八面体时，体积最大．解：根据所给三视图分析可得当其为正八面体，.如图，FO=1,AC=BD=√2，易知其体积为V=2V F−ABCD=2×13×√2×√2×1=43，故选A．11.答案：C解析：解：∵双曲线C：x29−y216=1中a=3，b=4，c=5∴F1(−5,0)，F2(5,0)∵|PF2|=35|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+6=12，|PF2|=6，|F1F2|=10∴cos∠PF1F2=144+100−362×12×10=1315，∴sin∠PF1F2=2√1415∴△PF1F2的面积为12×12×10×2√1415=8√14．故选：C．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得||PF 1|，求出cos∠PF 1F 2=144+100−362×12×10=1315，sin∠PF 1F 2=2√1415，即可求出△PF 1F 2的面积．此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；属于中档题． 12.答案：C解析：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用．先把原函数转化为函数f (x )={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f (x )={2x −1,x >0−x 2−2x,x ≤0={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0， 得到图象为：又函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，知f(x)=m 有三个零点，则实数m 的取值范围是(0,1)．故选C ．13.答案：−925解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵sinα+cosα=45，∴1+2sinαcosα=1625，即1+sin2α=1625，那么sin2α=−925，故答案为−925． 14.答案：8解析：本题考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题;将等比数列的通项公式代入即可得关于公比q 的方程，解得q 即可得答案．解： 由等比数列的通项公式得a 1q.a 1q 3=4(a 1q 2−1)，将a 1=12代入得q 4−8q 2+16=0，解得q 2=4，所以a 5=a 1q 4=12×24=8，故答案为8． 15.答案：[12,+∞)解析：本题主要考查利用导数研究函数单调性，是基础题.由函数在定义域内是增函数可知函数的导函数在定义域内恒大于0，分离变量x 与参数m ，得2m ≥2x −1x 2，令t =1x ,t ∈(0,+∞)，构建新函数g(t)并求出其最大值，即可得到m 的取值范围．解：f′(x)=2mx +1x −2，根据题意得f′(x)≥0在x ∈(0,+∞)上恒成立，所以2m ≥2x −1x 2，令t =1x ,t ∈(0,+∞)，g (t )=2t −t 2=−(t −1)2+1≤1，故2m ≥1，则m ≥12． 故答案为[12,+∞)．16.答案：52解析：解：椭圆C ：x 24+y 23=1的a =2，b =√3，c =1， 右焦点F 2为(1,0)，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得y =±√3⋅√1−14=±32， 由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a =4，可得|AF 1|=4−|AF 2|=4−32=52．故答案为：52．求得椭圆的a ，b ，c ，右焦点坐标，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得|AF 2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC =sinAcosB +sinBsinA①，又A +B +C =π，故有sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB②，由①②得sinA =cosA 即tanA =1，又A ∈(0,π)∴A =π4;(Ⅱ的面积为S =12bcsinA =√24bc ， 由已知及余弦定理可得4=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2bccosA =(2−√2)bc ，∴bc ≤2−√2，当且仅当b =c 时，等号成立，，即面积最大值为√2+1． 解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求;(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解：(1)设事件A 为“甲、乙两人都对高一年级进行调查”………………………………………………(1分)基本事件共有C 104⋅C 63⋅C 33A 22⋅A 33个事件A 包含的基本事件有C 82⋅C 63+C 81⋅C 73⋅A 22个由古典概型计算公式，得P(A)=C 82⋅C 63+C 81⋅C 73⋅A 22C 104⋅C 63⋅C 33A 22⋅A 33=445 ∴甲、乙两人都对高一年级进行调查的概率为445……………………………………………………(6分)(2) 喜欢吃辣 不喜欢吃辣 合计男生 40 1050 女生 20 3050 合计 6040 100 …………………………………………………………………………………………………………………(8分) ∴K 2=100×(40×30−20×10)250×50×60×40≈16.667>10.828………………………………………………………(11分)∴有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关………………………………………………………(12分)解析：(1)根据古典概型概率公式可得；(2)计算出K 2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：证明：(1)连结BD ，交AC 于F 点，连结EF ，在△PBD 中，EF//PB ，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，∴PB//面AEC．解：(2)∵DC//AB，AC⊥AB，∴DC⊥AC，又DC⊥PA，AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DC⊥PC，在Rt△PDC中，EC=12PD=12√PA2+AD2=12√PA2+AC2+CD2=32，同理AE=32，EF=√(32)2−(12)2=√2，在等腰△AEC中，∴S△EAC=12×AC×EF=12×1×√2=√22，设D到平面AEC的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，得13⋅S△EAC⋅ℎ=13⋅S△ADC⋅EH，∴√22ℎ=1×1，解得ℎ=√2，∴D到平面AEC的距离为√2．解析：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，推导出EF//PB，由此能证明PB//面AEC．(2)推导出AC⊥AB，DC⊥AC，DC⊥PA，从而DC⊥平面PDC，进而DC⊥PC，设D到平面AEC 的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，能求出D到平面AEC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减．(2)当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，最大值为f(2)=ln2+3a.当a<0时，若−1a≤1，即a≤−1，函数f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为2a，若1<−1a <2，即时，函数f(x)在(1,−1a)上单调递增，在(−1a,2)上单调递减，最大值为a −1+ln (−1a )；若−1a ≥2，即a ≥−12时，函数f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及导数法求函数在闭区间上的最值，属于中档题．(1)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性；(2)对a 分类讨论，根据函数的单调性，来确定函数的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)抛物线Γ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)，则过点F 且斜率为1的直线方程为y =x −p 2，联立抛物线方程y 2=2px ，消去y 得：x 2−3px +p 24=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=3p ，由抛物线的定义可得，|MN|=x 1+x 2+p =4p =4，解得p =1．所以抛物线Γ的方程为y 2=2x ；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b >c ，直线PB 的方程为y −b =y 0−bx 0x ，化简得(y 0−b)x −x 0y +x 0b =0，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，故00√(y 0−b)2+(−x 0)2=1，即(y 0−b)2+x 02=(y 0−b)2+2x 0b(y 0−b)+x 02b 2，不难发现x 0>2，上式又可化为(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0，同理有(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0，所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程(x 0−2)t 2+2y 0t −x 0=0的两个实数根，则b +c =−2y 0x 0−2，bc =−x 0x 0−2， 所以(b −c)2=(b +c)2−4bc =4(x 02+y 02−2x 0)(x 0−2)2，因为点P(x 0,y 0)是抛物线Γ上的动点，所以y 02=2x 0，则(b −c)2=4x 02(x 0−2)2，又x 0>2，所以b −c =2x 0x0−2． 所以S △PBC =12(b −c)x 0=x 02x 0−2=x 0−2+4x 0−2+4≥2√(x0−2)⋅4x0−2+4=8，当且仅当x0=4时取等号，此时y0=±2√2，所以△PBC面积的最小值为8．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，属于中档题．(Ⅰ)求出抛物线的焦点，设出直线MN的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；(Ⅱ)设P(x0,y0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b>c，直线PB的方程为y−b=y0−bx0x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S△OPQ=12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cosπ4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：(1)证明：要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明|a −b|≤|1−ab|，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，又由a 2+b 2=1，展开(a −b)2≤(1−ab)2，整理可得0≤a 2b 2，可知：不等式0≤a 2b 2恒成立，则：(a −b)2≤(1−ab)2成立，故原不等式成立．(2)解：根据题意，ab >0，则(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1，当且仅当a =b =√22或a =b =−√22时，等号成立， 则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析： 本题考查不等式的证明方法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)根据题意，要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，即可得证；(2)根据题意，利用基本不等式可求得最值．。
2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=√x−1}，，则A∩B=()A. {x|0<x<1}B. {x|x≥1}C. {x|x>0}D. {x|x>1}2.设复数z满足i⋅z=1−i，则z的共轭复数为A. −1+iB. 1+iC. −1−iD. 1−i3.设命题p：∃x∈R，x2+x+1<0；命题q：∀x∈[1,2]，x2−1≥0；则以下命题是真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为()A. 78B. 910C. 89D. 10115.在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是()A. 12B. 24C. 36D. 486.函数y=2x32x+2−x在[−6,6]的图象大致为()A. B.C. D.7.不等式组表示的平面区域的面积为()A. 48B. 24C. 16D. 128.抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为()A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π39.一个锥体的三视图如图所示，则这个锥体中最长棱的长度为()A. √6B. 3C. 2√2D. 410.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)相邻两条对称轴间的距离为3π2，且f(π2)=0，则下列说法正确的是()A. ω=2B. 函数y=f(x−π)为偶函数C. 函数f(x)在[−π,−π2]上单调递增D. 函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称11.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=6，∠APC=∠BPC=π4，若球O的表面积为64π，则棱锥A−PBC的体积为()A. 8√7B. 24√7C. 4√33D. 2√21512. 已知函数f(x)=(x 2−4x)sin(x −2)+x +1在[−1,5]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =( )A. 6B. 4C. 2D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若双曲线x 2m 2−y 2=1(m >0)的离心率为2，则m =______．14. 设函数f(x)=e x sin x 的图像在点(0,0)处的切线与直线x +my +1=0平行，则m =____. 15. 已知边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=______．16. 若数列{a n }满足：a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)a 1=1，a 2=2，则其前2013项的和= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A +B)．(1)证明：b =2a ； (2)若c =√7a ，求∠C 大小．18. 某农业研究机构对春季昼夜温差大小x(℃)与某瓜类种子的发芽数y(颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了3月1日至5日每天的昼夜温差x 与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如表中所示：1日 2日 3日 4日 5日 x 10 11 13 12 8 y2325302616(1)从这5天中任取2天，记发芽的种子数分别为s ，t ，求s ，t 均不小于25的概率； (2)该机构确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验.设用线性回归方程求得剩下的两组数据y 的预测值分别为y 1，y 2，若预测值y 1，y 2与它们相应的真实值m ，n 之间满足12⋅(|y 1−m|+|y 2−n|)≤1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请根据2日至4日的数据求出y 关于x 的回归方程，并检验所得到的线性回归方程是否可靠.如果可靠，请预测温差为16℃时实验室每天每100颗种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由.(参考公式：b ̂=∑x i y i −nxy ni=1∑x i2−nx2n i=1=(x i −x)(y i −y)ni=1∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x)19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．(1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA||平面BDE 时，求三棱锥E −BCD 的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√23a，该椭圆中心到直线xa+yb=1的距离为3√24e．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点M(0,−2)的直线l，使直线与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过定点N(1,0)？若存在，求出所有符合条件的直线方程；若不存在，请说明理由．21.求函数f(x)=13x3−x2−8x+1(−6≤x≤6)的单调区间、极值．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为(2,π2)，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=1，曲线D 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面积S ．23. 设函数f(x)=|x +3|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)−6≤0的解集； (2)若f(x)≥2，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的运算，属基础题，依题意，化简集合A ，B ，根据交集定义求解即可． 解：集合A ={x|y =√x −1}=[1,+∞), B ={x|y =log 2(x 2−x)}={x|x >1或x <0}， 所以A ∩B ={x|x >1}， 故选D ．2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则其共轭复数可求． 解：由i ⋅z =1−i ，得z =1−i i=(−i )(1−i )i (−i )=−1−i ，∴z =−1+i ． 故选A .3.答案：C解析：解：∵∀x ∈R ，x 2+x +1=(x +12)2+34>0， ∴命题p 是假命题；又∵x ∈[1,2]时，x 2−1≥0恒成立， ∴命题q 是真命题；对于A ，￢p 为真命题，￢q 为假命题，∴￢p ∧￢q 是假命题：对于B，p为假命题，￢q为假命题，∴p∨￢q是假命题；对于C，￢p是真命题，q是真命题，∴￢p∧q是真命题；对于D，p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题．故选：C．先判断命题p、q的真假性，再判断复合命题的真假性即可．本题考查了复合命题的真假性判断问题，解题时应熟记复合命题的真值表，是基础题目．4.答案：C解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+18×9=89，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.答案：B解析：解：S10=12×10(a1+a10)=120，所以a1+a10=24故选：B．根据等差数列的求和公式，即可求出a1+a10的值．本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由y=2x32x+2−x的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x=4时的函数值，根据其值即可排除A，D．解：由y=f(x)=2x32x+2−x在[−6,6]，知f(−x)=2(−x)32−x+2x =−2x32x+2−x=−f(x)，∴f(x)是[−6,6]上的奇函数，图像关于原点对称，因此排除C又f(4)=21128+1>7，因此排除A，D．故选B．7.答案：B解析：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，先画出满足条件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可，是一道基础题．解：画出满足条件{2x−y+6≥0x+y≥0x≤2表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是12×4×12=24，故选B.8.答案：D解析：本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．。
2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣3）＜0}，B ＝{x |y =√x −1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[1，3]C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣2，1）2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．1104．（5分）已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ） A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.65．（5分）若函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为π2，且在x =π6取得最大值，则f(π4)=（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．√36．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝8a 4，S 4＝45，则a 1＝（ ） A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣57．（5分）设x ，y 满足不等式组{x +y ≤2．y ≤x +a ．y ≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）函数f(x)=cosxx 在x =π3处的切线斜率为（ ） A ．92π+3√32πB ．92π−3√32πC ．−92π2+3√32π D ．−92π2−3√32π9．（5分）在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若△ABC 为等边三角形，且BB 1=√3AB ，则AB 1与C 1B 所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．√34D ．5810．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．26311．（5分）已知函数f （x ）=1x −x ，若a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.5﹣0.5，则（ ）A ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）B ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）12．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a →=(1，4)，b →=(−2，k)，且(a →+2b →)∥(2a →−b →)，则实数k ＝ ． 14．（5分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10，则a 3＝ ．15．（5分）过点M （﹣1，0）的直线，与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是 ．16．（5分）在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AD ⊥平面ABC ，且△ABC 为正三角形，AD =AB =√3，点O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P 元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估算P 的平均值P ；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P 值的和超过100元的概率．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +c cos A +2b cos B ＝0． （1）求B ；（2）设D 为AC 上的点，BD 平分∠ABC ，且AB ＝3BD ＝3，求sin C ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，P A ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直． （Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．20．（12分）已知函数f （x ）＝ln （2x +a ）（x ＞0，a ＞0），曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线在y 轴上的截距为ln3−23． （1）求a ；（2）讨论函数g （x ）＝f （x ）﹣2x （x ＞0）和ℎ(x)=f(x)−2x2x+1（x ＞0）的单调性；（3）设a 1=25，a n +1＝f （a n ），求证：5−2n+12n ＜1a n−2＜0（n ≥2）．21．（12分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．五．解答题（共1小题）23．已知不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0的解集为{x |−7a 16＜x ＜b 2}． （1）若正数p ，q 满足1aq+1bp=1，求p a+qb的最小值；（2）若a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立，求c 的取值范围．2020年广西省高考数学（文科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣3）＜0}，B ＝{x |y =√x −1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[1，3]C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣2，1）【解答】解：∵A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}，A ∩（∁R B ）＝（﹣2，1）． 故选：D ．2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）＝（1+b ）+（b ﹣1）i ， ∴a ＝1+b 且2＝b ﹣1； 所以：a ＝4，b ＝3；∴复数a ﹣bi 在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限． 故选：D ．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．110【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，基本事件总数n =C 52=10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m =C 32=3．∴这两个数的积为奇数的概率是p =m n =310． 故选：A ．4．（5分）已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7则y 与x 的线性回归方程为y ^=0.95x +a ，则a 的值为（ ）A ．0.325B ．0C ．2.2D ．2.6【解答】解：计算x =14×（0+1+3+4）＝2， y =14×（2.2+4.3+4.8+6.7）＝4.5， 代入y 与x 的线性回归方程y ^=0.95x +a 中， 解得a ＝4.5﹣0.95×2＝2.6． 故选：D ．5．（5分）若函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻两条对称轴间的距离为π2，且在x =π6取得最大值，则f(π4)=（ ） A ．√2B ．1C ．2D ．√3【解答】解：因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以2πω=π，∴ω＝2，所以f （x ）＝2sin（2x +φ），因为函数图象经过点(π6，2)，所以sin(π3+φ)=1，∴π3+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π，∴φ=π6，所以f(x)=2sin(2x +π6)， 所以f(π4)=2sin(π2+π6)=√3． 故选：D ．6．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝8a 4，S 4＝45，则a 1＝（ ） A ．3B ．5C ．﹣3D ．﹣5【解答】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 又由a 7＝8a 4，则a 7a 4=q 3=8，解可得q ＝2，又由S 4＝45，则S 4=a 1(1−24)1−2=45，解得a 1＝﹣3． 故选：A ．7．（5分）设x ，y 满足不等式组{x +y ≤2．y ≤x +a ．y ≥0．且yx+4的最大值为12，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知a ≥﹣2，y x+4的几何意义是可行域内的点与Q （﹣4，0）连线的斜率，直线x +y ﹣2＝0与直线y ＝x +a 的交点为A （1−a 2，1+a 2）， 当x ＝1−a2，y ＝1+a 2时，yx+4的最大值为12，解得a ＝2，所以实数a 的值为2．故选：B ．8．（5分）函数f(x)=cosxx 在x =π3处的切线斜率为（ ） A ．92π2+3√32πB ．92π2−3√32πC ．−92π2+3√32π D ．−92π2−3√32π 【解答】解：由题意知：f ′(x)=−1x2cosx −1x sinx ， ∴f ′(π3)=−9π2cos π3−3πsin π3=−92π2−3√32π． 故选：D ．9．（5分）在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若△ABC 为等边三角形，且BB 1=√3AB ，则AB 1与C 1B 所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．√34D ．58【解答】解：设AB ＝1，BB 1=√3， 连结B 1C 交BC 1于点M ，取AC 中点N ，连结MN ，BN ，则AB 1∥MN 且MN =12AB 1=12√3+1=1， 则AB 1与C 1B 所成角即为∠NMB ， 又BN =√3，BM =1BC 1=1，所以cos ∠NMB =1+1−342×1×1=58．故AB 1与C 1B 所成角的余弦值为58．故选：D ．10．（5分）明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【解答】解：【法一】正整数n 被3除余2，得n ＝3k +2，k ∈N ； 被5除余3，得n ＝5l +3，l ∈N ； 被7除余4，得n ＝7m +4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53．【法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n ＝263﹣105﹣105＝53， 即输出n 值为53． 故选：A ．11．（5分）已知函数f （x ）=1x−x ，若a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.5﹣0.5，则（ ） A ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ） B ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ） C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）【解答】解：∵0＝log 51＜log 52＜log 55＝1，log 0.50.2＞log 0.50．52=2，1＝0.50＜0.5﹣0.5＜0.5﹣1＝2，∴b ＞c ＞a ＞0，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴f （b ）＜f （c ）＜f （a ）． 故选：C ．12．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 【解答】解：双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线：y =ba x ，则P （a 2b，a ），因为|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（a 2b−a ）2+a 2＝5a 2，可得（ab−1）2＝4，所以ab=3，从而e =√1+b2a 2=√103，双曲线的渐近线为：y =−ba x ，则p （−a 2b ，a ），|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（−a 2b −a ）2+a 2＝5a 2，可得（a b+1）2＝4，所以ab=1，可得e =√2．则双曲线C 的离心率为：√2或√103． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a →=(1，4)，b →=(−2，k)，且(a →+2b →)∥(2a →−b →)，则实数k ＝ ﹣8 ． 【解答】解：a →+2b →=(−3，4+2k)，2a →−b →=(4，8−k)， ∵(a →+2b →)∥(2a →−b →)，∴﹣3（8﹣k ）﹣4（4+2k ）＝0，解得k ＝﹣8． 故答案为：﹣8．14．（5分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10，则a 3＝ 149．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ． ∵a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10， ∴3a 1+3d ＝4，6a 1+15d ＝10， 解得：a 1=109，d =29． 所以a 3=a 1+2d =149． 故答案为：149．15．（5分）过点M （﹣1，0）的直线，与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是 8 ．【解答】解：焦点F （1，0），由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，A （x '，y '），B （x ，y ），由题意知y ＞y '，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2﹣4my +4＝0，△＝（﹣4m ）2﹣16＞0，m 2＞1，m ＞1解得：y +y '＝4m ，y '＝2m ﹣2√m 2−1，设N （x 0，y 0）满足：NA →=5AF →，（x '﹣x 0，y '﹣y 0）＝5（1﹣x '，﹣y '），∴y 0＝6y '， S △ABF ＝S △BMF ﹣S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y′)，S △ANM ＝S △NMF ﹣S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y′)，MF ＝2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF •（y +y 0﹣2y '）＝y +y '+3y '＝10m ﹣62−1（m ＞1）， 令f （m ）＝10m ﹣6√m 2−1，f '（m ）＝10√m −1，令f '（m ）＝0，m =54，m ∈(1，54)，f '（m ）＜0，f （m ）单调递减，m ＞54，f '（m ）＞0，f （m ）单调递增，所以m =54时，f （m ）最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8， 故答案为：8．16．（5分）在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AD ⊥平面ABC ，且△ABC 为正三角形，AD =AB =√3，点O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为12．【解答】解：设O '为△ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，OO '，AO ，则AO '＝1，AM =√32，得OA =√72，作平面ODA 交BC 于E ，交BĈ于F ． 设平面ODA 截得外接球是⊙O ，D ，A ，F 是⊙O 表面上的点， 又∵DF ⊥平面ABC ，∴∠DAF ＝90°， ∴DF 是⊙O 的直径，DF =√7，因为P A ⊥AB ，PA =√3，AB =√3，所以BD =√6， 所以BF ＝1，AF 是⊙O 的直径，连结BF ． ∵BF ⊥DA ，BF ⊥AB ， ∴BF ⊥平面DAB ， ∴∠DBF ＝90°， 作OH ∥BF ， 又DO ＝OF ，∴OH 是△DBF 的中位线.OH =12BF ，故OH =12． 故答案为：12．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P 元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估算P 的平均值P ；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P 值的和超过100元的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图估算P 的平均值：P =30×0.014×10+40×0.026×10+50×0.036×10+60×0.014×10+70×0.01×10＝48． （2）该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元， 从这4户中随机抽取2户，基本事件总数n =C 42=6，这2户P 值的和超过100元包含的基本事件有（42，60），（50，52），（50，60），（52，60），共4个，∴这2户P 值的和超过100元的概率p =m n =46=23．18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos C +c cos A +2b cos B ＝0． （1）求B ；（2）设D 为AC 上的点，BD 平分∠ABC ，且AB ＝3BD ＝3，求sin C ． 【解答】解：（1）∵a cos C +c cos A +2b cos B ＝0， ∴由正弦定理得：sin A cos C +sin C cos A +2sin B cos B ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin B cos B ＝0，又∵A +B +C ＝π，∴sin （A +C ）＝sin B ， ∴sin B +2sin B cos B ＝0， ∴sin B ≠0，∴cos B =−12， 又∵B ∈（0，π）， ∴B =2π3； （2）由（1）知B =2π3，因为BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =π3，在△ABD 中，AB ＝3BD ＝3，∴由余弦定理得，AD 2＝AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cos ∠ABD ，即AD 2=9+1−2×3×1×12=7，即AD =√7，∴cos A =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD =2×3×7=5√714， 又∵A ∈（0，π），∴sin A =√2114，又∠C +∠A +∠ABC ＝π， ∴sin C ＝sin （π3−A ）＝sin π3cos A ﹣cos π3sin A =√32×5√714−12×√2114=√217． 19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底前ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，P A ＝AB ＝1，点A 到平面PBC 的距离为√33，且直线AC 与PB 垂直． （Ⅰ）在棱PD 找点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P ﹣EAC 的体积．【解答】解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，P A⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥P A，P A∩PB＝P，所以AC⊥平面P AB，则AC⊥AB设AC＝x，V p−ACB=V A−PBC=13×12×x×1×1=13×12×√2×√x2+12×√33，得AC＝1，则V P−EAC=12V P−ACD=12×13×12×1×1×1=112．20．（12分）已知函数f（x）＝ln（2x+a）（x＞0，a＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为ln3−2 3．（1）求a；（2）讨论函数g（x）＝f（x）﹣2x（x＞0）和ℎ(x)=f(x)−2x2x+1（x＞0）的单调性；（3）设a1=25，a n+1＝f（a n），求证：5−2n+12n＜1a n−2＜0（n≥2）．【解答】解：（1）对f（x）＝ln（2x+a）求导，得f′(x)=22x+a．因此f′(1)=22+a．又因为f（1）＝ln（2+a），所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程为y −ln(2+a)=22+a (x −1)， 即y =22+a x +ln(2+a)−22+a． 由题意，ln(2+a)−22+a =ln3−23． 显然a ＝1，适合上式．令φ(a)=ln(2+a)−22+a （a ＞0）， 求导得φ′(a)=12+a +2(2+a)2＞0，因此φ（a ）为增函数：故a ＝1是唯一解．（2）由（1）可知，g （x ）＝ln （2x +1）﹣2x （x ＞0），ℎ(x)=ln(2x +1)−2x2x+1（x ＞0）， 因为g ′(x)=22x+1−2=−4x2x+1＜0， 所以g （x ）＝f （x ）﹣2x （x ＞0）为减函数． 因为ℎ′(x)=22x+1−2(2x+1)2=4x (2x+1)2＞0，所以ℎ(x)=f(x)−2x1+2x （x ＞0）为增函数．（3）证明：由a 1=25，a n +1＝f （a n ）＝ln （2a n +1），易得a n ＞0.5−2n+12n ＜1a n−2⇔a n ＜2n 5由（2）可知，g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝ln （2x +1）﹣2x 在（0，+∞）上为减函数． 因此，当x ＞0时，g （x ）＜g （0）＝0，即f （x ）＜2x ． 令x ＝a n ﹣1（n ≥2），得f （a n ﹣1）＜2a n ﹣1，即a n ＜2a n ﹣1． 因此，当n ≥2时，a n ＜2a n−1＜22a n−2＜⋯＜2n−1a 1=2n5．所以5−2n+12＜1a n−2成立．下面证明：1a n−2＜0．方法一：由（2）可知，ℎ(x)=f(x)−2x2x+1=ln(2x +1)−2x2x+1在（0，+∞）上为增函数．因此，当x ＞0时，h （x ）＞h （0）＝0， 即f(x)＞2x2x+1＞0．因此1f(x)＜12x+1，即1f(x)−2＜12(1x−2)．令x ＝a n ﹣1（n ≥2），得1f(a n−1)−2＜12(1a n−1−2)，即1a n−2＜12(1a n−1−2)．当n ＝2时，1a n−2=1a 2−2=1f(a 1)−2=1f(25)−2=1ln1.8−2．因为ln1.8＞ln √3＞ln √e =12， 所以1ln1.8−2＜0，所以1a 2−2＜0．所以，当n ≥3时，1a n −2＜12(1a n−1−2)＜122(1a n−2−2)＜⋯＜12n−2(1a 2−2)＜0．所以，当n ≥2时，1a n−2＜0成立．综上所述，当n ≥2时，5−2n+12＜1a n −2＜0成立．方法二：n ≥2时，因为a n ＞0， 所以1a n−2＜0⇔1a n＜2⇔a n ＞12．下面用数学归纳法证明：n ≥2时，a n ＞12．①当n ＝2时，a 2＝f （a 1）＝ln （2a 1+1）=ln(2×25+1)=ln 1.8． 而a 2=ln1.8＞12⇔ln1.8＞ln √2⇔1.8＞√2⇔1.82＞2⇔3.24＞2， 因为3.24＞2，所以a 2＞12．可见n ＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k （k ≥2）时不等式成立，即a k ＞12． 当n ＝k +1时，a n ＝a k +1＝f （a k ）＝ln （2a k +1）． 因为a k ＞12，f （x ）＝ln （2x +1）是增函数， 所以a k+1=ln(2a k +1)＞ln(2×12+1)=ln 2． 要证a k+1＞12，只需证明ln2＞12．而ln2＞12⇔ln2＞ln √2⇔2＞√2⇔22＞(√2)2⇔4＞2， 因为4＞2，所以ln2＞12．所以a k+1＞12．可见，n ＝k +1时不等式成立．由①②可知，当n ≥2时，a n ＞12成立． 21．（12分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为4√3，椭圆的一个焦点为（1，0）． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2=−34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，2ab =4√3，c ＝1， 因此{ab =2√3a 2−b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当直线MN 的斜率存在时，设方程为y ＝kx +m ，由{x 24+y 23=1y =kx +m，消y 可得，（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，则有△＝64k 2m 2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＝48（4k 2﹣m 2+3）＞0，即m 2＜4k 2+3，x 1+x 2=−8km 3+4k2，x 1x 2=4m 2−123+4k2，所以|MN|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(+8km 3+4k2)2−4×4m 2−123+4k2=4√3⋅√1+k 23+4k 2√4k 2−m 2+3．点O 到直线MN 的距离d =√1+k ，所以S △MON =12|MN|d =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3．又因为k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=−34， 所以k 2x 1x 2+km(x 1+x 1)+m 2x 1x 2=k 2+km(−8km3+4k 2)+m 24m 2−123+4k 2=−34，化简可得2m 2＝4k 2+3，满足△＞0， 代入S △MCN =2√3|m|3+4k2√4k 2−m 2+3=2√3m 22m 2=√3，当直线MN 的斜率不存在时，由于k 1k 2=−34，考虑到OM ，ON 关于x 轴对称，不妨设k 1=√32，k 2=−√32，则点M ，N 的坐标分别为M(√2，√62)，N(√2，−√62)，此时S △MON =12×√2×√6=√3， 综上，△MON 的面积为定值√3．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1，转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=43sin 2θ+1． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ， 设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π2）， 所以|OP|2⋅|OQ|2|OP|+|OQ|=11|OP|2+1|OQ|2=11ρ12+1ρ22=134sin 2θ+14+34cos 2θ+14=45．五．解答题（共1小题）23．已知不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0的解集为{x |−7a 16＜x ＜b 2}． （1）若正数p ，q 满足1aq+1bp=1，求p a+qb的最小值；（2）若a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立，求c 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式|x +9|﹣|3x ﹣4|+2＞0，x ≥43时，不等式化为：x +9﹣（3x ﹣4）+2＞0，联立解得43≤x ＜152．−9＜x ＜43时，不等式化为：x +9+3x ﹣4+2＞0，联立解得−74＜x ＜43． x ≤﹣9时，不等式化为：﹣x ﹣9+3x ﹣4+2＞0，联立解得x ∈∅． 综上可得：−74＜x ＜152．∴{x |−74＜x ＜152}＝{x |−7a 16＜x ＜b2}．可得a ＝4，b ＝15． 正数p ，q 满足1aq+1bp =1，∴14q+115p=1．则p a+q b=(p 4+q15)(14q+115p)=130+p16q+q 225p≥130+2√p16q ⋅q225p=115，当且仅当15p ＝4q ＝2时取等号． ∴pa+qb 的最小值是115．（2）不等式a |x |+|ax +c |≥23b ，∴4|x |+|4x +c |≥23×15， 化为：|x |+|x +14c |≥52．∵|x |+|x +14c |≥|−14c|及其a |x |+|ax +c |≥23b 恒成立， ∴14|c |≥10，解得c ≥40或c ≤﹣40．∴c 的取值范围是（﹣∞，﹣40]∪[40，+∞）．。
2020年广西玉林市、南宁市高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}，则A ∪B =( )A. [25,2)B. (2,52]C. [0,+∞)D. [52,+∞)2. 复数(1+i)2对应的点在复平面的位置是( )A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 若，a ∈(0,π2)，则sinα的值为( )A. 4−√26B. 4+√26C. 718D. √234. 某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛的得分情况如图所示，对这两名运动员的得分进行比较，下列四个结论中不正确的是( )A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数D. 甲运动员的得分比乙运动员的得分稳定5. 若实数x ，y 满足{y −2≤0x +y ≥1x −y ≤1，则3x +y 的最小值是( )A. −2B. 1C. −1D. 36. 如果圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，则( )A. F =0，D ≠0，E ≠0B. E =F =0，D ≠0C. D =F =0，E ≠0D. D =E ≠0，F ≠07. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠PF 1F 2=45，则C 的离心率为( )A. 5B. 4C. 257D. 578.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1D与C1D1所成角的余弦值是()A. √22B. √33C. √32D. √639.若函数f(x)=12x2+2x−3lnx+4a的极小值为−32，则a的值为()A. −2B. −1C. −4D. −310.已知抛物线C:y2=2px(p>0),的焦点F到准线l的距离为2，点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为N，若点M(3,0)，∠AMN=∠ANM，则cos∠MAN=()A. −23B. −13C. 14D. −3411.函数f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)在区间[π6,π2]内单调递减，则ω的最大值为()A. 12B. 35C. 23D. 3412.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)+f(x)x >0，若a=sinπ6⋅f(sinπ6)，b=−√2⋅f(−√2)，c=ln2·f(ln2)，则a，b，c的大小关系为()A. b>c>aB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=______．14.ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−(b−c)2bc=1，则角A=______．15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．16.设计下面的实验来估计圆周率π的值：从区间[0,1]内随机抽取200个实数对(x,y)，其中x，y，1三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对(x,y)共有58个，则用随机模拟的方法估计π的近似值为________。
