2014年秋季班数学八年级讲义(10)

第一章二次根式______________________________________________________________ 2一、基础知识_____________________________________________________________ 2二、精讲精炼_____________________________________________________________ 3 第二章勾股定理_____________________________________________________________ 20一、基础知识____________________________________________________________ 20二、精讲精练____________________________________________________________ 21 第三章直角三角形___________________________________________________________ 40一、基础知识____________________________________________________________ 40二、精讲精练____________________________________________________________ 41 第四章轴对称_______________________________________________________________ 48一、基础知识____________________________________________________________ 48二、精讲精练____________________________________________________________ 49第一章二次根式一、基础知识二、精讲精炼一、基础定义1.如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的a 平方根是2.非负数a 的平方根表示为3.因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者4的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根 6． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 8．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B 22 9． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 10． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．1414．一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是（ ）A ．x+1B ．x2+1 C15．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．1C ．-3或1D ．-1 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±2．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、6 D 、 6±3．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 5．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 6．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 7．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±24．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A .a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=27．22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+x B 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x28．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a29．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=xB ．1917=xC ．1817=xD ．1817±=x 30．2)8(-= ， 2)8(= 。

教版八年级下册数学教学工作计划一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。

贯彻《初中数学新课程标准》的精神，以学生发展为本,以改变学习方式为目的，以培养高素质的人才为目标,，培养学生创新精神和实践能力为重点的素质教育，探索有效教学的新模式。

义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。

二、学情分析本学期我带初二(2) (3)班的数学课，学生反应较慢，基础较差。

同时初二这个年龄阶段的学生比较调皮，具备一定的应用数学知识解决实际问题的能力，但在知识灵活应用上还是很欠缺，因此在教学中要循序渐进，结合实例，通俗易懂，培养学生活学活用的数学应用能力。

八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。

班级学生非常活跃，有少数学生不上进，思维不紧跟老师。

学生单纯，有部分同学基础较差，问题较严重。

要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。

三、教材分析本学期教学容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：第十一章三角形本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的角和等容。

本章重点：三角形有关线段、角及多边形的角和的性质与应用。

本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形角和的证明与多边形角和的探究。

第十二章全等三角形主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。

更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。

2014年秋季班数学八年级讲义（8）掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（H.L.）【基础知识】1.判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等。

（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等。

（3）一锐角与斜边对应相等。

（4）两直角边对应相等。

（5）两边对应相等。

（6）两锐角对应相等。

（7）一锐角和一边对应相等2.下面说法不正确的是（）A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全B、有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两角对应相等的两个直角三角形全等D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等3.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是__________cm4.如图2，已知：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC5.如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。

求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AB∥CD6.如图4，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于D。

求证：AE＝ED【提高练习】1.如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝____________2.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，求证：CD⊥BE3.已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG。

4.如图，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF5.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．（1）求OA+OB的值；（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA+OB的值．6. 已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AD 是∠BAC 的角平分线，求证：△ABC 是等腰三角形7. 已知：如图，在两个同心圆中，O 是圆心，直线l 与大圆相交于A 、B 两点，与小圆相交于C 、D 两点，求证：AC ＝BD8. 已知：如图，AD ⊥CD ，CD ∥AB ，CD ＝CE ，又AE ⊥BC ，垂足为E ，求证：AB ＝BC9. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°。

精品2014年⼋年级数学上册-三⾓形初步认识同步讲义+练习三⾓形初步认识第01课与三⾓形有关的线段知识点:三⾓形定义：组成的图形叫做三⾓形。

⽤符号“△”表⽰。

注意：三条线段必须①；②组成三⾓形的线段叫做三⾓形的，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的。

注意：三⾓形ABC 的顶点C 所对的边AB 可⽤c 表⽰,顶点B 所对的边AC 可⽤b 表⽰,顶点A 所对的边BC 可⽤a 表⽰.三⾓形三要素：、、。

三⾓形三边的不等关系：。

附加：公式：三⾓形的分类：(1)按⾓分类: 三⾓形、三⾓形、三⾓形。

(2)按边分类:三⾓形的⾼线：从三⾓形的⼀个向它的对边所在直线作，顶点和垂⾜之间的叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼.注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。

三⾓形的三条⾼，简称三⾓形的⼼。

三⾓形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的钝⾓三⾓形直⾓三⾓形锐⾓三⾓形位置边BC 上的中线，表⽰为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三⾓的三条中线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的中线是线段。

三⾓形的⾓平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⾓平分线,表⽰为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

三⾓形三个⾓的平分线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的⾓平分线是线段，⽽⾓的平分线是射线，是不⼀样的。

三⾓形稳定性(1)把三根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个三⾓形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个四边形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的⽊架上再钉⼀根⽊条，将它的⼀对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.⽤⼀条长为18cm 的细绳围成⼀个等腰三⾓形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有⼀边长为4㎝的等腰三⾓形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满⾜c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三⾓形中线的性质：例3.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的⾼，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的⾯积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的⾯积；(4)作出△BCD的边BC边上的⾼DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。

2014年秋季班数学八年级讲义（9）直角三角形中两锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°【基础知识】1. 如果三角形中有一条边是另一条边是2倍,并且有一个角是30°,那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）图形不能确定2. 在直角三角形中,两锐角的平分线相交成钝角的度数是_______°3. 已知，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A ＝30°，求BC ，CD 和DE 的长。

4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ，D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：14CE AB【提高练习】1. 如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点求证：MN ⊥DE 。

2. 已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD ＝CD ，AC ＝BC ，求证：AB ＝BO.3. 如图，在ΔABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝20°，AD ⊥CA 于A ，交BC 于D ，求证：CD ＝2AB4. 如图，AB ∥CD ，E 是AD 中点，CF ⊥AB 于F 。

求证：CE ＝EF5. 如图，在ΔABC 中，∠ABC ＝2∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 中点，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ，求证：BF ＝BD6. 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。

求证：（1）BE=CD;（2）DF=2GF7. 在等边ΔABC 中，AE=CD ，BG ⊥AD ，求证：BP=2PG8. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE 。

整式的乘除与因式分解第一课 积的乘方 幂的乘方知识点：1.同底数幂的乘法： 公式：2.幂的乘方：公式：3.积的乘方：公式：同底数幂基础练习：(1)()())(222222222243=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ (2)35 ⨯45= )(5=(3)7)3(-⨯6)3(-= ())(3-= (4))(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1011011013(5)3a ⨯4a = =()a 幂的乘方基础练习：(1)23)2(= = =）（2; (2)54)(x = = =）（x;(3)3100)3(= = =）（3 ;(4)23])2[(-= = =）（)2(-=）（2;积的乘方基础练习：(1)3)2(x = = × = （2）4)3-(x = = × = （3）5)(ab = = × =例1.计算：(1)310⨯410= ;(2)53a a a ⋅⋅= ;(3);(4)x x x x ⋅+⋅22=(5)11010+⋅m n = ; (6);97)(m m m ⋅-⋅= ;(7)()3922-⨯= ; (8)y y y y ⋅-⋅⋅-425)(=(9)103=)(233⋅=)(533⋅=)(733⋅例2.把下列各式化成()ny x +或()ny x -的形式.(1) ()()43y x y x ++ = ; (2)()()()x y y x y x ---23= ;(3)()()12+++m my x y x = ; (4)342)()()(y x x y y x --- = ;(5)23)()(y x y x +-- = ;例3.计算:(1)32)2(= (2)34)3(= (3)65)(x = (4)3)(n x = (5)8x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅3 (6)12x =)(2)(x =）（xx ⋅2=）（xx ⋅7=)(3)(x例4.计算：(1)()332⨯； (2)()253⨯； (3)()22ab ; (4)()432a ;(5)10001001)21()2(-⨯- (6)()23351021104⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯ (7)20019911323235.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯例5.已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+。

4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
0
1
八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对 ）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒 的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。

无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数,其中x 是自变量，y 是因变量。

正比例函数： 函数y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），此时b=0， y 叫做x 的正比例函数。

2.函数的三种表示方法：列表法 图像法 解析式法 3.作一次函数的图像：列表，描点，连线（1）作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；（2）作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。

4.一次函数y=kx+b 的图像和性质： y 随增大而_________随x 增大而_________例1．（1）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）①12+=x y ②xy 1=③x x y -+=21④t s 60=⑤x y 25100-=A.1个B.2个C.3个D.4个 （2）已知3m22x )2m m (y -+=，如果y 是x 的正比例函数,则m 的值为( )A.2B.-2 C 2,-2 D.0初二数学（秋季）讲义 第十讲 一次函数变式练习1-1. 已知函数(1)3my m x =-+是一次函数，则m=＿＿＿变式练习1-2. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时， ①这个函数是一次函数？ ②这个函数为正比例函数？例2. 已知y 与x-3成正比例，且x=2时，y=7。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y 的值 （3）当y=4时，求x 的值变式练习2. 已知y-2与4x 成正比例，且当x=3时，y=6，写出y 与x 的函数关系式 。

例3．已知等腰三角形的周长为6，底边为y 表示，腰长为x（1）写出用x 表示y 的函数关系式 （2）在坐标系中画出函数图像(3)求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;变式练习3. 在同一坐标系中作出， y=2x+1，x y 3=，的图像例4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。

第10讲简单的图案设计目标导航1、探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)2、①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能.②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.知识精讲知识点01利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．【知识拓展1】（2021秋•丰台区期末）下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【即学即练1】（2021秋•海淀区期末）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【即学即练2】（2021秋•乐亭县期末）如图，（甲）图案通过旋转后得到（乙）图案，则其旋转中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【即学即练3】（2020秋•孝昌县期末）下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是（）A．B．C．D．【即学即练4】（2021秋•海曙区校级期末）如图，3×3网格中每个小正方形的边长都是1，每个网格中有3个小正方形已经涂上阴影，请在余下的空白小方格中，按下列要求涂上阴影．（1）在①中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）在②中选取1个小正方形涂上阴影，使4个小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．知识点02几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．【知识拓展2】（2021秋•晋中期末）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）A．平移变换B．旋转变换C．轴对称变换D．相似变换【即学即练1】（2021秋•浦东新区期末）图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对【即学即练2】（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．平移变换B．旋转变换C．轴对称变换D．相似变换【即学即练3】（2021春•三明期末）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD （如图），下列说法错误的是（）A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCDB．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCDC．将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCDD．将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD【即学即练4】（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行C．对应点连线垂直于直线lD．对应点连线被直线l平分【即学即练5】（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（）A．10B．11C．12D．13能力拓展模块一、简单的图案设计⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格例题1．（2021·吉林长春市·八年级期末）图①、图②均是43点，ABC的顶点均在格点上，请在图①、图②中各画一个三角形，同时满足以下两个条件：()1以点A为一个顶点，另外两顶点均在格点上；()2所作三角形与ABC全等（ABC除外）．【变式1】（2020·湖南益阳市·八年级期末）阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：()1在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是________ (任写一种即可)；()2图1、图2均为66⨯的正方形网格，点、、、，A B C均在格点上，请在图中标出格点D，连接AD CD 使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．【变式2】（2020·江西赣州市·八年级期末）在5×7的方格纸上，任意选出5个小方块涂上颜色，使整个图形（包括着色的“对称”）有：①1条对称轴；②2条对称轴；③4条对称轴．模块二、几何变换综合题例题7．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC ＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE58FC的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．【变式1】（2021·山东济南市·八年级期末）如图网格中，AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是(3,2)A 、()1,3B ．（1）点A 关于点O 中心对称点的坐标为（_______，_______）；（2）AOB 绕点O 顺时针旋转90︒后得到11AOB ，在方格纸中画出11AOB ，并写出点1B 的坐标（______，_______）；（3）在y 轴上找一点P ，使得PA PB +最小，请在图中标出点P 的位置，并求出这个最小值．【变式2】．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，已知直线y＝kx＋2与直线y＝3x交于点A（1，m），与y轴交于点B．（1）求k和m的值；（2）求△AOB的周长；（3）设直线y＝n与直线y＝kx＋2，y＝3x及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出n 的值．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共8小题）1．（2020秋•河西区期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021春•商河县校级期末）如图，正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，下列说法正确的个数有（）①这个图案可以看成正方形ABCD绕点O旋转45°前后图形共同组成的；②这个图案可以看成是△ABC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°得到的；③这个图案可以看成是△BOC绕点O分别旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的．A．1个B．2个C．3个D．以上都不对3．（2020秋•遂宁期末）如图，在9×6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置B，下列说法中正确的是（）A．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45°B．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转45°C．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90°D．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转90°4．（2020春•武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q5．（2020•长兴县模拟）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（）A．B．C．D．6．（2021春•薛城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④7．（2021•饶平县校级模拟）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（2020秋•齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A．对应点连线相等B．对应点连线互相平行C．对应点连线垂直于直线lD．对应点连线被直线l平分二．填空题（共1小题）9．（2021春•东坡区校级期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，并且△ABC≌△DEF，那么这两个全等三角形属于全等变换中的．三．解答题（共6小题）10．（2020秋•东城区校级期中）按照要求画图：（1）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为A1，B1，C1.画出旋转后的△A1B1C1．（2）下面是3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．11．（2021•钦州模拟）如图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已经涂上阴影．（1）请在图1余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）请在图2余下的空白小等边三角形中，选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需画出符合条件的一种情形）12．（2021秋•招远市期中）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，涂黑其中三个方格，使剩下的部分成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为涂黑部分）．请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，并且画上对称轴）．13．（2021春•任丘市期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出各点的坐标：A，B，C．（2）△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移变换得到的？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A′B′C′内部的对应点P'的坐标为．（4）求△ABC的面积．14．（2021•宁波模拟）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）15．（2021•慈溪市模拟）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请在该4×4的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC有公共边的三角形：（1）使得所画出的三角形和△ABC组成一个轴对称图形．（2）使得所画出的三角形和△ABC组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）题组B 能力提升练一．选择题（共2小题）1．（2020秋•南宁期末）拼图是一种广受欢迎的智力游戏．下列拼图组件是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021•邢台模拟）如图是4×4的网格图．将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（）A．①B．②C．③D．④二．填空题（共4小题）3．（2021春•邵阳县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点三角形ABC （顶点是网格线的交点）．以点O为旋转中心，将三角形ABC绕点O逆时针旋转90°得到三角形A1B1C1；将三角形ABC向左平移5个单位得到三角形A2B2C2．这样，三角形A2B2C2可以看做由三角形A1B1C1先以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转90°，然后向左平移5个单位得到的．除此以外，三角形A2B2C2还可以由三角形A1B1C1怎样变换得到呢？请你选择一种方法，写出变换过程是．4．（2021春•铁岭月考）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是．5．（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长cm．6．（2021春•湖北月考）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…P n．若点P1的坐标为（2，0），则点P2021的坐标为．三．解答题（共6小题）7．（2020秋•福山区期末）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案．解答下列问题：（1）图①中的三个图案面积都是，且都具有一个共同特征：都是对称图形；（2）请在图②中设计出一个面积与图①阴影部分面积相同，且具备上述共同特征的图案，要求所画图案不能与图①中所给出的图案相同．8．（2021春•杏花岭区校级期中）阅读下面材料，并解决相应的问题：在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：连接AC，BC，AD，BD．由作图可知：AC＝BC，AD＝BD．∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：）．∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：）．（1）请你将小明证明的依据写在横线上；（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．9．（2021春•贺兰县期中）如图1，把△ABC沿直线BC平移线段BC的长度，得到△ECD；如图2，以BC 为轴，把△ABC沿BC翻折180°，可以得到△DBC；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以得到△AED．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：（1）在图4中，可以使△ABE通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到△ADF？（2）图中线段BE与DF相等吗？为什么？10．（2020秋•西城区期末）如图所示的三种拼块A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位．（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A，B，C三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．11．（2020秋•浦东新区期末）如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．12．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为；（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B的对应点B2的坐标为；（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为．题组C 培优拔尖练一．填空题（共1小题）1．（2020秋•温州月考）某艺术馆一扇窗户（矩形ABCD）上的窗花设计如图所示，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，EF，GH，IJ，KL将矩形ABCD分割成8块全等的小矩形，EF与KL相交于点N，M 是KN上一点，MN＝2KM，ME与AC相交于点P，这8块小矩形图案均可以由其中的一块经过一次或两次变换得到．设矩形ABCD的面积为S，则阴影部分的面积之和为．（用含S的代数式表示）二．解答题（共6小题）2．（2021春•商水县期末）阅读下面材料：如图（1），把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；如图（2），以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3），以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题：①在图（4）中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；②指图中线段BE与DF之间的关系，为什么？3．（2020春•临邑县期末）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出△A′B′C′各点的坐标：A′；B′C′；（2）若点P（a，b）是△A′B′C′内部一点，则其图形变换后的对应点P′的坐标为；（3）说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的图形变换得到的？；（4）△ABC的面积＝．4．（2019秋•怀集县期末）小金鱼在坐标系中的位置如图所示，将小金鱼身上的A、B、C、D、E、F的横坐标都乘以﹣1，纵坐标也都乘以﹣1，小金鱼跑到哪里去了？请在图上画出来．5．（2019春•鹿邑县期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．（3）求图中△ABC的面积．6．（2019•安徽二模）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为．（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．（3）直接写出AC与y轴交点的坐标．7．（2019春•长春期末）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．。

2014年秋季班数学八年级讲义（12）掌握函数的基本概念掌握正比例函数和反比例函数的概念、图像、性质 【基础知识】1. 求下列各式的定义域（1）y =（2）()01y x =-+2. 下例函数中哪个与函数y x =相等（ ）A.2y =B.yC.y =D.2x y x=3. 判断12y x =-下列函数)(x f 与)(x g 是否表示同一个函数，说明理由（ ）A ．()0()1f x x =-，()1g x =； B. ()f x x =，()g x =C ．2()f x x =，()2()1g x x =+； D 、()f x x =，()g x =4. 一个游泳池内有水3003m ，现打开排水管以每时253m 的排出量排水。

（1）写出游泳池内剩余水量Q 3m 与排水时间t 小时的函数关系式： （2）写出自变量的取值范围；（3）开始排水后5h ，游泳池中还有多少水？ （4）当游泳池中还剩1503m 时，已经排水多少小时？5. 已知正比例函数2y x =，当3x =时，函数值________y =。

6. 已知正比例函数12y x =-，当3y =-时，自变量________x =。

7. 已知正比例函数y kx =，当自变量x 的值为4-时，函数值20y =，则比例系数__k = 8. 已知()11y k x k =++-是正比例函数，则k 的值___________． 9. 下列说法正确的是（ ）A. 圆面积公式2S r π=中，S 与r 成正比例关系 B .11y x=+中，y 与x 成反比例关系C. 三角形面积公式2ahS =中，当S 是常量时，a 与h 成反比例关系 D. 12x y -=中，y 与x 成正比例关系 10. 下列说法中不成立的是（ ）A ．在31y x =-中1y +与x 成正比例；B ．在2xy =-中y 与x 成正比例 C ．在()21y x =+中y 与1x +成正比例； D ．在3y x =+中y 与x 成正比例11. 已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线3y x =-上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的关系是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1<y 2 C ．y 1=y 2 D ．以上都有可能12. 函数13+=m x y 当______m =时是正比例函数；当______m =时是反比例函数。

2014年秋季班数学八年级讲义（13）掌握正比例函数、反比例函数图像及其性质 理解函数图像和实际生活的联系 【基础知识】1. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元3/m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元/3m 收费，超过部分按2.6元/3m 计费．设每户家庭用用水量为x 3m 时，应交水费y 元． （1）分别求出020x ≤≤和20x 时y 与x 的函数解析式； （2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：小明家这个季度共用水多少立方米？2. 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． （1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ （2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？3. 某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离S （千米）与行走时间t （分钟）的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题：（1）此人离开出发地最远距离是____________千米；（2）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为____________分钟；（3）由图中线段OA 可知，此人在这段时间内行走的速度是每小时____________千米；（4）此人在120分钟内共走了____________千米．时间/时4. 已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标【提高练习】1. 设32)2(+=+x x g ，则)(x g 等于（ ）A.12+xB.12-xC.32-xD.72+x2. 已知()()221(1)x x f x x x ⎧+≤-⎪=⎨>-⎪⎩，若，则的值是（ ） A B. 或C. ，或D3. 小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．上图中，折线OABC 是表示小王离开甲地的时间t （时）与路程S （千米）之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是（ ）A ．小王11时到达乙地B ．与8：00－9：30相比，小王在10：00－11：00前进的速度较慢C ．小王在途中停了半小时D ．出发后1小时，小王走的路程少于25千米4. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止。

考号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
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考号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场 七考场
考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场 一考场

第一讲三角形的三线【知识体系】一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个角．二、三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．〔1〕三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法一样，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．〔2〕三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形部一点．②画三角形中线时只需连结顶点与对边的中点即可．〔3〕三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．三、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可四、三角形的稳定性2题图D C B AC C C C三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 【例题解析】 【例1】填空1、按角分类 ：可分为三角形、三角形、三角形；按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等腰三角形； 2、〔1〕如图，假设，那么AD 是△ABC 的中线；三角形有条中线；三角形的中线将三角形分成相等的两个三角形；〔2〕如图，假设，那么CE 是△ABC 的角平分线；三角形有条角平分线； 〔3〕如图，那么BF 是△ABC 的BC 边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形部；直角三角形条高在三角形部；钝角三角形条高在三角形部；3、以下图形中有稳定性的是 A. 正方形 B. 长方形 C. 三角形 D. 平行四边形【例2】对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.【练】以下四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )【例3】如图，在ΔABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高。

2014年秋季班数学八年级讲义（1）掌握二次根式的相关概念掌握二次根式的运算，及常用技巧【基础知识】1. 求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2. 把下列各根式化为最简二次根式：()()（），（）（），19600224750325121003234a b a b a b ca b ≥≥≥≥3. 判断下列各组根式是否是同类根式：（）；；（）当时，，，117531516238534202--<<+-m n n m m n n m mn4. 把下列各式的分母有理化：()（）；（）；（）11232252323111101-++-+--≤≤a aa aa5. 计算：（）（）（）11841213233215121333352253121262-++⎛⎝ ⎫⎭⎪÷÷+⎛⎝ ⎫⎭⎪--+--6. 化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-7. 化简：()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------st s m m m x x x x x x a b a b a b b a()||8.已知：a ba b b a==+【提高练习】1. 设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ）（A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在2. 已知实数a满足：|2014|,a a -=那么22014a -=( )（A ） 2013 （B ） 2014 （C ） 2015 （D ） 20163. 满足等式20032003x x y =的正整数对()x y ，的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44.( )5.6. 化简：((12【巩固练习】1. 已知实数a 满足a a a =-+-19931992，则=-21992a __________________；2. 使等式99=+y x 成立的整数对()y x ，的个数为__________________；3. ,,a b c为有理数，且等式a +29991001a b c ++的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定 4.等于（ ）（A）5- （B）1 （C ）5 （D ）1 5.________2013++=.6.的结果是______________。

本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．内容分析知识结构模块一：二次三项式因式分解知识精讲二次三项式的因式分解 及一元二次方程的应用2 / 15【例1】 若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】 将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=， 所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --例题解析C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________． 【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+； （2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解． 【例6】 在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=+；4 / 15（2）()()4233341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(2412323x x x x ++=++；（2）(2422626x x x x --=--+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-； （2）2423x x +-； （3）2361x x -+；（4）2633x x -．【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭； （3）236363613x x x x ⎛+--+=- ⎝⎭⎝⎭；（4）2336336x x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=-- ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22414x y xy xy xy ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．6 / 15【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ． 此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；知识精讲一元二次方程应用：利率问题本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？ 【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税， 1.07744 1.038=）． 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本例题解析8 / 15利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税） 【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率． 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ， 分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）随堂检测A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-． 【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A、2x x （ B、)()x y x y （ C、2)()x y x y （D、(24)(24)x y x y --+10 / 15【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为46462)()x y x y +--（． 【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式， 则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________． 【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ． 【解析】注意分解范围．【习题8】 当m ______________时，二次三项式222x x m +在实数范围内能分解因式． 【答案】41≤m ． 【解析】要使二次三项式222x x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2220x x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】 在实数范围内分解因式：（1）276x x --； （2）2297x x ++； （3）2241y y -+； （4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭； （2）()()2297271x x x x ++=++；（3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭；（4）(21111122x x x x --=--． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】 在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+； （4）24)x x +-12 / 15【答案】（1）2246462852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫+--+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭； （3）2251351353a x ax ax ax ⎛+--+=- ⎝⎭⎝⎭； （4）()(2(24)4242x x x x +-=-． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为122727,33x x -+--==，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．课后作业14 / 15【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D 、2(1)(2)(2)x x x +- 【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+ 【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围． 【答案】81<m ． 【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根， 即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+； （3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。

2014年秋季班数学八年级讲义（11）【基础知识】1. 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B ，（1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA2. 如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为___________3. 如图，在长方形ABCD 中，将 ABC 沿AC 对折至 AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。

（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长4. 如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。

如果M 为CD 的中点，求证：DE ：DM ：EM=3：4：55. 如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.6. 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C 、D ，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线7. 如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。