角平分线的判定定理

5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它是指在一个三角形中，如果一条直线从一个角平分另一个角，那么这条直线所在的线段将把对边分成两个相等的线段。

这个定理的主要内容包括以下几个方面：一、定理的表述三角形角平分线的定理可以用以下的方式表述：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。

其中，AB、AC、BD、CD分别表示三角形ABC中的边和角平分线。

二、定理的证明三角形角平分线的定理的证明可以通过以下的方式进行：1. 假设BD是角B的平分线，那么∠ABD=∠CBD。

2. 由于∠ABD=∠CBD，所以三角形ABD与三角形CBD是全等的。

3. 因此，AB/BD=CB/BD，即AB/CB=BD/CD。

4. 所以，AB/AC=AB/(AB+CB)=BD/(BD+CD)=BD/CD。

5. 因此，BD是角B的平分线，那么AB/AC=BD/CD。

三、定理的应用三角形角平分线的定理在初中数学中有很多应用，其中最常见的应用包括以下几个方面：1. 求角平分线所在的线段长度如果已知一个三角形中的两个边和一个角的大小，可以通过三角函数求出第三条边的长度，然后再利用角平分线的定理求出角平分线所在的线段长度。

2. 求角平分线所在的点的坐标如果已知一个三角形中的三个顶点的坐标，可以通过向量的方法求出角平分线所在的点的坐标。

3. 判断角平分线是否在三角形内部如果一个三角形中的一个角的平分线不在三角形内部，那么这个三角形就不是一个普通的三角形，而是一个退化的三角形。

四、总结三角形角平分线的定理是初中数学中的一个重要定理，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。

在学习这个定理的过程中，我们需要掌握定理的表述、证明和应用，以便在实际问题中灵活运用。

等边三角形角平分线定理定理：等边三角形中, 三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。

证明：1. 假设三角形ABC是一个等边三角形，三个角的测量都是60度。

2. 连接三角形的顶点A与底边BC的中点D，同时也连接角A的平分线AE。

同样，连接B与平分线CF, C与平分线BG.3. 由于等边三角形中，三个角的测量都是60度，所以可以得到角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度。

4. 同样由于等边三角形中，AB=BC=AC，可以得到三角形ABD与三角形ACD 是相等的，即AB=AC，角DAB=角DAC=30度。

5. 这意味着线段AD是三角形ABC的一个角平分线。

同样由于线段BE和CF 也分别是角B和角C的平分线，我们可以得到三角形ABC中的三条角平分线。

6. 接下来，我们要证明这三条角平分线会交于同一个点。

假设它们交于点O。

7. 由于角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度，所以可以得到角BOC=120度。

8. 同时，由于线段AD是角A的平分线，所以可以得到角BAD=angleCAD=30度。

9. 又因为AB=AC，所以可以得到三角形ABO与三角形ACO是相等的，即AB=AC, AO=AO, 和角BAO=角CAO=30度。

10. 因此，三角形ABO与ACO是相等且全等的，从而可以得到BO=CO，即点O位于线段BC的中垂线上。

11. 可以类似地证明点O也位于线段AB和线段AC的中垂线上，所以它是三角形ABC的重心。

12. 另一方面，由于三角形ABC是等边三角形，所以利用此前已经证明过的结论，点O也是三角形ABC的垂心、外心和内心的交点。

综上所述，等边三角形中，三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。

初二数学角平分线定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

在数学中，角平分线是一个重要的概念，它在几何学和三角学中都有广泛的应用。

本文将介绍角平分线的定义、性质以及一些相关的定理和例题。

一、角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的直线。

也可以说，角平分线把一个角分成两个度数相等的小角。

二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 角平分线将角分成两个度数相等的小角；3. 角平分线将角的两边分成相等的线段；4. 角平分线与角的两边垂直；5. 角平分线与角的两边的夹角相等。

三、角平分线的定理1. 角平分线定理：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的点到角的两边的距离相等。

证明：设角AOC为被平分的角，OD为角平分线，OD与OA、OC交于点B、E。

由角平分线的定义可知，∠BOD=∠DOE，∠BOA=∠COE。

因此，三角形BOA与三角形COE相似。

根据相似三角形的性质可知，OA/OB=OC/OE。

又因为∠BOA=∠COE，所以三角形BOA与三角形COE全等。

因此，AB=CE，即点B到角的两边的距离等于点E到角的两边的距离。

2. 角平分线的唯一性定理：一个角的平分线只有一条。

证明：设角AOC为被平分的角，OD和OF为两条角平分线，OD与OA、OC交于点B、E，OF与OA、OC交于点C、F。

由角平分线的定义可知，∠BOD=∠DOE，∠COF=∠FOE。

又因为∠BOD=∠COF，∠DOE=∠FOE，所以三角形BOA与三角形COF全等，三角形COE与三角形DOF全等。

因此，AB=CF，CE=DF。

由于AB=CF，CE=DF，所以线段BE与线段DF 重合。

因此，OD与OF重合，即角平分线OD和OF是同一条直线。

四、角平分线的应用角平分线在几何学和三角学中有广泛的应用。

例如，在三角形中，如果一条角平分线与对边相交，那么它将对边平分成两个相等的线段。

此外，角平分线还可以用于解决一些角度相等的问题，如证明两条线段相等、两条直线平行等。

角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。

三角形的平分线的判定
一、角平分线的定义
1. 定义内容
- 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。

例如，在∠AOB中，若射线OC使得∠AOC = ∠BOC，则OC是∠AOB的平分线。

二、角平分线的判定定理（基于三角形内角平分线）
1. 文字表述
- 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2. 图形示例与证明
- 已知：点P在∠AOB内，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE。

- 求证：OP是∠AOB的平分线。

- 证明：
- 在Rt△OPD和Rt△OPE中，
- 因为PD = PE（已知），OP = OP（公共边）。

- 根据直角三角形全等判定定理HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得Rt△OPD≌Rt△OPE。

- 所以∠DOP=∠EOP，即OP是∠AOB的平分线。

3. 在三角形中的应用
- 在△ABC中，设∠BAC的平分线为AD。

若点D到AB、AC边的距离分别为DE和DF（即DE⊥AB于E，DF⊥AC于F），且DE = DF，那么AD就是∠BAC的平分线。

这一判定定理在证明三角形角平分线相关问题时非常有用，比如证明三条角平分线交于一点（内心）等问题。

可以先证明两条角平分线相交于一点，然后利用角平分线的判定定理证明这个交点到三角形三边的距离相等，从而得出这个交点在第三条角平分线上。

三角形内角平分线定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。

定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。

定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。

证明角平分线判定方法从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

下面我给大家带来证明角平分线判定（方法），盼望能关心到大家!证明角平分线判定方法角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

因此依据直线公理。

证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：OP=OP，PD=PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)∴∠1=∠2∴ OC平分∠AOB方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3.作射线OP。

射线OP即为所求。

证明：连接PM,PN在△POM和△PON中∵OM=ON,PM=PN,PO=PO∴△POM≌△PON(SSS)∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有许多种。

方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;2.连接CN与DM，相交于P;3.作射线OP。

射线OP即为所求。

证明角平分线判定定理1.在角的内部，假如一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就是这个角的平分线。

2.在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3.两个角有一条公共边，且相等。

定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：假如三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

证明角平分线判定性质在三角形中的性质。

1.三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。

角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.
注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).
定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，。

锐角平分线的三个定理
锐角平分线的三个定理介绍如下：
1. 角平分线定理
* 定义: 若一个角的平分线与一个直线相交，则相对的两个交点到这个角的两边的距离相等。

* 证明: 通过角的平分线上的任意一点，向角的两边作垂线，由于角的平分线性质，这两个垂线长度相等。

再根据点到直线的距离定义，可证该定理。

* 应用: 在几何证明和构造中，角平分线定理常被用来确定与角平分线相关的线段长度。

2. 锐角定理
* 定义: 锐角平分线与该角的对边所形成的夹角小于90°。

* 证明: 设锐角为α，其平分线与对边形成的角为β。

由于α是锐角，所以0°< α< 90°。

根据角的平分线性质，α/2 < β< 90°。

* 应用: 在解决几何问题时，锐角定理可以用来判断角平分线与对边形成的角度的大小。

3. 余弦定理
* 定义: 在任意三角形ABC中，若AD是角BAC的平分线，则有AB²=BD×BC+BD²-CD²。

* 证明: 根据角平分线的性质，得到AD²=BD×BC+CD×AC，然后通过余弦定理和已知条件可证明上述结论。

* 应用: 余弦定理常被用来确定角平分线上的点到三角形的两边距离的关系。

总结：锐角平分线的三个定理在几何学中具有重要地位，它们在解决与角平分线相关的几何问题时非常有用。

深入理解和掌握这些定理对于提高几何解题能力至关重要。