(完整版)角平分线的性质定理和判定(经典).doc

角平分线四大模型模型一：这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。

如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。

容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。

注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。

甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。

例题1：AF 是△ABC 的角平分线。

P 是AF 上任意一点。

过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。

证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。

拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__E模型二：这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。

这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。

这个模型还可以得到P 是AB 中点。

注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。

并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。

如图中的PB 。

例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。

求证：DH=1/2（AB-AC ）提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。

模型三：这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。

容易证得△APO ≌△BPO 。

注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。

添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截取OB ，使得AP=BP 。

从而构造出一个轴对称。

这样的模型一般会出现在截长补短里。

BBN例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_AC+CD=AB __ 模型四：这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。

教学过程一、复习预习角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

二、知识讲解考点1尺规作图画角平分线（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。

（3）、画射线OC。

射线OC即为所求.考点2 角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；考点3 角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .考点4 关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.三、例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。

如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于。

《角平分线》教学设计一、教学背景的分析1、教学内容分析《角平分线》选自鲁教版教材《数学》七年级下册第十章第五节．这一节课既是七年级上册《简单的轴对称图形》第二课时的延续，又是在七年级下册学习了《定义与命题》、《证明的必要性》、《基本事实与定理》以及三角形的有关证明一章中的《全等三角形》和《直角三角形》中的互逆命题、互逆定理、HL定理等基础上进行教学的，教材将这一节的内容分两课时进行，第一课时：探索并证明角平分线的性质定理及判定定理。

具体要求学生能准确地表述命题的条件和结论，能用规范的语言来表达证明过程；会用这两个定理解决简单的问题。

第二课时则是角平分线的性质定理和判定定理在三角形中的应用。

考虑到初二的学生在上学期对角平分线已经有了足够的认知，并且本章教材安排是想让学生进一步体会证明的必要性，发展推理能力，结合我们学校学生的特点，第一课时，来研究角平分线的性质和判定定理；第二课时研究角平分线性质定理和判定定理的应用。

这样的安排，通过类比探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，是想将知识更完整和系统地展现给学生，为第二课时的应用打下牢固的基础。

本节课研究角平线的性质定理和判定定理。

2、教学对象分析初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：探究角平分线性质定理和判定定理的证明，同时为下节定理的灵活运用打好基础．3、教学重点、难点根据教材的内容及作用确定本节课的教学重点为：角的平分线的性质定理和判定定理的证明及应用．难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）（3）对逆定理中的角的内部的条件的准确理解。

教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过思维的引导启发学生，培养思维逻辑的严密性．二、教学目标根据《新课程》对本节课内容的要求，针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：1、能证明角平分线的性质定理2、会用角平分线的性质定理解决简单的问题。

角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上例2.如图，∠例3.如图，已知△面积是多少？例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．（1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．A组一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cmDC EB3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（）A.PM ＞PNB.PM ＝PNC.PM ＜PND.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A下面给出四个结论，其中正确的结论有() ①AD 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B 、C ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5．如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P 垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ． 二、解答题6．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C. 7．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＡＣDMA B N P E 图2BC一．选择题（共3小题）1．（20RR•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）4．（20RR•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．5．（20RR•桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：。