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授课老师：授课日期：六年级寒假·第四讲平面图形的认识和计算【知识要点】1．了解平面图形的特点。
2．掌握基本的几种平面图形的面积和周长的计算方法（如：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆)。
3．要牢记每种平面图形的面积计算公式，特别是计算三角形和梯形面积时，不要忘记乘1（或除以2）。
24．对于一些较复杂的图形，要有意识地将其进行简单的变化，可以化繁为简，化难为易，获得最佳解法。
【复习巩固】1、一个长方形,长20厘米，如果长减少5厘米，要使面积不变，宽应增加( ）％。
2、从( )到( )任意一点的线段叫半径.3、通过( ）并且( ）都在( ）的线段叫做直径。
4、在同一个圆里，所有的半径（），所有的（ )也都相等，直径等于半径的（）。
5、用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（）厘米。
6、把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形.这个长方形的长相当于圆的( ）,宽相当于圆的( ）。
因为长方形的面积是( ），所以圆的面积是（ )。
7、正方形有( ）条对称轴,长方形有（ )条对称轴,等腰三角形有（）条对称轴，等边三角形有（ )条对称轴.8、一个圆的周长是同圆直径的（）倍。
9、一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的是（ )平方厘米?10．在一个正方形中剪下一个最大的圆，剩余部分的面积占正方形面积的( ）％，如果正方形的边长是8厘米，剪下部分的面积是( ）平方厘米。
【精选例题】1．在图（一）中，梯形的面积是60平方厘米.请算出阴影部分的面积。
图（一）2。
已知两正方形的面积分别为16cm2和36 cm2。
求阴影部分的面积。
BC图（二）3．如图（三），圆面积与长方形面积正好相等。
已知圆的半径为10厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米？图（三）4．求图（四)中阴影部分的面积。
（单位：厘米）10图(四)5．在图（五）中，是以一个三角形的三个顶点为圆心,2厘米为直径所作的三个圆,那么这三个阴影部分面积的总和是多少？6．如图(六）中，梯形ABED与三角形DEC的面积比为6：7，BE和EC的长分别是多少厘米？ADBE C1016图(六)【巩固练习】一、 判断题1．大于900的角叫做钝角。
六年级寒假 · 第一讲 ：计算问题典型分数计算的技巧： 拆分法：1、 1 13 － 712 ＋ 920 － 1130 ＋ 1342 － 1556练习：6×712 －920 ×6＋ 1130×62、满足下式的n 最小等于 。
)1(1431321211+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯n n ＞19981949。
提取公因数法：3、1×3×5＋2×6×10＋3×9×15＋…＋50×150×2502×4×6＋4×8×12＋6×12×18＋…＋100×200×300 ＝________。
练习：1×3＋2×6＋3×9＋4×12＋5×151×2＋2×4＋3×6＋4×8＋5×10 ＝_________。
错位相减法：4、13 ＋ 19 ＋ 127 ＋ 181 ＋ 1243练习：12 ＋ 14 ＋ 18 ＋…＋ 1256 ＋1512估算部分：5、在下面的四个算式中，最大的得数是______： A 、1994×1999＋1999 B 、1995×1998＋1998 C 、1996×1997＋1997 D 、1997×1996＋19966、010000000009999999999100099910099109+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++的整数部分是 .7、10971939719297199719⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=A ,与A 最接近的整数是 。
8、已知199711982119811198011+⋅⋅⋅+++=S ,那么S 的整数部分是 。
练习题： 1、（ 1342 － 1130 ＋ 920 － 712 ＋ 56 － 12 ）÷ 156×2512、211×13 ＋ 213×15 ＋215×17 ＋217×19 ＋ 1193、1×3×24＋2×6×48＋3×9×721×2×4＋2×4×8＋3×6×124、 ×5、S ＝ 1011 ＋ 110111 ＋ 11101111 ＋ 1111011111 ＋ … ＋ 11111111101111111111，则S 的整数部分为______。
第一板块：排列
队伍里有6名小朋友，一共有多少种排法？
计数综合（二）(★★)
(★★)
请计算下列排列数的大小：
(★★)
七个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？
⑴七个人站成一排；
⑵七个人排成一排，A必须站在最中间；
丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排。
⑴奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？
⑵丁丁不能站最左边，有多少种不同的站法？
用1 、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？
第二板块：组合
9支球队进行足球赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场。
每场比赛后，胜方得3分，平局双方各得1分，负方不得分。
请问：一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？
(★★) (★★) (★★)
(★★)。
第一讲抓不变量解题1、某班有学生48名，女生占全班人数的37.5%，后来又来了若干名女生，这时女生人数恰好是全班人数的2/5，问共转来了多少名女生？2、某工厂有240名工人，其中女工占5/8，后来又调进若干名女工，这时女工占现有工人总数的20/29，调进多少名女工？3、某养殖专业户养黑兔和白兔共64只，其中黑兔占1/4，后来又买进一些黑兔，现在黑兔占总数的2/5，买进黑兔多少只？4、学校阅览室有36名学生在看书，其中女生占4/9，后来又有几名女生来看书，这时，女生人数占所有看书人数的9/19，问后来又来了多少名女生？5、把10%的盐水1000克，制成8%的盐水，应加水多少克？6、把12%的盐水500千克，制成含盐10%的盐水，应加水多少千克？7、在80千克含盐10%的盐水中，再加入多少千克盐，能使它变为含盐20%的盐水？8、有含15%酒精的溶液2000克，要使酒精浓度为20%，需加入酒精多少克？9、从分数89/149的分子分母中减去相同的整数，使它成为2/5，分子和分母应减去哪一相同的整数？10、分数8/23的分子分母都加上一个质数后，分数变成5/8，这个质数是多少？11、将58/79这一分数的分子和分母减去同一个数，新分数约分后是2/3，那么分子分母减去的同一个数是几？12、甲仓库内有存粮196吨，乙仓库内有存粮332吨，要使甲仓库内的存粮是乙仓库的3倍，必须从乙仓库中运出多少吨粮食放入甲仓库？13、某校选派360名学生参加夏令营，结果发现男生占40%。
为了使男生占50%，又增派了一些男生，增派了多少名男生？14、某乡去年有蔬菜田600公顷，水稻田300公顷。
为确保城市的蔬菜供应，今年又将一部分水稻田改为蔬菜田，使水稻田的数量相当于蔬菜田的1/8。
今年这个乡把多少公顷的水稻田改为蔬菜田？第二讲用倒推法解题1、华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩余的一半少20台，结果还剩105台。
第2讲 周期工程【学习目标】1、进一步学习工程问题；2、掌握周期工程问题的解题思路。
【知识梳理】解题步骤：1、判断循环周期；2、计算一个循环周期的工作量；3、算出大概需要几个周期，再看几个完整周期后，还剩下多少工作量；4、计算余下工程所需的时间时，要逐段进行计算和比较。
【典例精析】 【例1】修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作,由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的54，乙队的工作效率是原来的109。
现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？【趁热打铁-1】甲乙合作完成一项工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时提高101,乙的工作效率比单独做时提高了51,甲乙合作6小时完成了这项工作,如果甲单独做需要11小时,那么乙单独做需要多少小时？【例2】一项工程，交给甲工程队做需30天完成，每天工程费用为32万元；交给乙工程队做需40天完成，每天工程费用为41万元，为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么两队共同完成这项工程的总费用至少需要多少万元？【趁热打铁-2】某项工程，如果由甲、乙两队共同承包，522天可以完成，需支付工程款4800元；如果由乙、丙两队共同承包，733天可以完成，需支付工程款3000元；如果由甲、丙两队共同承包，322天可以完成，需支付工程款4000元。
现因乙、丙两队另有任务不能参加这项工程，那么，由甲队单独承包，需支付工程款多少元？【例3】一项工作，甲独做要9小时完成，乙独做要12小时完成。
如果按照甲、乙、甲、乙……【趁热打铁-3】一项工作，甲独做要12时完成，乙独做要15时完成，丙独做要18时完成，如果先由甲工作1时，然后由乙接替甲工作1时，再由丙接替乙工作1时，再由甲接替丙工作1时……三人如此交替工作，那么完成这项工作时共用了多久？轮流做，恰好用整数天完成。
春天吹着口哨沿着开花的土地，春天吹着口哨；从柳树上摘一片嫩叶，从杏树上掐一朵小花，在河里浸一浸，在风中摇一摇；于是，欢快的旋律就流荡起来了。
哨音在青色的树枝上旋转，它鼓动着小叶子快快成长。
风筝在天上飘，哨音顺着孩子的手，顺着风筝线，升到云层中去了。
新翻的泥土闪开了路，滴着黑色的油，哨音顺着铧犁的镜面滑过去了。
呵，那里面可有蜜蜂的嗡嗡？可有百灵鸟的啼啭？可有牛的哞叫？沿着开花的土地，春天吹着口哨；从柳树上摘一片片嫩叶，从杏树上掐一朵小花，在河里浸浸，在风中摇摇；于是，欢快的旋律就流荡起来了。
它悄悄的掀开姑娘的头巾，从她们红润润的唇边溜过去。
它追赶上了马车，围着红缨的鞭子盘旋。
它吻着拖拉机的轮胎，它爬上了司机小伙子的肩膀。
呵，春天吹着口哨，漫山遍野地跑；在每个人的耳里，灌满了一个甜蜜的声音——早！第1讲折扣与利润1. 通过折扣和利润的学习,解决生活中的实际问题；2. 运用折扣与利润的意义,根据题中的数量关系解决问题,做到学以致用,提高解决问题的能力。
一基础概念及常用公式1. 商品问题基础概念及计算公式成本（进价）：商品的进货价格；定价（原价）：商品预售的价格；售价：商品实际卖出的价格；商品实际利润：商品实际销售所获利润，即商品实际利润=商品售价一商品成本；利润率：商品实际利润与成本的百分比，即利润率=商品实际利润÷成本例题商品买卖中有成本、销售价、利润率，它们的关系是：利润率=（销售价-成本）⨯。
一种男式服装的成本是200元，销售价是260元，利润率是______；÷成本100%一种女式服装的成本价是250元，利润率是40%，销售价是______元。
2. 折扣问题（1）基础概念为了吸引顾客，促进顾客购物消费，商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，通称“打折”。
几折就是十分之几，也就是百分之几十。
（2）折扣问题常见解题思路①已知原价和折扣，求现价：现价=原价×折扣；②已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数=原价×（1一折扣）；③已知现价和折扣，求原价：原价=现价÷折扣；④已知原价和现价，求折扣：折扣=现价÷原价。
六年级数学奥数培训资料- 1 -第1讲 定义新运算 第2讲 简便运算（一） 第3讲 简便运算（二） 第4讲 简便运算（三） 第5讲 简便运算（四） 第6讲 转化单位“1”（一） 第7讲 转化单位“1”（二） 第8讲 转化单位“1”（三） 第9讲 设数法解题 第10讲 假设法解题（一） 第11讲 假设法解题（二） 第12讲 倒推法解题 第13讲 代数法解题 第14讲 比的应用（一） 第15讲 比的应用（二） 第16讲 用“组合法”解工程问题 第17讲 浓度问题 第18讲 面积计算（一） 第19讲 面积计算（二） 第20讲 面积计算目录第21讲 抓“不变量”解题 第22讲 特殊工程问题 第23讲 周期工程问题 第24讲 比较大小 第25讲 最大最小问题 第26讲 加法、乘法原理 第27讲 表面积与体积（一） 第28讲 表面积与体积（二） 第29讲 抽屉原理（一） 第30讲 抽屉原理（二） 第31讲 逻辑推理（一） 第32讲 逻辑推理（二） 第33讲 行程问题（一） 第34讲 行程问题（二） 第35讲 行程问题（三） 第36讲 流水行船问题 第37讲 对策问题 第38讲 应用同余问题 第39讲 “牛吃草”问题 第40讲 不定方程六年级数学奥数培训资料 姓名：__________________- 2 -第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
计算综合第一板块：计算技巧与常用方法回顾及考点一、计算是小学数学的基础，近两年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势(分值大体在6～15分)。
应针对两方面强化练习：1．分数小数的混合计算；2．分数的化简和简便运算。
二、考点：2012年的小升初考试将继续考查分数和小数的四则运算，命题的热点除了传统的速算与巧算，主要在于裂项的技巧以及换元法的运用，另外还应注意新的题型不断出现。
例如通过观察、归纳、总结，找出规律并计算的题型。
三、计算技巧与常用方法：1．计算常考类型：⑴分数小数混合计算技巧⑵等差数列求和及等比数列⑶裂项⑷通项归纳⑸换元法⑹找规律⑺公式法2．考试常用公式(春季课程讲解)第二板块：裂项与换元1．裂项理论：异分母分数的加减111111111112612203042567290110132＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋15111092612110⋅⋅⋅＋＋＋ ＋11112446684850⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯＋＋＋ ＋ 111112123123100+++＋＋…＋＋＋＋＋＋… 2．换元：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．11111122334451011++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯ A ．1B ．1011C ．111D ． 无法计算2．15111312612132⋅⋅⋅＋＋＋ ＋A ．12B ．11C ．111012D ． 无法计算3．111115599131317++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯14145⨯ A ．1 B ．4445 C ．1145 D ． 无法计算4．11112123+＋＋＋＋＋…＋112351+L ＋＋＋ A ．1252 B ．51152 C ．25126 D ． 无法计算5．11111111111111(1)()(1)2349923451002345100++++-++L L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 11(23＋＋ 11)499++L A ．1100 B ．0 C ．1 D ． 无法计算。
目录第1讲折扣与利润 (3)第2讲分数巧算 (9)第3讲圆柱的认识 (17)第4讲工程问题 (24)第5讲比例初步 (31)第6讲逻辑推理初步 (38)第7讲期末闯关 (45)春天吹着口哨刘湛秋沿着开花的土地，春天吹着口哨；从柳树上摘一片嫩叶，从杏树上掐一朵小花，在河里浸一浸，在风中摇一摇；于是，欢快的旋律就流荡起来了。
哨音在青色的树枝上旋转，它鼓动着小叶子快快成长。
风筝在天上飘，哨音顺着孩子的手，顺着风筝线，升到云层中去了。
新翻的泥土闪开了路，滴着黑色的油，哨音顺着铧犁的镜面滑过去了。
呵，那里面可有蜜蜂的嗡嗡？可有百灵鸟的啼啭？可有牛的哞叫？沿着开花的土地，春天吹着口哨；从柳树上摘一片片嫩叶，从杏树上掐一朵小花，在河里浸浸，在风中摇摇；于是，欢快的旋律就流荡起来了。
它悄悄的掀开姑娘的头巾，从她们红润润的唇边溜过去。
它追赶上了马车，围着红缨的鞭子盘旋。
它吻着拖拉机的轮胎，它爬上了司机小伙子的肩膀。
呵，春天吹着口哨，漫山遍野地跑；在每个人的耳里，灌满了一个甜蜜的声音——早！2第1讲折扣与利润1. 通过折扣和利润的学习,解决生活中的实际问题.2. 运用折扣与利润的意义,根据题中的数量关系解决问题,做到学以致用,提高解决问题的能力.1. 利润:利润问题也是一种常见的百分数应用题,商店出售商品总是期望获得利润,一般情况下,商品从厂家购进的价格称为成本价,商家在成本价的基础上提高价格出售,所赚的钱称为利润,利润与成本的百分比称之为利润率.期望利润=成本价×期望利润率.2.折扣:折扣问题是百分数问题的一种,买卖货物时,照标价减到原来的10分之几或百分之几十称为几折或几扣.3.常用公式：利润率=利润÷成本×100% 成本=利润÷利润率利润=成本×利润率成本=售价÷（1+利润率）售价=成本×（1+利润率）定价=成本×（1+期望利润率）折扣价= 定价×折扣例题1:(1) 钻戒的成本是560元,按照40%的利润率售出,利润是多少?(2) 一台冰箱的进价是800 元, 售价是1000 元, 卖出这台冰箱可以获得利润多少元? 利润率是多少?．练习1: 冰淇淋的利润率为20%,一个冰淇淋的售价是6元,成本是多少元?例题2: 呆呆熊买了一支网球拍,原价是800元,现在商店打八五折出售,比原价便宜了多少钱?练习2: 顽皮猴打八折买了一个玩具,一共花了38.4元.这个玩具原价是多少钱?例题3: 一件商品定价是480元,打八折降价促销后,仍获利20%.该商品的成本是多少元?练习3: 一箱雪碧的成本是20元,如果按20%的利润率定价,再打八八折出售,那么卖出这箱雪碧可以获利百分之几?例题4:一双运动鞋按30%的利润率定价后,又打八折促销,结果仍可获利8元.这双运动鞋的成本价是多少元?4练习4: 一件商品先涨价10%,再打八折出售,比原来便宜了36元,那么这件商品现在卖多少钱？思考: 某商场将一批儿童服装按进价的25%加价,当售出这批服装的80%后,为了尽早售完,剩下的服装半价出售,那么商场卖出所有服装的利润率是多少?1.一件毛衣的成本是50元,利润率为30%,这件毛衣的售价是多少？2.某商品按20%的利润率定价,实际获得的利润是80元,该商品的成本是多少元?3.一套运动服的定价是260元,商店打八折销售后,利润率变为4%,运动服的成本价是多少元?653×32= 45×512= 54÷21= 98÷4= 5÷65= 32÷32=16 ÷23 = 34 ÷18 ＝ 13 －16 = 14 ＋34 = 1÷34 = 15 ×19＝ 45 ×34 = 0×65= 45×54= 0.9－910 =23 ×94 ＝ 45 ×14 = 37 ×710 = 10－34 －14 = 23 ×12= 14×37 = 12 ＋14 ＝ 23 ×58 ＝ 49 ×19 = 35 ×15= 13 ×18 ＝ 511 ÷611 = 710 ×127＝ 1.25×16×8= 13 ÷18 ＝ (14 ＋13 )×4= 12 －13 = 716 ×167＝SandwichSandwich was an Englishman. He lived in the 18th century. Sandwich was rich, but he liked to play cards for money. He often played for 24 hours, and didn't even stop to have his meals. He ordered his servants（仆人）to bring him some meat and bread. He put the meat between the two pieces of bread and held the food in his left hand while he played cards with his right hand. People liked Sandwich's idea, and from then on they ate bread and meat as Sandwich did.From the name of the man，Sandwich，we have the word of the food "sandwich" today.8第2讲 分数巧算1. 进一步理解整数乘法的运算定律不仅适用于小数、整数乘法,而且也适用于分数乘法,使计算简便.2. 培养学生思维的灵活性和知识迁移能力,享受数学知识的深奥和无穷乐趣.一、添(去)括号同级运算中,添(去)括号对括号内符号的影响:括号前面是加号(乘号),添(去)括号不变号;括号前面是减号(除号),添(去)括号要变号. 二、乘法分配律1.凑数后使用乘法分配律:凑数的目的是让计算更简便,在运用时一定要灵活.2.运用积不变性质的乘法分配律 三、巧用数和算式的特点简算根据算式或数据的特点,凑数、约分、提取公因数或借数等.例题1: 计算.37114113⨯⨯ 3219414311÷÷10练习1: 计算.345 2.1579⨯⨯⨯ 4435377÷÷例题2: 计算.5413.85+12.3131854⎛⎫÷⨯÷ ⎪⎝⎭练习2: 计算.4311.27+4.19122143⎛⎫÷⨯÷ ⎪⎝⎭例题3: 计算.7114+7182********-33416⨯÷÷练习3: 计算.91739+236353241123111176-345134⨯⨯⨯÷例题4: 计算.19931994-11993+19921994⨯⨯练习4: 计算.20202019-12019+20182020⨯⨯12例题5: 计算.2020202020202019÷ 22559+7+7979⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1. 计算.212372+153+653579⎛⎫⨯÷⨯ ⎪⎝⎭2. 计算.19931994-11993+19921994⨯⨯ 134134134135÷1423 ÷415 = 56 ×4÷15＝ (12 ＋0.5)×(12 －0.5)= （41＋31）×24= 24.06＋0.4=3183-= (5165-)×30= 54×25= =+5373121×6= 2.8×25＋12×2.5= 12.5×32×2.5= 5－9792+= =+-+31213121 45×101=59×6= 270÷18= 1.25－0.25＋0.75=21×31÷21×31＝ 18×(32＋65＋94)=5.28―(0.28＋0.2)＝ 152＋153＝7÷1.4＝ 72.8÷0.8＝ 0.77＋0.33＝ （31＋41）×12＝ 1.25×54×8＝ 10－0.9＝ 8.2＋0.54＋0.46＝54－31＝ 1211－65＋121＝ 83×52=论求知[英]培根求知可以作为消遣，可以作为装潢，也可以增长才干。
奥数第一讲 分数加减法我们应当努力奋斗，有所作为。
这样，我们就可以说，我们没有虚度年华，并有可能在时间的沙滩上留下我们的足迹。
→ 拿破仑复习引导：常规分数加减法1、2－31－41－1252、（121－51＋83）－ （83＋54） 典例精讲： 五大类（1、公式法2、图解法3、裂项法4、分组法5、代入法）一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式： （首项+末项）×项数÷2来计算。
20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003 练一练：1、49134911499497495493491++++++【1】 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。
21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641…… =21 ×2－641 =6463 练一练：12816413211618141211-------【1281】 三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
数论综合（二）金儿和大宽在追“数字大盗”的过程中，由于飞机失事，紧急逃生的时候掉进了“质合王国”，遇到了说话不算数的“数字国王”~~~~，在解决完一切问题之后，“数字国王”把他们送到了邻国“约倍王国”~~~~~整除的基本知识一、基本概念和符号：1．整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2．常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”。
二、整除判断方法：1．能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2．能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3．能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4．能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5．能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6．能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7．能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1．如果a、b能被c整除，那么(a＋b)与(a－b)也能被c整除。
2．如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3．如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4．如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
整除基本运用在43的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能被3、4、5整除，求这样的最小五位数。
两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？一个19位数99777744444L L 1424314243○个个能被13整除，求○内的数字。
第11讲图形规律【学习目标】1、学会寻找图形间的规律；2、提升学习数学的兴趣。
【知识梳理】1、图形中的规律：（1）以组为单位按规律排列。
（2）同一组图形,通过不同的顺序排列。
（3）同一个图形通过平移或旋转按一定规律排列。
2、数形结合的规律：解答数图形的题目,要按一定的顺序去数,做到不遗漏、不重复。
数线段的一般公式是(n-1)+…+2+1(m为线段的总端点数);在数角、三角形、长方形等图形的个数时,有时可以与数线段的条数联系起来思考。
【典例精析】【例1】如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点，若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点。
若青蛙从1这个点开始跳，则经过2016次后它停在数字 1 对应的点上。
【趁热打铁-1】有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,……，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则第2020个数被3除，得到的余数是 0 。
【例2】节日的大街上挂起了一串串彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯重复地排下去，请问：第2013盏灯是 绿 颜色。
2013÷（5+4+3+2）=143（个）……11（盏）【趁热打铁-2】把111140化成小数时，连同整数部分第2001位上的数字是____6___。
111140=1.261261...... （2001-1）÷3=666 (2)【例3】小明在做一道数学题时发现：在一个平面上，2个点之间可连1条线段，3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，请你帮小明算一算，若一个平面上有11个点，则可以连 55 条线段。
10×11÷2=55【趁热打铁-3】若直线上有5个点，我们进行第一次操作：在每相邻两点间插入个点，则直线上有9个点；第二次操作：在9个点中的每相邻两点间继续插入1个点，则直线上有17个点，现在直线上有2017个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 16129 个点。
