广东省肇庆市2016届高三上学期第一次统检数学理试题 Word版含答案

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

2014~2015学年广州六中高三理数第一次测验卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．已知集合}2,1,0{=M ，},2|{M a a x x N ∈==，则集合=N M （ ） A ．}0{B ．}1,0{C ．}2,1{D ．}20{，【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】D 解析：因为{}{|2,}0,2,4N x x a a M ==∈=，所以=N M {0,2}则选D.【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2．已知复数21iz i=+，则z 的共轭复数是 （ ） A.i -1B.i +1C.iD.i -【知识点】复数的代数运算、复数的概念L4 【答案解析】A 解析：因为211iz i i==++，所以z 的共轭复数是i -1，则选A. 【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】3. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 5 【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B 解析：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 表示的平面区域为如图ABCD 对应的区域，显然当动直线y x z 2+=经过区域内的点A 时目标函数的值最小，而A 点坐标为(1,1)，则目标函数的最小值为1+2=3，所以选B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()()22a b <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质A2 B6 B7【答案解析】A 解析：因为由33log log a b >得a ＞b ＞0，所以11()()22a b <成立，若11()()22a b <，因为a,b 不一定为正数，所以不能推出33log log a b >，则选A. 【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A.30B.12C.24D.4 【知识点】三视图G2【答案解析】C 解析：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为11134534324232⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以选C .【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）B. 12C. 23【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】C 解析：因为直线220x y -+=与两坐标轴的交点分别为()()2,0,0,1，所以c=2，b=1，=则离心率为c a =，所以选C . 【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上，所以求出直线与坐标轴的交点，即可解答.【题文】7. 已知向量AB 与AC 的夹角为120°,3,若AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为( ） A ．73 B ．712C ．6D ．13 【知识点】向量的数量积F3【答案解析】B 解析：因为向量AB 与AC 的夹角为120°,3,所以12332AB AC ⎛⎫∙=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭,则()()()()94310AP AC AB AB AC AC AB λλλ⋅-=+⋅-=---=,解得127λ=，所以选B.【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键. 【题文】8.已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①)3()0(f f =；②0)1()0(<f f ；③0)3()1(<f f ；④18222=++c b a . 其中正确结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】D 解析：求导函数可得f′（x ）=3x 2-12x+9=3（x-1）（x-3），∴当1＜x ＜3时，f '（x ）＜0；当x ＜1，或x ＞3时，f '（x ）＞0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3），所以f （x ）极大值=f （1）=1-6+9﹣abc=4﹣abc ，f （x ）极小值=f （3）=27﹣54+27－abc=﹣abc ，要使f （x ）=0有三个解a 、b 、c ，那么结合函数f （x ）草图可知：a ＜1＜b ＜3＜c 及函数有个零点x=b 在1～3之间，所以f （1）=4-abc ＞0，且f （3）=-abc ＜0，所以0＜abc ＜4，∵f （0）=-abc ，∴f （0）=f （3），∴f （0）＜0，∴f （0）f （1）＜0，f （1）f （3）＜0，∵f （a ）=f （b ）=（c ）=0，∴x 3-6x 2+9x-abc=（x-a ）（x-b ）（x-c ）=x 3-（a+b+c ）x 2+（ab+ac+bc ）x-abc ，∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，把②代入①2得：a 2+b 2+c 2=18；故正确的为：①②③④，所以选D.【思路点拨】本题可根据已知条件，利用导数及函数的图像确定函数的极值点及a 、b 、c 的大小关系.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】{|13}A x x =<<，3{|}2B x x =>，3{|3}2A B x x ∴=<<，故选D ．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易． （2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题意知：1x y ==，i =1i 2x y ∴++=，故选B ．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易． （3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C【解析】解法一：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a a d -∴==-()100101001089098a a d ∴=+-=+=，选C ． 解法二：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得11,1a d =-=，()1001100119998a a d ∴=+-=-+=，故选C ． 【点评】考察等差数列的基本性质、前n 项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易． （4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P ==，故选B ．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A【解析】由题意知：2234m n m n ++-=，解得21m =，1030n n +>⎧∴⎨->⎩，解得13n -<<，故选A ．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易． （6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=解得2r =，2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等． （7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xy x e =-在[2,2]-的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xf x x e =-为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ．解法2：2()2xf x x e =-为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时， '0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101a b c >><<，，则（ ） （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22a b c ===，，易知C 正确．解法2：当0α>时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞上递增，故A 选项错误；当1a >时，a 越大对数函数()log a f x x =的图像越靠近x 轴，当01c <<时，log log a b c c >，故D 选项错误；c c ab ba <可化为()c a ab b<，由指数函数知，当1a >时，()x f x a =在(0,)+∞上递增，故B 选项错误；log log b a a c b c <可化为11log log abb ac c <，1111abbb b a <<<，故选C ．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等． 结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】011x y n ===，，时，框图运行如下： 1、012x y n ===，，；2、1232x y n ===，，；3、3632x y n ===，，，故选C ．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易． （10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C的标准线于D 、E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】B【解析】解法1排除法：当4p =时，不妨令抛物线方程为28y x =，当y =1x =，即A 点坐标为(，所以圆的半径为3r =，此时D 点坐标为(-，符合题意，故B 选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为2P ⎛- ⎝，则圆的半径为r =，22834p r -=-，即A 点坐标为⎭，所以22=，解得4p =，故选B ． 【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等． （11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//a 平面11CB D ，a 平面ABCD m =，a 平面11ABA B n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A【解析】令平面a 与平面11CB D 重合，则11m B D =，1n CD =，故直线m 、n 所成角为60o ，，故选A ． 【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()()sin 02f x x +πωϕωϕ⎛⎫=>≤ ⎪⎝⎭，，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9ω=，则周期29T π=，区间[]44ππ-，刚为94T ，且在53636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，恰好符合题意，故选B ．解法2：由题意知152()24369T πππ≥-=，所以29Tπω=≤，故选B ．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量(),1m =a ，()1,2=b ，且222+=+a b a b ，则m = ． 【答案】2-【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知a b ⊥，故20a b m ⋅=+=，所以2m =-；解法二（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】(52x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】10【解析】()555215522r rrrr rr T Cx C x---+==，令532r-=，解得4r =，454525210C -∴=⨯=． 【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ． 【答案】64【解析】由1310a a +=，245a a +=解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==，27321(4)21211()()22n nn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等． （16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（ ）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A. B. C. D.2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )A.1B.C.D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.5.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=,∴A∩B=.故选D.方法总结集合的运算问题通常是先化简后运算,也可借助数轴或韦恩图解决.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.3.C 设{a n}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得a n=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故选C.方法总结已知条件中有具体的a n、S n的值时,通常用基本元素法处理,即在a1、d、n、a n、S n这5个量中知三求二.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为=.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-=.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.解后反思对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为×πR3,即π=×πR3,解得R=2.故其表面积为×4π×22+3××π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数,∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B错;易知y=log c x是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2),则x1==,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连结AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角为60°,其正弦值为.选A.疑难突破本题的难点是明确直线m、n的具体位置或它们相对正方体中的棱、对角线的相对位置关系.为此适当扩形是常用策略.向右、向前扩展(补形)两个全等的正方体,则m、n 或其平行线就展现出来了.12.B 依题意,有(m、n∈Z),∴又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手运算量偏大,不妨对ω取特殊值进行检验.二、填空题13.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.14.答案10解析T r+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.15.答案64解析设{a n}的公比为q,于是a1(1+q2)=10,①a1(q+q3)=5,②联立①②得a1=8,q=,∴a n=24-n,∴a1a2…a n=23+2+1+…+(4-n)==≤26=64.∴a1a2…a n的最大值为64.16.答案216 000解析设生产产品A x件,产品B y件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为此时E max=216 000.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(Ⅱ)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sin C,S△ABC=absin C.18.解析(Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos <n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)方法总结对于立体几何问题的求解,首先要熟练掌握平行与垂直的判定与性质,尤其是面面垂直的证明,寻找平面的垂线往往是几何证明的关键.19.解析(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)解后反思本题重点考查相互独立事件的概率、简单随机变量的分布列及期望.求解本题的关键在于认真分析题干中的事件,确定事件间的相互关系,根据分析内容,找到解题的突破口.20.解析(Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).(12分)解后反思本题重点考查圆锥曲线的几何性质,以及直线与椭圆、圆的位置关系,尤其是对“弦长”问题的考查,更是本题考查的重点.解决此类问题,除了要熟知圆锥曲线的几何性质之外,对计算能力的要求也非常高.21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(2分)(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x1<x2.由(Ⅰ)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x 2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x2-(x2-2).(10分)设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.(12分)22.证明(Ⅰ)设E是AB的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于☉O的半径,所以直线AB与☉O相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析(Ⅰ)消去参数t得到C 1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)=(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)所以|f(x)|>1的解集为.(10分)。

★2021年10月15日2021－2021学年普通高中高三第一次教学质量检测.数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两局部。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

考前须知：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|y，那么A∩B等于A.[－1，2]B.(2，3]C.[1，2)D.[1，3)2.假设函数f(x)＝(m2－2m－2)x m－1是幂函数，那么m等于A.－13.[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，那么g(x0)等于4.近年来，随着“一带一路〞建议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人数也越来越多，如图是2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次情况，那么以下说法正确的选项是①2021－2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次逐年增加②2021－2021年这6年中，2021年中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次增幅最小③2021－2021年这3年中，中国到“一带一路〞沿线国家的游客人次每年的增幅根本持平A.①②③B.②③C.①②D.③5.命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >x 2；q ：“ab>4〞是“a>2，b>2〞的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是∧qB.⌝p ∧q ∧⌝q D.⌝p ∧⌝q△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB ，BC ＝3，那么sin ∠BAC 等于A.10B.5C.10D.5 7.我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。

但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i + 【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析： 解：由题可知2,1a b ==()()22234a bi i i ∴+=+=+，所以D 正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 【知识点】集合.A1 【答案解析】C解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1，B ．()1 2，C ．()2 3，D ．()3 4， 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为()()32ln 210,3ln 302f f =-<=->，函数为连续函数，所以函数的零点在()2,3之间.【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间.4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“m //n ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系. 5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．233 B ．223C ．6D ． 7 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

★启用前注意保密广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数 学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}22,22A x x B x x =-<<=-<，则A B =（ ）A ．()2,2-B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,4-2．已知复数z 满足1i z z +=+，则z =（ ）A ．12B C ．1D3．已知函数()f x 满足()111f x f x x ⎫⎛+=+⎪-⎝⎭，则()2f =（ ） A ．34-B ．34 C ．32D ．944的正四面体的体积为（ ）A B ．24 C ．32D ．5．设点P 为圆22(3)1x y -+=上的一动点，点Q 为抛物线24y x =上的一动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．1-B ．1C D 26．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()(),01,-∞+∞7．设,αβ为锐角，且()cos cos cos ααββ-=，则α与β的大小关系为（ ） A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．不确定8．若0a b >>，且3322a b a b -=-，则11a b+的取值范围是（ ） A ．41,3⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．4,3⎫⎛+∞⎪⎝⎭C ．()1,3D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量,x y 之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+经过点()10,m ，且相对于点()11,5的残差为0.2，则A ．8m =B ． 2.8b =-C ．36a =D ．残差和为010．已知函数()()2cos cos2f x x x x =-∈R ，则（ ） A ．()f x 的值域是[]3,3- B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 关于()πx k k =∈Z 对称D ．()f x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ） A ．第三名可能获得10分 B ．第四名可能获得6分C ．第三名可能获得某一项比赛的第一名D ．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩过原点()0,0O 作曲线()y f x =的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个33⨯的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．14．已知数列{}n a 满足11,3,,3,3n n n nn a a a a a ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩记{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =_____________；若*12,3a k =∈N ，则31k S +=_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项． （1）证明：cos aA b=； （2）求cos B 的值．16．（15分）如图，四边形ABCD是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G是线段BF 的中点，点H 是BF 的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ； （2）求点H 到平面DAF 的距离．17．（15分）某学校有,A B 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A 餐厅则后一天继续选择A 餐厅的概率为14，前一天选择B 餐厅则后一天选择A 餐厅的概率为p ，如此往复．已知他第1天选择A 餐厅的概率为23，第2天选择A 餐厅的概率为13．（1）求王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐的概率； （2）求王同学第()*n n ∈N 天选择A 餐厅用餐的概率n P ．18．（17分）设直线12:,:l y l y ==．点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，点M 为AB 的中点，点O 为坐标原点，且1OA OB ⋅=-． （1）求点M 的轨迹方程Γ；（2）设()00,M x y ，求当0x 取得最小值时直线AB 的方程；（3）设点()P 关于直线AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点．19．（17分）函数()f x 的定义域为R ，若()f x 满足对任意12,x x ∈R ，当12x x M -∈时，都有()()12f x f x M -∈，则称()f x 是M 连续的．（1）请写出一个函数()f x 是{}1连续的，并判断()f x 是否是{}n 连续的()*n ∈N ，说明理由； （2）证明：若()f x 是[]2,3连续的，则()f x 是{}2连续且是{}3连续的；（3）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3112f x ax bx =++（其中,a b ∈Z ），且()f x 是[]2,3连续的，求,a b 的值．广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．e 0x y -= 13．72 14．111199633k k --+（前空2分，后空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得()sin sinBcos cosBsin B A A A -=-，()()()sin sin πsin sinBcos cosBsin C A B B A A A =-+=+=+，因为sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin 2sinBcos A B A C A =-+=，则sin cos sin AA B=， 在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin A a B b=， 因此cos aA b=． （2）在ABC △中，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，由（1）知cos a A b=，则2222b c a abc b +-=，即2222b c a ac +-=． 因为b 是a 与c 的等比中项，所以2b ac =，从而222ac c a ac +-=，即220a ac c +-=，从而210a ac c⎫⎛+-= ⎪⎝⎭，解得a c =或0a c =<（舍去）在ABC △中，由余弦定理得()222222222cos 222a c c a a c b a a B ac ac ac c +--+-=====因此1cos 2B =． 16．（1）证明：取AF 的中点为M ，连接MD MG ，．因为点,M G 分别是FA 和FB 的中点，所以MG AO ∥，且12MG AB AO ==． 在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，,AO DE AO DE =∥． 所以,MG DE MG DE =∥，因此四边形DEGM 是平行四边形．所以EG DM ∥，又EG ⊄平面,DAF DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ．（2）解：由圆的性质可知，连接OG 延长必与圆O 交于点H ，连接,OE EH ，因为,OG AF OG ⊂∥平面,OEH AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥面DAF ，又因为已证EG ∥平面DAF ，且EG OG G =，所以平面DAF ∥平面OEH ．从而点H 到平面DAF 的距离即为点E 到平面DAF 的距离．以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则()()()30,0,3,0,,0,,2E A D ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 所以()()0,3,3,0,0,3AE AD ==，32AF ⎫⎛=⎪ ⎝⎭设(),,n x y z =为平面DAF 的法向量，则由30,30,2n AD z n AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可取()3,1,0n =-因此点E 到平面DAF 的距离323AE n d n⋅===+，即点H 到平面DAF17．（15分）解：（1）设i A =“王同学第i 天选择A 餐厅”()1,2,3i =．()()()()()()1212212121121,;,;,33334P A P A P A P A P A A P A A p ======．由全概率公式，得()()()()()112121*********P A P A P A A P P A A p A =+=⨯+⨯=，解得12p =．设B =“王同学第13~天恰好有两天在A 餐厅用餐”，则312122313B A A A A A A A A A =++， 因此()()()()312122313213111231534432434212P B P A A A P A A P A A A A =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）设n A =“王同学第n 天选择A 餐厅”()*n ∈N ，则()(),1n n n n P P A P P A ==-， 由题与（1）可得()()1111,42n n n n A P A A P A ++==． 由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+-=-+．则1212545n n P P +⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为1240515P -=≠， 所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为415，公比为14-的等比数列． 因此12415154n n P -⎫⎛-=⨯- ⎪⎝⎭，即12415154n n P -⎫⎛=+⨯- ⎪⎝⎭．18．解：（1）设()()()1122,,,,,A x y B x y M x y，则1122,y y ==，所以)121212,2,22x x x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩从而122,2x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为1OA OB ⋅=-，所以121212121221x x y y x x x x x x +=-=-=-，即121x x =．1=，化简得2212y x -=． 所以点M 的轨迹方程为2212y x -=． （2）由（1）得220112y x =+≥，则0x 的最小值为1，此时01x =或01x =-， 即()1,0M 或()1,0M -．当()1,0M 时，可得121,1x x ==，从而直线AB 的方程为1x =；当()1,0M -时，同理可得直线AB 的方程为1x =-． （3）设()00,M x y ，由（2）知，当()1,0M 时，直线:1AB x =，得()2Q +，直线:0MQ y =； 当()1,0M -时，直线:1AB x =-，得()2Q -+，直线:0MQ y =． 当()00,M x y 是其他点时，直线AB的斜率存在，且)12012121202AB x x x y y k x x x x y +-====--，则直线AB 的方程为()00002x y y x x y -=-，注意到220012y x -=，化简得00:220AB x x y y --=．设(),Q x y ''，则由00021,0220,22x y x y x y ⨯=-'+⎪⨯--='⨯⎪⎩解得Q ⎫， 又()00,M x y，所以00012MQ y y k-+==)00:MQ yy x x -=-，令x =，得0y =，因此直线MQ 过定点)T．19．解：（1）()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．理由如下： 由121x x -=，有()()12121f x f x x x -=-=， 同理当12x x n -=，有()()1212f x f x x x n -=-=， 所以()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．（2）因为()f x 是[]2,3连续的，由定义可得当1223x x ≤-≤时，有()()1223f x f x ≤-≤， 所以()()()()()()()()6644226f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≥， 同理()()()()()()66336f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-≤，所以()()66f x f x +-=， 所以()()()()()()644222f x f x f x f x f x f x +-+=+-+=+-=，即()f x 是{}2连续的， 同理可得()()33f x f x +-=，即()f x 是{}3连续的．（3）由（2）可得()()()()22,33f x f x f x f x +-=+-=，两式相减可得()()321f x f x +-+=即()()()11,f x f x f x +-=是{}1连续的，进一步有()()f x n f x n +-=．当1201x x ≤-≤时，有12223x x ≤+-≤，因为()f x 是[]2,3连续的，所以()()12223f x f x ≤+-≤， 又()()1122f x f x +=+，所以()()12223f x f x ≤+-≤，所以()()1201f x f x ≤-≤，故()f x 是[]0,1连续的．由上述分析可知()111,220,f f f x ⎧⎫⎫⎛⎛-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎝≥'⎭⎭⎨⎪⎩即21,42130,2a b ax b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩ 所以211310,422a ax x ⎡⎤-+≥∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立． 当0a =时，2b =；当0a >时，由23104a ax -+≥，得104a-+≥，即4a ≤．此时4,0;2,1a b a b ====；满足题意． 当0a <时，由23104aax -+≥，得2a ≥-．此时2,3a b =-=，满足题意．综上所述，0,2;4,0;2,1;2,3a b a b a b a b =======-=．。

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x < B. 02x << C. 01x << D. 03x <<2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 363. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 4. 已知函数()()21,1215,1x a x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a <<D. 512a <…5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）A. 3- B. 2- C. 32-D. 12-7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心11. 在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 导函数()f x '的最大值为712. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x []0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V的面积为a 的值为________．15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.的的在16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处切线为10x y --=，且方程()2m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22 已知函数()1sin e xx f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.的.2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷命题人：戴丽美 审题人：张伟萍一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A. 2x <B. 02x << C. 01x << D. 03x <<【答案】C 【解析】【分析】解出2log 1x <的解集，p 的充分不必要条件是其子集，选出即可.【详解】解：由2log 1x <得02x <<，p 的充分不必要条件是()0,2的子集，C 符合，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.2. 已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是（ ）A. 8 B. 16C. 32D. 36【答案】B 【解析】【分析】对196a b+=1≥且96b a ab +=，把()()19a b ++展开得到()()=7919a b ab +++，即可求出最小值.【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++.故()()19a b ++的最小值是16.故选：B3. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（）A. 5[1,]3B. 5(1,3C. (]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D. ()5,1[1,)3-∞- 【答案】A 【解析】【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++ 的值域为R 令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =±当1a =时，21y x =+符合题意；当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4. 已知函数()()21,1215,1xa x f x x a x x ⎧+⎪=⎨-++>⎪⎩，…对12,R x x ∀∈，12x x ≠，满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则实数a 的取值范围是（ ）A. 13a <…B. 13a <<C. 512a << D. 512a <…【答案】D 【解析】【分析】先判断()f x 是R 上的增函数，列关于实数a 的不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意，得()f x 是R 上的增函数，则()11141215a a a a >⎧⎪+⎪⎨⎪+-++⎪⎩……，解得512a <…，故选：D5. 已知定义在R 上函数()f x 满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x -+=+=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则172f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.12B. 1- C. 12-D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，得到(2)()f x f x -=，再结合()()0f x f x -+=，得到(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4，然后利用周期结合当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--求解.【详解】因为函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x -=，又因为()()0f x f x -+=，所以(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=，又因为(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则17118222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ，2421og 1111112log 12222log 422⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭l f .故选：B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则EM EN ⋅=（ ）的A. 3-B. 2-C. 32-D. 12-【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.【详解】24,2,1MN BC OM OE ====.()()EM EN EO OM EO ON⋅=+⋅+ ()()22143EO OM EO OM EO OM =+⋅-=-=-=- .故选：A7. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 5ln 2,24⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 52ln 2,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. 5ln 2,2ln 24⎡⎤++⎢⎥⎣⎦D. []2ln 2,2-【答案】D 【解析】【分析】由题可得()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，利用导数研究函数的性质进而可得20ln 22m m -≤≤+-，即得.【详解】原问题等价于()()()2ln 3h x f x g x x x x m =+=+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点，而()()()1123211h x x x x x x'=+-=--，∴()1,1,02x h x ⎛⎫'∈<⎪⎝⎭，()h x 单调递减， (]()1,2,0x h x '∈>，()h x 单调递增，又()()1512,2ln 22,ln 224h m h m h m ⎛⎫=-=-+=--+⎪⎝⎭，由1ln 22>可判断()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因而()h x 的值域为[]2,ln 22m m -+-，又()h x 有零点，有20ln 22m m -≤≤+-，所以[]2ln2,2m ∈-.故选：D.8. 将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数 ()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则 ω的取值范围是（ ）A. 228(0,][,939B. 2(0,]9C. 28(0,][,1]99D. (0,1]【答案】A 【解析】【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-，∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A .【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数()sin 22f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的图象关于直线12x π=对称C. ()f x 的一个零点为3x π=D. ()f x1+【答案】ABC 【解析】【分析】先化简，得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.【详解】函数()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭.对于A ：()f x 的最小正周期为π.故A 正确；对于B ：2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称.故B 正确；对于C ：2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=是()f x 的一个零点.故C 正确；对于D ：函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最大值为2.故D 错误.故选：ABC10. 下列说法中错误的为（）A. 已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若//a b ，则a 在b方向上的正射影的数量为ar D. 三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC V 的内心【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B ，由124e e = ，可知1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC V 的内心.【详解】对于A ，已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅ ，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++ ，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠，故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，124e e = ，∴向量1e ，2e不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b P ，则a 在b上的投影为a ± ，故C 错误；对于D ，AB CA AB CA+ 表示与ABC V 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC V 的内心，D 正确.故选：AC.【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．()()71sin 2121i i x f x i =-⎡⎤⎣⎦=-∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB. 函数()f x 为偶函数C. 函数()y f x =的图象关于直线π2x =对称D. 函数()f x 的导函数()f x '的最大值为7的【答案】CD 【解析】【分析】利用周期的定义可判断A 选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；求得函数()f x 的导数，求出()f x '的最大值，可判断D 选项的正误.【详解】对于选项A ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==-=---∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x +=-，可知函数()f x 的最小正周期不为π，故A 错误；对于选项B ：因为sin y x =为奇函数，所以()sin sin x x =--，所以()()71sin 21sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 2135791113i i x x x x x x xf x x i =-⎡⎤⎣⎦==++++++-∑也是奇函数，故B 错误；对于选项C ：因为()()()()()7711sin 21πsin 21π21π2121==-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-==--∑∑i i i x i i x f x i i ()()()7711sin π21sin 212121==----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦===--∑∑i i i x i x f x i i ，即()()πf x f x -=，所以函数()y f x =的图像关于直线π2x =对称，故C 正确；对于选项D ：因为()sin 3sin 5sin 7sin 9sin11sin13sin 35791113x x x x x xf x x =++++++，所以()cos cos3cos5cos 7cos9cos11cos13f x x x x x x x x '=++++++，因为cos ,cos3,cos5,cos 7,cos9,cos11,cos13x x x x x x x 的取值范围均为[]1,1-，可知()7'≤f x ，当0x =时，()07f '=，所以()f x '的最大值为7，所以D 正确．故选：CD ．12. 设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则（ ）A. ()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点B. ()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点C. ()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，可得265ωπ5π≤+<ππ可求出ω的范围，然后逐个分析判断即可.【详解】因为()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有5个零点，如图所示，所以265ωπ5π≤+<ππ，所以1229510ω≤<，所以D 正确，对于AB ，由函数sin y x =在,2π55ωππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象可知，()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A 正确，B 错误，对于C ，当π0,10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,55105x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为1229510ω≤<，所以π49ππ1051002ωπ+<<，所以πππ,5105ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭￿π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以C 正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin(33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC V 的面积为a 的值为________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理可得22sin sin sin bc a B C A=，结合ABC V 的面积求出边a 的值.【详解】解：222cos cos sin sin sin A B C B C -+= ，()2221sin 1sin sin sin sin A B C B C ∴---+=，即222sin sin sin sin sin B A C B C -+=，由正弦定理角化边得222b a c bc -+=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，22sin sin sin bc a B C A∴=即221sin 43bc a π=，化简得23a bc =，又ABC V的面积为1sin 2ABC S bc A ==V 8bc ∴=224a ∴=解得a =故答案为：15. 如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若ABC V的面积为，则AP的最小值为__________.【解析】【分析】用,AC AB表示,CD PD ，利用这两者共线可求m ，求出2AP 后利用基本不等式可求其最小值.【详解】因为2AD DB =，故23AD AB = ，所以23CD AD AC AB AC =-=- ，而211326PD AD AP AB mAC AB AB mAC =-=--=-，因为CD 与PD 为非零共线向量，故存在实数λ，使得2136AB AC AB mAC λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故14,4m λ==，所以1142AP AC AB =+ ，所以2221111+216482AP AC AB AC AB =+⨯⨯⨯⨯，由ABC V的面积为=，故8AC AB ⨯= ，所以22211113164AP AC AB =++≥+= ，当且仅当4,2AC AB ==u u u r u u u r时等号成立.故minAP =，故答案【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基底向量来计算.16. 若函数()cos sin f x a b x c x =++的图象经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,4⎡+⎣【解析】【分析】先根据()π01,4f f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭将,b c 转化为a 来表示，由此化简()f x 的解析式，对a 进行分类讨论，根据()f x ≤恒成立列不等式来求得a 的取值范围.【详解】因为()f x 经过点()0,1和π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以(0)1f a b =+=，π4f a a ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，可得1b c a ==-，故π()(1)cos (1)sin (1)(sin cos ))sin 4f x a a x a x a a x x a a x ⎛⎫=+-+-=+-+=-+ ⎪⎝⎭.因为π02x ≤≤，所以ππ3π444x ≤+≤πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，为当1a <时，10a ->，可得π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≤≤-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≤0a ≥，又1a <，从而01a ≤<；当1a =时，()1[f x =∈；当1a >时，10a -<，所以π1)sin )4a a x a ⎛⎫-≥-+≥- ⎪⎝⎭，所以1())f x a a ≥≥-+，要使()f x ≤≤恒成立，)a a -+≥4a ≤+，又1a >，从而14a <≤+综上所述，a的取值范围为04a ≤≤+.故答案为：0,4⎡+⎣【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中()f x ≤恒成立，就转化为()f x 的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）减区间为1(0,e 增区间为1(,)e +∞【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（1），f （1）可求出a ，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；【详解】（1）依题意可得：122(1)10(1)2f f --==即()ln f x x x ax b=++ '()ln 1f x x a ∴=++又 函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=，1(1)2f =(1)111(1)2f a f a b =+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：f '（x ）＝1+lnx ，当10x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f '（x ）≤0，f （x ）单调递减；当1x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴()f x 的单调减区间为1(0,),e ()f x 的单调增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．18. 已知函数()2f x x ω=sin cos x x ωω+(0)>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若()f x >，求x 取值的集合.【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()23f x sin x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式3222,232k x k πππππ+≤+≤+即可求得函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）()f x >，即sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈，化简后，写成集合形式即可.试题解析：（Ⅰ） ())21sin cos 1cos2sin22f x x x x x x ωωωωω=+=++-1sin2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为周期为22ππω=，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，（Ⅱ）()f x >sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由正弦函数得性质得3222,434k x k k Z πππππ+<+<+∈， 解得5222,1212k x k ππππ-+<<+所以5,2424k x k k Z ππππ-+<<+∈，则x 取值的集合为5,2424x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭.19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．（1）求线段MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．【答案】（1）千米（2）【解析】【分析】（1）在AMN V 中，利用余弦定理运算求解；（2）在PMN V中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π6PM PN α⎛⎫+=+⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】在AMN V 中，由余弦定理得，2222cos MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠，即222122222122MN ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，可得MN =所以线段MN的长度【小问2详解】设2π0,3PMN α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，因为π3MPN ∠=，所以2π3PNM α∠=-，在PMN V 中，由正弦定理得sin sin sin MN PM PN MPN PNM PMN==∠∠∠，因为sin ∠MN MPN4=，所以24sin 4sin ,4sin 4si π3n PM PNM PN PMN αα⎛⎫=∠==∠= ⎪⎝⎭-，因此4si 2n 4s π3in PM PN αα-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭14sin 4sin 2ααα⎫=++⎪⎭6sin αα=+＝π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为2π03α<<，所以6ππ5π66α<+<，所以当ππ62α+=，即π3α=时，PM PN +取到最大值20. 已知函数()2ln f x x ax a x =-+有两个极值点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212242416ln2f x f x x x +++<.【答案】（1）8a >（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，将问题转化为220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合1212,22a a x x x x =+=，代入化简式子，将问题转化()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，利用导数即可求解.【小问1详解】()222a x ax a f x x a x x-+'=-+=,()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()0f x '=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，所以220x ax a -+=在()0,∞+上有两个实数根1x ，2x ，则21212Δ800202a a a x x a x x ⎧⎪=->⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩解得8a >，故a 的取值范围为8a >，【小问2详解】由（1）知1212,22a a x x x x =+=，且8a >，()()2212111222121224242424ln ln f x f x x ax a x x ax a x x x x x +++=-++-+++()()()2121212121212242ln x x x x x x a x x a x x x x =++--+++22ln 24ln 2442242a a a a a a a a a a =--++=--++，令()2ln 24(8)42a a g a a a a =--++>，()ln 22a a g a '=-+，令()()()112ln ,02222a a a h a g a h a a a-''==-+=-+=<在8a >上恒成立，为所以()()ln 22a a h a g a '==-+在8a >单调递减，故()()ln 84ln 4022a a g a g ''=-+<=-+<，因此()g a 在8a >单调递减，故()()81688ln 42416ln 2g a g <=--++=，故()2ln 2416ln 242a a g a a a =--++<，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21. 设函数()sin xf x e a x b =++.（Ⅰ）当1a =，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（Ⅱ）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程()2m x f x x -=恰有两解，求实数m 的取值范围.【答案】（I ）1b ≥-（II ）10m e -<<【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到0a =，2b =-，方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =有两解，令()x g x xe =，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m ，和()x g x xe =有两个交点即可.解析：由()sin xf x e a x b =++，当1a =时，得()cos xf x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >.所以()cos 0xf x e x =+>'，即()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-.（2）由()sin xf x e a x b =++得()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上.所以0110b ---=.所以2b =-.所以()2xf x e =-.即方程22x m x e x --=有两解，可得22x xe x m x -=-，所以x xe m =.令()x g x xe =，则()()1x g x e x '=+，当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，所以()g x 在(),1-∞-上是减函数.当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,-+∞上是减函数.所以()()min 11g x g e=-=-.又当x →-∞时，()0g x →；且有()10g e =>.数形结合易知：10m e-<<.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22. 已知函数()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；（2）当()π,0-时，()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）π12k ≤+【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，判断导数在()ππ,2-的取值范围，从而证明()f x 的单调性；（2）由题意可得1cos sin x x k x --≤，分离参数得到 1cos sin x x k x --≤，求出1cos ()sin x x g x x--=导数，判断其单调区间，找出最小值即可.小问1详解】()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2cos e x x f x x -'=+，由()π,0x ∈-，有22x -≥，11e x >，则22e x x ->，又1cos 1x -≤≤，则()2cos 120e x x f x x -'=+>-+>.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x ≥，20x ->，所以()2cos 0e xx f x x -'=+> 所以当()ππ,2-时，()0f x ¢>，综上，()f x 在()ππ,2-上单调递增.【小问2详解】()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤.化简得1cos sin x x k x --≤.当()π,0x ∈-时，sin 0x <，所以1cos sin x x k x --≤，设()1cos sin x x g x x--=，()()()221sin sin cos 1cos sin 1cos cos sin sin x x x x x x x x x g x x x +-+='--+-=设()sin 1cos cos h x x x x x =+-+，()()cos cos sin sin 1sin h x x x x x x x x =-+-=-'.()π,0x ∈- ，10x ∴-<，sin 0x <，()0h x '∴>()h x ∴在()π,0-上单调递增，又由π02h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h x <，()0g x '<，()g x ∴在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x ∴>，()0g x '>，()g x ∴在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min π1ππ21212g x g --⎛⎫=-==+ ⎪-⎝⎭，【故π12k ≤+.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若()g x k ≥恒成立，即()min g x k ≥；在定义域内，若()g x k ≤恒成立，即()max g x k ≤.。