北师大版选修1-1高中数学第3章《变化率与导数》3.4导数的四则运算法则习题导学案

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1§4 导数的四则运算法则课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________； (2)[f(x)－g(x)]′＝______________； (3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e 2B.94e 2 C ．2e 2D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝xe x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________. 8．若函数y ＝f(x)满足f(x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x)＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ； (2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3xlog 2 009x ； (4)y ＝x ·tan x.11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tanθ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x) (3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g(x)≠0)作业设计1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x - ＝－14xx .]2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2. ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.]3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]4．A [y ′＝e x ＋xe x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x. 9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m/s)．10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋xsin x )(x －cos x )2.(3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x log 2 009e x]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009e.(4)y ′＝(xtan x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫xsin x cos x ′＝(xsin x )′cos x －xsin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋xcos x )cos x ＋xsin 2x(cos x )2＝sin xcos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .11．解 设P(x 0，y 0)为切点， 则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)． ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。

§4 导数的四则运算法则 课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________；(2)[f(x)－g(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－ 12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A .12e 2B .94e 2 C ．2e 2 D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A .⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C .⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D .⎣⎡⎦⎤0，π∪⎣⎡⎦⎤π，3π 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ；(4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x)(3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x - ＝－14x x.] 2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.] 3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．] 4．A [y′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4.8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x.9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m /s )． 10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3[log 2 009 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 009 e x] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e .(4)y ′＝(x tan x)′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解 设P(x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。

§4 导数的四则运算法则[对应学生用书P41]导数的加法与减法法则已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1x2，g ′(x )＝1.问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？提示：用定义，由h (x )＝1x＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1x－x ＝Δx －Δxx x ＋Δx.则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？ 提示：成立．问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？ 提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x)′吗？ 提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1cos 2x－e x .导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．导数的乘法与除法法则已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x . 问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？ 提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，f ′(x )g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？ 提示：成立． 问题3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g ′x 成立吗？提示：不成立． 问题4：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2成立吗？ 提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx ′＝f ′xg x －f x g ′x[g x ]2.[对应学生用书P42]导数公式及运算法则的应用[例1] 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x2cos x2.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln 3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－12cos x .[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1cos 2x； (2)(cot x )′＝－1sin 2x.解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x. (2)(cot x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2x ＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.2．求下列函数的导数． (1)y ＝4cos x －3sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x n e x. 解：(1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x ＋3x 2＋3)′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝x 2＋3－2x 2－6xx 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(x n e x)′＝(x n)′e x＋x n(e x)′＝(nxn －1＋x n )e x.利用导数解决参数问题[例2] 2处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a ，b ，c 的值．[精解详析] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9. [一点通]1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键． 2．若已知(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则有f ′(x 0)＝k ，y 0＝kx 0＋b .3．若函数y ＝x 2＋m 2x(m ＞0)在点x ＝x 0处的导数等于0，那么x 0＝( )A ．mB ．－mC ．±mD ．m 2解析：由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2x ′＝1－m 2x 2，结合题意得1－m 2x 20＝0⇒x 20＝m 2⇒x 0＝±m .答案：C4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393.答案：D5．若f ′(x )为一次函数，且x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数， 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1得x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1.即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.导数与曲线的切线[例3] 3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路点拨] (1)求出f (x )在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可． (2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [一点通]利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程： ①求导数y ＝f ′(x )，得斜率k ＝f ′(x 0)；②写出点斜式方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)并化简． (2)求过点P (x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程： ①设切点坐标为(x 0，y 0)；②求导数y ＝f ′(x )得切线斜率k ＝f ′(x 0)； ③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)； ④代入P 的坐标(x 1，y 1)，求出x 0； ⑤代入切线方程并化简．6．若曲线f (x )＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[－12，＋∞)解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解， ∴Δ＝(2a )2－4≥0， ∴a ≥1或a ≤－1，即a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：B7．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． 解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，当x ＝－1时，y ′取最小值3.∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)即3x －y －11＝0. 答案：3x －y －11＝08．若函数f (x )＝ax 2＋2ln x (a ∈R )在点(1，f (1))处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，求a 的值及切线l 的方程．解：依题意有f (1)＝a ，f ′( x )＝2ax ＋2x，∴f ′(1)＝2a ＋2.∴直线l 的方程为y －a ＝(2a ＋2)(x －1)， 即(2a ＋2)x －y －a －2＝0.(*) ∵l 与圆C 相切，∴|a ＋2|4a ＋12＋1＝1， 解得a ＝－1或a ＝－13.把a ＝－1或a ＝－13代入(*)式并整理得切线l 的方程为y ＝－1或4x －3y －5＝0.1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．2．求切线方程．(1)求过点P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．[对应课时跟踪训练十四]1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32D.3x 2＋6x x ＋32解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32 ＝2xx ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6xx ＋32.答案：A 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋22＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0＞0，所以a ＝2－1x 0＜2.答案：B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A.1e B ．eC ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：C5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ，∴x ＝π3时，y ′＝12cos2π3＝2.答案：26．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．求下列函数的导数． (1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x ；(2)y ＝ln x ＋2xx2； (3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝1＋x21－x ＋1－x 21－x＝21＋x1－x＝41－x－2,∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′1－x －41－x ′1－x 2＝41－x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2xx 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2， 所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x.即f ′(x )＝2ax 2－a ＋2x ＋1x＝2x －1ax －1x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.[对应学生用书P44]一、导数的概念1．导数：f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0ΔxΔx是自变量x在x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．2．导函数：f′(x)＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔxf′(x)为f(x)的导函数，是一个函数．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点(x0，f(x0))处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数：(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝αxα－1；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a.(4)f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝1cos2x；(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－1sin2x. 2．导数四则运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确． 答案：B2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定解析：一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.答案：C3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10解析：t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58. 答案：B4．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 答案：A5．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.答案：D6．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 答案：D7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4. 答案：D8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝－2，f ′－1＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数． 答案：A9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝3，f ′0＝c ＝0，f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

高中数学 电子题库 第三章§4 导数的四则运算法则 北师大版选修1-11.下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x)′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B.由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得． 2.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2解析：选B.因为f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1， 所以f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2， 所以ln x 0＝1，即x 0＝e.3.已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )＝________． 答案：－5x －6＋3cos x4.(2012·宿州调研)设f (x )＝a e x ＋bx ，且f ′(－1)＝1e ，f ′(1)＝e ，则a ＋b ＝________．解析：f ′(x )＝a e x＋b ，∴1e ＝f ′(－1)＝a ·1e ＋b ，e ＝f ′(1)＝a e ＋b .∴a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.答案：1[A 级 基础达标]1.若函数f (x )＝e x ·sin x ，则函数的图像在点(4，f (x ))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0C ．钝角D ．锐角解析：选C.∵f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，∴f ′(4)＝(sin 4＋cos 4)e 4.∵e 4＞0，sin 4＜0，cos 4＜0，∴f ′(4)＜0. ∴切线的斜率小于零． ∴倾斜角为钝角．2.(2010·高考江西卷)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：选B.由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.故选B.3.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：选A.∵y ′＝x ′（x ＋2）－x （x ＋2）′（x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴切线斜率k ＝2（－1＋2）2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4.(2012·淮北质检)已知f (x )＝f ′（1）x＋4x ，则f ′(2)＝________． 解析：∵f (x )＝f ′（1）x＋4x ， ∴f ′(x )＝－f ′（1）x 2＋4， ∴f ′(1)＝－f ′(1)＋4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝－2x2＋4，∴f ′(2)＝－12＋4＝72.答案：725.(2012·驻马店质检)若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：26.已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求：(1)切点的坐标；(2)a 的值． 解：(1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－4x ，由题意可知直线l 的斜率k ＝4，∴3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，代入曲线的方程，得切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3)． (2)当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， 解得a ＝12127；当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴a ＝12127或a ＝－5.[B 级 能力提升]7.(2011·高考江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C.8.(2011·高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22 解析：选B.y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即所求切线的斜率为12. 9.已知f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(1)＝________．解析：f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，∴f ′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＋0×[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.答案：2410.设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，求f (x )的解析式． 解：因为f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又因为f ′(x )＝x cos x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0c ＝0a ＝1b ＋c ＝0.解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0c ＝0d ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x sin x ＋cos x .11.(创新题)已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2.数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意可设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2.所以f (x )＝3x 2－2x .(2)因为点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5＝1. 故a n 的通项公式为a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．。

2016-2017学年高中数学 第3章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后演练提升 北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知函数f (x )＝x e x则f ′(2)等于( ) A ．3e 2B ．2e 2C ．e 2D ．2ln 2解析： f ′(x )＝(x )′e x＋x (e x)′＝e x＋x e x， ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2，故选A. 答案： A2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B ．163C.133D ．103解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.答案： D3．若f (x )＝－2e xsin x ，则f ′(x )等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin xD ．－2e x(sin x ＋cos x )解析： y ′＝－2(e xsin x )′＝－2[(e x)′sin x ＋e x (sin x )′] ＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x(sin x ＋cos x )． 答案： D4．已知f (x )＝x 2＋2x ·2f ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－2 C ．－4D ．－6解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x2的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________．解析： 由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x ， 所以g (x )＝1－12cos x ，故函数g (x )的最小值等于12.答案： 126．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 解析： ∵f ′(x )＝(x e x＋2x ＋1)′＝e x＋x e x＋2， ∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ， 即y ＝3x ＋1. 答案： y ＝3x ＋1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝x sin x －2cos x. 解析： (1)y ′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos xsin 2x； (2)y ′＝1·x 2＋3－2x x ＋3x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32；(3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′，＝sin x ＋x cos x －cos x ·2′－2cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x. 8．设定函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式．解析： 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*)，当a ＝3时，(*)式为⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0， 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)(1)设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，求f ′(0)； (2)利用导数求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1(x ≠0且x ≠1，n ∈N ＋)．解析： (1)令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝x ·g (x )，∴f ′(x )＝x ′·g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )， ∴f ′(0)＝g (0)＝1×2×3×4×…×n .(2)∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x 1－x n1－x(x ≠1且x ≠0)．对上式两边求导，得：1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x′＝[1－n ＋1x n ]1－x ＋x －x n ＋11－x 2， ∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1－n ＋1x n ＋nx n ＋11－x2.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《变化率与导数》3.4导数的四则运算法则习题导学案（无答案）北师大版选修1-1【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±=2．[]'()()f x g x ⋅=3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）知识反馈1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ∙∙⋅⋅⋅∙= A l n B l 1n + C 1n n + D 1。

3.4 导数的四则运算法则习题【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±=2．[]'()()f x g x ⋅= 3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ） 知识反馈1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x =的导数是（ ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x+- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n +D 112. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.。

1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x (x ＋3)2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x (x ＋3)2D.3x 2＋6x (x ＋3)2 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝(x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2. 答案：A2．下列四组函数中，导数相等的一组是( )A ．f (x )＝2x ＋1与f (x )＝2x －1B ．f (x )＝sin x －cos x 与f (x )＝cos x －sin xC ． f (x )＝x －1与f (x )＝2－xD ．f (x )＝e x 与f (x )＝1ex 解析：由导数求导法则易知只有A 中f (x )的导数均为2，B 、C 、D 中导数不相同． 答案：A3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝f ′(－1)＝2(－1＋2)2＝2. ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A4．已知f (x )＝2x 3＋mx 2＋3，若f ′(1)＝4，则m 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：f ′(x )＝6x 2＋2mx ，∵f ′(1)＝4，∴6＋2m ＝4，∴m ＝－1.答案：D5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________． 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫12tan x －12′＝12cos 2x ， ∴x ＝π3时，y ′＝12cos 2π3＝2. 答案：26．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________． 解析：y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a ，∴12a －a (12a )2－1＝0，∴a ＝14. 答案：147．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x； (2)y ＝ln x ＋2xx 2； (3)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2, ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＋⎝⎛⎭⎫2x x 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x 4＝(1－2ln x )x ＋(ln 2·x 2－2x )·2xx 4＝1－2ln x ＋(ln 2·x －2)2xx 3. (3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝⎛⎭⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x ) ＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . 8．已知函数y ＝e x .(1)求这个函数在点(e ，e e )处的切线的方程；(2)过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程．解：由题意y ′＝e x .(1)x ＝e 时，y ′＝e e 即为x ＝e 处切线的斜率，切点为(e ，e e )． 故切线方程为y －e e ＝e e (x －e)即e e x －y ＋e e －e e ＋1＝0.(2)设过原点且与y ＝e x 相切的直线为y ＝kx .设切点为(x 0，e x 0)，则k ＝e x 0.又k ＝e x 0x 0，∴e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1， ∴k ＝e ，切点为(1，e)，∴切线方程为y －e ＝e(x －1)即e x －y ＝0.。