2018年八年级数学寒假培训资料

1、 一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．模块一：一次函数的概念一次函数的概念及图像知识结构知识精讲【例1】（1）一次函数y kx b =+（0k ≠），当_________时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的_________情况．（2）已知函数y =（a -2）x +1-2b 是一次函数，则a __________，b _____________． 【例2】下列函数中，哪些是一次函数?（1）12y x =； （2）2y x =-+；（3）2(21)y x x =-+； （4）5y x=；（5）2y x x =-；（4）()()y ax bx a a b =-+≠．【例3】根据变量x ，y 的关系式，判断下列函数是什么函数？ （1）1y x -=； （2）2xy =-； （3）33(1)x y +=+．【例4】已知一个一次函数，当自变量3x =时，函数值为1y =-；当2x =时，8y =．求这个函数的解析式．【例5】已知一次函数1()13f x x =-，（1） 求(9)f -，3()2f ；（2） 如果f （a ）= 4，求实数a 的值．【例6】已知一次函数()2135m y m x +=--，求实数m 的值．【例7】已知一次函数y kx b =+的图像经过点(20)，、(02)-，，求k b -的值．例题解析【例8】已知两个变量y 与x 的关系式是21(2)2a y a x a -=--，当y 是关于x 的一次函数时，那么函数是否经过点(35)，与点(11)--，？【例9】已知y 与x 的关系式是(3)y a x a =-+（其中a 是常数），那么y 是x 的一次函数吗?请说明．【例10】已知一次函数解析式为()21345m y m x x +=-+-，求实数m 的值．1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．模块二：一次函数的图像知识精讲师生总结画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ． 3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移 得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．【例11】在下面平面直角坐标系中，利用描点法画下列一次函数的图像：（1）12y x =-； （2）1122y x =-．并根据所画的图像求出两个函数交点坐标．例题解析【例12】若一次函数2(2)(4)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像．【例13】写出下列直线的截距：（1）34y x =-；（2）12(2y x =；（3）y -4=2（x -3）；（4）y -x =0．【例14】若一次函数y = k (x +1)-2的图像在y 轴上的截距是-4，求这个一次函数的解析式．【例15】若直线y = kx +b 与直线y =2x -3无交点，且直线y = kx +b 的截距是-9，求这个一次函数的解析式．【例16】某一次函数解析式向下平移5个单位可得13y x =-+，（1）求该一次函数的解析式；（2个单位后得到的解析式．【例17】若把函数y=2x-1的图像向下平移2个单位，再向左平移1个单位，求平移后的函数解析式．【例18】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过点（3，2）以及点（1，1）；（2）直线经过点（7，0）以及截距是14；（3）直线经过点(30)-，以及截距是【例19】已知直线y kx b=+经过点(12)A-，和点1(3)2B，，求这个一次函数的解析式．【例20】根据已知条件求出一次函数解析式：（1）与直线3y x=-平行，且截距是-2017；（2）经过点(11)-，，且与直线1y=-平行；（3）与直线213y x=--平行，且与x轴交点离原点距离为1．【例21】某函数解析式通过向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得直线y x=-+求该函数的解析式，并求出其截距．【例22】已知一次函数1=-+的图像与y=-2x-5相交于点B，两个函数分别与x轴相交y x于A、C两点，求△ABC的面积．1、一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）与x 轴交点坐标为(0)b k-，，与y 轴交点坐标为(0)b ，，当0b ≠时，一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，且其面积公式为22b S k∆=．【例23】根据下列函数解析式，判断其是否能与坐标轴围成三角形，如果能，请求出该三角形的面积． （1）21y x =-；（2）y x =--（3）213y x =+．【例24】已知直线3y x b =+与坐标轴围成的三角形面积为18，求b 的值．【例25】求下列两组一次函数的交点坐标：（1）2y x =-+与31y x =-；（2）312x y -=与32y x =-．模块三：简单的数形结合例题解析知识精讲【例26】如图，直线AC 与直线BD 交于点E ，其中点(02)A ，、点(01)B ，、点(23)C ，，点3(2)2D ，，求出△ABE 的面积．【例27】已知两条直线123y x =-和25y x =-.与x 轴的交点分别为点B 、点C.（1）求出它们的交点A 坐标；（2）求出这两条直线与x 轴围成的ABC 的面积．【例28】如图，已知一条直线经过点A （0，4）和点B （2，0），将这条直线向左平移与x负半轴、y 负半轴分别交于点C 、D ，使得BD =CD ，求CD 所在直线的函数解析式．【例29】如图，一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A (2，0)，B (0，4)． （1）求该函数的解析式；（2）若O 为坐标原点，设AB 、OA 的中点分别为D 、C ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时点P 的坐标．Ex【例30】如图，反比例函数2yx=的图像与一次函数bkxy+=的图像交于点(2)A m，，点(2)B n-，，一次函数图像与y轴的交点为C．（1）求点A、B的坐标；（2）求一次函数的解析式；（3）求△AOB的面积．【习题1】下列说法正确的是（）A ．正比例函数是一次函数B ．一次函数是正比例函数C ．正比例函数不是一次函数D ．不是正比例函数就不是一次函数【习题2】已知函数2(1)1y k x k =-+-，当k ________时，它是一次函数；当k _______时，它是正比例函数．【习题3】根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?（1）23y x +=-； （2）21xy x =-； （3）31x y -+=-； （4）30.382016yx =+； （5）32x y x-=；（6）y kx b =+．【习题4】当m 为何值时，函数23(2)(4)m y m x m -=--+-是一次函数．【习题5】在同一直角坐标系内画出下列一次函数图像：（1）32y x =-；（2）34y x =-+．随堂检测【习题6】已知一次函数23()32f x x =-， （1）求(1)f -，(3)f ； （2）如果5()2f a =，求实数a 的值； （3）求该一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．【习题7】在同一坐标系中，对于函数①1y x =--，②1y x =+，③1y x =-+，④2(1)y x =-+的图象，通过点（-1，0）的是___________，相互平行的是__________，两条函数图像交点在y 轴上的是___________．（填写序号）【习题8】已知直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标为2，与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1，求直线l 的函数关系式．【习题9】根据下列要求求一次函数解析式：（1）一次函数经过A (23)，且其与y 轴的截距为-2； （2）一次函数的截距为-5，且与31y x =--无交点； （3）一次函数的图像经过原点，且其经过A (3)(0)a a a ≠，．【习题10】一次函数2(4)(1)y m x m =-+-和2(1)3y m x m =-+-的图象与y 轴分别交于点P和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =______．【习题11】当k 为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限?【习题12】如图，△ACB 是边长为6的等边三角形，求：（1）点A 的坐标；（2）求直线AC 、AB 的解析式．【习题13】一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图象经过点(21)-，，（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积； （3）求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【习题14】如图所示，直线L 1的解析表达式为33y x =-+，且L 1与x 轴交于点D ，直线L 2经过点A ，B ，直线L 1，L 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线L 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；（4）在直线L 2上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP 积相等，请直接写出点P 的坐标．【习题15】已知直线3y x =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．【作业1】判断下列函数类型： （1）33y x =-；（2）32y x=； （3）52x y -=；（4）1)y x =-；（5）722y x =-；（6）2016y x =．【作业2】已知1()22f x x =-，求： （1）(3)f f ，； （2）若()1f a =，求a 的值．课后作业【作业3】在同一坐标系内画出下列一次函数图像：（1）21y x =-；（2）23y x =+；【作业4】一次函数24y x =-+的图象与x 轴交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是__________，与坐标轴围成的三角形面积是___________． 【作业5】函数28(3)my m x m -=-+的图像是一条倾斜的直线，求m 的值．【作业6】根据下列条件求解相应函数解析式：（1）直线经过点(45)，且与x 轴无交点；（2(1．【作业7】直线y kx b =+与坐标轴只有一个公共点，且其还经过1)+，求k b +的值．【作业8】直线y kx b =+与直线54y x =-平行，且与直线3(6)y x =--相交，交点在y 轴上，求此直线的解析式．【作业9】把直线y x =-先向上平移求平移后的函数与坐标轴所围成的三角形面积．【作业10】如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3，4），B 为一次函数与y 轴的交点，且OA=OB ． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．【作业11】一次函数y kx b =+的截距为-2面积为1，求该一次函数的解析式．【作业12】一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形面积为2，且其经过(11)，，求该一次函数解析式．2、 一元一次方程与一次函数（5） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(,0)bk -． （6） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．3、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数的图像和性质知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式x没【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式0kx b +≤的解集．【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【例7】已知一次函数y ax b=+与y mx n=+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44 ax bmx n+>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b ax mx y n-=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n+≤+．【例8】当－1≤x≤2时，函数6y ax=+满足10y<，求出常数a的取值范围．5、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．6、 一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】 已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________．【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?【例11】 已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小．【例12】 完成下列填空：（1） 直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2） 直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________．【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________．【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1） 随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2） 直线4y kx =-经过哪几个象限? （3） 直线y kx b =+经过哪几个象限?例题解析【例16】已知直线(21)3y m x m=-+，分别根据下列条件求m的值或m的取值范围：（1）这条直线经过原点；（2）这条直线经过一二四象限；（3）这条直线不经过第三象限；（4）这条直线与2 1.5y x=-+平行；【例17】函数y ax b=+与y bx a=+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）．A B C D 【例18】点(1，m)、(2，n)在函数2(963)3(3)y a a x a a=-+-+-≠的图象上，则m、n的大小关系是____________．【例19】无论p为何值，除0以外，直线2y px p=+一定经过__________象限．【例20】不论k为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k--+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线11b x a y +=1(0)a ≠与22b x a y +=2(0)a ≠的位置关系： 当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】 已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限．【例22】 若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积； （3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积； （4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积.例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用【例23】 已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式．【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围．【例25】 已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大， 则k =_____________．【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________．【习题3】若0bc <，0ab >，则一次函数a cy x b b=--的图像经过第_________象限．【习题4】已知点A (2)a -，、B (3)b -，在直线(5)2y k x =++上，且a b ≥，则k 的取值范围是__________．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k =--，则一次函数213ky kx k -=+在y 轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n =-+-不经过第三象限，则m 、n 的范围是________；（2）直线(63)24y m x n =-+-不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值 范围是__________随堂检测【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x-≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标；（2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b =--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求∆COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时∆COM ≌∆AOB ，并求此时M 点的坐标．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x=-平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(125)--，，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【作业1】已知一次函数y kx b=+的图像交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________【作业2】（1）已知m是整数，且一次函数(4)2y m x m=+++的图像不经过第二象限，则m为__________；（2）一次函数(2)43y a x a=-+-的图像与y轴的交点在x轴的下方，则a的取值范围是__________．【作业3】已知直线2(0)y mx m m=+<．（1）当x取何值时，0y=？（2）当x取何值时，0y>？（3）当x取何值时，0y<？（4）在m的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？课后作业【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴下方所有点的横坐标的取值范围； （2）求解不等式0kx b +≥．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（ ）．ABCD【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限？【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根； （2）不等式320x --≥的解集； （3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积；【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行；（4）直线在y 轴上的截距4； （5）直线经过一三四象限；【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ，，且把∆AOB 分成两部分．（1）若把∆AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值； （2）若∆AOB 被分成的两部分面积之比为1:5，求k 、b 的值．一次函数的应用知识结构模块一：一次函数在实际问题中运用知识精讲1、一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题．2、在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式．3、学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值．)【例26】弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是_______.【例27】如图，图中表示的是某航空公司托运行李的费用y （元）与托运行李的质量x (千克)的关系.（1）求出y 关于x 的函数关系式．（2）如果想免费托运，那么行李最多为多少重?（3）陆先生去旅行托运的行李费为450【例28】已知汽车油箱容量约为78升，当汽车加满油后，行驶250千米耗油8升，现在设该汽车油箱中的剩余油量y 升与该汽车行驶里程数x 千米是一次函数关系式，求该函数解析式，并根据解析式求解该车最多能行驶多少千米?【例29】由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米3)与干旱的时间t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3D ．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3)(分钟)【例30】为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y/cm ，椅子的高度（不含靠背）为x/cm ，则y 是x 的一次函数。

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：八年级辅导科目：数学授课日期时间主题第8讲-期中备考（一）学习目标1.解决在一次函数背景下的特殊三角形存在问题中，熟练掌握分类讨论思想；2.期中模拟测试．教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。

（二）上次预习思考内容讨论分享（此环节设计时间在10－15分钟）案例：如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（3，0），点C(0，4)，直线l经过点C；（1）若在x轴上方直线l上存在点E使ABE∆为等腰直角三角形，求直线l的解析式；（2）若在x轴上方直线l上存在点F使ABF∆为有一个角为30°的直角三角形，这样的直线l有条.参考答案：（1）342y x=-+或24y x=-+或243y x=-+；（2）6（此环节设计时间在40－50分钟）【知识梳理】知识点一：一次函数的概念1、一般的解析式形如：b kx y += （b k ,是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。

2、一次函数的定义域是一切实数。

3、当0=b 时，解析式b kx y +=就成为kx y =（k 是常数，且0≠k ），这时x y 是的正比例函数。

4、一般的，我们把函数c =y （c 为常数）叫做常值函数。

它的自变量由所讨论的问题决定。

知识点二：一次函数的图像与性质1、一般地，一次函数b kx y +=（b k ，是常数，且0k ≠）的图像是一条直线2、一般地，直线b kx y +=（0≠k ）与y 轴的交点坐标是（0，b ）。

直线b kx y +=（0≠k ）的截距是b 。

3、一般地，一次函数b kx y +=（0b ≠）的图像可由正比例函数kx y =的图像平移得到。

当0>b 时，向上平移b 个单位；当0<b 时，向下平移b 个单位。

如果21b b ≠，那么直线1b kx y +=与直线2b kx y +=平行。

寒假班初二年级数学复习（第三章）第1课时 中心对称与中心对称图形（6课时）一、知识点：1、图形的旋转；图形旋转的性质。

2、中心对称；中心对称的性质。

3、中心对称图形：4、中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。

（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 .5、对比轴对称图形与中心对称图形：二、举例：例1：如图，将点阵中的图形绕点O 按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.例2：画出将ΔABC 绕点O 按顺时针方向旋转180°后的对应三角形。

例3：如图，已知ΔABC 是直角三角形，BC 为斜边。

若AP=3，将ΔABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ΔACP ′重合，求PP ′的长。

·O CBCB例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=1200，以BC 为边向形外作等边三角形△BCD ，把△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD ，若AB=3，AC=2，求∠BAD例6：如图，直线l 1⊥l 2，垂足为O ，点A 1与点A 关于直线l 1对称，点A 2与点A关于直线l 2对称。

点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？4、如图是一个平行四边形土地ABCD ，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH ，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹），简要说明理由.第2课时 平行四边形一、知识点：1、平行四边形的定义：2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD ，读作平行四边形ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

BB2、平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等；③平行四边形的对角相等； ④平行四边形的对角线互相平分。

BC寒假班初二年级数学复习（第一章）第一课时考点1：轴对称及轴对称图形的意义（4课时）一、知识点：1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。

二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 最短。

变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D 6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）：BlA ．B ．C ．D ．A B C D （1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180 ．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。

二、基本图形：1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。

寒假班初二年级数学复习（第二章)第1课时勾股定理、勾股定理的应用（3课时）一、知识点:1、勾股定理：２、神秘的数组(勾股定理的逆定理):二、典型例题:例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和４,求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6,斜边为10,求另一条直角边例２：在△ABC 中，AB=1３,AC ＝15,BC=14，。

求B Ｃ边上的高ＡＤ。

例3:在△ABC 中,AB=15,AC=20,B Ｃ边上的高AD=1２，试求BC 的长.(两解)例４:如图,在△ABC 中，A Ｃ=AB ，Ｄ是ＢC 上的一点，ＡD ⊥A Ｂ，A Ｄ＝９cm ，ＢD=15cm,求AC 的长.例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着,它又掉头向正东方向航行１5千米.⑴ 此时轮船离开出发点多少k ｍ? ⑵ 若轮船每航行1ｋm,需耗油0．4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?DCBADCBA例6:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC ＝8c ｍ,现将直角边AC 沿直线折叠,使它落在斜边AB 上,且点C 落到E 点,则C Ｄ的长是多少？例７:如图,四边形ＡBCD 中，A Ｂ=3,BC=4,C Ｄ=12,ＡD=13,∠B=90°,求四边形ABC Ｄ的面积。

例８:有一根70cm 的木棒，要放在50ｃm,４0cm ，30cm 的木箱中,试问能放进去吗？例9:甲、乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8∶0０甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时后乙出发，他以5千米／时速度向西南方向行走，上午１０∶00时,甲、乙两人相距多远？10:如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀,也能拼成一个大正方形吗？ 边的长为多少？EDCBABACD第二课时平方根、立方根一、知识点:1、什么叫做平方根？２、平方根的表示方法:3、平方根的性质： 4、算术平方根：5、算术平方根的性质： 6、什么叫做立方根?７、立方根的性质：二、举例:例1：填空题：⑴１６的平方根是 ;２5的平方根是 ；4916的平方根是 ； 2．56的平方根是 ;(－２)2的平方根是 ;210-的平方根是 。

，则 x，y，z 三个数的大小关
系是( ). A.z<x<y B. y<z<x
C. x <y<z D. z<y<x
4. 当 a=1.66，b=1.62，c=1.16 时，
a2
ac
1
ab
bc
b2
bc
1
ab
ac
c2
ac
1 bc
ab
=(
).
A.100 B.200
C.150 D.300
1
5.
若
x+2y－3z=0，4x+3y－5z=0，则
6
22. 点 P(2，a )在反比例函数 y= k 的图象上，它关于原点中心对称的点在一次函 x
数 y=2x+3 的图象上，则 k 的值为( ).
A.－1
B.1
C. 1
D.2
2
23. 如图，等腰梯形 ABCD 中，CD//AB，CD:AB= 1:2，O 为对角线的交点，∠
ACD=60°. 若点 S，P，Q 分别为 DO，AO，BC 的中点，则△PQS 与△AOD
B.－2
C.0
D. －2 或－8
8. Known real numbers a，b，c satisfy 6a+13b+6c=75，9a+9b+2c=60. Then
3b 2c =( ). 3a 2b
A.－1 B.0
C.1
D.2
2
9. 三个互不相等的实数，小林将其表示为 0， y ，y 的形式，小李将其表示为 1， x
A
B
F
D
E
C
13

学科教师辅导讲义第9题图第10题图∴______∥_______（）．∴∠1=_________（）．∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．7．把命题“两个无理数的积仍是无理数”改写成“如果……那么……”的形式结果是_____ ____，那么_______ ___．8．命题“直角都相等”的题设是______ __，结论是_______ _____．9．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．10．如图，已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=______．三、解答题（共49分）11．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（15分）（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b=0，则ab=0；（3）若ab=0，则a+b=0．12．（10分）如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．13．（10分）如图，∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，求∠BEC的度数．14．（14分）如图，AB∥DE．（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系，仍然满足（1）中的结论吗？若符合，请你证明；若不符合，请你写出正确的结论并证明（要求：•画出相应的图形）．第三部分经典证明例题解析在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；题型二：证明两线平行；题型三：证明两线垂直；题型四：证明两角相等；题型五：证明线段或角的和差倍；题型六：证明两次全等；证明线段相等的方法要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（一）要证明的两条线段分别在两个三角形中——利用全等三角形；一般的思路是证三角形全等——两全等三角形中对应边相等。

1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题 期中备考（二）学习目标1．复习巩固一次函数、代数方程的知识点； 2．期中模拟测试．教学内容1、 上次课后巩固作业复习1．x x 83=的解是____________________。

2．方程x x =+12的根是________________。

3．当m ＝________时，关于x 的分式方程233-=+-x mx 无实数解。

4．用换元法解方程01113=+-+-x x x x 时，如果设y x x=-1，那么原方程可化为关于y 的整式方程，它可以是________________。

5．下列方程中，有实数解的是（ ）A 、x x -=+2B 、2211=---x xC 、1=-+x x D 、142=+x6．某工程甲独做x 天完成，乙独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲独做3天才能全部完成，下列方程中符合题意的是（ ） A ．1358=-+x xB ．135)311(=+⨯++x x xC ．1)131(533=+-+-xx xD ．1385=++x x7．解下列方程（组）（1）．01244)(222=-+--x x x x （2）．21122442++=-+-x xx x（3）．1123++=x x（4）．解方程组：⎩⎨⎧=-=--304322y x y xy x参考答案：1．1230,22,22x x x ===-； 2．4x =； 3．9-； 4．2310y y ++=；5．A ； 6．B ； 7．（1）123,2x x ==-； （2）1x =-； （3）89x =； （4），2112342,132x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩2.互动探索 1．一次函数2)2(21+-=x y 在y 轴上的截距是_______________． 2．一次函数()24+++=m x m y的图象不经过第二象限，m 的值为_____ ____．3．对于一次函数32--=x y ，当x _______时，图象在x 轴下方． 4．已知直线1y mx =-经过点（1，－3），那么该直线与两坐标轴围成的三角形面积为_________． 5．若方程11=-+x k 无实数根，则k 的取值范围是 ．6．若分式方程024122=+-+-x x a 有增根，则=a ________________． 7．方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是 ．8．方程组710x y xy +=⎧⎨=⎩的解是___________________________．9．用换元法解方程222131x x x x -+=-时，如果设21xy x =-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程，它可以是___________________________．10．方程()012=--x x 的根为 ．参考答案：1．1； 2．42x -<≤-； 3．32x >-； 4．14； 5．1k >； 6．14-； 7．3k≤；8．1125x y =⎧⎨=⎩，2252x y =⎧⎨=⎩； 9．22310y y -+=； 10．1x =．【知识梳理1】1.如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型 开学备考复习（一）授课日期及时段教学内容知识点总结：一、二次根式的定义和性质1．二次根式的定义: 代数式,(0)a a ≥叫做二次根式，仍然读作“根号a ”。

其中，a 是被开方数。

2．二次根式有意义的条件：被开方数0≥ 二次根式无意义的条件：被开方数0<(常见题型：222211,,,,,,A A A A A A A A ---+-何时有意义.) 3．二次根式的性质：①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ；（⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a ）,0,0a a a a a a ⎧=≥⎪⎨=-≤⎪⎩②)0()(2≥=a a a③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；（()(),0,0,0,0ab a b a b ab a b a b ⎧=≥≥⎪⎨=--<<⎪⎩g g ） ④)0,0(>≥=b a ba b a （(),0,0,(0.0)a aa b b b a a a b ⎧=≥≥⎪⎪⎨-⎪=<<⎪）4.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.二、最简二次根式和同类二次根式1．被开方数同事符合(2)⎧⎨⎩（1）被开方数中各因式的指数都为1被开方数不含分母，则称该二次根式为“最简二次根式2．几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.一元二次方程：1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()20,0ax bx c a++=≠的形式.这种形式简称一元二次方程的一般式.其中，2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程()200ax bx c a++=≠，当240b ac∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac∆=-<时，方程没有实数根.上述判断反过来也是正确的，即当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；∆=当方程没有实数根时，0∆<. 4.一元二次方程在二次三项式中的应用：二次三项式)0(2≠++a c bx x a 因式分解的一般方法： ①观察是否可以用十字相乘、公式法等直接分解因式；②若不能直接因式分解，求出一元二次方程)0(02≠=++a c bx x a 的两个实数根：aacb b x a ac b b x 24242221---=-+-=、；（042≥-ac b ） ③写出分解式：=++c bx x a 2))((21x x x x a --.注：若042<-ac b ，则)0(2≠++a c bx x a 在实数范围内不能分解因式.正比例、反比例函数：一、 函数的概念： 1．变量、常量 2．函数 3．函数解析式 4．自变量5．自变量的取值范围和函数值 二、正比例函数 （一）定义： 1．两个变量成正比例2．解析式形如,(0)y kx k =≠的函数叫做正比例函数. 3．k 是比例系数 （二）图像1．正比例函数的图像是一条过原点的直线. 2．k 成斜率，其定向作用k 越大，正比例函数的图像倾斜程度越大.函数解析式,(0)y kx k =≠0k >0k <图像所过象限一、三二、四y 随x 的变化情况 y 随x 的增大而增大 y 随x 的减小而减小y 随x 的增大而减小 y 随x 的减小而增大自变量取值范围 x 取任意实数二、 反比例函数 （一）定义： 1．形如ky x=，0k ≠的函数称为反比例函数. 2．k 称为比例系数.（二）图像： 1．反比例函数的图像是双曲线.双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心为坐标原点，对称轴为直线,y x y x ==-.2．k 的几何意义：过双曲线上一点做两轴的垂线，垂线与两轴围成的三角形的面积等于k .（三）性质：函数解析式()0ky k x=≠ 0k >0k <一三象限二四象限在每一象限内y 随x 的增大（减小）而减小（增大）在每一象限内y 随x 的增大（减小）而增大（减小）l 、下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．b 2.0B ．b a 1212-C ．22y x -D ．25ab2．已知下列运算中，正确的是（ ）A ．525187==+B ．xy x y x xyxy y x =÷=⋅÷1133C ．y x y x +=+22D ．当a <0时,化简:ab a b a --=-33．在二次根式:4、12、32、8中，与2 是同类二次根式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．分母有理化：=-121_______________；5．已知1x ≤，化简244x x -+=_ ____．6、如果最简二次根式13+x 和75-x 是同类二次根式，那么=x . 7．a 21a a+-化简二次根式号后的结果是_________． 8. 已知〉xy 0，化简二次根式2yxx -的正确结果为_________． 9、-1x +-1x -的有理化因式是_______．10、n m ,都是实数，且满足369922-+-+-=n n n m 。

学科教师辅导讲义例3：如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE 平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.二、轨迹例4：已知：∠MON及点A、B，求作点P，使PA=PB，且点P到∠MON两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）三、直角三角形的全等判定和性质例1：如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延长线于F．求证：∠FAC=∠B．图10FCDBAE例2：如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．例3：如图, ,,A C MON OM AB ON B CD ON D ∠⊥⊥、是的边上两点于于， 若1OA=,OB=CD,OD+AB=12求MON ∠的度数．例4：如图，已知在ABC ACB AC BC AE BE E AE BD ∠==⊥=V 中，，，于，． 求证：BD ABC ∠平分．四、勾股定理和两点间距离公式例1：如图，长方形ABCD 中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点，求EF 及AE 的长.EACBD8、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） 二、解答题1.如图在Rt △ ABC 中，∠C=90°AC ＞BC,AB 的垂直平分线与AC 相交于点E,联结BE,若∠CBE ∶∠CEA=1∶4,求∠A 和∠ABC 的度数 EADCB2、如图已知BE,CE 分别为△ ABC 的两个外角平分线，EP ⊥AM, EQ ⊥AN 求证： （1） EP=EQ（2） 点E 在∠NAM 的平分线上MPB ENQ CA3．如图，△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 边的中点，E 、.F 分别在CA 、CB 上，且∠EDF =90°．求证：DE=DF ．CAEF DB4.已知：如图，△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，M 是BC 的中点，MN ⊥DE ，垂足为N ． 求证：DN=EN ．5、已知直角坐标平面内的两点分别为A （3，3），B （6，1）,设点P 在x 轴上，且PA=PB ，求点P 的坐标.6、已知：如图，ECD ∆∆和ABC 都是等腰直角三角形，090=∠=∠DCE ACB ，D 为AB 上一点. 求证：222DE AE AD =+.A B AE ND M B C课后作业：一：填空选择题1．△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，点O是AB的中点，直线l是线段AO的垂直平分线，那么下列命题中，错误的是 ( )A．直线l不经过C点 B．点C在直线l上C．直线l与AC边相交 D．直线l与BC边相交2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12AB ,D是AB的中点，DE ⊥BC于E，图中等于60°的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，则下列结论中，正确的是 ( ) A．AD=2BD B．2AD=5BDC．AD=3BD D．AD=4BD4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，错误的是 ( )A．∠ACD=∠BB．∠ECB=∠DCEC．∠ACD=∠ECBD．∠B = ∠A-∠ECD5．下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等B．在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么它们的周长相等D．有两余边相等的三角形是等腰三角形6.等腰直角三角形斜边上的中线为lOcm，则此等腰直角三角形的面积为_____________2cm7．如图△ABC中，AB=AC，∠A：∠B：∠C=4:1:1，BD=DC．DE⊥ AB于E，则AE：EB=_______________________.3.如图，正方形ABCD中，BD∥AE ,BD=BE ，BE交AD于F．求证：(1)∠EBD=30°；(2)DE=DF．4.如图，已知：BAC CBF∠∠与的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F，G、H为垂足。

DC BA初二数学第一讲 复习专题——— 三角形一、学习要求：1、掌握三角形辅助线的基本做法。

2、能够掌握几何中常见的几何证明和计算 二、知识梳理方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

三、典型例题（一）、倍长中线（线段）造全等例1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.EDFCBA例2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.练习：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A总结：如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

（二）、与角平分线的辅助线作法过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.E DGFCBA例2、已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

一次函数（一）一、知识要点1.在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量；常量和变量是对立而又统一的两个量.它们是对某一个过程而言的，是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同.2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 、y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数.其中x 是自变量.如果当x a =时,y b =那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.3.一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.4.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.5.一般地，形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数； 正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =； 当k 0>时，直线y kx =经过第三、一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当0k < 时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.6.一般地，形如y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数.当0b =时，一次函数 y kx b =+→正比例函数y kx =.即正比例函数是一种特殊的一次函数.7.一次函数y kx b =+的图像是一条直线，我们称它为直线y kx b =+，它可以看做由直线y kx = 平移b 个单位长度得到（当0b >时，向上平移；当0b <时，向下平移）.8.当0k >时，直线y kx b =+由左至右上升，y 随x 的增大而增大；当0k <时，直线y kx b =+ 由左至右下降，y 随x 的增大而减小.9.待定系数法：先设出函数的解析式，再根据条件确定解析式中的未知数的系数，从而写出这个 式子的方法.二、基础能力测试（一）填空：1.①在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，则x 是_______，y 是____________.②右侧图像能够表示y 是x 的函数的是________________.2.星期天晚饭后，小红从家里出去散步，到了一个公共阅报亭，看了一会儿报后，又继续向前走了一段，然后回家了. 下图描述了她散步过程中离家的路程s （米）与散步所用时间t （分钟）之间的关系，请根据这个关系图回答下列问题：报亭离小红家______米；小红在报亭看了_____分钟时间报纸；小红从家到报亭的平均速度是每分钟______米；离开报亭回到家的平均速度是每分钟______米.3.填写下列函数自变量的取值范围： 32y x =+__________12y x =-_________12y x =-____________y =____________4.若P (,2)m m -点在函数42y x =-+的图象上，则m =____，P 点关于原点的对称点P '______（填“在”或“不在”） 42y x =-+的图象上.5.当k =______时，221()kk y k k x ++=-为正比例函数.6.正比例函数,y kx =当0k >时，函数图像经过_______象限，y 随x 增大而_________.当0k <时，函数图像经过_______象限，y 随x 增大而________，正比例函数(2)y m x =-的图像上两点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，当12x x <时，有12y y >，则m 的取值范围是____________. 7.正比例函数,y kx =经过点(2,6)A 、(1,),B m -则m 的值_____________. 8.当k =______时，28(3)6ky k x -=-+为一次函数.9.一次函数y kx b =+与y 轴交于点_______，与x 轴交于点________，当0k >时，y 随x 增大而_________， 当0k <时，y 随x 增大而________. 10.依图填空：11.y kx =图像过点(2,4),-则k =______；一次函数y kx b =+的图像经过点(4,2)--和点(2,4)，则这个一次函数的解析式为_____________.三、综合⋅提高⋅创新【例1】填空：已知函数(1)12y m x m =-+-（1）当m ____时，此函数为正比例函数，当m _____时，函数图像经过原点； （2）当m ____时，此函数为一次函数； （3）当m ____时，y 随x 增大而减小；（4）当m ____时，一次函数图像不经过第三象限； （5）当m ____时，函数图像与2y x =+的交点在x 轴上； （6）当m ____时，函数图像过(0,4)-点；（7）当m ____时，函数图像平行于直线21y x =+； （8）当m _________时，一次函数图像交y 轴于负半轴； （9）当m ____________时，函数图像交x 轴于正半轴.【例2】已知y a +与x b +（a 、b 为常数）成正比例，且当3x =时，5y =；当2x =时， 2.y =求yk___0,b____0与x 的函数关系式.【练2】已知4y -与x 成正比例，且6x =时， 4.y =-求y 与x 之间的函数解析式；【例3】（1）判断三点(1,3)A 、(2,0)B -、(2,4)C 是否在同一直线上？为什么？ （2）直线y kx b =+经过A 、B 两点，如图，求AOC ∆的面积.（3）如果一次函数y kx b =+的自变量x 的取值范围是31,x -剟相应的函数值的范围是 19y 剟，求函数解析式.【练3】在平面直角坐标系中，如果点(,4)x 在连接点(0,8)和点(4,0)-的线段上，那么x =______. 【例4】（1）函数4y x =与23y x =-的图像的交点坐标为_______________.（2）无论m 为何实数，直线2y x m =+与4y x =-+的交点不可能在第_____象限；一次函数 (23)(12)y m x m =-+-不过第三象限，则m 取值范围是________；不论m 为何值，直线过一个定点，该定点的坐标为___________.（3）一次函数的图像经过点(0,4)P -，且与两坐标轴截得的直角三角形面积为6, 则此函数解析式为________. （4）已知直线1114y x b =+和2y kx b =+交于点(1,3)A ，且直线2y 经过点(4,0)B . 1）求1y 和2y 的表达式； 2）求此二直线与x 轴所围成的三角形的面积.（5）已知直线26x y k -=-+与341x y k +=+，若它们的交点在第四象限内，求k 的取值范围.(2)问（6）已知两点(1,2)A -，(2,3)B ，若x 轴上存在一点P ，能使得PA PB +值最小，求P 点坐标.【练4】一次函数y x m =+与2y x n =-+的图像都经过点(3,0)A -，且与y 轴交于B 、C 两点，则ABC S ∆=__________【例5】（1）一次函数4y kx =-的图像可由y kx =的图像向______平移_____个单位得到；直线21y x =+ 沿着y 轴平移后经过点(2,3)-，则平移后直线的解析式为__________；把23y x =-向右平移5个单位长度， 函数一定过y 轴上的点_____________.（2）1）若直线与x 轴交于点(2,0)-，且与坐标轴围成的图形面积为8，求这条直线的解析式. 2）若直线:l y kx b =+向下平移4个单位后，成为直线32,y x =--求直线l 的解析式；3）若直线:l 2y kx =+向左平移3个单位长度后，恰好与直线3y x =-+交于x 轴上一点，求直线l 的解析式.【练5】1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是__________，直线21y x =+向下平移2个单位后的 解析式是___________.2）直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是______________________.【例6】（1）已知直线3y x =+的图像与x 、y 轴交于A 、B 两点.直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式.（2）已知四个点(1,0)A -，(3,0)B ，(3,2)C ，(0,2)D ， 1）求证：ABD ABC S S ∆∆=；2）若直线1(0)y kx k =-≠将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图，已知四条直线3y mx =-，1y =-，3y =和1x =所围成的四边形面积是12，求.m（4）如图所示，A 、B 分别是x 轴上位于原点左、右两侧的点，点(2,)P p 在第一象限内，直线PA 交y 轴于点(0,2)C ，直线PB 交y 轴于点D ，6AOP S ∆=.1）求COP S ∆；2）求点A 的坐标和P 的值；3）若BOP DOP S S ∆∆=，求直线BD 的解析式.【例7】已知直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点,A ,B 以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，90BAC ∠=，且点(1,)P a 为坐标系中的一个动点. 1）求ABC S ∆；2）要使得ABC ∆和ABP ∆的面积相等，求实数a 的值.【练】已知直线4y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点,A ,B 点(1,)P a 为坐标系中的一个动点. 1）求三角形ABO 的面积ABO S ∆；2）要使得ABO ∆和ABP ∆的面积相等，求实数a 的值.四、本讲精题整理：_____________________________ 五、反馈练习【一】填空：1.为了加强公民节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节水目的，某市规定 用水标准如下：每户每月用水不超过6立方米时，水费按每立方米a 元收费；超过6立方米时， 不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分每立方米按c 元收费. 该市某户今年3、4设某户某月用水量为x （立方米），应交水费y （元），则a =_____、c =_____，y 与x 之间的函数关系式为_____________________；（2）若该户5月份的用水量为8立方米，该户5月份的水费 是________元.2.填写下列函数自变量的取值范围： 13y x =-______，421y x =-_______，12y x =+____________，y 3.下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图像.根据图像回答问题：（1）求比赛开始______分钟时，两人第一次相遇. （2）求这次比赛全程是__________千米.（3）求比赛开始_________分钟时，两人第二次相遇.4.已知：函数(13)2 1.y k x k =-+- （1）当k ______时，此函数为一次函数；（2）当k ______时，此函数为正比例函数，当k ______时，函数图像经过原点；（3）当k ______时，y 随x 的增大而减小；当k ______时，函数图像不经过第三象限；（4）当k ______时，函数图像过(1,2)点；当k ______时，函数图像与2y x =+的交点在x 轴上； （5）当k ______时，函数图像平行于直线1y x =-+；（6）当k ______时，一次函数与y 轴的交点在x 轴下方；当k ______时，函数图像交x 轴正半轴. 5.已知y p z =+，这里p 是一个常数，z 与x 成正比例，且4x =时，2y =；6x =时，2y =-. （1）写出y 与x 之间的函数关系式________________________________； （2）如果x 的取值范围是26x 剟，y 的取值范围为___________________________. 6.对函数y kx b =+，当x 增大时，y 的值也随着增大，且24x -剟时，对应y 的值为412.y 剟则 k =___________、b =_____________.7.直线32y x =+与直线21y x =-的交点坐标为________________.8.（1）一次函数3y x a =+与2y x b =-+的图像都经过点(2,0)A -，且与y 轴交于B 、C 两点，则ABC S ∆=______. （2）一次函数的图像过点(0,4)P ，且与两坐标轴截得的三角形面积为3，则此函数解析式为_________； （3）y 轴上有一点P 到两点(1,2),A -(3,1)B -的距离PA PB +的值最小，则P 点坐标为__________. 9.直线3y x =-+沿着x 轴平移后经过点(2,1),-则平移后直线的解析式为______________，直线沿x 平移了__________个单位.10.（1）点(1,1)关于x 轴对称的点的坐标是__________________；（2）直线y x =关于x 轴对称的直线的解析式为_________________________________； （3）求直线y kx b =+关于x 轴对称的直线的解析式_________________________________； 【二】解答：1.（1）直线l 经过两直线21y x =-+与3y x =-的交点，且与y 轴的交点为(0,2),求l 的解析式. （2）直线m 与直线23y x =-的交点横坐标为2，与直线1y x =--交点的纵坐标为1-，求m 的解析式.2.（1）已知一次函数6y kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图像的交点坐标为(1,0)A ，求两个 一次函数的解析式及两直线与y 轴所围成的三角形的面积.（2）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+（0kb >、0b <）的图像分别与x 轴、y 轴和 直线4x =交于点A 、B 、C ，直线4x =与x 轴交于点D ，四边形OBCD （O 是原点）的面积为10，若点A 的横坐标为12-，求这个一次函数的解析式.3.如图所示，已知直线2y x -+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线y kx b =+(0)k ≠经过点(1,0),C 且把AOB ∆分成两部分， （1）若AOB ∆被分成的两部分的面积相等，求k 和b 的值；（2）若AOB ∆被分成的两部分的面积比为1:5，求k 和b 的值.点，4.平面直角坐标系中，直线l 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两若AOB ∆的面积是4，且2.OAOB= （1）求直线l 的解析式；（2）若(0,4),C P 是直线l 上一点，过P 、C 的直线交x 轴于D 点，若AOB ∆与COD ∆全等，求P 点坐标.。

学科教师辅导讲义年 级：初二 辅导科目：数学 课时数：3课时 课 题一次函数复习教学目的1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质；2.熟练掌握一次函数的应用.教学内容【知识梳理】【典型类型讲解】题型一：一次函数的概念【例1】已知函数()2833m y m x -=-+是一次函数，求其函数关系式.【例2】已知一个一次函数，当自变量2x =时，函数值1y =；当1x =-时，3y =-.求这个函数的解析式.【借题发挥】1.已知函数()2272m m y m x m +-=-+（m 为常数）是关于x 的一次函数.求m 的值并写出解析式.2.已知一个一次函数，当自变量2x =时。

函数值1y =-；当1x =时，12y =.求这个函数的解析式，并求出当0x =时，y 的值.题型二：一次函数的图像【例3】已知直线y kx b =+经过点（1，5）和点（1,1-）.求（1）此一次函数的解析式；（2）这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.【例4】已知一次函数的图像平行于直线3y x =-，且经过点()1,2A -. （1）求函数解析式；（2）指出它的截距；（3）函数图像经过哪些象限？【借题发挥】1.一次函数21y x =-的图像大致是（ ）2.求符合下列条件的一次函数解析式. （1）图像在y 轴上截距为3-，斜率为12-； （2）图像与直线2y x =平行，且在y 轴上的截距为3； （3）图像过点()4,2--且在y 轴上截距为1； （4）图像是由直线23y x =的图像向上平行移动4个单位得到.题型三：一次函数的性质【例5】已知函数()2y m x m =+-. （1）当m 取何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？【例6】一次函数()31y k x k =+++的图像不经过第二象限，求k 的取值范围.【借题发挥】1.一次函数()265y m x =-+中， y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______________.2.一次函数23y mx m =+-的图像在y 轴上的截距为6，且经过第一、二、四象限，求这个一次函数解析式.题型四：一次函数的应用【例7】某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次印数不少于5 000册时，投入的成本与印刷间的相应数据如下： 印数x （册） 5000 8000 10000 15000 … 成本x （元）28500360004100053500…(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）．(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？【借题发挥】1. 某学校要印刷一批宣传材料，甲印务公司提出收制版费900元，另外每份材料收印刷费0.5元；乙印务公司提出不收制版费，每份材料收印刷费0.8元．(1)分别写出两家印务公司的收费y （元）与印刷材料的份数x （份）之间的函数关系式； (2)若学校预计要印刷5000份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？2．一家三口（父、母、儿子）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：父母买全票，儿子半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的45收费，若这两家旅行社票价相同，那么哪个旅行社条件更优惠？【随堂练习】填空题：1.若关于x 的函数()113m y n x -=++是一次函数，则m=_____________,n=___________. 2．已知一次函数5y kx =+的图像经过点()1,2-，则k=_______________. 3．一次函数243y x =-+的图像与x 轴交点坐标是______________，与y 轴交点坐标是___________________与坐标轴两交点间的距离是___________________．4．与直线41y x =-+平行，且在y 轴的截距为2-的直线的解析式为_______________．5．已知一次函数的图像经过点A(1，4)、B(4，1)，则这个一次函数的解析式为_______________________. 6．函数35y x =-的图像不经过第_____________象限．7．拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，如图是拖拉机工作时油箱中的余油量Q （升）与工作时间t （小时）的函数关系图像，那么图中？应是____________.8．公用电话亭打电话时，需付电话费y （元）与通话时间x （分钟）之间的函数关系用图像如图所示．那么打2分钟需付费________元；打了6分钟需付费___________元. 选择题：9．下列函数(1) 2S a =(2) 21y x =-(3)1y x=(4) 32y x =--(5) 21y x =-中，是一次函数的共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10下列给出的四个点中，不在直线23y x =-上的是 ( ) A ．（1,1-） B ．（0,3-） C ．(2，1) D ．（1,5-） 11．点A(1,m )在函数23y x =-+的图像上，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．0 12．若把一次函数23y x =-，向上平移3个单位长度，得到图像解析式是 ( ) A ．2y x = B ． 26y x =-C ．53y x =-D ．3y x =-- 13．关于函数21y x =-+，下列结论正确的是 ( ) A ．图像必经过点（2,1-） B ．图像经过第一、二、三象限 C ．当x>12时，y<0 D ．y 随x 的增大而增大 14．小明、小强两人进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时跑，小明肯定赢，现在小明让小强先跑若干米，图中的射线a 、b 分别表示两人跑的路程与小明追赶时间的关系，根据图像判断：小明的速度比小强的速度每秒快 ( )A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米解答题：15．在同一坐标系中，作出函数2y x =-与112y x =+的图像16．已知y+3与x 成正比例，且x=2时，y=7 (1)求y 与x 的函数关系式； (2)当12x =-时，求y 的值；(3)将所得函数图像平移，使它过点（2,1-）．求平移后直线的解析式.17．已知函数()213y m x m =++-． (1)若函数图像经过原点，求x 的值；(2)若函数图像在y 轴的截距为2-，求m 的值； (3)若函数的图像平行直线33y x =--，求m 的值；(4)若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求x 的取值范围.18．爷爷和小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时） (1)小强让爷爷先上多少米？(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？(3)根据图像求出小强和爷爷离山脚的距离与爬山所用时间之间的函数关系式.19．已知某一次函数的图像经过点（0,3-），且与正比例函数12y x=的图像相交于点()2,a．(1)求a的值；(2)求一次函数的解析式；(3)当x取何值时，这个一次函数1y<-；(4)求这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积．20．某公司计划在”五一”期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～25人，甲，乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八五折优惠，该公司选择哪家旅行社支出的费用较少？【课堂总结】【课后作业】一、基础复习巩固填空题：1．一次函数y= 3x+4的图像与x 轴的交点坐标为__________，与y 轴交点坐标为_______. 2．若点P(,a b )在第四象限内，则直线y ax b =+不经过第_____________象限. 3．函数()321y k x =-+，当k_____________时，图像过第一、二、三象限.4．函数34y x =-+的图像经过第___________象限，且y 随x 的增大而_______________. 5．已知一次函数y kx b =+，y 随x 的增大而增大，且kb<0，则直线经过第_________象限． 6．函数1y ax =+的图像与两坐标轴交点的距离是5，则a =___________.7．某一次函数的图像经过点(1-，2)，且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______________________.8．已知一次函数2y kx =+，请你补充一个条件：_________________，使y 随x 的增大而减小．9．若一次函数的图像经过第一、三、四象限，则一次函数的解析式为__________________．（填一个即可） 10.在平面直角坐标系中，已知点A ()52,4m m --在第二象限，且m 为整数，则过点A 的正比例函数的解析式为________________________.11．已知一次函数的图像如图，则其解析式为__________________________.12．如图，一束光线从y 轴上点A(0，1)出发．经x 轴上点C 反射后经过点B(3，3)，则光线从点A 到点B 所经过的路程长是_______________________. 选择题：13．在下列函数关系中，①2x y =；②2y x=；③2y x =-；④20y x =-；⑤102y x =-． 其中一次函数的有( )．A.l 个； B ．2个； C ．3个； D ．4个．14.一次函数()1y k x k =-+，若k>l 时，则函数图像不经过( )． A ．第一象限； B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．15．如果0kb <，且不等式0kx b +>的解集是bx k>-那么函数y kx b =+的图像可能是( )．16.如图，不可能是关于x 的一次函数()3y mx m =--的图像是( )．简答题：17．已知直线y= kx +b 经过点（4，2-）和点(8-，7)，求k 与b 的值．18．一次函数y kx b =+的自变量x 的取值范围是13x -≤≤，相应函数值的取值范围是86y -≤≤-，求这个函数的解析式.19．求直线23y x =-+与两坐标轴围成的三角形的面积.20．已知正比例函数1y k x =的图像与一次函数19y k x =-的图像交于点P （3，6-）(1)求1k 、2k 的值；(2)如果一次函数与x 轴交于点A ，求A 点的坐标．解答题：21．已知一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图像都经过点（2，1-）．(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)求这两个函数图像与x 轴围成的三角形面积．22．直线y kx b =+过点A(1-，5)且平行于y x =-．(1)求这条直线的解析式;(2)若点B(m ，5-)在这条直线上，O 为坐标原点，求m 的值及△AOB 的面积．23.一生物学者发现，气温y ℃在一定范围内，某种昆虫每分钟鸣叫的次数T 与气温y 成一次函数关系，其图像如图所示．(1)请你根据图中标注的数据，求出y 与x 之间的函数关系式；(2)当该种昆虫每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温为多少？24.某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果要确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？25．已知一次函数()()432y a x b =-+-，当a 、b 为何值时，(l)y 随x 的增大而增大；(2)函数图像与了轴的交点在x 轴的下方；(3)函数图像过原点；(4)函数图像过第一、二、四象限．二、综合提高训练1.无论k 取何值，一次函数2y kx k =++的图像必经过一定点，求这个定点的坐标.。

第一讲三角形的证明一．等腰三角形的相关概念1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(三线合一) .例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.例题：1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．2.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．同步练习1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°2．等腰三角形的顶角为36°，则底角为（）A．36°B．60°C．72°D．75°3．已知：等腰三角形△ABC中，腰等于8，底等于5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．21或18 C．20 D．18二．直角三角形的性质1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.例题1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．同步练习1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，点D是AB的中点，则CD=（）A．4 B．5 C．6 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°三．线段的垂直平分线1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.例题：1.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.其中，正确的说法有_____个同步练习：1．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且BC=8，AC=6，则△ACD的周长为．2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，连接CE，若∠A=30°，∠ACB=65°，则∠BCE= ．3．如图，AB垂直平分CD，AC=6，BD=4，则四边形ADBC的周长是．四．角平分线角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，，这种对称的图形应用得也较为普遍，3．OA OB例题：1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．同步练习：1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=15，BD：CD=3：2，则点D到AB的距离是2．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为．综合考查：1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠BEC的度数．（2）若AE=5，求BC的长．2．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD=ED；（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长．3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD=4．一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是5cm和4.8cm，这个三角形的面积为cm2．5．如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm6．如图，在△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．7．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6第二讲 不等式及不等式组一． 一元一次不等式的概念不等式 2.9x ≥，2<48x +，2<3x x -，143y +≥0，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.一元一次不等式必须满足的条件：（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.例题：1.下列各式：（1）5x -≥；（2）30y x -＜；（3）50πx +<；（4）23x x +≠；（5）333x x+≤；（6）20x +<是一元一次不等式的有_____个2.已知（m+4）x |m|﹣3+6＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=_____．同步练习：1．下列给出四个式子，①x ＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是（ ）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 2．下列式子：①a+b=b+a ；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④y ﹣4＜1；⑤2m≥n；⑥2x ﹣3，其中不等式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二． 不等式的性质不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.例题：1.设a ＞b ＞0，c 为常数，给出下列不等式①a ﹣b ＞0；②ac ＞bc ；③＜；④b 2＞ab ，其中正确的不等式有_____同步练习：1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n2．若a ＜b ，则（ ）A ．a ﹣2c ＞b ﹣2cB ．a ﹣2c≥b﹣2cC ．a ﹣2c ＜b ﹣2cD ．a ﹣2c≤b﹣2c 3．已知a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是（ ）A ．3a ＜3bB ．﹣a+1＜﹣b+1C ．a+x ＞b+xD ．＞三．不等式的解和解集1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.例题：1下列各数中，不是不等式2（x ﹣5）＜x ﹣8的解的是______A.-4B.-5C.-3D.52.在数轴上表示下列不等式的解集：（1）5x -≤； （2）0x ≥；（3）<4x ； （4）1>12x -.同步练习：1．已知如图是关于x 的不等式2x ﹣a ＞﹣3的解集，则a 的值为 ．2．x=﹣1 不等式≤+1的其中一个解．（填“是”或“不是”）四．一元一次不等式的解法1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3. 取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”. 解集情况表示如下（假定<a b ）：()()()()x a x b x bx a x a x bx a a x b x b x b x a >⎧⇒>⎨>⎩<⎧⇒<⎨<⎩>⎧⇒<<⎨<⎩>⎧⇒⎨<⎩同大取大同小取小大小小大中间找无解大大小小解不了 例题：1.（1）解不等式x+＞﹣，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式：32523x x --≥ ，并写出它的正整数解．同步练习： 1． 解不等式：3x ﹣1≥2（x ﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．2．解不等式≤2，并把它的解表示在数轴上．五．一元一次不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组.例题：1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）3(1)<72323x xxx x--⎧⎪⎨--⎪⎩≤；（2）2.解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．同步练习：1．解不等式组：2.已知关于a的不等式组．（1）求此不等式组的解；（2）试比较a﹣3与的大小．综合考查：1.不等式的解集是_______2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？6.解不等式﹣＜1，并把解表示在数轴上．7.求不等式的负整数解8.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．9.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．10.解不等式组：，并写出它的所有整数解．第三讲平移一．平移的性质1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．2.平移的性质：（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．例题：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；（2）求四边形AEFC的周长．2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．同步练习：1．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．62．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3 B．1 C．2 D．不确定3．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°二．平移作图1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法2.平移作图的步骤：（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．例题：1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．（3）△A′B′C′的面积为_______．2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．同步练习：1．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的，两位同学的画法如下：苗苗的画法：①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种，并写出这种画图的依据．答：我喜欢学的画法，画图的依据是三．平移的运用例题：1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？同步练习：1．如图，在多边形ABCDEFGH中，AB=5cm，BC=8cm，则该多边形的周长为（）A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定2．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（）A．小华用的多B．小明用的多C．两人用的一样多D．不能确定谁用的多3．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块（）A．向右平移1格，向下3格B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格D．向右平移2格，向下3格综合考查：1．如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（）A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定2．如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．3．如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是平方米．第四讲旋转一．旋转旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.例题：1．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）3．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（﹣2，5）同步练习：4．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF 的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A．5 B．C．7 D．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°而得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO=EO C．∠ACB=∠FDE D．AB∥DE7．如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（）A．90°B．85°C．80°D．40°8．如图，BA=BC，∠ABC=70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，且点E在线段AD上，若AF=4，∠F=60°．（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度和∠EBD的度数．二．中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.例题：1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形同步练习：1．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆 B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形2．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD、BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是4．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n= ．5．已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．三．图案设计在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.例题：1．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．同步练习：1．如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）在图1中画出一个面积最小的▱PAQB．（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．2．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．3．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，线段AB的端点在格点上．（1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，使得A点的坐标为（﹣3，﹣1），在此坐标系下，B点的坐标为_______；（2）将线段BA绕点B逆时针旋转90°得线段BC，画出BC；在第（1）题的坐标系下，C点的坐标为______；（3）在第（1）题的坐标系下，二次函数y=ax2+bx+c的图象过O、B、C三点，则此函数图象的对称轴方程是______ ．综合考查：1．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）2．如图，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AED，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，若AC=8，则AF的长为（）A．4 B．3 C．4D．43．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长．4．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．5．如图，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），（0，0），将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1．（2）画出点B关于直线AC的对称点B2，并写出点B2的坐标．第五讲因式分解一．提公因式法一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.例题：1．分解因式x3+4x的结果是（）A．x（x2+4）B．x（x+2）（x﹣2）C．x（x+2）2D．x（x﹣2）22．下面运算正确的是（）A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4D．3y2﹣2y2=y2 3．将﹣a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（）A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b4．把8m2n﹣2mn分解因式（）A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）同步练习：1．因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=2.因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．3．因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）= ．二．公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22-=+-a b a b a b要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.例题：1．将（x+3）2﹣（x ﹣1）2分解因式的结果是（ ）A ．4（2x+2）B ．8x+8C ．8（x+1）D ．4（x+1）2．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．x 2+y 2B ．﹣x 2﹣y 2C ．﹣x 2+y 2D ．x 2﹣y 3 3．对多项式x 2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（ ）A ．（x+1）2B ．（x+1）（x ﹣1）C ．（x ﹣1）2D ．（x+1）（x ﹣2）4．分解因式x 4﹣1的结果是（ ）A ．（x+1）（x ﹣1）B ．（x 2+1）（x 2﹣1）C ．（x 2+1）（x+1）（x ﹣1）D ．（x+1）2（x ﹣1）2 同步练习：1．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．a 2﹣b 2+2abB ．a 2+b 2+abC ．25n 2+15n+9D ．4a 2+12a+92．下列各式中，不能完全用平方公式分解的个数为（ ）①x 2﹣10x+25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④m 2﹣m+；⑤4x 4﹣x 2+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．因式分解：a 2（a ﹣b ）﹣4（a ﹣b ）= ．3．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2= ．4．把下列各式因式分解：（1）a4﹣1 （2）（x+2）（x+4）+x2﹣45．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；7．因式分解：x4﹣18x2y2+81y4．三．分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：例题：1．分解因式：b2﹣ab+a﹣b=________．2．分解因式：a2+2ab+b2﹣4= ．3．分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=同步练习：1．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为2．分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．3．分解因式（1）x3﹣9x；（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；（3）1﹣a2+2ab﹣b2．4．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y=（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）=x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）=（x﹣y）（x+4）．乙：a2﹣b2﹣c2+2bc=a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）m 3﹣2m 2﹣4m+8． （2）x 2﹣2xy+y 2﹣9．四．十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.例题：1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣4=（x+4）（x ﹣4）B ．x 2+x+1=（x+1）2C ．x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4D ．2x+4=2（x+2） 2．把x 2﹣4x+c 分解因式得：x 2﹣4x+c=（x ﹣1）（x ﹣3），则c 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．﹣3D ．﹣4同步练习：1．分解因式：x 2+4x ﹣12=________． 2．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）= ． 3．分解因式：x 2﹣3xy ﹣4y 2= ． 4．分解因式：（1）（m+n ）2﹣4m （m+n ）+4m 2 （2）a 3b ﹣ab ； （3）x 2+2x ﹣35．因式分解（1）2x3﹣8x （2）x2﹣2x﹣3 （3）4a2+4ab+b2﹣1五．因式分解的应用例题：1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南2．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．如果259+517能被n整除，则n的值可能是（）A．20 B．30 C．35 D．404．已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则此三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形同步练习：1．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．2．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．3.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．综合考查：1.分解因式：2a2﹣8a= ．2．分解因式：2xy﹣6y= ．3. 已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为4. 因式分解：（1）a（a2﹣1）﹣a2+1；（2）（a+1）（a﹣1）﹣8．5．（若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．6．分解因式：x3+3x2﹣4= ．。

数学寒假培训目录第十一章全等三角形3第一节全等三角形3【知识要点】 3【典型例题】 3【知识运用及提高】4第二节三角形全等的判定6【知识要点】 6【典型例题】7【知识运用及提高】9第三节角的平分线的性质11【知识要点】11【典型例题】12【知识运用及提高】14第十二章轴对称16第一节轴对称16【典型例题】16【知识运用及提高】17第二节作轴对称图形18【知识要点】18【典型例题】19【知识运用及提高】20第三节等腰三角形21【典型例题】21【知识运用及提高】23第十三章实数24第一节平方根24【知识要点】24 【典型例题】24【知识运用及提高】26第二节立方根28【知识要点】28【典型例题】28【知识运用及提高】30第三节实数32【知识要点】32【典型例题】33【知识运用及提高】35第十四章一次函数36第一节变量与函数36【知识要点】36【知识运用及提高】39第二节一次函数42【知识要点】42【典型例题】42【知识运用及提高】44第二节一次函数（二）45【知识要点】45【典型例题】45【知识运用及提高】47第三节用函数观点看方程(组)与不等式47 【知识要点】47【知识运用及提高】48第十五章整式的乘除法与因式分解51第一节整式乘除51【知识要点】51【典型例题】53【知识运用及提高】54 第二节因式分解56 【知识要点】56【典型例题】56【知识运用及提高】58 综合复习（一）60综合复习（二）63综合复习（三）66综合复习（四）71 【参考答案】73第十一章全等三角形第一节全等三角形【知识要点】1. 能够完全重合的两个图形叫做全等形.注：①形状、大小相同；②能够完全重合.2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.3. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.4. 寻找对应边、对应角的方法、规律（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.请你找出下列各图中的对应边和对应角.【典型例题】例1、如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.分析：先将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B＝∠C，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.解：对应角有：∠BAE和∠CAD；对应边有：AB和AC，AE和AD，BE和CD.评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE≌△ACD”，按字母的对应位置写出对应边：AB与AC，AE与AD，BE与CD；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.例2、如图所示，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC. 其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：同学们很容易错选D. 错误的原因是：没有正确识图，把∠FAC和∠EAB误以为也是对应角，从视觉上认为其相等，而没有根据.解：C评析：利用掌握的规律确定对应边和对应角. 另外要正确识图，得到相等的边和角，然后利用这些条件再判断其它的线段和角的相等情况.例3、如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________.分析：首先在△OBC中，由三角形内角和可知∠OBC＝180°－∠O－∠C＝95°，由△OAD≌△OBC可知∠OAD＝∠OBC＝95°.解：95°评析：这类题目主要运用全等三角形的性质和三角形中内角和与外角的知识.例4、已知△ABC≌△DEF，且AB＝5，S△ABC＝10. 求DE边上的高.分析：根据全等三角形的性质可知DE＝AB＝5，同时，△ABC和△DEF的面积相等. 利用面积可求出DE边上的高.解：因为△ABC≌△DEF，所以：DE＝AB＝5，S△DEF＝S△ABC＝10.设DE边上的高为h，评析：全等三角形的对应边、对应角相等，面积也相等. 要求三角形一边上的高，我们必须求得这条边的长和它所在三角形的面积.例5、已知：如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A＝52°，∠B＝31°21′，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长.分析：根据全等三角形的性质易知AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C，而根据三角形内角和定理可求出∠C.解：因为△ABC≌△DEF，所以AB＝DE＝10cm，∠F＝∠C，又∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－（52°＋31°21′）＝96°39′所以∠F＝96°39′.评析：目前求线段和角的有关问题往往利用全等三角形的性质求解，在求解的过程中我们要善于将未知问题转化为已知条件来解答.例6. 如图所示，已知AB＝CD，BE＝DF，△ABE≌△CDF，求证：AB∥CD，AE∥CF.分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB∥CD，只要∠ABE＝∠CDF，而这两个角是△ABE和△CDF的一对对应角，至于AE与CF的平行，只需∠AED＝∠CFB，这两个角不在△ABE和△CDF中，但却是∠AEB与∠CFD的邻补角.证明：△ABE≌△CDF，AB＝CD，BE＝DF∴∠ABE＝∠CDF；∠AEB＝∠CFD（全等三角形的对应角相等）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）而∠AED＝180°－∠AEB，∠CFB＝180°－∠CFD∴∠AED＝∠CFB（等角的补角相等）则AE∥CF评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.【知识运用及提高】一. 选择题1. 下列说法正确的是（）A. 全等三角形是指形状相同的三角形节B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（）A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC≌△A´B´C´，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A´C´等于（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A. ∠1＝∠2B. AC＝CAC. ∠B＝∠DD. AC＝BC6. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A. △ADCB. △BDC´C. △ADC´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（）A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组8. △ABC与△DFE是全等三角形，A与D对应，B与F对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二. 填空题9. 已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，则AC的对应边是__________，∠ACB的对应角是__________.10. 如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.11. 如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°.12. 如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.13. 如图所示，△APB与△CPD全等.（1）相等的边是：AB＝CD，__________，__________；（2）相等的角是：∠A＝∠C，__________，__________；（3）△APB如何变换得到△CPD？_____________________________.14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝__________.三. 解答题15. 如图所示，已知△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，试指出这两个三角形的对应边和对应角.AB CDE FA B CD E16. 如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC＝ED，那么AB与EF平行吗？为什么？17. 如图所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B＝30°，∠ACB＝85°，求△AEC各内角的度数.18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B和A在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.第二节三角形全等的判定【知识要点】1. 三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

初二数学寒假班讲义第03讲-一次函数（提高）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级八年级上课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第03讲-一次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标巩固一次函数与正比例函数；掌握一次函数的图象与性质；会应用一次函数与正比例函数。

授课日期及时段T （Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理1.函数（1）概念如果在一个变化的过程中有两个变量，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量，是自变量的函数。

（2）表示方法函数有三种表示方法列表法，关系式法，图象法（3）画图像的步骤列表.描点.连线。

2.正比例函数一次函数（为常数，）,当时，变为，这时把叫做的正比例函数。

（1）正比例函数ykx（k0）的图象是经过（0，0）和（1，k）两点的一条直线；（2）当k0时，函数图象经过第一.三象限，y的值随着x值的增大而增大；当k0时，函数图象经过第二.四象限，y的值随着x值的增大而减小.3.一次函数若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。

（1）一次函数ykxb（k0）的图象是经过（0，b）；（2）当k0时，y的值随着x值的增大而增大；当k0时，y的值随着x值的增大而减小.（3）图象所在象限当k0，b0时，图象经过第一.二.三象限；当k0，b0时，图象经过第一.三.四象限；当k0，b0时，图象经过第一.二.四象限；当k0，b0时，图象经过第二.三.四象限；4.一次函数的应用利用一次函数的性质解决实际问题。

待定系数法先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。

考点一函数例1.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）ABCD 例2.某个函数自变量的取值范围是x1，则这个函数的表达式为（）Ayx1Byx21CyDy例3.王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中下面图形表示王大爷离时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）ABCD例4.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（）Ax与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cmC 弹簧不挂重物时的长度为0cmD物体质量每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm例5.已知y是x的函数，自变量x的取值范围x0，下表是y与x的几组对应值x123579y1.983.952.631.581.130.88小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出x4对应的函数值y约为；该函数的一条性质考点二一次函数与正比例函数例1.已知y与x成正比例，并且x1时，y8，那么y与x之间的函数关系式为（）Ay8xBy2xCy6xDy5x例2.下列函数中，y是x的一次函数的是（）yx6；y；y；y7xABCD例3.正比例函数y2kx的图象如图所示，则y（k2）x1k图象大致是（）ABCD例4.y（2m1）x3m23是一次函数，则m的值是例5.如图，l1表示某产品一天的销售收入y1（万元）与销售量x（件）的关系；l2表示该产品一天的销售成本y2（万元）与销售量x（件）的关系写出销售收入y1与销售量之间的函数关系式写出销售成本y2与销售量之间的函数关系式，当一天的销售量超过时，生产该产品才能获利（利润收入成本）例6.已知一次函数y（2m4）x（3n），求（1）当m是什么数时，y随x的增大而增大（2）当n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方（3）m，n为何值时，函数图象过原点考点三一次函数的应用例1.一次函数y2x4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求A.B两点坐标（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少例2.我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）方案A每千克5.8元，由基地免费送货方案B每千克5元，客户需支付运费2000元（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（）ABCD2.函数y中自变量x的取值范围是（）Ax0Bx1Cx1Dx13.某星期天小李步行取图书馆看书，途中遇到一个红灯，停下来耽误了几分钟，为了赶时间，他以更快速度步行到图书馆，下面几幅图是步行路程s（米）与行进时间t（分）的关系的示意图，你认为正确的是（）ABCD4.我们知道，在弹性限度内，弹簧挂上重物后会伸长已知一根弹簧的长度（cm）与所挂重物的质量（kg）之间的关系如下表，则下列说法错误的是（）重物的质量（kg）012345弹簧的长度（cm）1212.51313.51414.5A在这一变化过程中，重物的质量是自变量，弹簧的长度是因变量B当所挂重物的质量是4kg时，弹簧的长度是14cmC在弹性限度内，当所挂重物的质量是6kg时，弹簧的长度是16当不挂重物时，弹簧的长度应为12cm5.已知y与x3成正比例，并且x1时，y8，那么y与x之间的函数关系式为（）Ay8xBy2x6Cy8x6Dy5x36.下列函数y2x1，yx，y，yx2中，一次函数的个数是（）A1B2C3D47.已知一次函数ykxb，y随着x的增大而减小，且kb0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）ABCD8.若y（a3）xa29是正比例函数，则a9.已知一次函数y（12m）xm1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二.三.四象限，求m的取值范围10.已知一次函数ykx4，当x2时，y2（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移8个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形的面积11.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口.B 港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲.乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示港口运费（元/吨）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案课后反击1.下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（）ABCD2.已知函数y，则该函数的自变量的取值范围为（）Ax2Bx2且x3Cx2Dx2且x33.在动画片（喜羊羊与灰太狼）中，有一次灰太狼追赶懒羊羊，在距离羊村60米处的地方上追上了懒羊羊，如图反映了这一过程，其中a表示与羊村的距离，t表示时间根据相关信息，以下说法错误的是（）A一开始懒羊羊与灰太狼之间的距离是30米B15秒后灰太狼追上了懒羊羊C灰太狼跑了60米追上懒羊羊D 灰太狼追上懒羊羊时，懒羊羊跑了60米4.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据鸭的质量/千克0.511.522.533.54烤制时间/分4060801001xx0160180设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x2.8千克时，t的值为（）A128B132C136D1405.函数y （a1）xa1是正比例函数，则a的值是（）A2B1C2或1D26.下列函数y2xyy2x1y2x21，其中一次函数的个数是（）A4B3C2D17.若直线ykxb经过第一.二.四象限，则直线ybxk的图象大致是（）ABCD8.若函数y（a3）x|a|22a1是一次函数，则a9.如果一次函数y（2m）xm3的图象经过第二.三.四象限，求m的取值范围10.将函数y2x3的图象平移，使得它经过点A（4，2），求平移后的函数解析式11.小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）根据服装厂要求，小李每月加工A 型服装数量应不少于B型服装数量的，那么他的月收入最高能达到多少元直击中考1.【xx临沂】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲.乙两家快递公司比较合适甲公司表示快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费乙公司表示按每千克16元收费，另加包装费3元设小明快递物品x千克（1）请分别写出甲.乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱SSummary-Embedded归纳总结重点回顾一次函数若两个变量间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数。

八年级数学知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式整式乘法 整式除法 因式分解乘法法则等边三角形的性质子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。