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矩阵理论-第八讲

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第8讲 分块矩阵、矩阵的秩.PPT

第8讲 分块矩阵、矩阵的秩.PPT


0 0 3 2
0
0
1
1
3
解：设
A
0
0
0
0 2 0 0
0 0 3 1
0 0 2 1
A1
A2
A3
A1 3 , A2 2 , A3 1
所以 A 3（ 2）1 6
又
A11
1 3
,
A21
1 2
,
A31
1 1
2
3
1 3
0
0 0
故
A1
0
12 0
2
A3 A2 A 0
2 2
1 2 0
1
0 3
1 0
32 3
3 32
0
0
2 0 0
0
0
3
3.
(1)
3 B'
2A
1 3 0
0 2
3 1 0 2 0
0 2
0 1 1 0
0 2
3 2
0 1 1 0 0 1 0 3 1
1 0 6 1 0 0 0 0 6
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是 把“r”换成“c”)．
三、 由 P 1AP B 有 P P1APP 1 P B P 1
A PBP 1 A2 AA PBP1PBP1 PBBP1 PB2P 1
A10 PB10P 1
P 1 1 1 4 3 1 1
B2 BB 1 0
0 1 2 0
0 2
(1)2 0
0 22
B3 B2B 1 0
Bs
A1 B1
0
L
0
0L A2 B2 L
LL 00
0
0
L
第八讲 矩阵对策概要

第八讲 矩阵对策概要


矩阵G的一般解法
1）取每行的最小值：
min gij i 1, 2, , m
j
i
maxmin gij i 1, 2, , m 2）从上述值中选最大值： j
j
3）取每列的最大值： max gij j 1,
i
2, , n
max gij j 1, 2, , n 4）从3）项中选最大值：min j
E X ,Y E X ,Y
那么： X




x和y EX ,Y

都成立时
局中人P1的最优策略； 局中人P2的最优策略； 对策的值； 对策的解；
Y
E X ,Y

X
,Y


最优策略的解法

假设策略的值是V，最优策略及策略的解可 通过下式求得。
m
E X , j g ij xi V
Y , , 5） 13 13 13 25 V 13
E 1, Y 3 y1 y2 y3 V E 2, Y y1 y2 5 y3 V E 3, Y y1 4 y2 y3 V y1 y2 y3 1
i
min gij min max gij gi* j* 时， 5）若 max j j i i
ai* →P1的最优纯策略； b * →P2的最优纯策略； j
a , b 对策的解； V
i* j*

g i* j* 对策 a * , b * 的值。 i j


例3
某耕地根据种植划以及自然条件，规划 与收益存在如下表所示的关系。 试求出最佳规划方案。
矩阵理论及其应用(重大版第八章课件)

矩阵理论及其应用(重大版第八章课件)

������→∞ ������→∞ ������→∞ ������→∞
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
大学课程大一数学线性代数上册8.行列式与矩阵综合例题课件

大学课程大一数学线性代数上册8.行列式与矩阵综合例题课件

线性代数（1）
第八讲 清华大学数学科学系
1
行列式
解方程
几何空间中的向量 对解的认识 n 维向量空间
线性方程组 线性空间与线性变换
Gauss消元法
怎么求？
线性变换的不变量
矩阵 初等变换、秩、 逆矩阵、分块
特征值与特征向量
二次型与二次曲面
（综合应用）
2
a11 a12 行列式 a21 a22
an1 an2
例13 设 A, B, C 是 n 阶矩阵, 且 AB = BC = CA = I, 则
A2+B2+C2 = ( ).
(A) 3I
(B) 2I
(C)I
(D) 0
3797
例14 设有四阶行列式:
1 D
1
1
1 ,
3049
1472
记 a = A41+A42+A43+A44, 则 a 的值为:
(A) -2;
0 0 0
6
例6 设 A, B 是 n 阶矩阵, 则 ( ).
(A) 若 |A| = 0, 则 A = 0
(B) 若 A2 = 0, 则 A = 0
(C) 若 A 是对称矩阵, 则 A2 也是对称矩阵
(D) (A+B)(A-B) = A2-B2 例7 设 A 是 n 阶可逆阵, 则 (
(B) ).
例5 两个同阶反对称矩阵的乘积( ).
(A) 仍为反对称矩阵
(B) 不是反对称矩阵
(C) 不一定是反对称矩阵
(D) 是同阶对称矩阵
0 1 0 0 0 0
(A) 和 (D) 反例
A
1
0
0 , B 0
0
矩阵论第8章

矩阵论第8章

第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念， 但其后的 30 年未引起人们的重视． 直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用． 本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．




由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0 1 0 0 1 0 0 例 8.1.1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 0 0 1 ，C ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 逆矩阵都不唯一.
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）满足方程（8.1.1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一 个确定的广义逆，称为减号逆，记为 A ； （2）满足方程（8.1.1）与（8.1.2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 Ar ； （3）满足方程（8.1.1）与（8.1.3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am ； （4）满足方程（8.1.1）与（8.1.4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al ； （5） 满足全部 4 个 M-P 方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4} ， 这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆，称为加号逆， 或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
第8讲矩阵的秩

第8讲矩阵的秩


则AT经过初等行变换变为BT. 故, R(AT)=R(BT). R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B). 因而有: 综上所述, 若A经过有限次初等变换变为B, 即 A B, 则 R(A) = R(B). 证毕
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成为行 阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
显然, 非零行的行数为2. 所以, R(A)=2.
例 求矩阵的秩
0 A 1 1
1 1 3
0 2 4
2 1 4
解:
1 2 B 2 3 r22 1 r3–r2 0 0 r4+3r2 0
2 2 1 1 r2–2r1 1 2 2 1 1 4 8 0 2 r3+2r1 0 0 4 2 0 4 2 3 3 r4–3r1 0 0 2 1 5 0 0 6 3 1 6 0 6 4 2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 2 1 0 r35 0 0 2 1 0 =B 0 0 0 5 r4–r3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
性质5: max{R(A), R(B)} R(A ¦ R(A) + R(B), 特别当B = b B) 时, R(A) R(A ¦ R(A) + 1. b) 证明: 由于A的最高阶非零子式当然是(A ¦ B)的非零子式, 故 R(A) R(A ¦ 同样R(B) R(A ¦ B). B), 故 max{R(A), R(B)} R(A ¦ . B) 设R(A)=r , R(B)=t . 对A和B分别做列变换, 化为列阶梯形矩 阵A1和B1, 则A1和B1中分别含有r 个和t 个非零列, 设为 A A1=(a1, a2, ·, ar , 0, ·, 0), · · · · B B1=(b1, b2, ·, bt , 0, ·, 0), · · · · 从而 (A ¦ (A1 ¦ 1), B) B 但是(A1 ¦ 1)中仅有r+t个非零列, B 因此, R(A ¦ = R(A1 ¦ 1) r + t = R(A) + R(B). B) B
第一章矩阵理论(管理数学基础)

第一章矩阵理论(管理数学基础)


定理1：若1， ，s是方阵A的互异的特征值， x1， ，xs是分别相应于它们的特征向量，则 x1， ，xs 线性无关。 证：对s使用数学归纳法。 当s 1，因为任一个非零向量线性无关，所以定理 成立。 设对s 1个互异的特征值定理成立，要证对s个互异 的特征值定理也成立，为此令 k1 x1 ks 1 xs 1 k s xs 0， （） 1
T 线性( p11T1 pn1Tn， ，p1nT1 pnnT n ) (T1， ，T n ) P T (1 n ) P (1 n ) AP P 1 AP B P 1 AP。 称满足此关系式的A、B矩阵为相似的。
线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域
C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数
与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： • 加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且
(1)交换律：x+y=y+x；
(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)； (3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X
n T n 解： 记X x ( x1， ，xn ) R | xi 0 则 (1) i 1 任x，y X ，x y ( x 1 y1， ，xn yn )T 其分量和
(x y ) x y
i 1 i i i 1 i i 1 n n
在上式两边同乘以s 得 k1s x1 ks s xs 0， （2） 因为Axi i xi (i 1， ，s )，用A左乘(1)式得 k11 x1 ks 1s 1 xs 1 ks s xs 0， （3） 将(3)、 二式两边分别相减得 (2) k1 (1 s ) x1 ks 1 (s 1 s ) xs 1 0 由于x1， ，xS 1线性无关，且i s (i 1， s 1)，故必有k1 k s 1 0， 从而k s 0。即x1， ，xs 线性无关。
矩阵论8稿第6章

矩阵论8稿第6章


( (
( −1 ⋅ X Y HY O
)
XHX = H Y Y ⋅XH
( (
) )
XH −1 YH
−1
XH H =X⋅ X X H Y
(
)
−1
例3
1 0 向量空间 R 中： α = 2 , β = 1 , L = L(α , β ) ，求 PL ． 0 1 1 0 , X T X = 5 2 , X T X X = 2 1 2 2 0 1
Y)
−1
−1
= ( XC
O ⋅ (X D −1
= (X
O)⋅ (X
Y)
−1
四、正交投影变换
矩阵论 8 稿（张凯院）
第六章
广义逆矩阵
6-4
欧氏空间 C n 中，子空间 L 给定，取 M = L⊥ , 则 C n = L ⊕ M ． 正交投影变换 TL = TL , M ；正交投影矩阵 PL = PL , M ． Th2 证 方阵 P = PL ⇔ P 2 = P , P H = P . 必要性．已知 P = PL : Th1 ⇒ P 2 = P ∀x1 ∈ C n ⇒ x1 = y1 + z 1 , y1 = Px1 ∈ L, z 1 ∈ L⊥ ∀x 2 ∈ C n ⇒ x 2 = y 2 + z 2 , y 2 = Px 2 ∈ L, z 2 ∈ L⊥
因为投影变换 TR ( P ), N ( P ) 满足
TR ( P ), N ( P ) ( x ) = y ⇒ PR ( P ), N ( P ) x = y ( ∀x ∈ C n )
所以
P x = PR ( P ), N ( P ) x ( ∀x ∈ C n ) ⇒ P = PR ( P ), N ( P )
2020年高三总复习数学人教旧版-选修4-2[第8讲 二阶矩阵的乘法] 讲义(教师版)

2020年高三总复习数学人教旧版-选修4-2[第8讲 二阶矩阵的乘法] 讲义(教师版)

第 9页
这个结果，并从几何上给予解释.
【答案】略
1×1＋0×0 1×0＋0×2 1 0
【解析】 左边＝
＝
0×1＋0×0 0×0＋0×2 0 0
1 1×1＋0×0 1×0＋0×
2 10
右边＝ 0×1＋0×0
1 0×0＋0×
＝
0
. 0
2
∴左边＝右边.
1 01 0 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，再往 x 轴上投影.
0 00 2
10
1 0
0 00
1 2
1 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 ，再往 x 轴上投影.
2
矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 (2)矩阵乘法满足结合律 (3)矩阵乘法不满足消去律
第 8页
1.变换的复合两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒. 2．两个矩阵的乘法的几何意义是对应变换的复合，反过来，可以对平面中的某些几何变换 进行简单的分解。 3.矩阵乘法的性质需要反复练习印证
1 3k
＝
.
01
例 3.
1 －2
2 －1
已知 M＝
，W＝
，试求满足 MZ＝W 的二阶矩阵 Z.
23
－3 1
1 0－
7
【答案】Z＝
3
－1
7
ab
1
【解析】 设 Z＝
，则 MZ＝
cd
2
－2 a 3c
b a－2c ＝
d 2a＋3c
b－2d .又因为 MZ＝W，且 W
2b＋3d
2 －1
a－2c b－2d
2 －1
第 6页
矩阵论-第八讲

矩阵论-第八讲


D k ( ) , k 2,3, , n, 称为A( )的不变因式。 Dk 1 ( ) 把所有次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的幂的乘积， 这些一次因式的幂称为初级因子。
设n阶矩阵A的全部初级因子为： ( 1)k1 , ( 2)k 2 ,, ( s )k s 则每个初级因子( i )k i 对应一个约当块矩阵： i 0 Ji 0 0 0 1 0 i 1 0 i 0 0 0 0 i 1 0 , 或 J i 0 0 1 0 i 0 0 i 0 1 i 0 0 1 0 0 0 i
第八讲
矩阵的相似对角形 矩阵的约当标准形
一、矩阵的相似对角形 定理：设A是复数域C上的n×n矩阵，则A与对角 形矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特 征向量。 定理：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对 角形矩阵相似 。
例： 1 0 （ 1 ） 0 2 2 0 3 1 2 3 （ 2 ） 3 2 2 1 2 2 2 0 2 （ 3 ） 1 0 -1 0 -1 2 4 4
二、矩阵的约当标准形
定义：n阶矩阵A的特征矩阵A( ) I A中所有非零的 k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式 Dk ( )称为A( )的一个k阶行列式因子。 D n ( ) I A , Dk 1 ( )能整除 Dk ( )，k 2,3, , n 定义： d 1 ( ) D1 ( ), d k ( )
由约当块构成的分块对角矩阵： J1 J J2 J s 称为约当标准形矩阵。 定理：每个复数方阵A都相似于一个约当标准形矩阵。
例： 1 0 2 0 - 1 1 0 - 2 3 - 1 - 2 0 0 - 1 1 0
矩阵分析第8章课件

矩阵分析第8章课件


A
P1
Er 0
0 0
Q1
A
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形
式证:对任W意C减rr 号, Z逆CA(-nr)C(mnr)m,,X令CAr-(=mrQ),WYYCXZ(nPr)r
其中 AA-A=A
PAA-AQ=PAQ=
Er 0
00
上P式AQ左WY 边XZ =PAQ
证:我们知道:对每个ACmn,R(A),N(A)都是Cm, Cn的子空间, dim R(A)= rank A, dimN(A)=n-rank A. xR(AA-),x=AA-z=AyR(A) R(AA-)是R(A)子空间.因 dimR(A)=rank A=rank AA-=dimR(AA-), 故由下列命题即得R(AA-)=R(A).
这是(SAT)-1=T-1A–1S-1推广
(SAT)(T-A–S-)(SAT)=SAA–AT=(SAT)
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ④ AA-,A-A都是幂等矩阵,即其平方等于自己的 矩阵;并且 rank A=rank(AA-)=ramk(A-A).
证: (AA-)2=AA-AA-=AA-;
(A-A)2=A-AA-A=A-A. rank A=rank (AA-A)rank (AA-)rank A.
rank A=rank(AA-)
同理可证 rank A=rank(A-A).
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ⑤ R(AA-)=R(A),N(A-A)= N(A) 其中,A的值域 R(A)={Ay|yCn} Cm A的核(或A的解空间) N(A)={x|Ax=0} Cn

第八讲 向量组及其线性组合


α + β = β + α; (α + β ) + γ = α + ( β + γ ); α + 0 = α; α + ( −α ) = 0; 1α = α ; k ( lα ) = ( kl )α ; k (α + β ) = kα + kβ ; ( k + l )α = kα + lα . n 其中 α , β , γ ∈ R , k , l ∈ R.
第三章小结
矩阵 的初 等变 换与 线性 方程 组

矩阵的初 等变换

矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵初等变换的应用 矩阵秩的定义 矩阵秩的求法
矩阵的秩

线性方程组 线性方程 组的解 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
例
设 α1 = ( 2,−4,1,−1) , α 2 = ( −3,−1,2,−5 / 2) ,
T T
如果向量满足 3α 1 − 2( β + α 2 ) = 0, 求 β . 由题设条件, 解 由题设条件, 有
3α 1 − 2β − 2α 2 = 0
β = − 1 ( 2α 2 − 3α1 )
1 对于齐次线性方程组 = 0 推论 ： Ax
则：
R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解
R( A) < n ⇔ Ax = 0有非零解
求解线性方程组的步骤： 求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 写出增广矩阵， 用初等行 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解， 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 行最简形矩阵首非零元素 对应的未知量为非自由未知量， 对应的未知量为非自由未知量 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解） 令自由未知量为 从而得到方程组的通解（一般解） 从而得到方程组的通解

矩阵理论知识点整理

欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。

引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。

行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。

8矩阵特征值与迭代法


xk k 0，计算其长度序列 || xk ||k 0，即范数 （3）对（2）中产生的向量序列

序列，看看有什么规律 ？ （4）任意选取整数 0, 若记变换矩阵A的谱半径为 ( A),则选取新的变 换矩阵为 0.7018 0.8772 0.8772 0.4386 重复（2）和（ 3）的过程，观察变换后 向量的分布规律和长度 变化规律。 ~ A 1 ( A) （5）分析上面的实验结果 ，并尝试作出解释。
基础知识
2. 向量序列的收敛性
对于非零矩阵 T , 任意选取一个非零初始 向量x0 R n , 做迭代序列 xn 1 Txk , k 0,1,2, 如果存在向量 x* , 使得 lim || xk x* || 0成立，则称该向量序列 xk 收
k
敛于x*，即lim xk x* .
k
基础知识
3.迭代法 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值 递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法 （或者称为一次解法），即一次性解决问题。 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。 它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作 的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤） 进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些 步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
基础知识
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至 少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这 个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的 前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方 法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这 是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地 重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种 是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是 所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个 固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况， 需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

矩阵论课件

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。

★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。

比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。

实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。

如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。

则有()x x +-= o 。

（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。

注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。

（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。

唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。

第八讲 矩阵转置、方阵的行列式

A A 11 A 12 A1 n A 21 A 22 A2n An1 An2 A nn
称为矩阵A 的伴随矩阵.
13
如： A 2
1
3 ， 4
2 A 1
3 =8 3 5 4
A1 1 4， A1 2 1， A 2 1 3， A 2 2 2 .
如 A

2 6
3 8

则 A
2 6
3 8
2.
特别注意 方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数 表，而行列式则是一个数.
9
例3
设A

2 6
3 , 8

B

1 1
0 ,计 算 A B , 3

A B .
解：
2 A 6
3 2, 8
1 B 1
0 3, 3
T
设C A A
T
A
A
T

T
A A C,
T
所以C为对称矩阵.
设B A A ,
T
则B
T
A A
T

T
A
T
A B,
所以B为反对称矩阵.
A A A 2
T

A A 2
T

C 2

B 2
,
命题得证.
8
二、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作|A| 或detA
999二方阵的行列式定义的元素所构成的行列式叫做方阵的行列式记作a或deta特别注意方阵与行列式是两个不同的概念方阵是一个数表而行列式则是一个数

矩阵理论

(������)
},
其中 ������
(������)
= (������������������ ) ∈ ������ ������×������ .
(������)
(������)
刘西奎 (山东科技大学)
矩阵理论
2016
年 9 月 20 日
6 / 48
定理 1.1 设 lim ������
������→∞
(2)
������→∞
������→∞ ������=1 ������ =1
lim
|������������������ |2 = 0
(������)
(������)
= ������
的充分且必要条件是
矩阵理论
������→∞
lim ||������(������) ||������ = 0.
lim (������(������) − ������) = 0,
(������)
由定理 1.2, 存在 ������ > 0, 使得对一切 ������, 都有
|������������������ | < ������, ������ = 1, 2, · · · , ������; ������ = 1, 2, · · · , ������
(������)
������ (������) − ������������ ||������ = ||������(������) ������ (������) − ������(������) ������ + ������(������) ������ − ������������ ||������ = ||������(������) ������ (������) −
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A是收敛矩阵
(2)利用充分条件 A 1
A 0.9 1 1
A是收敛矩阵
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-20
矩阵级数
– 矩阵级数的定义
由 Cmn 中的矩阵序列{A(k)}构成的无穷和
A(0) A(1) L A(k) L
称为矩阵级数，记为
A (k )
k 0
n N ，称
S(n)
A n
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
给出 A 引起的 A1 的相对误差
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-11
矩阵序列
– 定义
由 Cmn 中的矩阵构成的与自然数集N等势的集合{A(1) A(2) L }
一一映射 f : N {A(k)}
A(k) (ai(jk) )mn
– 矩阵序列的收敛
lim A(k) A 0
k
A(k) A A(k) A
lim A(k) A
k
: Cmn R
由此推论可得：
若
lim A(k) A
k
lim B(k) B
k
A(k) , B(k) , A, B C mn , k 0,1,L
lim( A(k) B(k) ) A B
k
A(k) B(k) AB A(k) B(k) A(k) B A(k) B AB A(k) (B(k) B) (A(k) A)B A(k) B(k) B A(k) A B
由 lim A(k) A lim B(k) B 可证
k
k
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矩阵理论第8讲-16
k
G
lim A(k) A 0
k
lim A(k) A
k
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1,L ,} lim A(k) A 0
k
A(k) A A(k) A
lim A(k) A
k
lim A(k) A
lim Ak 0
k
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矩阵理论第8讲-19
矩阵序列
– 举例 判断下列矩阵是否为收敛矩阵
(1)
:
A
1 6
1 2
8
1
(1)利用充要条件 ( A) 1
0.2 0.1 0.2
(2)
:
A
0.5
0.5
0.4
0.1 0.3 0.2
1
5 6
2
1 2
(A) 5 1
6
扰动为
x
，则（设
A
C nn n
）
(A A)(x x) b Ax b
x A1 A(x x)
A x A(x x)
x A1 A ( x x )
(1 A1 A ) x A1 A x
当 A1 A 1 时
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
aij
所以
lim A(k) A
k
lkim(ai(jk) aij ) 0 (i, j)
lim A(k) A 0
k
G
由范数的等价性，对 Cmn 上的任一矩阵范数 g ， , C ，使得
A(k) A A(k) A A(k) A
G
G
其中 g 是 Cmn 上的任一矩阵范数
lim A(k) A 0
作为
2
2
1 1.0001
x1 x2
5 5.0001
解，则 0
r
0.0003
但上解与其准确解
x1 x2
2
1
相差甚远
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矩阵理论第8讲-7
矩阵的条件数
– 先分析方程组Ax = b中只有b有扰动 b 的情况。设由 b 引起的解x的
扰动为
x
，则（设
cond(A) A A1
>> help cond COND Condition number with respect to inversion. COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm:
NORM(X,P) * NORM(INV(X),P). where P = 1, 2, inf, or 'fro‘
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-4
矩阵的奇异值
– 定义
设
A
C mn r
(r
0)
，AH A
的特征值为
则称
1 2 L r r1 L n 0 i i (i 1, 2,L , n)
矩阵的条件数
• 定义矩阵条件数的工程背景
许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程
Ax b
由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值， 或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。 ？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ？怎样度量这种影响 ？怎样给出这种误差上界
2
2
1 1.0001
A
C nn n
）
A(x x) b b Ax b
A x b
x A1 b
由相容性条件：
x A1 b
b Ax A x
b x
A
x
A1
b
A1
b
A
A1
b
x
x
b
b
A
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矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 再分析方程组Ax = b中只有A有扰动 A 的情况。设由 A 引起的解x的
A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
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矩阵理论第8讲-10
矩阵的条件数
x
A1 A
A1 A
A b
( )
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A
)
A
b
A
当 A1 A 1 时
A1
( A A)1
)
(1 A1 A )
给出 A 引起的 A1 的绝对误差
Ax A x
v
m
v
– m1
1–
– F–
2–
– m
1 –、 2 –
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
– 从属于向量范数的矩阵范数
– 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用
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Ax A max v
x0 x v
(A) A
(A)sup{ : (A)}
矩阵理论第8讲-2
矩阵理论-第八讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-1
上节内容回顾
• Hermite矩阵正定性
AH A
• 方阵的范数
0 xCn
xH Ax 0
1. 三角不等式 A B A B
2. 绝对齐性 A A
3. 正定性 4. 相容性
• 各种矩阵范数
A 0 A 0A0 AB A B
A(k) , A C m p B(k) , B C pn , k 0,1,L
lim( A(k)B(k) ) AB
k
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矩阵理论第8讲-15
矩阵序列 上述命题可根据充要条件来证明：
( A(k) B(k) ) ( A B) (A(k) A) (B(k) B) A(k) A B(k) B
为A的奇异值
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矩阵理论第8讲-5
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
兰州大学信息科学与工程学院
其中 g 是 Cmn 上的任一矩阵范数
lim A(k) A 0
k
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矩阵理论第8讲-12
矩阵序列
证明：
先取 Cmn 上矩阵的G – 范数证明上述充要条件
a(k) ij
aij
mn
max i, j
a(k) ij
aij
A(k) A G
mn
m i 1
n j 1
a(k) ij
矩阵级数
Cmn 中的矩阵级数收敛相当于C上的 m n 个级数都收敛
A(k) (ai(jk) )mn
S (sij )mn
S A (k) k 0
a (k) k 0 ij
sij
i 1,L , m;
j 1,L , n;
– 举例
已知矩阵序列{A(k)} 的通项为
1
A(k )
2k
0
4k
1
(k 1)(k 2)
判断矩阵级数
k 0
A(k
)的敛散性