仰角、俯角;坡度、坡角

:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。

专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。

【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。

考点24 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A 2B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=3，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°，则观光塔AB的高度是A．50米B．100米C．125米D．150米【答案】A【解析】如图，作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=12DE=75，∴BF=BC-CF=BC-CE=100-75=25，EF=tan tan30BF BFBEF=∠︒=253，∵∠AEF=60°，∴∠A=30°，∴AF=253tan33EFA==75，∴AB=AF-BF=50（米），故观光塔AB的高度为50米，故选A．3．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =ac B ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．10 D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1．（2019•天津） 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．（2019·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．（2019•广州）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是30°CDA．55.5m B．54m C．19.5m D．18m6．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米7．（2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x8．（2019•甘肃）在△ABC中，∠C=90°，tan A=33，则cos B=__________．9．（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cos C=__________．10．（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．（2019•甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sin A=BCAB=23，故选A．2．【答案】A【解析】∵sinα=cos60°=12，∴α=30°．故选A．3．【解析】如图，过点C作CH AB⊥，垂足为点H，由题意，得45ACH∠=︒，36BCH∠=︒，200BC=，在Rt△BHC中，sinBHBCHBC∠=，∴sin36200BH︒=，∵sin360.588︒≈，∴117.6BH≈，又cosHCBCHBC∠=，∴cos36200HC︒=，∵cos360.809︒≈，∴161.8HC≈，在Rt△AHC中，tanAHACHHC∠=，∵45ACH∠=︒，∴AH HC=，∴161.8AH≈，又AB AH BH=+，∴279.4AB≈，∴279AB≈（米）．答：A、B之间的距离为279米．1．【答案】A【解析】A、sin A=ac，此选项正确；考点冲关变式拓展B、sin A=ac，此选项错误；C、cos A=bc，此选项错误；D、cos A=bc，此选项错误；故选A．2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D．3．【答案】A【解析】如图，∵cos53°=BCAB，∴AB=cos53m︒，故选A．4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB=，∴cos A=1133ABACAB AB==．故选B．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO⊥BO，AO=12AC=5cm，BO=12BD=3cm，则tan2B=tan∠OBA53AOBO==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD，交AC于点E，由正方形的性质可得：BD⊥AC，故BD=2，AB=5，则sin∠BAC=2102105EBAB==．故选D．7．【答案】B【解析】如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=35，∴sin A=10BC BCAB==35，即BC=6，根据勾股定理得：AC22AB BC-=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8， 故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =34． 故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴3BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =85，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=65， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin2=2×23=3，故选A．2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12，∴∠α=30°．故选A．3．【答案】D【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC=22AD CD+=2234+=5．∴sin∠BAC=CDAC=45．故选D．4．【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=25，BC=30m，∴tan∠BAC=25＝BCAC＝30AC，解得AC=75，故选A．5．【答案】C【解析】过D作DE AB⊥交AB于E，183DE BC==Rt ADE△中，tan30AEDE=o，318318(m)AE∴==，18 1.519.5(m)AB∴=+=，故选C．30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==； 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=， 所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100， 在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ）， 在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。

第七章《锐角三角函数》复习知识要点：考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

第二讲：解直角三角形的训练学习2014年中考数学解直角三角形专题复习一、知识梳理1、解直角三角形应用中的有关概念：⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角2、坡度、坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l。

二、典例解析例题1．（山东潍坊9分）今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点．再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示．斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°．已知A 点海拔121米．C 点海拔721米．（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度．例题2．（2013•十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．铅直水平线二、相应练习1．（2013•绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．2．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）例题5.（山东威海10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长。

解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______．【难度】★【答案】；；仰；；仰；．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★【答案】．【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学．则，，，在中，，∴，∴，∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（）米C．米D．米【难度】★【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E．由题意有：，，在中，，∴在中，，∴∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】．【解析】解：由题意可得：，．设，则，在中，，∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）【难度】★★【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A、B两处测得点D和点C的仰角为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】★★【答案】3【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q点）测得AB的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A的仰角为45°．已知点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB的高度．（参考数据：，，）【难度】★★★【答案】492米．【解析】过Q作AE⊥AB，垂足为E．解：由题意可得：，，，．设，则在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC= h，太阳光线与水平线的夹角为．（1）用含的式子表示h；（2）当= 30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：．过E作FE⊥AB，垂足为F．在中，，∴，∴．∴．（2）如图2，，∴∵若每小时增加10°，∴．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（）A．北偏东15°B．北偏西75°C．南偏西15°D．南偏东75°【难度】★【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时小明离A地_____米．【难度】★【答案】100．【解析】解：由题意可知：在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【难度】★【答案】B【解析】解：∵，∴为等边三角形．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是______海里．（精确到0.1海里，，）【难度】★★【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：，，在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，请问，此时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里，，）【难度】★★【答案】130.23．【解析】解：在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点．景点B在景点C的正东方向，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向．一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间？（，精确到1分）【难度】★★【答案】27分．【解析】过A作AD⊥BC的延长线于D．由题意可得：，，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：，，．∴，∴∴∴B在暗礁区外．（2）在中，，∴，∴∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．【例16】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，．∵∴∴∵∴∴∴(2)∵∴∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，∴，∴，，．∴（1）；（2）．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例18】如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：，，，）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：，．在中，，，∴．(2)在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）A．4米B．米C．米D．米【难度】★【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡度为1 : 3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD，其中坝顶AB= 3米，经测量背水坡AD= 20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i= 1 : 0.6，求迎水坡BC的坡角的余切值和坝底宽CD．【难度】★★【答案】；．【解析】过A、B作AE⊥CD，BF⊥CD．由题意可得：，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★【答案】2560．【解析】，．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=10米，CD=10米，斜坡CD的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB的长度．（答案保留整数，其中）【难度】★★【答案】13．【解析】解：延长AD和BC交于点E，过D作DF⊥BE．由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∴．∴．∴．（2）设原计划甲工程队每天完成立方米，乙工程队每天完成立方米，则根据题意可得：，解得：．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形）的底部沿坡面方向走30米到达顶部处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点处测得塔顶E的仰角是45°，沿方向走20米到达点处测得塔顶E的仰角是60°．已知坡面的坡度是，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★【答案】能，62米．【解析】由题意可知：，．．过B作BH⊥AD．在中，，∴．设，，在中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高．【难度】★★★【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：，过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN在中，，∴．设，，∴则，∴．∴，．∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则______．【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★【答案】C．【解析】解：由图可知：，∴．在中，，∴．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】A港在B地的正南千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★【答案】40．【解析】解：在中，，∴，解得：．在中，，∴，解得：．∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A时，测得前方的山顶D的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B时，又测得山顶D的俯角为45°，求这座山的高度DN．（结果可保留根号）【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，，，．设，则．∴，解得：，∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向，求小岛B离深水港口A的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：，，，，）【难度】★★【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：，，．过C点作CD⊥AB．在中，，∴，解得：，∴．在中，，∴，解得：．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡度．（1）求斜坡AB和坝底AD的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB的坡度由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1），132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，解得：．∴．∴，解得：．∴．（2）由（1）可得：．在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD= 14米，该河岸的坡面CD的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：，．在中，，∴，解得：，∴．∴．在中，，∴，解得：，∴．∴．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，一会儿便飞抵C处，此时，在AQ延长线B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】．【解析】解：（1）由题意可知：，，．在中，，∴，解得：，∵，∴．（2）由题意有：∴．过A作AE⊥BC，在中，，∴，解得：，在中，，∴，解得：．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高【难度】★【答案】D．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面米，丙的风筝离地面米．∵∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为______米．【难度】★【答案】．【解析】解：由题意可知：，．∴∴∴过P作PC⊥AB，垂足为C在中，，∴∴．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．【作业3】某人从地面沿着坡度的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．14海里B．海里C．7海里D．海里【难度】★★【答案】D【解析】解：由题意有：，，．∴．过B作BC⊥AM，垂足为C在中，；在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B的距离为24米，求条幅CE的长度．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形，上底= 4米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求坝底的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据）【难度】★★【答案】（1）；（2）0.7米．【解析】解：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．(2)在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，．过A作AE⊥CD，垂足为E．设，则．∵C和C1关于BD对称，∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH为等腰梯形．．过E作EM⊥GH，过F作FN⊥GH由等腰梯形的性质可得：．在中，，∴，∴．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市的正南方向220千米的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A作AD⊥BC．台风在移动时，距离A最近D处时，在中，110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A距离是时开始受影响或结束影响．持续时间为．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．小明测得BC= 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD=2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP= 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．【难度】★★★【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：．，设，，∴．∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．。