八年级数学寒假班讲义二第17讲-平面向量(四川北路)864LB4V8JP8F

1、 一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．模块一：一次函数的概念一次函数的概念及图像知识结构知识精讲【例1】（1）一次函数y kx b =+（0k ≠），当_________时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的_________情况．（2）已知函数y =（a -2）x +1-2b 是一次函数，则a __________，b _____________． 【例2】下列函数中，哪些是一次函数?（1）12y x =； （2）2y x =-+；（3）2(21)y x x =-+； （4）5y x=；（5）2y x x =-；（4）()()y ax bx a a b =-+≠．【例3】根据变量x ，y 的关系式，判断下列函数是什么函数？ （1）1y x -=； （2）2xy =-； （3）33(1)x y +=+．【例4】已知一个一次函数，当自变量3x =时，函数值为1y =-；当2x =时，8y =．求这个函数的解析式．【例5】已知一次函数1()13f x x =-，（1） 求(9)f -，3()2f ；（2） 如果f （a ）= 4，求实数a 的值．【例6】已知一次函数()2135m y m x +=--，求实数m 的值．【例7】已知一次函数y kx b =+的图像经过点(20)，、(02)-，，求k b -的值．例题解析【例8】已知两个变量y 与x 的关系式是21(2)2a y a x a -=--，当y 是关于x 的一次函数时，那么函数是否经过点(35)，与点(11)--，？【例9】已知y 与x 的关系式是(3)y a x a =-+（其中a 是常数），那么y 是x 的一次函数吗?请说明．【例10】已知一次函数解析式为()21345m y m x x +=-+-，求实数m 的值．1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．模块二：一次函数的图像知识精讲师生总结画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ． 3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移 得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．【例11】在下面平面直角坐标系中，利用描点法画下列一次函数的图像：（1）12y x =-； （2）1122y x =-．并根据所画的图像求出两个函数交点坐标．例题解析【例12】若一次函数2(2)(4)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像．【例13】写出下列直线的截距：（1）34y x =-；（2）12(2y x =；（3）y -4=2（x -3）；（4）y -x =0．【例14】若一次函数y = k (x +1)-2的图像在y 轴上的截距是-4，求这个一次函数的解析式．【例15】若直线y = kx +b 与直线y =2x -3无交点，且直线y = kx +b 的截距是-9，求这个一次函数的解析式．【例16】某一次函数解析式向下平移5个单位可得13y x =-+，（1）求该一次函数的解析式；（2个单位后得到的解析式．【例17】若把函数y=2x-1的图像向下平移2个单位，再向左平移1个单位，求平移后的函数解析式．【例18】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过点（3，2）以及点（1，1）；（2）直线经过点（7，0）以及截距是14；（3）直线经过点(30)-，以及截距是【例19】已知直线y kx b=+经过点(12)A-，和点1(3)2B，，求这个一次函数的解析式．【例20】根据已知条件求出一次函数解析式：（1）与直线3y x=-平行，且截距是-2017；（2）经过点(11)-，，且与直线1y=-平行；（3）与直线213y x=--平行，且与x轴交点离原点距离为1．【例21】某函数解析式通过向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得直线y x=-+求该函数的解析式，并求出其截距．【例22】已知一次函数1=-+的图像与y=-2x-5相交于点B，两个函数分别与x轴相交y x于A、C两点，求△ABC的面积．1、一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）与x 轴交点坐标为(0)b k-，，与y 轴交点坐标为(0)b ，，当0b ≠时，一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，且其面积公式为22b S k∆=．【例23】根据下列函数解析式，判断其是否能与坐标轴围成三角形，如果能，请求出该三角形的面积． （1）21y x =-；（2）y x =--（3）213y x =+．【例24】已知直线3y x b =+与坐标轴围成的三角形面积为18，求b 的值．【例25】求下列两组一次函数的交点坐标：（1）2y x =-+与31y x =-；（2）312x y -=与32y x =-．模块三：简单的数形结合例题解析知识精讲【例26】如图，直线AC 与直线BD 交于点E ，其中点(02)A ，、点(01)B ，、点(23)C ，，点3(2)2D ，，求出△ABE 的面积．【例27】已知两条直线123y x =-和25y x =-.与x 轴的交点分别为点B 、点C.（1）求出它们的交点A 坐标；（2）求出这两条直线与x 轴围成的ABC 的面积．【例28】如图，已知一条直线经过点A （0，4）和点B （2，0），将这条直线向左平移与x负半轴、y 负半轴分别交于点C 、D ，使得BD =CD ，求CD 所在直线的函数解析式．【例29】如图，一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A (2，0)，B (0，4)． （1）求该函数的解析式；（2）若O 为坐标原点，设AB 、OA 的中点分别为D 、C ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时点P 的坐标．Ex【例30】如图，反比例函数2yx=的图像与一次函数bkxy+=的图像交于点(2)A m，，点(2)B n-，，一次函数图像与y轴的交点为C．（1）求点A、B的坐标；（2）求一次函数的解析式；（3）求△AOB的面积．【习题1】下列说法正确的是（）A ．正比例函数是一次函数B ．一次函数是正比例函数C ．正比例函数不是一次函数D ．不是正比例函数就不是一次函数【习题2】已知函数2(1)1y k x k =-+-，当k ________时，它是一次函数；当k _______时，它是正比例函数．【习题3】根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?（1）23y x +=-； （2）21xy x =-； （3）31x y -+=-； （4）30.382016yx =+； （5）32x y x-=；（6）y kx b =+．【习题4】当m 为何值时，函数23(2)(4)m y m x m -=--+-是一次函数．【习题5】在同一直角坐标系内画出下列一次函数图像：（1）32y x =-；（2）34y x =-+．随堂检测【习题6】已知一次函数23()32f x x =-， （1）求(1)f -，(3)f ； （2）如果5()2f a =，求实数a 的值； （3）求该一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积．【习题7】在同一坐标系中，对于函数①1y x =--，②1y x =+，③1y x =-+，④2(1)y x =-+的图象，通过点（-1，0）的是___________，相互平行的是__________，两条函数图像交点在y 轴上的是___________．（填写序号）【习题8】已知直线l 与直线21y x =+的交点的横坐标为2，与直线2y x =-+的交点的纵坐标为1，求直线l 的函数关系式．【习题9】根据下列要求求一次函数解析式：（1）一次函数经过A (23)，且其与y 轴的截距为-2； （2）一次函数的截距为-5，且与31y x =--无交点； （3）一次函数的图像经过原点，且其经过A (3)(0)a a a ≠，．【习题10】一次函数2(4)(1)y m x m =-+-和2(1)3y m x m =-+-的图象与y 轴分别交于点P和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =______．【习题11】当k 为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限?【习题12】如图，△ACB 是边长为6的等边三角形，求：（1）点A 的坐标；（2）求直线AC 、AB 的解析式．【习题13】一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x =的图象经过点(21)-，，（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积； （3）求这两个函数的图象与y 轴围成的三角形的面积．【习题14】如图所示，直线L 1的解析表达式为33y x =-+，且L 1与x 轴交于点D ，直线L 2经过点A ，B ，直线L 1，L 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线L 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；（4）在直线L 2上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP 积相等，请直接写出点P 的坐标．【习题15】已知直线3y x =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．【作业1】判断下列函数类型： （1）33y x =-；（2）32y x=； （3）52x y -=；（4）1)y x =-；（5）722y x =-；（6）2016y x =．【作业2】已知1()22f x x =-，求： （1）(3)f f ，； （2）若()1f a =，求a 的值．课后作业【作业3】在同一坐标系内画出下列一次函数图像：（1）21y x =-；（2）23y x =+；【作业4】一次函数24y x =-+的图象与x 轴交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是__________，与坐标轴围成的三角形面积是___________． 【作业5】函数28(3)my m x m -=-+的图像是一条倾斜的直线，求m 的值．【作业6】根据下列条件求解相应函数解析式：（1）直线经过点(45)，且与x 轴无交点；（2(1．【作业7】直线y kx b =+与坐标轴只有一个公共点，且其还经过1)+，求k b +的值．【作业8】直线y kx b =+与直线54y x =-平行，且与直线3(6)y x =--相交，交点在y 轴上，求此直线的解析式．【作业9】把直线y x =-先向上平移求平移后的函数与坐标轴所围成的三角形面积．【作业10】如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3，4），B 为一次函数与y 轴的交点，且OA=OB ． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．【作业11】一次函数y kx b =+的截距为-2面积为1，求该一次函数的解析式．【作业12】一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形面积为2，且其经过(11)，，求该一次函数解析式．2、 一元一次方程与一次函数（5） 对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(,0)bk -． （6） 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．3、 一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2） 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数的图像和性质知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式x没【例1】 已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式0kx b +≤的解集．【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围； （2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围； （3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【例7】已知一次函数y ax b=+与y mx n=+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44 ax bmx n+>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b ax mx y n-=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n+≤+．【例8】当－1≤x≤2时，函数6y ax=+满足10y<，求出常数a的取值范围．5、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．6、 一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限． 把上述条件反过来叙述，也是正确的．知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】 已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________．【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限?【例11】 已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小．【例12】 完成下列填空：（1） 直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2） 直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________．【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________．【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1） 随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2） 直线4y kx =-经过哪几个象限? （3） 直线y kx b =+经过哪几个象限?例题解析【例16】已知直线(21)3y m x m=-+，分别根据下列条件求m的值或m的取值范围：（1）这条直线经过原点；（2）这条直线经过一二四象限；（3）这条直线不经过第三象限；（4）这条直线与2 1.5y x=-+平行；【例17】函数y ax b=+与y bx a=+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）．A B C D 【例18】点(1，m)、(2，n)在函数2(963)3(3)y a a x a a=-+-+-≠的图象上，则m、n的大小关系是____________．【例19】无论p为何值，除0以外，直线2y px p=+一定经过__________象限．【例20】不论k为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k--+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线11b x a y +=1(0)a ≠与22b x a y +=2(0)a ≠的位置关系： 当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】 已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限．【例22】 若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积； （3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积； （4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积.例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用【例23】 已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式．【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围．【例25】 已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大， 则k =_____________．【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________．【习题3】若0bc <，0ab >，则一次函数a cy x b b=--的图像经过第_________象限．【习题4】已知点A (2)a -，、B (3)b -，在直线(5)2y k x =++上，且a b ≥，则k 的取值范围是__________．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k =--，则一次函数213ky kx k -=+在y 轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n =-+-不经过第三象限，则m 、n 的范围是________；（2）直线(63)24y m x n =-+-不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值 范围是__________随堂检测【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x-≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标；（2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b =--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求∆COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时∆COM ≌∆AOB ，并求此时M 点的坐标．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x=-平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(125)--，，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【作业1】已知一次函数y kx b=+的图像交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________【作业2】（1）已知m是整数，且一次函数(4)2y m x m=+++的图像不经过第二象限，则m为__________；（2）一次函数(2)43y a x a=-+-的图像与y轴的交点在x轴的下方，则a的取值范围是__________．【作业3】已知直线2(0)y mx m m=+<．（1）当x取何值时，0y=？（2）当x取何值时，0y>？（3）当x取何值时，0y<？（4）在m的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？课后作业【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴下方所有点的横坐标的取值范围； （2）求解不等式0kx b +≥．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（ ）．ABCD【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围； （2）其函数图像经过那些象限？【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根； （2）不等式320x --≥的解集； （3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围； （5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积；【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行；（4）直线在y 轴上的截距4； （5）直线经过一三四象限；【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ，，且把∆AOB 分成两部分．（1）若把∆AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值； （2）若∆AOB 被分成的两部分面积之比为1:5，求k 、b 的值．一次函数的应用知识结构模块一：一次函数在实际问题中运用知识精讲1、一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题．2、在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式．3、学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值．)【例26】弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，则不挂物体时弹簧的长度是_______.【例27】如图，图中表示的是某航空公司托运行李的费用y （元）与托运行李的质量x (千克)的关系.（1）求出y 关于x 的函数关系式．（2）如果想免费托运，那么行李最多为多少重?（3）陆先生去旅行托运的行李费为450【例28】已知汽车油箱容量约为78升，当汽车加满油后，行驶250千米耗油8升，现在设该汽车油箱中的剩余油量y 升与该汽车行驶里程数x 千米是一次函数关系式，求该函数解析式，并根据解析式求解该车最多能行驶多少千米?【例29】由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米3)与干旱的时间t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3D ．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3)(分钟)【例30】为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y/cm ，椅子的高度（不含靠背）为x/cm ，则y 是x 的一次函数。

ab--------平面向量 (★★)（1）通过实例，了解平面向量的实际背景。

（2）理解平面向量和向量模的含义，理解向量的几何表示。

(3) 掌握相等向量、相反向量、平行向量的区别及联系，零向量的特殊性。

知识结构向量的基本概念： 1：有向线段（1）具有方向的线段叫做有向线段，通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB（2）有向线段的三要素：起点、方向、长度 2：向量的概念（1）向量：既有大小，又有方向的量. （2）数量：只有大小，没有方向的量.注：数量是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小的双重性，不能比较大小. 3：向量的表示方法（1）图形表示：用有向线段表示 如：（2）符号表示：用字母a ，b 等表示；或用有向线段的起点与终点字母表示，如AB（3）向量AB 、a 的大小（长度）称为向量的模，记作||||AB a ，4：零向量的概念（1）长度为0的向量叫做零向量，记作0，0的方向是任意的，即：00＝． （2）注意0与0的区别，零向量0是向量，故零向量既有大小，又有方向的量．5：平行向量（1）方向相同或相反的向量叫做平行向量.（只要方向相同或相反，与长度无关）. （2）我们规定0与任意向量平行．a注意：（a）综合上面两点才是平行向量的完整定义；（b）向量a，b，c平行，记作a∥b∥c5：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）.说明：（1）向量a与b相等，记作：a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示也可以用两条方向相同大小相等的有向线段表示，并且与有向线段的起点无关6：相反向量长度相等且方向相同的向量叫相反向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度）.说明：（1）长度相等；（2）方向相反、两者缺一不可区别及联系：相等向量、相反向量、平行向量（比较见下图）；相等向量相反向量平行向量方向相同相反相同或相反大小相等相等无关例1：下列各量中，不是向量的是（）A．浮力 B．风速 C．位移 D．密度解题分析：向量既有大小又有方向，根据物理知识得A、B、C三个物理量都是既有方向又有大小的量，故排除A、B、C，选D.答案：D.例2. 四边形ABCD中，若向量AB与CD是平行向量，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.梯形C.平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形解题分析：注意平行向量与相等相反向量之间的区别，相等向量：既要大小相等又要方向相同；相反向量：大小相等方向相反；平行向量：只要方向相同或相反即可，根据题意平行四边形或梯形都满足梯形，故选C.答案:C.例3. 下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 解题分析：注意零向量长度为0，方向是任意的. 答案：A.例4.如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，ABED 是平行四边形.下列结论中正确的是（ ） A.AD 与EB 是相等的向量； B.AB DC =； C ．AD 与EB 不是平行向量； D.AB ED CD ==解题分析：A 选项AD 与EB 是相反向量，B 选项||||AB DC =，C 选项AD 与EB 是平行向量 答案：D.例5.设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM . 答案：略1.下列命题中，错误的是（ ）A ．向量AB 与BA 是两个平行向量 B ．若a 、b 都是模长为1的向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同 2.设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是( ) A. a 与b 的长度必相等 B. a ∥b C. a 与b 一定不相等D. a 是b 的相反向量3. 命题“既有大小又有方向的量是向量”的逆命题是 ，它是 命题.（填“真”、“假”）DAC4. 命题“如果a b =，那么a b =”是 命题.（填“真”、“假”）5.把平面上所有模长为2的向量起点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 。

八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8
讲)
第一讲：向量的概念
- 向量的定义
- 向量的表示方法
- 向量的性质
第二讲：向量的运算
- 向量的加法
- 向量的减法
- 向量的数乘
第三讲：向量的模与方向角
- 向量的模的概念
- 向量的方向角的概念
- 向量的模与方向角的计算
第四讲：向量坐标表示与平行四边形法则
- 向量的坐标表示方法
- 矢量和坐标的关系
- 平行四边形法则的应用
第五讲：向量共线与定比分点
- 向量共线的概念
- 共线向量的判定方法
- 向量的定比分点
第六讲：向量的数量积
- 数量积的定义
- 数量积的性质
- 数量积的计算方法
第七讲：向量的坐标表示与夹角公式- 向量的坐标表示与数量积
- 夹角的概念与计算方法
- 向量间的夹角公式
第八讲：平面向量的应用
- 向量的投影
- 向量的位移
- 向量的垂直与平行
以上是八年级数学平面向量的新课讲义完整版，共8讲，内容
包括向量的概念、运算、模与方向角、坐标表示与平行四边形法则、共线与定比分点、数量积、坐标表示与夹角公式以及向量的应用。

通过学习这些内容，学生将能够掌握平面向量的基本概念和运算方法，并能够应用于实际问题的解决中。

初二数学复习教案平面向量的加法和减法初二数学复习教案平面向量的加法和减法一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在解决平面几何问题以及其他数学领域中发挥着重要的作用。

本文将对初二数学中的平面向量的加法和减法进行复习，并提供相应的教案。

二、平面向量的定义在平面上，向量可以用有序数对表示。

设有点A（x1，y1）和点B （x2，y2），则表示向量AB的有序数对就是（x2-x1，y2-y1），记作向量AB=（x2-x1，y2-y1）。

三、平面向量的加法1. 向量共线情况下的加法如果两个向量共线，它们的和向量方向和模长都可以直接求出。

假设有向量A=（x1，y1）和向量B=（x2，y2），则它们的和向量C可以表示为：C=A+B=（x1+x2，y1+y2）。

2. 向量不共线情况下的加法如果两个向量不共线，无法通过直接相加来求出它们的和向量。

此时，我们可以使用平行四边形法则来求解。

具体步骤如下：（1）将两个向量的起点放在一起；（2）从第一向量的终点引出一条与第二向量起点相连的向量；（3）以这条向量为对角线构建一个平行四边形；（4）将第二个向量的终点连接至平行四边形的对角线另一端；（5）两个向量的和向量即为平行四边形的对角线向量。

四、平面向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法。

设有向量A和向量B，它们的差向量C可以表示为：C=A-B= A+(-B)，其中-B表示向量B的逆向量。

五、教案设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生应能够：（1）了解平面向量的概念及表示方法；（2）掌握向量共线情况下的加法方法；（3）掌握向量不共线情况下的加法方法；（4）掌握向量的减法方法。

2. 教学步骤（1）引导学生回顾平面向量的定义和表示方法；（2）讲解向量共线情况下的加法，并通过例题进行示范和讲解；（3）讲解向量不共线情况下的加法，引导学生理解平行四边形法则，并通过例题进行练习；（4）讲解向量的减法，强调向量减法的转化规则，并通过例题进行巩固；（5）布置练习作业，检验学生的掌握情况。

寒假班初二年级数学复习（第二章)第1课时勾股定理、勾股定理的应用（3课时）一、知识点:1、勾股定理：２、神秘的数组(勾股定理的逆定理):二、典型例题:例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和４,求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6,斜边为10,求另一条直角边例２：在△ABC 中，AB=1３,AC ＝15,BC=14，。

求B Ｃ边上的高ＡＤ。

例3:在△ABC 中,AB=15,AC=20,B Ｃ边上的高AD=1２，试求BC 的长.(两解)例４:如图,在△ABC 中，A Ｃ=AB ，Ｄ是ＢC 上的一点，ＡD ⊥A Ｂ，A Ｄ＝９cm ，ＢD=15cm,求AC 的长.例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着,它又掉头向正东方向航行１5千米.⑴ 此时轮船离开出发点多少k ｍ? ⑵ 若轮船每航行1ｋm,需耗油0．4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?DCBADCBA例6:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC ＝8c ｍ,现将直角边AC 沿直线折叠,使它落在斜边AB 上,且点C 落到E 点,则C Ｄ的长是多少？例７:如图,四边形ＡBCD 中，A Ｂ=3,BC=4,C Ｄ=12,ＡD=13,∠B=90°,求四边形ABC Ｄ的面积。

例８:有一根70cm 的木棒，要放在50ｃm,４0cm ，30cm 的木箱中,试问能放进去吗？例9:甲、乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8∶0０甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时后乙出发，他以5千米／时速度向西南方向行走，上午１０∶00时,甲、乙两人相距多远？10:如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀,也能拼成一个大正方形吗？ 边的长为多少？EDCBABACD第二课时平方根、立方根一、知识点:1、什么叫做平方根？２、平方根的表示方法:3、平方根的性质： 4、算术平方根：5、算术平方根的性质： 6、什么叫做立方根?７、立方根的性质：二、举例:例1：填空题：⑴１６的平方根是 ;２5的平方根是 ；4916的平方根是 ； 2．56的平方根是 ;(－２)2的平方根是 ;210-的平方根是 。

1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第17讲 平面向量学习目标教学内容1．（1）既有 、又有 的量，叫做向量．（2）向量的 也叫向量的模（或向量的长度）——它是一个 ． （3）零向量：大小为 ，方向 的向量；记作____ ____． 2．（1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量． （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量． （3）方向 的两个向量叫做平行向量． 3．向量的运算：（1）向量加法、减法的三角形法则：AB BC +=u u u r u u u r _____________；AC BC -=u u u r u u u r___ ____．（2）向量加法、减法的平行四边形法则：AB AD +=u u u r u u u r _____________；AB AD -=u u u r u u u r___ ____．（3）向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即： ； 向量加法满足结合律，即： ．1．下列各式中，正确的个数是（ ）练习CBAD①若0a =r ，则0a =r ； ②若0a =r r ，则0a =r r ； ③若a b =r r，则a b =r r 或a b =-r r ； ④若0a =r r ，则0a -=r r ．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．设b r 是a r的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A 、a r 与b r 的长度必相等B 、a r ∥b rC 、a r 与b r 所在直线一定平行D 、a r 是b r的相反向量3．下列说法不正确的是（ ）A 、零向量是没有方向的向量B 、零向量的方向是任意的C 、零向量与任一向量平行D 、零向量只能与零向量相等 4．如图，梯形AECD 中，CD //AE ，AD ＝CE ，点B 在AE 上，BC //AD ．则图中与CD uuu r相等的向量： ．与AB u u u r相反的向量： ．与AB u u u r平行的向量有： ．AD =u u u r．例题1：B AECDar br cr （1）如图1，一只蚂蚁从点A 出发，沿着△ABC 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r；（2）如图2，一只蚂蚁从点A 出发，沿着四边形ABCD 的边爬行一周回到点A ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r；（3）如图3，一只蚂蚁从点A 1出发，沿着n 边形的边爬行一周回到点A 1，那么1223341n A A A A A A A A ++++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u rL ．图1 图2 图3试一试：化简下列各式：①AB ＋BC ＋CA ； ②AB —AC ＋BD —CD ； ③OA —OD ＋AD ；④NQ ＋QP ＋MN —MP ．结果为零向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4例题2：如图，已知向量a r 、b r 、c r 、d u r，分别画出下列向量：（1）a c b d +--r r r u r （2）()()a cb d -+-r r r u r试一试：如图，已知向量a r 、b r 、c r ； 求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．ABCABC DA2A3A4A5A6An A1abcd例题3：如图，正六边形ABCDEF 的中心是O ，已知AO a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r表示以下向量：EF u u u r =______________，CF uuu r =______________，FA u u u r=______________， CE u u u r =______________，AE u u u r=______________，AC u u u r =______________.试一试：如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量： （1）AB AC -u u u r u u u r ； （2）AB AE -u u u r u u u r ．例题4.已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）利用图中的向量表示：BC CD +=u u u r u u u r_____________；（2）利用图中的向量表示：AO AD -=u u u r u u u r_____________；（3）如果5AB =u u u r ，12BC =u u u r ，则BO =u u u r___________．例题5.如图，□ABOF ，□BCDO ，□ODEF ，用a r 、b r ，c r表示：AF =u u u r ；OC =u u u r ；DF =u u u r ；AE =u u u r；CF =u u u r ．FEDCB OAABCDEODCBA1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r , BC b =u u u r r ，则a b +r r为 ．2．在□ABCD 中，AC u u u r ＝a r ，AB u u u r ＝b r，则BC uuu r = ．3．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，且AB AD =u u u r u u u r，那么四边形ABCD 为（ ）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D 、不是矩形、菱形的四边形4．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，OD d =u u u r u r，则（ ） A 、0a b c d +++=r r r u r r B 、0a b c d -+-=r r r u r r C 、0a b c d +--=r r r u r r D 、0a b c d --+=r r r u r r5.判断下列命题是否为真命题（1）如0a =r ，那么0a =r r ；（ ） （2）若a r =b r，那么a r =b r ；（ ）（3）若a r =b r，那么a r //b r ．（ ）6．化简：（1）()()AB CD BE DE -+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ； （2）()BC DA MB CM --+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ．7．如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 在边BC 上，联结DE ，AC ．（1）填空：CD DE +=u u u r u u u r ___________；BC BA -=u u u r u u u r____________；（2）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量BE u u u r平行的向量是 ；（3）求作：AB AD +u u u r u u u r．（请说明哪个向量是所求作的向量）8．如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB = DF ．（1）填空：BC BA +u u u r u u u r =________；BA AF +u u u r u u u r=_________；BC AF -=u u u r u u u r ． （2）求作：BC AF +u u u r u u u r．ACEBDAECFBDar br cr A BED C 9．已知□ABCD ，点E 是 BC 边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u ur 的和向量：AD DC +u u u r u u u r = ； （2）在图中求作．．AD u u u r 与DC u u u r 的差向量：AD DC -u u u r u u u r = ；（3）如果把图中线段都画成有向线段．．．．．．．，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与BE u u u r互为相反向量的向量是 ；（4）AB BE EA ++=u u u r u u u r u u u r．10.如图，已知向量AB a =u u u r r 、BC b =u u u r r 、CD c =u u u r r 、DE d =u u u r u r ；试用a r 、b r 、c r 、d ur 表示下列向量： （1）AB AC -u u u r u u u r ；（2）AB AE -u u u r u u u r ．11、如图，已知向量a r 、b r 、c r ；求作：（1） b a -r r ，（2）()a b c --r r r．ABCDE【巩固练习】1．下列结论正确的有（ ）① 向量AB u u u r 与向量BA u u u r 是两个平行向量； ② 若a r 、b r 都是模为1的向量，则a r =b r；③ 两个向量相等的条件是它们的方向和大小必须相同； ④ 对任意一个向量a r ，都有0a >r． A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个．2．等边△ABC 中，设AB u u u r =a r ，BC uuur =b r ，CA u u u r =c r ，则下列错误的是（ ）A 、a b c ==r r r ；B 、0a b c ++=r r r r ；C 、a b c ==r r r ；D 、0a b c ++=r r r．3．下列关系式：① 0AB BA +=u u u r u u u r ；②0AB BA +=u u u r u u u r r；③0AB BA +=u u u r u u u r ；④0AB BA +=u u u r u u u r r ；正确的个数有（ ）A 、1；B 、2；C 、3；D 、4． 4．在□ABCD 中，下列等式成立的是（ ）A 、AB CD AD BD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r B 、AB CD AC BD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r C 、AB CD AC BD -=+u u u r u u u r u u u r u u u r D 、AB CD AC BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r5．已知□OBCA 中，点D 在OB 上．（1）填空：OA AC +u u u r u u u r = ；AD OB -u u u r u u u r = ； 与AC uuu r平行的向量有 ．（2）求作：OA CD AD +-u u u r u u u r u u u r．6．已知，在△ABC 中，BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ；设BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r．（1）用向量a r 、b r分别表示向量AD u u u r 、BE u u u r 、CF uuu r ； （2）求AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF uuu r ．7.已知，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （1,1）关于原点对称的点为B ，点C （3,2）关于x 轴对称的点为D ；（1）求作向量OB uuu r 、BD u u u r；（2）求作：OA OC -u u u r u u u r ；（3）求作：OD OC -u u u r u u u r ．8.已知OA u u u r =a ,OB uuu r =b ,且｜a r｜=｜b ｜=4,∠AOB =60°,①求｜a +b r ｜，｜a r -b r｜②求a +b 与a 的夹角，a -b 与a 的夹角.CABOD F DE BCA甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？请画出相应的树状图。

1、三角形法则向量加法的定义：如图1，已知非零向量a.b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即a+b =AB +BC =AC 。

图1运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。

2、平行四边形法则如图2，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线OC 就是a 与b 的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

图23、多边形法则特点、首尾顺次连接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点。

注：向量减法的法则1、三角形法则如图3，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作a OA ，=b ，则=a-b ，即a-b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

图3 图42、平行四边形法则如图4，设向量=b ，=a ，则=-b ，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b 。

又b +=a ，所以=a-b 。

二、经典例题例1、判断下列说法是否正确；不正确的请改正。

（1）既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）起点位置不同但同向又等长的有向线段表示同一个向量。

OB BA AB AC AD AE BC BC）两个相等向量的模相等。

|||a b =，则a b =。

）若m n =，n k =，则m k =）向量的长度与向量的长度相等。

）模相等的两个平行向量是相等向量。

）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反）平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =AB DC =，那么连接A 、B 、C 、D 四个点，一定能组成平行四边形。

是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量、如图，按1:100的比例尺用有向线段表示两个点相对位置、在点O 的东南方向 O FE 平行的有DF 的模相等的有ED 相等的有是平行四边形AB CB AC += B. AB AD AC += C. AD CD BD += D.AO CO OB OD +++≠0（数字）、在四边形ABCD 中，=+BA BA ；AB BC CD ++=_____；AB BC CD DA +++=______1）已知向量a 、b ，求作、a +b .AB BA a b（2）如图，已知向量ａ，ｂ，用两种方法求作向量ａ＋ｂ.例8、一艘船从A 点出发以２3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).例9、（1）下列各式结果是AB 的是( )A.AM MN MB -+B.AC BF CF -+C.AB DC CB -+D.AB FC BC -+ （2）在正六边形ABCDEF 中,不与向量相等的是 （ ）A ． +B ．－C ．+D ．+例10、（1）化简、()()AB CD BE BC BD EF AF +-+-+-=________ （2）化简、（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）＝（3）、已知正方形ABCD 边长为1，AB BC AC ++模等于_______例11、已知、如图ab 、是两个非零向量，求作向量b -ac =.a b例12、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，指出图中向量、AD AB AD AB -+, 。

D
C
H
G
A
BE
F
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。
AB = DC
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。
DA = BC
方向相同或方向相反的两个向量叫做平行向量。
EF ∥ HG AB∥ DC DA∥ BC
想一想
向量 AB 与 BA 是什么关系的向量？ 用符号如何表示？
它们是互为相反的向量. AB BA
练一练
辨析题
1.平行向量的方向一定相同.
(×)
2.不相等的向量一定不平行.
(×)
3.若两个向量在同一直线上，
则这两个向量一定是平行向量. (√)
4.相等向量一定是平行向量.
(√)
5.平行向量一定是相等向量或互为相反的向量. (×)
向量相等或相反
向量平行
例题选讲
例2.如图,已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，DE∥AB， 点E在BC上.如果把图中线段都画成有向线段，那么在这 些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）：
方向是否相同或相反？它们的长度是否相等？
(3)平行的向量的有哪些？
例题选讲
例1.如图四边形ABCD和四边形EFGH分别是平行四边形
和梯形，在梯形中EF∥GH。图中有向线段都表示向量，
它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。
D
C
H
G
A
BE
F
通过对例1的探究，你能说一说“方向”与“平行”
之间有什么样的关系吗？
A
符号表示法： AB或a、b、c
a
b
c
4.向量的长度： AB 、a 、b
向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向 量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向

八年级平面向量知识点总结平面向量是初中数学中的重要知识之一，其理论性和实用性都非常强。

本文将对八年级平面向量的知识点进行总结。

一、平面向量的概念及表示方法平面向量是指具有大小和方向的有向线段。

一般用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

平面向量常用字母字母a，b，c等表示，或者用AB表示。

例如，向量a的表示为a→或者a。

二、平面向量的基本运算平面向量具有加法、减法、数乘三种基本运算。

1. 向量的加法：设有向量a→和b→，则它们的和为c→（读作“c”），满足平行四边形法则，即b→，c→构成的平行四边形的另一条对角线为a→+b→。

2. 向量的减法：设有向量a→和b→，则它们的差为a→-b→（读作“a减b”），即向量a→的尾部和向量-b→的头部连接起来所得到的向量。

3. 向量的数乘：设k为实数，向量a→的k倍为ka→，即向量a→的大小扩大/缩小k倍，方向不变/相反。

三、平面向量的数量积和夹角余弦1. 数量积：设有向量a→和b→，它们的数量积为abcosθ，其中a和b为向量的大小，θ为a→与b→的夹角。

数量积的本质是两个向量在同一方向上的长度乘积，是一个标量而非向量。

2. 夹角余弦：设有向量a→和b→，它们的夹角余弦cosθ等于它们的数量积除以它们的模积（即|a||b|）。

四、平面向量的线性运算和向量共线、垂直的判定1. 向量的线性运算：设k和l为实数，向量a→和b→，则ka→+lb→为向量的线性运算。

2. 向量共线、垂直的判定：（1）向量共线的判定：向量a→和b→共线（或平行）的充要条件是a→=kb→或b→=la→。

（2）向量垂直的判定：向量a→和b→垂直的充要条件是它们的数量积为零，即a→·b→=0。

五、平面向量的平移、旋转和坐标表示1. 平面向量的平移：平移向量一个向量c→的终点与a→的起点重合，平移后的向量为b→=a→+c→。

2. 平面向量的旋转：设有向量a→，顺时针旋转θ度后的向量为b→，则b→的x坐标为acosθ-bsinθ，y坐标为asinθ+bcosθ。

八年级数学平面向量与解析几何优秀教案范本一、教学目标：1. 了解平面向量的基本概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法、数量积和向量积运算；3. 进一步理解解析几何的基本概念和性质；4. 能够应用平面向量和解析几何知识解决实际问题。

二、教学重点：1. 平面向量的基本性质和运算；2. 解析几何的基本概念与应用。

三、教学内容：1. 平面向量的定义和表示(1) 平面向量的定义；(2) 平面向量的表示方法。

2. 平面向量的加法与减法(1) 平面向量的加法定义；(2) 平面向量的减法定义；(3) 平面向量的性质。

3. 平面向量的数量积(1) 平面向量的数量积定义；(2) 平面向量的数量积计算方法；(3) 平面向量的数量积的性质。

4. 平面向量的向量积(1) 平面向量的向量积定义；(2) 平面向量的向量积计算方法；(3) 平面向量的向量积的性质。

5. 解析几何的基本概念与性质(1) 解析几何的基本定义；(2) 解析几何的基本性质；(3) 解析几何在平面向量中的应用。

四、教学步骤：【导入】1. 引入平面向量的概念，通过实物、图片或图示等方式让学生感知平面向量的概念；2. 提出解析几何的问题，引起学生的思考。

【讲解】3. 讲解平面向量的定义和表示方法，并通过实例引导学生理解；4. 介绍平面向量的加法和减法，并进行示例演示；5. 解释平面向量的数量积和向量积的定义和计算方法，并结合具体问题进行讲解；6. 介绍解析几何的基本概念和性质，并指导学生运用解析几何解决数学问题。

【练习】7. 配发练习题，让学生运用平面向量和解析几何知识解决问题；8. 针对学生出现的问题进行讲解和答疑。

【拓展】9. 给予学生拓展练习题，深化对平面向量和解析几何的理解与应用；10. 引导学生与同学互评作业。

五、教学资源准备：1. 平面向量和解析几何的教材或课件；2. 实物、图片或图示等辅助教学材料；3. 练习题和拓展练习题。

六、教学评估：1. 教师平时观察学生的课堂表现；2. 练习题和拓展练习题的成绩；3. 学生的互评作业。

高二数学寒假专题复习资料第二讲平面向量Word版含解析-图文第二讲、平面向量一、向量的基本概念，向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。

，向量的表示：）字母表示：，,）几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。

，向量的基本概念)模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作)零向量：长度为的向量)单位向量：长度为的向量共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。

二、平面的线性运算向量的加法）加法法则（）平行四边形法则：共起点（）三角形法则：首尾相连。

）相关结论（），向量的减法减法法则三角形法则：共起点。

（）（），数乘运算）定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做。

长度与方向规定如下：（）（）当时，的方向与的方向相反时，的方向与的方向相同；当）相关结论：（）（）（）（）（为唯一确定的实数））向量共线定理：为非零向量，则）三点共线问题：若、、三点共线推论：若，则、、三点共线三、平面向量基本定理及坐标表示，平面向量基本定理）平面向量基本定理：如果量，有且只有一对实数）基底：不共线的两个向量，，使，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

两个向量成为基底的唯一限制是不共线。

任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。

）向量共线定理的推论：若，，则，则，当时，，同向；当三点共线（交叉相乘，积相等）叫做向量与的夹角。

时，，反向，当时，称，垂直，记作。

）向量的夹角：作显然）三点共线的充要条件：，平面向量的正交分解及坐标表示）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。

）坐标表示：取分别与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，则。

我们将有序数对叫做向量的坐标，记作＝。

学生编号 学生姓名 授课教师 辅导学科 八年级数学 教材版本上教课题名称平面向量课时进度 总第（ ）课时 授课时间 5月26日教学目标 1、掌握有向线段的相关概念并知道如何画有向线段2、掌握向量和模的概念3、掌握向量的表示方法4、掌握向量的加法法则 重点难点掌握向量的加法法则同步教学内容及授课步骤一、 知识梳理： 知识点1、向量的概念1） 向量定义：既有大小又有方向的量. 2） 向量表示：有向线段或字母表示：字母表示：AB 或a .3） 向量的模：向量的大小叫做向量的模（向量的长度）记做：||||AB a ，例题P 、Q 为已知两点 （1）P 、Q 两点间的距离为100米（2）小明从点P 出发沿直线PQ ，向Q 行进100米（3）小明从点P 出发，以每分钟100米的速度沿直线PQ ，向Q 前进 在上述三个量中，向量的个数为（ C ） A 、0B 、1C 、2D 、3限时训练1、若图所示，在圆Ｏ中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）（Ａ）有相同方向的向量（Ｂ）单位向量（Ｃ）相等的向量（）模相等的向量 2、向量的两个要素是：大小和 ．3、向量的方向是指由有向线段的_________到_________的指向。

4、规定了_______的线段叫做有向线段，向量的几何表示可用 来表示。

知识点2、相等向量、相反向量，平行向量 1）相等向量：方向相同且长度相等的两个向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度；同向且等长的有向线段表示同一个向量，即向量和起点无关）. 2）相反向量：方向相反且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度） 3）平行向量：方向相同或相反的两个向量.（只要方向相同或相反，与长度无关） 相等向量、相反向量、平行向量的比较见下图BA O CBA相等向量 相反向量 平行向量 方向 相同 相反 相同或相反 大小相等相等无关例题如图，已知点O 是线段ABCDEF 的中点 （1） 写出与OA 、DF 相等的向量（2） 写出与CO 、BD 互为相反的向量（3） 写出与CO 、BD 的平行向量 知识点3、平面向量的加法1）向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2）向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么，以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即是这两个向量的和向量．3)4）加法满足交换律和结合律例题如图是四个全等且相邻的正方形请用“三角形法则”说明ME +DA = MA DEOFE DCBA知识点4、平面向量的多边形法则一般的，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量．这样的规定叫做几个向量的多边形法则．例题如图：梯形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 在AB 上，EC ∥AD ， 则AE EC CD BE +++＝ 。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

初二数学平面向量的基本概念与运算在初二数学课程中，平面向量是一个重要的概念。

本文将介绍平面向量的基本概念以及常见的运算方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、平面向量的基本概念平面向量是指具有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(x, y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

二、平面向量的表示与命名方式平面向量通常用代表向量的字母加上一个箭头上方的小写字母来表示，例如向量AB可表示为→AB。

三、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则。

即将两个向量的起点相连，然后以这个线段作为对边，分别以两个向量的方向和大小作为两条边，构成一个三角形。

此时，向量的和就是由三角形的第三条边所代表的向量。

2. 向量的数乘向量的数乘，即将向量的每个分量都与一个实数相乘。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同（当数大于0）或相反（当数小于0），而大小则是原向量大小的绝对值与数的绝对值的乘积。

3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来实现。

具体地说，要得到向量AB与向量AC的差向量，可以将向量AC取反再与向量AB相加。

4. 平面向量的模平面向量的模表示向量的长度，通常用|→AB|来表示。

在直角坐标系中，可使用勾股定理来计算模长，即|→AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ -y₁)²)。

5. 平面向量的单位向量单位向量是指模长为1的向量。

可以通过将向量除以自身的模长来得到单位向量。

6. 平面向量的数量积平面向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即→AB·→CD = AB·CD = x₁x₂ + y₁y₂。

数量积有很多应用，如计算两个向量的夹角、判断两个向量之间的关系等。

7. 平面向量的夹角两个非零向量的夹角可以通过数量积的定义来计算。

设向量→AB和→CD的夹角为θ，则有cosθ = (AB·CD) / (|→AB|·|→CD|)。