直觉模糊集理论及应用. 上册(雷英杰[等]著)思维导图
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模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。
“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。
因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。
经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。
如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。
而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。
是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。
这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。
当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。
关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。
至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。
不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。
模糊性来源于事物的变化过程。
处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。
例如“青年人”这个模糊概念。
根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。
因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。
从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。
(第五讲)模糊理论PPT课件
2021/3/12
6
模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
10
模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
13
模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·
模糊数学理论
μ A∩ B = μ A (u ) ∧ μ B (u )
∧
为取极小值运算。
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
16
1.4 集合运算
− 定义2-6 补：模糊集合A的不隶属度函数 μ A ，对所有 的 u ∈ U ，被逐点定义为 μ = 1 − μ A (u )
−
A
例2-3 设论域 U = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 中的两个模糊子集为：
A ∩ ( A ∪ B) = A，A ∪ ( A ∩ B) = A
________
A∩ B = B ∪ A， ∪ B = B ∩ A A
___
___ ________
___
___
（9）、双重否认律 A = A
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
19
1.5
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
称λ为阈值（或置信水平）
•
称Aλ 为A的一个- λ截集，
(2)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一个- λ强截集
A的支集 A的核 KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
1
(λA)(u)= λ ∧A(u)
1 λ 0 λ A(u) U
0
A(u)
U
数积的性质：1 若λ 1 < λ 2 则λ 1 A ⊆ λ 2 A 2 若A < B 则λA ⊆ λB
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
24
1.6
分解定理——模糊集用截集表示：分解定理1
模糊集理论及应用
例 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 } V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K }
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
2.1 模糊集合及模糊关系
精确集合（非此即彼）： A={X|X>6}
精确集合的隶属函数：
1 A 0 如果 X A 如果 X A
模糊集合： 称为论域或域
A {( x, A ( x)) | x X } A ( x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合 A ：
所不同的是模糊在东方天生就受到欢迎。大部分东方人一 接触模糊理论，就感到很自然，好象本来就如此，应该这样处 理。日本采用的则是实用主义的态度，他们只开发那些与直接 应用有关的概念，而对那些 广泛理论的概念至少先放在一边。 1987年日本模糊地铁电力机车自动运输系统投入运行。90年代 模糊家电风靡日本，给日本企业家带来巨大效益。 中国所取得的这个领域的成就是以模糊数学理论为主。我 国模糊理论方面的研究处于世界先进水平，先后出版了几十本 有关模糊理论方面的书籍，每年发表的论文也非常多。相比之 下工程技术应用则相对较弱。目前国内，模糊逻辑控制的应用 研究工作正在蓬勃开展 ，并引起越来越多的人的兴趣。
例题： 设论域X={x1,x2,x3,x4} 以及模糊集合
求：A∪B ， A∩B ， A ， B
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
13
X 6
模糊集合
A ( x) 1
A ( x) [0, 1]
1
6
13
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
隶属函数是一条曲线，定义了怎样将输入 空间（论域）上的每一点映射到一个从0 到1 之间的隶属度。
而用模糊集合来定义，就要用对某一个模糊元素具有0到 1之间连续变化隶属度的特征函数来描述，在模糊逻辑中与 人的感觉一致，小的温度变化只会引起系统性能的逐渐变化， 14.9°C与15°C属于同一个集合的程度是很接近的。在这种 情况下，32°C被认为属于“舒适”的程度是0.3，还同时属 于“热”的程度是0.7。
精确集合的隶属函数：
1 A 0 如果 X A 如果 X A
模糊集合： 称为论域或域
A {( x, A ( x)) | x X } A ( x) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合 A ：
所不同的是模糊在东方天生就受到欢迎。大部分东方人一 接触模糊理论，就感到很自然，好象本来就如此，应该这样处 理。日本采用的则是实用主义的态度，他们只开发那些与直接 应用有关的概念，而对那些 广泛理论的概念至少先放在一边。 1987年日本模糊地铁电力机车自动运输系统投入运行。90年代 模糊家电风靡日本，给日本企业家带来巨大效益。 中国所取得的这个领域的成就是以模糊数学理论为主。我 国模糊理论方面的研究处于世界先进水平，先后出版了几十本 有关模糊理论方面的书籍，每年发表的论文也非常多。相比之 下工程技术应用则相对较弱。目前国内，模糊逻辑控制的应用 研究工作正在蓬勃开展 ，并引起越来越多的人的兴趣。
例题： 设论域X={x1,x2,x3,x4} 以及模糊集合
求：A∪B ， A∩B ， A ， B
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
13
X 6
模糊集合
A ( x) 1
A ( x) [0, 1]
1
6
13
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
隶属函数是一条曲线，定义了怎样将输入 空间（论域）上的每一点映射到一个从0 到1 之间的隶属度。
而用模糊集合来定义，就要用对某一个模糊元素具有0到 1之间连续变化隶属度的特征函数来描述，在模糊逻辑中与 人的感觉一致，小的温度变化只会引起系统性能的逐渐变化， 14.9°C与15°C属于同一个集合的程度是很接近的。在这种 情况下，32°C被认为属于“舒适”的程度是0.3，还同时属 于“热”的程度是0.7。
【干货】学会这8张思维导图,再复杂的知识都能轻松拿下
【干货】学会这8张思维导图,再复杂的知识都能轻松拿下父母在家就能指导孩子，推荐收藏。
投稿邮箱：***************你读书时候是不是有一类学生？他们学习不熬夜，考前不突击，但是门门课成绩都很好，爸妈说这叫“天资过人”。
去年同学会，我重逢那位“天资过人”的老同学，聊起对他的羡慕时他谦虚说：“大家的智商都差不多，可能我学习方法比较好。
”然后他就把当年的笔记给我看，大概是这样的——手绘思维导图示意图（图片来源于网络）后来我知道，这就是“思维导图”（Thinking Map），一种图形思维工具。
在美国新加坡思维导图已经成为小学生的必修课，近几年国内热度也上来了。
思维导图的理论是“可视化思维”（Visible Thinking）。
1967年，哈佛大学教育学院成立“零点计划”，对思维方式进行研究，其中一个明星项目就是“可视化思维”——被可视化的思维更有利于理解和记忆，现在已经是一种比较公认的高效学习方法了。
回过头再想，当年我们学习遇到困难无非就是：没兴趣、记不住、转不了弯。
使用“思维导图”的过程比传统死记硬背要主动且有趣得多，理清思路后又便于记忆，掌握原理后也减少难以融会贯通的问题。
“蓝橡树未来学校”针对1-3年级学生，订制了一个双12“思维导图探究课程礼包”，礼包包含有2节“思维导图课” 4节“社区探究主题课”，另外赠送2节“升学指导家长课”。
学生课程均为全英文外教授课！在2节思维导图课程中，学生将学到8种思维导图，这8张思维导图都是美国小学生最常使用的。
今天橡树君就根据课程内容总结这8种思维导图，如何使用？什么情况下用？一目了然。
（下文可能包含课程关键细节的透露）一、整理思路的利器：圆圈图（Circle Map）•常用指数：五颗星•使用场景：定义一件事情、展开一个主题等Circle Map是用于把一件主题，知识点，事物展开联想，或者描述细节。
它由一大一小两个圆圈构成，小圆圈里放的是你想要展开的主题，大圆圈里放的是和这个主题相关的细节和特征。
第四章计算智能(2)-模糊推理1
模糊计算和模糊推理
经典二值（布尔）逻辑
在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
1
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2
模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
3
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
5
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
42
模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
33
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
经典二值（布尔）逻辑
在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
1
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2
模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
3
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
5
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
42
模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
33
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
直觉模糊集的可能与必要包含度
我们 定义 模 糊 集 Ａ 包 含 于 Ｂ 为 Ａｃ， Ｂ 舒“ （ ） Ｂｚ ， ＾ ｚ ≤ （ ） Ｘ∈Ｘ．
不等 同 于逻 辑否 定 ， 于是 Ａｔｎ ｓｏ ａ ａｓ ｖ于 １ ８ ９０ 年提 出了直觉模 糊 集 ， 于 论 域 Ｕ 上 的任 意 对 ｚ， 出了隶属 函数 （ 和非隶 属 函数 ） 给 ） （ ， 且 满足 （ ） ＋ （ ） １ ７ ） １ ｚ ≤ ， （ 一 一 （ 一 ｒ ） （ ） 示 了犹豫 度 ． ｚ表 作为 模糊集 的推广 ， 觉 直 模糊集 在处理 不完备 与不 确 定信 息方 面更 符
定 义 ２ ２ 设 Ａ， ∈ Ｉ Ｘ） 且 Ａ 一 ． Ｂ Ｆ（ ， ｛ ，Ａ ｚ ，Ａ ） ： ＜ Ｕ （ ） （ ＞Ｘ∈Ｘ） Ｂ一 ｛ ｚ Ｕ （ ） ， （ ，Ｂｚ ，
第３ Ｏ卷第 ４期
２ １ 年 ４月 ０１
数 学教 学 研 究
５ ９
即 １ － ａ 一 （ 口 １ ２ （ ） ３ 一 ） ａ一 ０ ，
为混 合单 调包 含度．
２ 直 觉模 糊 集的可能 与 必要算 子
定 义 ２ ４ 设 Ａ， ． Ｂ∈Ｉ Ｘ） 则 直 觉 模 Ｆ（ ， 糊集 Ａ 包含 Ｂ 的必要 度定义 为 ： （ Ｂ） ＮＪＡ， ＝
Ｄ（ ／ Ａ一 Ｂ ） ．
以前 给出 的直 觉模 糊集 的包 含定义 都 是
分 明的 ， 么包含 要么 不包 含 ， 要 因而 违背 了直 觉模 糊 集 的思 想 和模 糊 逻 辑 的性 质． 通 常 在 的模 糊 集 中， 们 构 建 映 射 Ｄ（ ／ ， 得 我 Ｂ Ａ） 使 Ｄ（ Ａ） Ｂ／ 表示 了模 糊 集 Ａ 包 含 于 Ｂ 的程 度 ．
糊集 上 的包 含 度 扩 展 到直 觉 模 糊 集上 ， 出 给 示 犹豫度 ． 我们 将 Ｘ 上 所有 直 觉模 糊 集 的全
不等 同 于逻 辑否 定 ， 于是 Ａｔｎ ｓｏ ａ ａｓ ｖ于 １ ８ ９０ 年提 出了直觉模 糊 集 ， 于 论 域 Ｕ 上 的任 意 对 ｚ， 出了隶属 函数 （ 和非隶 属 函数 ） 给 ） （ ， 且 满足 （ ） ＋ （ ） １ ７ ） １ ｚ ≤ ， （ 一 一 （ 一 ｒ ） （ ） 示 了犹豫 度 ． ｚ表 作为 模糊集 的推广 ， 觉 直 模糊集 在处理 不完备 与不 确 定信 息方 面更 符
定 义 ２ ２ 设 Ａ， ∈ Ｉ Ｘ） 且 Ａ 一 ． Ｂ Ｆ（ ， ｛ ，Ａ ｚ ，Ａ ） ： ＜ Ｕ （ ） （ ＞Ｘ∈Ｘ） Ｂ一 ｛ ｚ Ｕ （ ） ， （ ，Ｂｚ ，
第３ Ｏ卷第 ４期
２ １ 年 ４月 ０１
数 学教 学 研 究
５ ９
即 １ － ａ 一 （ 口 １ ２ （ ） ３ 一 ） ａ一 ０ ，
为混 合单 调包 含度．
２ 直 觉模 糊 集的可能 与 必要算 子
定 义 ２ ４ 设 Ａ， ． Ｂ∈Ｉ Ｘ） 则 直 觉 模 Ｆ（ ， 糊集 Ａ 包含 Ｂ 的必要 度定义 为 ： （ Ｂ） ＮＪＡ， ＝
Ｄ（ ／ Ａ一 Ｂ ） ．
以前 给出 的直 觉模 糊集 的包 含定义 都 是
分 明的 ， 么包含 要么 不包 含 ， 要 因而 违背 了直 觉模 糊 集 的思 想 和模 糊 逻 辑 的性 质． 通 常 在 的模 糊 集 中， 们 构 建 映 射 Ｄ（ ／ ， 得 我 Ｂ Ａ） 使 Ｄ（ Ａ） Ｂ／ 表示 了模 糊 集 Ａ 包 含 于 Ｂ 的程 度 ．
糊集 上 的包 含 度 扩 展 到直 觉 模 糊 集上 ， 出 给 示 犹豫度 ． 我们 将 Ｘ 上 所有 直 觉模 糊 集 的全
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.