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破产论研究综述作者：成世学作者单位：中国人民大学信息学院,北京,100872,中国刊名：数学进展英文刊名：ADVANCES IN MATHEMATICS年，卷(期)：2002,31(5)被引用次数：112次1.Cramér H On some questions connected with mathematical risk 19542.Cramér H Half a century with probability theory:some personal recollection 19763.Cramér H Collective Risk Theory 19554.Shiu E S W The probability of eventual ruin in the compound binomial model[外文期刊] 19895.Dufresne F;Gerber H U Three methods to calculate probability of ruin[外文期刊]6.Dubourdieu J Theorie Mathematique du Risque dans les Assurances de Repartition 19527.Beekman J A Two Stochastic Processes 19748.Dufresne F;Gerber H U The surpluses immediately before and at ruin, and the amount of the claim causing ruin 19889.GerberHU;Goovaerts M J;Kass R On the probability and severity of ruin 198710.Cheng shixue;Gerber H U;Shiu E S W Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model 200011.GerberHU;Shiu E S W The joint distribution of the time of ruin, the surplus immediately before ruin,and the deficit at ruin[外文期刊] 199712.Mansion D P The current state of actuarial science[外文期刊] 199613.Embrechts P Risk theory of the second and third kind 199514.Biihlmann H Actuaries of the third kind 198715.Bühlmann H Mathematical Methods in Risk Theory 197016.GerberHU;Shiu E S W Option Pricing in Continuous Time 199817.GerberHU;Shiu E S W From ruin theory to pricing reset guarantees and perpetual put options 199918.GerberHU;Shiu E S W Pricing perpetual options for jump processes 1998(02)19.GerberHU Martingale in risk theory 197320.严颖;成世学程侃运筹学随机模型 199521.Feller W An Introduction to Probability Theory and its Application 197122.Cramér H Mathematical Methods of Statistics. 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阈红利策略下复合Poisson风险模型的绝对破产的开题报告题目：阈红利策略下复合Poisson风险模型的绝对破产研究背景和意义：金融风险管理是一个重要的研究领域，越来越受到学者和从业人员的关注。
以传统的金融风险管理模型为例，如Black-Scholes模型，它在模拟股票等金融工具的变动时并不适用于复合风险模型。
因此，在复合风险模型中研究金融风险的核心问题是如何解决这种不确定性。
阈红利策略是一种经常被用于控制金融风险的策略，它根据设定的门槛值来进行投资决策。
相对于其他策略，阈红利策略能够更好地控制风险。
因此，在复合Poisson风险模型中研究阈红利策略具有重要的理论和实践意义。
研究内容和方法：本研究将结合复合Poisson风险模型及阈红利策略，探讨在阈红利策略下复合Poisson风险模型的绝对破产问题。
具体来说，我们的研究将分为以下几个方面：1.复合Poisson风险模型的基本原理和参数估计方法。
2.阈红利策略的实现原理及其在金融风险管理中的应用。
3.针对阈红利策略下的复合Poisson风险模型，进行分析和建模。
4.分析研究得出阈红利策略下复合Poisson风险模型的绝对破产的概率，并对其进行仿真实验验证。
研究预期结果：本研究将在阈红利策略下复合Poisson风险模型的研究中提供新的思路和方法，能够更好地控制风险并降低绝对破产的概率。
通过对实际金融市场情况的仿真实验，我们将得到质量更高的风险管理策略，为实践提供有价值的参考。
参考文献：[1] Cui, Z., & Hu, Y. (2018). Optimal dividend and capital injection problem with a threshold strategy in a dual risk model. Insurance: Mathematics and Economics, 82, 35-50.[2] Grandell, J. (1997). Mixed Poisson processes. New York: Chapman and Hall.[3] Li, B., Li, D., & Wang, R. (2018). A note on the optimal dividend problem with regime switching and a threshold strategy. Insurance: Mathematics and Economics, 82, 1-11.。
带干扰的两类理赔更新风险模型的Gerber-Shiu函数王杰;程建华【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)005【摘要】考虑一类带干扰的两类理赔更新风险模型,假设两类理赔的到来过程都是以时间间隔为Phase分布的更新过程,得到了Gerber-Shiu函数满足的积分微分方程及其解析解,并且当两类理赔额的密度函数均属于有理分布族时,给出了一些具体表达式.%We considered a perturbed renewal risk model with two classes of claims, for which both the two claim number processes are renewal processes with Phase inter-claim time. We derived the integro-differential equations of the Gerber-Shiu functions and obtained the analytical solutions, and when the densities of the two classes of claims belong to rational family, we got some explicit expressions. Finally, we gave a numerical example to illustrate theses results.【总页数】7页(P917-923)【作者】王杰;程建华【作者单位】吉林师范大学课程与教学论研究所,吉林四平136000;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O211.9【相关文献】1.双理赔风险模型的Gerber-Shiu罚金函数 [J], 潘洁;郭祥鹏2.带红利的两类索赔风险模型的Gerber-Shiu函数 [J], 范庆祝;尹传存3.具有常数红利界限的带干扰Erlang(2)风险模型的Gerber-Shiu折扣罚金函数[J], 万高成;谢华;刘庆;李成娇4.常利率带干扰的两类相关理赔风险模型 [J], 贺小丽;余国胜;姚钲;姚春临;陈华斌5.带干扰的带利率Erlang（2）风险模型的Gerber-Shiu函数 [J], 闫海肖;吕玉华因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
红利边界下两类索赔相关风险模型的Gerber-Shiu函数张燕;毛磊;寇冰煜【摘要】The Gerber-Shiu expected discounted penalty functions for a risk model with two dependent classes of insurance business is considered in the presence of a constant dividend barrier. Claim occurrence of both classes relate to Poisson and generalized Erlang(2) processes. Integro-differential equations with boundary conditions for the Gerber-Shiu expected discounted penalty functions and the explicit expression of the Gerber-Shiu expected discounted penalty functions are derived.%考虑具有常数红利边界的两类索赔相关风险模型的Gerber - Shiu函数.两类索赔计数过程分别为独立的Poisson过程和广义Erlang(2)过程.得到了Gerber - Shiu函数满足的积分-微分方程及边界条件,并给出了Gerber - Shiu函数的解析表达式.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2011(000)022【总页数】5页(P5361-5364,5367)【关键词】Poisson过程;广义Erlang(2)过程;Gerber-Shiu函数;红利边界【作者】张燕;毛磊;寇冰煜【作者单位】解放军理工大学理学院数理系,南京211101;解放军理工大学理学院数理系,南京211101;解放军理工大学理学院数理系,南京211101【正文语种】中文【中图分类】F840.4由于保险公司经营规模的不断扩大，若用单一险种的风险模型来描述其风险经营具有一定的局限性。
第36卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版)V ol. 36 No. 3 2023年9月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Sep. 2023带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型中的Gerber-Shiu函数魏世鸿, 江五元(湖南理工学院数学学院, 湖南岳阳 414006)摘要:构建一类带扰动的具有多层红利策略的马尔可夫调制风险模型, 其中索赔发生次数和索赔金额由外部离散时间马尔可夫链调节, 得到Gerber-Shiu函数满足的带边界条件的积分-微分方程, 利用拉普拉斯变换, 对方程进行求解. 假设索赔数量分布属于有理族时, 给出Gerber-Shiu函数的显式表达式.关键词:Gerber-Shiu函数; 多阈值红利策略; 马尔可夫调制风险模型; 积分-微分方程中图分类号: O211.6 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2023)03-0001-07 Gerber-Shiu Function for Markov-dependent Risk Model with Diffusion Under the Multi-layer Dividend StrategyWEI Shihong, JIANG Wuyuan(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China) Abstract: In this paper, we proposed a Markov-modulated risk model with a perturbed multi-layer dividend policy, in which the occurrence of claims and the amount of claims are adjusted by an external discrete-time Markov chain. Given the initial state conditions, we obtained the integro-differential equations for the Gerber-Shiu function. By using the Laplace transform, we solved the integro-differential equation, and derived the explicit expressions for the Gerber-Shiu function if the claim amount distributions belong to the rational family.Key words: Gerber-Shiu function; multi-layer dividend strategy; Markov-modulated risk model; integro-differential equation 0 引言在经典保险理论中, 一般假设索赔到达时间间距和索赔数量是相互独立的. 实际上, 这种独立性假设不太符合现实情况. 基于此, 许多学者研究索赔时间间距与索赔数量相互依赖的保险风险模型[1~3]. 在马尔可夫调制风险模型中, 索赔间隔的分布依赖于先前的索赔数量, 该模型由Janssen和Reinhard提出[4]. Albrecher和 Boxma利用Laplace-Stieltjes变换研究马尔可夫调制风险模型中的折现罚函数, 得到Gerber-Shiu函数的闭式解和渐近行为[5]. Cheung和 Landriault推广了文[5]的工作[6]. Liu等将马尔可夫调制风险模型扩展到包含障碍策略的情况[7]. Yang等讨论一个具有恒定利率和重尾分布的马尔可夫调制风险模型, 分析在某些特殊情况下破产概率的渐近行为[8]. 在离散马尔可夫调制风险模型中, Chen等考虑离散马尔可夫调制风险模型的生存概率, 提出计算双状态模型下生存概率的递归方法[9]. Chen等讨论离散马尔可夫调制风险模型的股息问题, 推导出总预期折现股息的表达式[10].在分红策略保险风险模型中, 恒定障碍策略和阈值策略是保险理论中较普遍的两种分红策略. Cheung 和 Landriault考虑障碍分红策略下的扰动马尔可夫到达(MAP)风险模型, 分析折现红利支付的时刻和Gerber-Shiu函数[11]. Cheng和Wang讨论阈值分红策略下的扰动MAP风险模型, 得到Gerber-Shiu函数和总红利支付时刻的解析解[12]. 多阈值分红模式使得保险公司可以根据自身当前资本数量来改变分红或保险费率. 当保险公司希望对其收益保持固定的保留比例, 并向投保人支付红利时, 这种动态保费保单可能更合理. 文[13~15]研究多阈值分红问题. Liu等考虑具有障碍策略的马尔可夫依赖风险模型, 得到当初始收稿日期: 2022-04-23基金项目: 湖南省自科基金项目(2020JJ4329); 湖南省社科基金项目(18YBA198); 湖南省研究生科研创新项目(CX20211200)作者简介:魏世鸿, 男, 硕士研究生. 主要研究方向: 保险精算2湖南理工学院学报(自然科学版) 第36卷盈余为零或所有索赔金额分布均属于有理族时的Gerber-Shiu 函数的解析解[7]. Zhou 等讨论具有多阈值分红策略的马尔可夫依赖风险模型[16]. 文[17]和[18]研究扩散扰动风险模型.本文在多阈值分红策略的马尔可夫依赖风险模型中引入扩散干扰, 得到Gerber-Shiu 函数所满足的积分-微分方程, 并对方程进行求解.1 风险模型构建本文考虑多阈值带干扰的马尔可夫调制风险模型, 其盈余过程为()1()(())()(())()().N t i i U t u c U t t X B t u c U t t S t B t σσ==+-+=+-+∑ (1)其中0u ≥是初始盈余; (())c U t 是t 时刻的保费率, 而()c x 是一个确定的正函数; ()B t 为标准布朗运动,σ为扰动系数; ()N t 表示到时间t 的索赔次数, 12()max{|}k N t k W W W t =+++< , i W 表示第1i -次到第i 次索赔之间的间隔时间.在多阈值风险模型下, 设0120n b b b b =<<<<=∞ , 则1(()),()i i i c U t c b U t b -=<≤,因此有1d ()d d ()d (),().i i i U t c t S t B t b U t b σ-=-+<≤ (2)类似文[5], 定义如下的马尔可夫调制的风险模型结构:111(,,|,(,,),0)l l l l r r r P W x X y Z j Z i W X Z r l +++===≤≤≤≤1110(,,|)(1e )().i x ij j P W x X y Z j Z i F y λα-===-≤≤ (3)其中{,0}l Z l ≥是离散时间马尔可夫链.{1,2,3,,}E m = 和()ij m m α⨯Λ=是关于l Z 的状态空间和转移矩阵. 在每一次索赔到达时刻, 马尔可夫链跳转到一个状态j , 并且该索赔分布j F 取决于新的状态j , 与下一次到达时间的时间间隔服从参数为j λ的指数分布. 在给定状态1l Z -和l Z 时, l W 和l X 是相互独立的, 但索赔数量和连续索赔时间之间存在自相关, 即l W 和l X 之间存在自相关. 设在状态k 时索赔数量的j 阶矩为()j k μ,(1)k k μμ=, 为满足在每一层阈值下的收入为正, 假设111mmk k i k k k k c πμπλ-==<∑∑, 其中12{,,,}m ππππ= 是过程{}n Z 的平稳分布.定义inf {0:()0}T t U t =≥≤为破产时间, 0(|(0),)P T U u Z i <∞==为破产概率, 其中0(,()0|(0),)P T U t U u z i <∞<==是由索赔引起的破产概率, 0(,()0|(0),)P T U t U u z i <∞===是由干扰引起的破产概率.令,0()[e (,()0)|(0),]T i d L u E I T U t U u Z i δ-=<∞===为由干扰引起的破产时间T 的Laplace 变换. 定义(,),,0x y x y ω≥是非负的惩罚函数, 则,0()[e ((),|()|)(,()0)|(0),]T i s L u E U T U T I T U t U u Z i δω--=<∞<== (4)为由索赔引起破产的期望折现罚(Gerber-Shiu)函数. 设(0,0)1ω=, 则,,()()()i i s i d L u L u L u =+,这里()i L u 表示总的Gerber-Shiu 函数.在下文第3、4节中只考虑由索赔引起的破产, 所以其中的()i L u 就表示,()i s L u .2 积分微分方程令1,2,,()((),(),,())T s s s m s u L u L u L u = L , 1,2,,()((),(),,())T d d d m d u L u L u L u = L , 其中T 表示矩阵的转置. 定理1 对于初始盈余u , 若()c u 在u 处是连续的, 则()s u L 和()d u L 满足积分微分方程:第3期魏世鸿, 等: 带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型中的Gerber-Shiu 函数 320()()()()()()d ()0,0,2u s s s s u c u u u y u y y u u σ'''+++-+=⎰≥L L PL G L ξ (5) 20()()()()()()d 0,0.2u d d d d u c u u u y u y y u σ'''+++-=⎰≥L L PL G L (6)其中12diag (,,,)m λδλδλδ=-+++ P ,1122()()(),()m m f y f y y f y λλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=Λ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭G 二者都为m m ⨯矩阵, 而()(,)()d u u u u y y y ξω∞=-⎰G I , (1,1,,1)T Ι= 为1m ⨯矩阵.证明 给定0z i =, 考虑时间间隔(0,d )t , 有((d ))d (d )d ,,01()d e (((d ))d (d ))d ()mu c U t t B t t i s i ij i s j j L u t L u c U t t B t y F y σδλασ++-==++-+∑⎰d ((d ))d (d )1d e (((d ))d (d ),((d ))d (d ))d ()mt i ij j u c U t t B t j t u c U t t B t y u c U t t B t F y δσλαωσσ∞-++=++---+∑⎰d ,(1d )e (((d ))d (d ))(d ).t i i s t L u c U t t B t t δλσο--+++ (7)因为()U t 在除有限点外是递增且可微的, 令(d )s U t =, 则有d ()d s c s t =, 又(0)U u =, 所以1d [()]d su t c y y -=⎰. 代入式(7), 得1((d ))d (d )1()d ,,01()()d e (d (d ))d ()mu c U t t B t cs si s i ij i s j j L u c s s L u s B t y F y σδλασ-++--==++-+∑⎰11()d ((d ))d (d )1()d e (d (d ),d (d ))d ()mcs si ij j u c U t t B t j c s s u s B t y u s B t F y δσλαωσσ-∞--++=++---+∑⎰1d ,(1()d )e (d (d ))(d ).t i i s c s s L u s B t t δλσο---+++ (8)由Itó公式, 有2,,,,(d (d ))()()d ()d (d ).2i s i s i s i s L u s B t L u L u s L u t s σσο'''++=+++ 将上式代入式(8), 得2,,,()()()()()2i s i s i i sL u c u L u L u σλδ'''+-++,01[()d ()(,)d ()]0.mui ij j s j j uj L u y F y u u y F y λαω∞=-+-=∑⎰⎰ (9)用矩阵形式表示可得式(5), 同理可得式(6).下面考虑由索赔引起的破产情况. 首先由定理1, 可得210()()()()()d ()0,.2u s i s s s i i u c u u y u y y u b u b σ-'''+++-+=<⎰≤L L PL G L ξ (10)由式(7)可知, ()s u L 在u 处总是连续的, 但在各层的阈值点是不可微的, 所以有lim ()lim (),1,2,,.i is s u b u b u u i n -+→→== L L (11)注1 当1n =时, 表示保险公司不会向股东支付红利. 此时为文[5]所研究风险模型带干扰项的情形.4湖南理工学院学报(自然科学版) 第36卷注2 当1m =时, 相当于将马尔可夫调制风险模型(2)简化为经典的具有多层阈值带干扰的复合poisson 风险模型, 若再令0σ=, 则与文[5]考虑的模型相同.注3 令0σ=, 假设从状态1开始, 0100001000011000⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Λ, 且索赔只发生在状态1, 则风险模型(2)即为多层阈值下具有广义Erlang(m )索赔时间的风险模型.3 积分微分方程的解首先放宽式(10)中的条件1i i b u b -<≤为1i b u -≤, 设(,)u i L 为下面非齐次积分微分方程的解,120(,)(,)(,)()(,)d 2i u b i u i c u i u i y u y i y σ--'''+++-+⎰L L PL G L11()(,)d ()0,.i ui u b y u y i y u b u ----+=⎰≤G L ξ (12)由微分方程的一般理论, 有11(,)(,)(),.mij ij i j L u b L u i k v u b u -==+∑≤ (13)其中ij k 是常系数, ij v 是相关齐次积分-微分方程的m 个线性无关的解. 于是1210()()()()()d 0,.2i u b i i i i i i u c u u y u y y b u σ---'''+++-=⎰≤v v Pv G v (14)且()((,1),(,2),,(,)),1,2,,;1,2,,.Tij ij ij ij u v u v u v u m i n j m === v令1i x u b -=-, 1()()(,)i i i x u b u i -=-=ΓΓL , 则式(12)可写为20()()()()()d ()0,0.2x i i i i i i x c x x y x y y x y σ'''+++-+=⎰≥ΓΓP ΓG ΓH (15)其中110()()()d ()i b i i x x b y y y x b ξ--=+-++⎰H G L .记00()e ()d ,()e ()d sx sx i i i i s x x s x x ∞∞--==⎰⎰ ΓΓH H , 对式(15)两边取拉普拉斯变换, 得 222[()]()()(0)().22i i i is c s s s s c s σσ+++=+- I I P G ΓΓH 令22()()()2i i s s c s s σ=+++ A I P G, 则有 12()0000()00()()0000()000i i i im a s a s s s a s ⎛⎫ ⎪⎪⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A G , 其中22()2ij i j a s s c s σδλ=+--.当det[()]0i s ≠A 时, 有2()()[()(0)()]det [()]2i ii i ii s s s c s s σ*=+- A ΓΓH A . (16) 其中()i s *A 是()i s A 的伴随矩阵.第3期魏世鸿, 等: 带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型中的Gerber-Shiu 函数 5定理2 若,,0,1,2,,j j m δσλ>= , 则方程det[()]0,,1,2,,,i s s C i n =∈= A在复平面的右半平面有m 个根.证明 设O 表示复平面上圆心在(,0)δλ+, 半径为δλ+的圆, 其中max ,1,2,,j j m λλ== .对于任意的,1,2,,k c k n = , 设222k k z s c s σ=+, 其中s 的实部大于0,则有s =.设22(,)()(),012i k s s c s s σμμμ=+++ ≤≤A I P G. 当01,z O μ∈≤≤时, 有 22|()||||()|2k i i ii i i i ii i s c s f s z f s σδλμλαδλμλα+--+--- ≥≥ 1,1,(0)(1(0))(0)|()|mmi i ii i i ii i iij j iijjj j ij j if f f f s δλμλαμλαμλαμλα=≠=≠+->-=∑∑ ≥. 即(,)i s μA 为严格对角占优矩阵, 故det[(,)]0i s μ≠A .设()g μ表示det[(,)]0i s μ=A 当z 在圆O 内部时的根的个数, 显然此时s 的实部大于0, 由柯西辐角原理, 有d det[(,)]1d ()d .2det[(,)]iOi s s g s is μμμ=π⎰A A 易知()g μ在[0,1]上连续, 又因为它为整数, 所以()g μ是一个常数. 当z O ∈时, 222k s c s σδ+--0j λ=对每个j 都有一个正根,为s =, 所以det[(,0)]0i s =A 有m 个正根, 即(0)g m =, 从而(1)g m =, 因此det[()]0i s =A 在复平面的右半平面有m 个正根.下面设定理2中的m 个正根,1,2,,,,i i i m ρρρ 是不同的, 定义差分形式:111()()[,],i i is r r s s r ***-=-A A A112122[,][,][,,],i i i r s r r r r s s r ***-=- A A A对于不同的,1,2,,,,i i i m ρρρ , 易知式(16)中的分子为0, 所以2,,,,()()(0)()()2i j i i i j i i i j i i jc σρρρρ**+= A ΓA H , 从而2,1,2,1,2,1,1,2,1,2,2()[,](0)()[,][,]().22i i i i i i i i i i i i i i i i i c ρρσρρρρρρρρ***+⋅+=+ A ΓA H A H 经过重复迭代, 有2,1,1,2,,1,2,,,1,1()[,,,](0)[,,,][,,,].2mi jmj i ii i i m i i i i i j i i j i j i mj c mσρρρρρρρρρρ=**+=+=∑∑ A ΓA H 因此, 1(,)i L b i -可表示为1,1,2,,,1,21,1,1,2,1(,)[,,,][,,,].()[,,,]2mi i i i i j i i j i j i mmj i jj i i i i i m L b i c mρρρρρρσρρρρ*-+==*=+∑∑ A H A (17)利用Song 等[19]的方法, 可得6湖南理工学院学报(自然科学版) 第36卷2,,11,1,2,()()[,,,,][()(0)()]det[()]2mmi ji jj j iii i i m i i ii s s s c s s mρσρρρρ==*-=+--∏∑ ΓA ΓH A ,1,2,,,1,1[,,,][,,,,]}m ii i i j i i j i j i mj s ρρρρρρ*+=∑ A H . (18) 接下来, 考虑齐次积分-微分方程的解, 齐次方程(14)的解是由初始条件唯一确定的. 现给定初始条件1(,)()ij i v b k I k j -==,1,2,,i n = , ,1,2,,j k m = . 令1i y u b -=-,1()()(),1,2,,i i i i y u b u i n -=-== ΨΨv ,则方程(14)可变为120()()()()()d 0,02i u b iiiii y c y y x y x x y σ--'''+++-=⎰≥ΨΨP ΨG Ψ.由拉普拉斯变换可得222[()]()()(0)22i i i i s c s s s s c σσ+++=+ I I P G ΨΨ, 故22()()(0),,det[()]iii i i s cs s s C s σ*+=∈ ΨA ΨA (19) 所以有212()()(0)det[()]i i i i i s c y s s σ-*⎧⎫+⎪⎪=∆⎨⎬⎪⎪⎩⎭ΨA ΨA .其中1-∆为拉普拉斯逆变换, 1(0)()i i i b -=Ψv .4 索赔分布为有理函数族时Gerber-Shiu 函数的显式解下面考虑索赔分布为有理函数族的情况, 即其密度函数的拉普拉斯变换为1()(),()i ii r ii ir q s f s r q s -+=∈ .其中1()i i r q s -为1i r -次多项式, ()i i r q s 为i r 次多项式, 它们的首项系数都为1, 1(0)(0)i i i i r r q q -=, 且()0i ir q s =的根的实部都为负, 记1mi i r r ==∑. 易知, 该分布包括了Erlang 、Coxian 相型分布以及它们的混合分布.定理3 当索赔数量分布属于有理函数族时, 方程(14)的解为,11()()111()ee,,1,2,,.i j i ij i mru b R u b i ij ij i j j u u b i n ρ-----===+=∑∑ ≥v G Q (20)其中1,,122,,,112[()]()(0)[()][()]k mm k r i j i i j i k ij rmm ik i j i l i j k l l jq R ρρσρρρ-*=-==≠=+-∏∏∏A ΨG ,1122,,112[()]()(0)[()][()]k mm k r ij i ij i k ij rmm ij i k i l ij k l l jq R R R R σρρ-*=-==≠--=+-∏∏∏A ΨQ .第3期魏世鸿, 等: 带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型中的Gerber-Shiu 函数 7定理4 若索赔金额分布属于有理函数族, 则方程(12)的解可表示为112()()1212(,){()(,)e e.2ij i ij i rmR u b R u b ij i mj u i b i σσ-------==-∑L B L,1,1,2,11[()(1)[,,,]()()]}i j mmm lij i i ij ii i i l i i l j lu b T u b ρρρρ-*--==-----∑∏ B H D A H,,1,2,11212(1)[,,,]()(),i l mrmm jii i i j i i i mj l jT u b u b ρρρρσ-*--==--∑∏ ≥A H . (21)其中,1,2,11[()][,,,,],()k mk r ij i i i i m ij k ij rilij l l jq R R RR ρρρ*==≠--=-∏∏ A B11()()kmk r ij k ij r ilij l l jqR RR ==≠-=-∏∏D .定理3、4的详细证明可以用类似Zhou 等[17]的方法得到.5 结束语本文在多阈值马尔可夫调制风险模型的基础上, 研究了带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型下的Gerber-Shiu 函数, 推导了Gerber-Shiu 函数在该模型下所满足的积分-微分方程, 并证明了在带扰动情况下的伦德伯格方程仍有m 个解, 并以此对积分-微分方程进行求解.参考文献:[1] Meng Q, Zhang X, Guo J. On a risk model with dependence between claim sizes and claim intervals[J]. Statistics and Probability Letters, 2008, 78: 1727–1734.[2] Zhang Z, Yang H, Yang H. On a Sparre Andersen risk model with time-dependent claim sizes and jump-diffusion perturbation[J]. Methodology andComputing in Applied Probability, 2012, 14: 973–995.[3] Zou W, Gao JW, Xie J H. On the expected discounted penalty function and optimal dividend strategy for a risk model with random incomes and interclaim-dependent claim sizes [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, 255: 270–281.[4] Janssen J, Reinhard J M. 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