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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】(C).【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11xx x x e axe a x x→→-=+=-+=所以2a =.(2)【答案】(A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=,①又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=,②由①②求解得12λμ==,故应选(A)．(3)【答案】(B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xxx g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<.(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r sααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1-.【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1sin sin x x y dyet dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx=+=.所以1x dy dx==-.(10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式,有()221ln eedx V y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰()22ln arctan ln 1ln 244e ed xx x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR pp dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.(14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x xx x→+∞→+∞-=⋅=-=-.故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,01,D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dxy y dxdy +=⎰⎰．()()())11332323232323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy x xy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x y z F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,2,1,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处,u =C 与D处,u =-；在点E 与F 处,0u =．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18)【解析】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I)因为22(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20f ξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=-,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.(II )对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭,即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy+∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---=-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====,因此二维离散型随机变量,X Y 的概率分布为(II)(Cov。
⼈教版三年级数学上册全册各单元测试卷（附答案）第⼀单元测试卷（⼀）⼀、填⼀填。
1.有些钟⾯上有3根针,它们分别是()、()、(),其中()⾛得最快,它⾛⼀圈是(),()⾛得最慢,它⾛⼀⼤格是()。
2.我们学过的时间单位有()、()、()。
计量很短的时间时,常⽤⽐分更⼩的单位()。
3.秒针⾛⼀⼩格是()秒,⾛⼀圈是()秒,也就是()分。
分针⾛⼀⼩格是()分,⾛⼀圈是()分,也就是()时。
4.秒针从⼀个数⾛到下⼀个数,经过的时间是()。
5.在括号⾥填上合适的时间单位。
(1)⼀节课时长40()。
(2)爸爸每天⼯作8()。
(3)李静跑50⽶的成绩是13()。
(4)做⼀次深呼吸要4()。
6.体育⽼师对第⼀⼩组同学进⾏50⽶跑测试,成绩如下:⼩红9秒,⼩丽11秒,⼩明8秒,⼩军10秒。
()跑得最快,()跑得最慢。
⼆、辨⼀辨。
(正确的画“√”,错误的画“?”)1.6分=600秒()2.分针⾛⼀⼤格,时针就⾛⼀⼩格。
()3.秒针⾛⼀圈,分针⾛⼀⼩格。
()4.⼩红每天早晨7:15从家出发,7:35到达学校,她在路上⽤了20分钟。
()5.⼩军早上6:30起床,⼩强早上6:40起床,⼩强⽐⼩军起得早。
()三、单位换算。
1时=()分5分=()秒4时=()分3分=()秒20分+50分=()分24秒+48秒=()秒1时-40分=()分四、在○⾥填上“>”“<”或“=”。
6分○60秒 160分○3时4分○200秒3时○300分250分○5时60秒○60分10分○600秒120分○2时五、我会写。
(写出每个钟⾯所表⽰的时刻,并算出经过时间)1.2.3.六、解决问题。
1.⽕车9:20开,李华从家到⽕车站要35分,李华⾄少要在⼏时⼏分从家出发才能赶上⽕车?2.⼀个钟表显⽰的时间是11:45,它⽐准确时间慢了5分,你知道准确时间是⼏时⼏分吗?3.⼩军、⼩红和⼩伟三个好朋友住在同⼀个⼩区,他们⼀起去公园游玩。
(1)汽车还有5分钟出发,汽车什么时候出发?(2)他们什么时候到达公园?路上⽤了多长时间?4.⼀根长24⽶的⽊棒,每4⽶锯⼀段,锯⼀次⽤4分钟。
历年数学三真题及答案解析数学三是高中数学的一部分，主要涉及综合运用知识和技巧解决实际问题。
为了更好地备考，了解对于提高解题水平和考试经验积累是非常有帮助的。
本文将为大家梳理。
第一题：周长和面积问题描述：一个矩形长和宽之差为4，面积为20，求其周长。
解答思路：设该矩形的长为x，宽为x-4，根据面积公式有x(x-4)=20，展开后可得x^2-4x-20=0。
通过求根公式我们可以得到x=6或x=-10，由于矩形不可能有负边长，所以x=6。
将x带入周长公式可得周长为2(6+(6-4))=20。
因此，该矩形的周长为20。
第二题：函数图像判断问题描述：已知函数f(x)=x^2-4x+3，判断其图像在坐标系中的形状。
解答思路：我们可以通过一些方法判断函数图像的形状，如求导数、考察二次项系数、求顶点等。
由于此题中函数是二次函数，我们可以通过求顶点的方法判断其图像形状。
二次函数的顶点可以通过公式x=-b/2a求得。
对于函数f(x)=x^2-4x+3，a=1，b=-4，所以顶点的横坐标x=4/2=2。
将x=2代入函数中得到纵坐标y=f(2)=2^2-4*2+3=3。
因此，顶点坐标为(2,3)。
由于函数的二次项系数为正，所以函数图像开口向上，由(2,3)作为顶点，并经过对称轴x=2，可以判断出函数图像为一条向上开口的抛物线。
第三题：解方程问题描述：求方程sin2x+cosx=1的全部解。
解答思路：对于这种三角函数的方程，可以利用三角函数之间的关系进行转化。
首先，我们将cosx用sinx的形式表示，利用三角函数的平方和恒等式cos^2x+sin^2x=1，得到cosx=√(1-sin^2x)。
将cosx替换后的方程化简，可得sin2x+√(1-sin^2x)=1。
进一步化简，可得sin2x=(1-sin^2x)。
再对这个方程进行化简，可得2sin^2x=1，即sin^2x=1/2。
由于sinx的取值范围在[-1,1]，所以sinx只能取±√(1/2)。
苏教版三年级上册数学期末考试试卷一.选择题(共8题，共16分)1.一个三位数除以8的商是一个三位数，那么被除数的百位上不可能是（）。
A.7B.8C.92.下面的运动哪个是平移？（）A.公园里的旋转木马B.跳绳C.抬水3.汽车在公路上运动时，轮子的运动是（）。
A.平移B.旋转C.既平移又旋转4.下列现象( )是平移。
A.电风扇旋转B.推拉门打开C.车轮转动5.下列运动是平移的是（）。
A.推开教室的门B.用板手拧螺丝C.汽车在直路上行驶6.下列哪种运动可以看成平移（）。
A.升国旗B.电风扇叶片转动C.钟摆的运动7.拉抽屉是（）现象。
A.平移B.旋转C.轴对称8.花店里有95朵花，每6朵扎一束；最多能扎成（）束。
A.15B.16C.17二.判断题(共8题，共16分)1.下面的图案是轴对称图形。
（）2.试商的时候，只要用四舍五入法，一定可以一步找准。
（）3.所有的三角形都是轴对称图形。
（）4.△÷7=23……□，□里最大能填22 。
( )5.□94÷6要使商是三位数，□里最小应填6。
（）6.702÷7的末尾有两个0。
（）7.试商时除数可以四舍五入看做整十数。
（）8.一位数除三位数，商一定是两位数。
（）三.填空题(共8题，共23分)1.图形可以通过（）得到图形。
2.树上的水果掉在地上，是（）现象。
（用“平移”或者“旋转”作答）3.小明4次测验的平均成绩是89分，其中前三次的平均成绩是88分，小明第四次得（）分。
4.在镜子前你右手拿毛巾，镜子中的你是（）手拿毛巾。
5.算一算，填一填。
2000克+3000克=（）克 9000克-8000克=（）克5千克+4千克=（）千克 5千克=（）克（）千克=4000克200克+300克=（）克900克-200克=（）克9000克=（）千克6千克+3千克=（）千克6.在括号里填正确的符号或数。
4千克=（）克8000克=（）千克200千克+300千克=（）千克8000千克=（）克96（）92-17 2405（）2400+540+1000（）1400 700+200（）9007.一个数除以6，商是65，余数是4，这个数是（）。
第八单元达标测试卷一、我会填空。
(每空1分，共26分)1．把一根木条平均分成7份，每份是这根木条的( )分之( )，写作（ ）（ ），3份是这根木条的（ ）（ ），读作( )。
2．35里面有( )个15；710里面有7个( )；4个( )是45。
3．用分数表示下面各图中的阴影部分。
4．看图写分数。
5．计算1－49时，可以把1看成（ ）（ ），用（ ）（ ）减去49，得（ ）（ ）。
6．一杯可乐林林喝了它的14，杯中还有（ ）（ ）。
7．果盘里有16个草莓，明明一次吃了这些草莓的38，明明一次吃了( )个草莓。
二、我会选择。
(把正确答案的字母填在括号里)(每题1分，共5分) 1．把一块蛋糕平均分成8块，其中的5块用分数表示是( )。
A ．.18B ．58C ．382．下图中阴影部分不能用14表示的是( )。
A B C 3．右边两个图形中阴影部分所表示的分数( )。
A ．上边大B ．下边大C ．一样大4．妈妈买回9支铅笔，小红拿走了5支，小红拿走了这些铅笔的( )。
A ．15B ．19C ．595．在分数56中，6表示( )。
A ．分子B ．取的份数C ．平均分成的份数三、我会比较。
(1题6分，2题8分，共14分) 1．在里填上“>”“<”或“＝”。
7929 1719 2656 9101 9922 1332．排一排。
(1)13 18 17 15( )<( )<( )<( )(2)713 1 513 913( )>( )>( )>( )四、我会算。
(1题4分，2题8分，共12分) 1．计算。
26＋36＝ 39＋29＝ 1013－213＝ 1－18＝ 57－47＝38＋28＝1－67＝25＋35＝2．看图列式计算。
(1) (2)( )( )＝( ) ( )( )＝( )(3) (4)( )( )＝( ) ( )( )＝( )五、涂一涂，算一算。
(每空2分，共4分)这些的23是( )颗。
2021考研数学三真题及答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〔1〕函数3()sin x x f x xπ-=的可去连续点的个数为：〔 〕()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个〔2〕当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，那么〔 〕()A .1a =，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =-()D .1a =-，16b =〔3〕使不等式1sin ln xtdt x t >⎰成立的x 的范围是〔 〕()A . (0,1) ()B .(1,)2π ()C .(,)2ππ()D .(,)π+∞〔4〕设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：那么函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为〔 〕()A .()B .()C .()D .〔5〕设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，假设||2,||3A B ==那么分块矩阵 00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为〔 〕 ()A .**0320B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭()B . **0230B A⎛⎫⎪⎝⎭()C .**0320A B⎛⎫⎪⎝⎭()D .**0230A B⎛⎫⎪⎝⎭〔6〕设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，假设1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，那么T Q AQ 为〔 〕()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B . 110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭〔7〕设事件A 与事件B 互不相容，那么〔 〕()A .()0P AB =()B . ()()()P AB P A P B =()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B ⋃=〔8〕设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，那么函数()z F Z 的连续点个数为〔 〕()A .()B . 1 ()C .2()D . 3二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.〔9〕cos x x →= .〔10〕设()y x z x e =+，那么(1,0)zx ∂=∂ 〔11〕幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 〔12〕设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，那么当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元〔13〕设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，假设矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么k =(14)设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，那么ET =三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值9分〕求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。
2009年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题 （9）3e 2 （10）2ln 21+ （11）1e（12）8000 （13）2 （14）2np 三、解答题（15）极小值11(0,)e ef =−． （16）1ln(12x C +++−+． （17）83−． （18）略． （19）230y x +−=． （20）（Ⅰ）21101021k −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ （1k 为任意常数）． 323101/2100010k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，（23,k k 为任意常数）． （Ⅱ）略．（21）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）2a =．（22）（Ⅰ）10,()0,Y X y x f y x x ⎧, <<⎪=⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}e 211e 1P X Y −=−．（23）（Ⅰ）4{10}P X Z ===. （Ⅱ）(,)X Y 的概率分布为2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x −=解得0,1,1x =−．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==， 3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →−→−−−==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =−．故选C ． （2）【答案】A ． 【解答】222000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x ax a axg x x bx x bx bx →→→→−−−====−⋅−−， 因为2lim(3)0x bx →−=，所以0lim(1cos )0x a ax →−=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→−===−=−−，得16b =−．故选A ． （3）【答案】A ． 【解答】令1sin ()d ln xtf x t x t=−⎰(0)x >， 有sin 1()0x f x x−'=(0)x >，从而()f x 当0x >时单调减少． 由(1)0f =知，当(0,1)x ∈时，()(1)0f x f >=，即1sin d ln x tt x t>⎰．故选A ． （4）【答案】D ． 【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈−时，()0F x ． ③当[]0,1x ∈时()0F x ，且单调递减．④[]1,2x ∈时()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（5）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*−=A A A ，所以112211*−−⨯−⎛⎫⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123−**−**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OA B B OA B O B A B A O B A O A O ， 故选B ．（6）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以 T TT T 100100100100110110110110001001001001110100100210010010110110.001002001002⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP P AP 故选A ． （7）【答案】D ．【解答】因为,A B 互不相容，所以AB =∅，()0P AB =，从而()()1()1P A B P AB P AB ==−=，故选D ．（8）【答案】B ．【解答】由全概率公式，{}{}{}(),0,1Z F z P XY z P XY z Y P XY z Y ===+={}{}0,0,1P z Y P X z Y ==+=，因为X 与Y 相互独立，所以{}{}{}{}{}11()0010()22Z F z P z P Y P X z P Y P z z ==+==+Φ， 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；当0z 时， 11()()22Z F z z =+Φ．所以0z =为间断点，故选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3e 2．【解答】原式cos 10x x −→=02e(1cos )lim13x x x→−=2021e 2lim 13x x x →⋅=3e 2=． （10）【答案】2ln 21+．【解答】因为z 对x 求偏导时，把y 当常数，所以不妨在(e )y xz x =+中令0y =，得(,0)(1)x z x x =+，于是d (1)(1)ln(1)d 1x x z x x x x x x ⎡⎤'⎡⎤=+=+++⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 从而(1,0)1d d x z zx x=∂==∂2ln 21+．（11）【答案】1e． 【解答】11211222e (1)e (1)(1)lim lim e,e (1)(1)e (1)n n n n n n n nn n n n n n ρ++++→∞→∞−−−−+==⋅=−−+−−所以该幂级数的收敛半径为11eR ρ==． （12）【答案】8000． 【解答】因为d 0.2d p p Q Q p ε=−=，得d 0.2d p QQ p=−， 收益函数()R pQ p =，边际收益d d d (1)(10.2)0.8d d d R Q p QQ p Q Q Q p p Q p=+=+=−=． 当10000Q =时，d 8000d Rp=，即价格增加1元会使产品收益增加8000元． （13）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为3,0,0，从而T T 1()3k tr =+==βααβ，2k =．（14）【答案】2np ．【解答】222()(1)ET E X S E X ES EX DX np np p np =−=−=−=−−=．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分9分）解：由22()2(2)0()210x y f x,y x y f x,y x y ln y ⎧'=+=⎪⎨'=++=⎪⎩解得10,e x y ==.而2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =， 则1112(0,)(0,)(0,)eee12(2),0,e e xxxyyy A f B f C f ''''''==+====，因为20B AC −<而0A >，所以(,)f x y 有极小值11(0,)eef =−．（16）（本题满分10分） 原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=−−−−+⎰⎰ 22ln(1)111d 14(1)4(1)2(1)t t t t t t ⎛⎫+=−−− ⎪−−++⎝⎭⎰ 2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+−+−−+1ln(12x C =++−−+．（17）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d Dx y x y r r r r θθθθθ+−=−⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=−+⎰3π34π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰ 3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=−（18）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a−=−−−−，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a−''=−−．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'−=−，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f xf f x xξξ++++→→→−'''===，0x ξ<<. 因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（19）（本题满分10分） 解：曲边梯形的面积为1()d tS f x x =⎰，旋转体的体积为21π()d tV f x x =⎰，由题，V tS π=，即211()d ()d tt f x x t f x x =⎰⎰，两边对t 求导可得21()()d ()tf t f x x tf t =+⎰， ①再对t 求导可得2()()2()()f t f t f t tf t ''=+， 即(2())()2()f t t f t f t '−=，把t 当成函数，()y f t =当成自变量，上式变为d 11d 2t t y y+=，解一阶线性微分方程得通解23t y =+． 在①式中令 1t =，得(1)1f =，代入通解得13C =，23t y =+．所以该曲线方程为：230y x =．（20）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ ，其中1k 为任意常数． 因为2220220440⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫−⎪−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k −−−−=−≠−−+，故123,,ξξξ线性无关． （21）(本题满分11分)解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−−⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111aa a a a a λλλλλλλ−−−=−=−−+−−−−+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a −=，2a =．（22）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）边缘概率密度0e d e 0,()(,)d 0,0.xx x X y x x f x f x y y x −−+∞−∞⎧=, >⎪==⎨⎪⎩⎰⎰当0x >时，条件概率密度10,(,)()()0,Y X X y x f x y f y x xf x ⎧, <<⎪==⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}111101,1(,)d d d e d 12e xx P X Y f x y x y x y −−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}11101(,)d d d e d 1e x yP Y f x y x y y x +∞+∞−−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}{}{}1,1e 2111e 1P X Y P X Y P Y −==−． （23）(本题满分11分)解：（Ⅰ）{}10P X Z ==表示在没有取到白球的条件下取了一次红球的概率，12113324{10}9C P X Z C C ====．（Ⅱ）,X Y 的可能取值为0,1,2，{}{}{}{}{}{}{}{}{}11133311116666112311116666121166112211661210,0,1,0,4611212,0,0,1,363211,1,2,10,910,2,1,20,2,20.9C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P X Y P X Y C C =================================综上，(,)X Y 的概率分布为。
1、小明有10块糖，他给了小红3块，又给了小绿2块，小明现在还剩下几块糖？
A、5块
B、6块
C、7块
D、8块
（答案）A
2、小华家住在5楼，每层楼有15级台阶，小华从1楼走到家，一共要走多少级台阶？
A、60级
B、75级
C、90级
D、105级
（答案）B
3、一个正方形的边长是4厘米，如果把它分成4个相等的小正方形，每个小正方形的面积是多少？
A、1平方厘米
B、2平方厘米
C、3平方厘米
D、4平方厘米
（答案）D
4、一盒铅笔有12支，小明买了3盒，他一共有多少支铅笔？
A、36支
B、24支
C、18支
D、12支
（答案）A
5、小明的妈妈买了2千克苹果和3千克橙子，苹果每千克5元，橙子每千克3元，她一共花了多少钱？
A、19元
B、16元
C、13元
D、11元
（答案）B
6、一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，它的周长是多少厘米？
A、13厘米
B、26厘米
C、32厘米
D、40厘米
（答案）B
7、小丽有15本故事书，她借给了同学5本，又还回了2本，现在小丽还有多少本书？
A、10本
B、12本
C、15本
D、18本
（答案）B
8、一个三角形有三个角，其中一个角是直角，另外两个角之和是多少度？
A、60度
B、90度
C、120度
D、180度
（答案）B。
