2.2.7直线与椭圆的位置关系(2)

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

直线与椭圆的位置关系例1当m 为何值时，直线l : y=x+m 与椭圆•9x 2+16y 2=144相切、相交、相离？离2、有关弦长问题例2 设直线12y x =-与椭圆2242x y +=相交于 点A B 、，求弦AB 的长注意：直线与二次曲线相交弦长的求法（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式: 弦长公式：=|||A B AB x x =-但有关圆的弦长一般运用垂径定理！特殊的弦—通径：经过椭圆的焦点且垂直于椭圆长轴的弦 222=b AB a《成才》课后强化训练 （八）133、与弦中点有关的问题例3 椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．2100x y +-=C ．220x y --=D ．280x y +-=【答案】D注意：弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率----点差法4、椭圆中的最值问题《成才之路》P27 例5已知椭圆2288+=x y ，在椭圆上求一点P ，使P 到直线:40-+=l x y 的距离最小，并求出最小值。

分析：即求与:40-+=l x y 平行的椭圆的切线与:40-+=l x y 间的距离课后作业：=1、如果椭圆2212x y +=的弦被点1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，平分，求这弦所在的直线方程。

【答案】2430x y +-=2、（2009汕头）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ……1分 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得……………3分 ∴椭圆方程为12822=+y x ………4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为：…………………5分 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y ………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且……………………10分则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x42,222121-=-++m x x m x x ………………………10分 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.…14分4、综合问题例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，坐标原点O 到直线lAOB ∆面积的最大值。

第二课时 直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，椭圆方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. 设Δ＝b 2－4ac .①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点； ③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点． 2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．直线与椭圆的位置关系[例1] 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离． [类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1，消去y ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， ∴Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)． ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0对任意k ∈R 都成立． ∵m ＞0，∴5k 2≥1－m 恒成立． ∵5k 2≥0，∴1－m ≤0，即m ≥1. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜5， ∴1≤m ＜5，即m 的取值范围为[1,5)．弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆5＋4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B两点，求弦AB 的长．[解] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.|AB |＝x A －x B2＋y A －y B2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝ 1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的解．消去y 得，3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 221＋k 2AB＝1＋k 2AB[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. [类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程得到．[活学活用]椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ， 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＞0，得a 2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.中点弦问题[例3] 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．[解] 法一：由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. ∴x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8， ∴k ＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.法二：设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0. [类题通法]解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a2(x 21－x 22)＋1b2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.[活学活用]已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2. 又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.2.求解直线和椭圆的综合问题[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[解题流程][活学活用](浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k 21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.[随堂即时演练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－42≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝ 1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线与椭圆的交点，中点M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋4x －2＝0.x 0＝x 1＋x 22＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32(负值舍去)．答案：324．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x 2m ＋y23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点， ∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m ＞0， 解得m ＞1或m ＜0.又∵m ＞0且m ≠3，∴m ＞1且m ≠3. 答案：(1,3)∪(3，＋∞)5．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 2]2＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m＞1，∴0＜m＜1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 3．两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b 且b ＞0，则曲线x 2a ＋y 2b＝1的离心率为( )A.105 B.2105 C.25 D.35解析：选A ∵a ＝9＋12＝5，b ＝1×9＝3，∴e ＝25＝105. 4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．0，12C ．0，22 D.22，1 解析：选C ∵MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2， ∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→ |＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA ―→＝3FB ―→，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2. 二、填空题6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎨⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 544＋24＝35.答案：357．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM ―→|＝1，且PM ―→·AM ―→＝0，则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0，∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，∴|AP ―→|min ＝2，∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 38．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析：将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2， CF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)． 答案：63三、解答题 9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3. 所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 相应地y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1， ∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925， 即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0， 解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.。