下载文档原格式
弹塑性力学综述摘要：弹塑性力学是一门古老的力学，早在16世纪已经有人对其进行研究了，到19世纪才逐渐形成完整的力学体系。
在当代工程设计，施工中必须有坚实的力学基础，而弹塑性力学是力学基础的重要部分，是高等工程类人才只是结构中必不可少的部分，对于一些力学问题，他能给出比较精确的解。
对于研究生而言，弹塑性力学是力学模型受力分析，破坏分析的基础；在课题的研究中有很重要的位置。
关键字：弹性力学；塑性力学；发展史；应用Abstract: the elastic and plastic mechanics is an ancient mechanics, as early as the 16th century has been studied, until the 19th century gradually formed a complete system of mechanics. In modern engineering design and construction must have a solid mechanics foundation, the elastic and plastic mechanics is an important part of mechanical foundation, is the indispensable part of higher engineering talent just structure, for some mechanical problems, he can give a more accurate solution. For graduate students, the stress analysis of elastic-plastic mechanics is mechanical model the basis of analysis of the damage. In the research has very important position.Keywords: the elastic and plastic mechanics; The history of the mechanics; application0、引言：弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要部分，固体力学是研究材料及其构成的物体结构在外部干扰下的力学响应的科学对按其研究对象而区分为不同的学科分支。
圣维南原理的力学应用1. 圣维南原理的概念圣维南原理是力学中的一项基本原理，用于分析和解决物体的平衡和运动问题。
它由法国科学家圣维南在1669年提出，是力学中最重要的原理之一。
该原理描述了物体在受到外力作用时，产生平衡或运动的条件。
2. 圣维南原理的基本假设圣维南原理基于以下两个基本假设：•假设物体是刚体，即其形状和体积不会随时间变化；•假设物体是受力平衡的，即内力和外力之间不存在任何差异。
在这两个假设的前提下，圣维南原理可以应用于研究物体的平衡和运动。
3. 圣维南原理的力学应用3.1 平衡问题的分析圣维南原理可以用于解决物体静止时的平衡问题。
通过分析受力和力矩的平衡条件，可以确定物体所受到的外力和力矩。
具体步骤如下：1.确定物体所受到的所有外力和其作用点；2.列出物体受到的所有外力和力矩的平衡条件；3.根据平衡条件，求解未知量，确定物体的平衡状态。
3.2 运动问题的分析圣维南原理可以用于解决物体运动的问题。
通过分析受力和加速度的关系，可以确定物体的运动状态。
具体步骤如下：1.确定物体所受到的所有外力和其作用点；2.根据物体的受力情况，列出牛顿第二定律的方程；3.根据方程求解未知量，确定物体的加速度和运动状态。
3.3 圣维南原理的局限性虽然圣维南原理在力学中有着广泛的应用，但也存在一定的局限性。
圣维南原理假设物体是刚体，但在实际情况中，很多物体并不是完全刚性的，会发生形变和变形。
此外，圣维南原理只适用于平稳运动和平衡情况，对于非平稳运动和瞬态过程的分析有一定的局限性。
4. 总结圣维南原理是力学中的一项基本原理，用于分析和解决物体的平衡和运动问题。
通过分析受力和力矩的平衡条件，可以确定物体所受到的外力和力矩，从而解决平衡问题。
通过分析受力和加速度的关系，可以确定物体的运动状态，从而解决运动问题。
然而，圣维南原理也存在局限性，只适用于刚体和平稳运动的情况。
在实际应用中，需要考虑到物体的形变和变形，以及非平稳运动和瞬态过程的影响。
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年，圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分1圣维南原理的理解圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件不同，问题的解答也不一样。
但是要求出严格满足边界条件的精确解，有时是非常困难的，另外，对于一些实际问题，不能确切的给出面力的分布，只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。
于是我们会提出一个问题，能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。
这个问题可由圣维南发原理来回答。
凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形，可以用一个实例先简单理解。
例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度，根据生活经验，钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。
经验表明，这一平衡力系越小，对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用，基础上增加一对自相平衡的力系。
再减少一对相平衡的力系，根据圣维南原理，仅在小区域那有明显差异，而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
简单应用的理解书上的例子是这样的：如图所示，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F，如图（a），如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力，图（b）或图（c），则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。
简述圣维南原理及其应用公式
圣维南原理（Saint-Venant's principle）是指当一个外部载荷作用于一根杆件时，如果这个杆件在距离载荷作用点处足够远的地方，其挠度几乎不受载荷位置的影响，即载荷反应在杆件上的分布是近似均匀的。
该原理适用于解决结构力学中的弯曲问题。
圣维南原理还可以用于分析结构的自由振动问题。
在自由振动问题中，需要求解结构的固有频率和振型，而圣维南原理可以用来简化结构的初始条件。
通常情况下，结构的自由振动问题可以分解为多个单独的振动模态，圣维南原理则可以使每个模态的振型分布趋于均匀，从而简化求解过程。
圣维南原理的应用公式为：
Δ = (Ml^2)/(2EI)
其中，Δ表示载荷作用点处的挠度，M表示载荷矩，l表示载荷作用点到杆件固定端的距离，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
该公式可以用来计算载荷作用点处的挠度。
根据圣维南原理，载荷作用点处的挠度与载荷位置的影响几乎无关，因此可以通过该公式计算出载荷作用点处的挠度，而无需考虑载荷位置的具体情况。
在实际工程中，圣维南原理广泛应用于弯曲问题的分析与设计中。
例如，在桥梁设计中，为了确保桥梁能够承受车辆和行人的重量，
需要对桥梁的弯曲问题进行分析和设计。
圣维南原理可以用来简化桥梁弯曲问题的分析，从而提高设计效率和准确性。
圣维南原理是结构力学中非常重要的原理之一，其应用广泛，可以用于弯曲问题的分析和设计，也可以用于结构的自由振动问题的求解。
掌握圣维南原理和其应用公式，可以提高工程师在结构力学和结构设计领域的能力和水平。
圣维南原理的有限元模拟一、引言1.1 背景介绍圣维南原理（Saint-Venant principle）是结构力学中的一个重要原理，用于描述材料在载荷作用下的变形和应力分布规律。
有限元模拟是一种数值计算方法，可以通过将材料划分成多个小区域，近似求解对应的微分方程，得到材料的应力和变形信息。
本文将探讨圣维南原理在有限元模拟中的应用。
1.2 本文结构本文将按照以下结构对圣维南原理的有限元模拟进行全面、详细、完整且深入地探讨。
1.圣维南原理简介2.有限元方法概述3.圣维南原理的有限元建模步骤4.圣维南原理的有限元模拟实例分析5.结论与展望二、圣维南原理简介2.1 原理概述圣维南原理是由法国的物理学家圣维南（Barré de Saint-Venant）提出的。
原理表明，当材料受到外部载荷作用时，在远离载荷集中区域的地方，材料的应变和应力分布几乎不受载荷的具体形状和大小影响，只受载荷的总体效果影响。
也就是说，当材料足够远离载荷区域时，可以将载荷看作是完全分布在材料上的，而不再考虑具体的载荷形状。
2.2 适用范围圣维南原理适用于线弹性材料受到小应变、小变形和小应力情况下的力学分析。
对于非线性材料、大应变和大变形的情况，圣维南原理的适用性将受到限制。
三、有限元方法概述3.1 什么是有限元方法有限元方法是一种将连续介质离散化的数值计算方法，将连续的材料划分成多个小单元，通过对每个单元进行有限元分析，近似求解材料的应力、应变等物理量。
有限元方法通过求解以下微分方程来描述材料的行为：其中，σ为应力张量，ε为应变张量，C为弹性模量矩阵，F为外力矢量。
3.2 有限元方法的步骤有限元方法可以分为以下几个步骤：1.几何建模：对要分析的结构进行几何建模，选择合适的坐标系和节点。
2.选择适当的有限元类型和形状函数。
3.网格划分：将结构划分成多个小单元，构建有限元网格。
4.建立节点位移和约束：确定各个节点的位移和约束条件。
用ANSYS证明圣维南原理一、圣维南原理圣维南原理（Saint-V enant’s Principle）：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
它也可以这样来陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。
二、证明思路圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。
本文将利用ANSYS软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。
本文选择建立一个横截面积相对较小的混凝土柱体作为研究对象，然后对此矩形截面直杆模型进行数值证明。
分别对直杆两端施加集中力，以及与此集中力静力等效的均布载荷。
比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。
三、ANSYS建模及求解1、创建有限元模型。
选择Solid —10 node 92单元类型，弹性模量EX=2.5E9，泊松比PRXY=0.35。
然后创建一个长、宽、高分别为1m，0.05m，0.05m的长方体，并对其进行自由网格划分。
建模及网格划分结果如下图1所示。
图1 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分2、施加载荷并求解。
（1）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上F=10KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图2所示。
图2 集中力及约束施加结果（2）在长方体一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=4000KN的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图3所示。
图3 均布载荷及约束施加结果3、查看分析结果。
分别生成在长方体端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家A.J.C.B.de 圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的载荷所引起的物体中的应力，在离载荷作用区稍远的地方，基本上只同载荷的合力和合力矩有关；载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的载荷的合力和合力矩都等于零，则在远离载荷作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，只是一种习惯提法。
在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。
另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分别形式。
因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式提出。
这种等效将出带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，这是法国科学家圣维南首先提出的。
其要点有两处：一、两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效”力系；二、替换所在的表面必须小，并且替换导致在小表面附近失去精确解。
一般对连续体而言，替换所造成显著影响的区域深度与小表面的直径有关。
圣维南原理在实用上和理论上都有重要意义。
在解决具体问题时，如果只关心远离载荷处的应力，就可视计算或实验的方便，改变载荷的分布情况，不过须保持它们的合力和合力矩等于原先给定的值。
圣维南原理是定性地说明弹性力学中一大批局部效应的第一个原理。
弹性力学的一般原理：圣维南原理：对于作用于物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
有限元圣维南原理简述圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，圣维南原理（Saint-Venant ’s Principle ）表述如下：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
圣维南原理是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题，在此通过ANSYS 软件工具，进行该原理的证明。
2. ANSYS 证明当物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，也可以应用圣维南原理得到用用的解答。
例如，图1，2 所示构建的右端是固定端，则在该构件的右端，有边界条件()0,()0s s u u v v ====。
这就是说，右端固定端的面力，静力等效于经过右端截面形心的力F 。
结果仍然应该是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差是可以不计的。
考虑到在ANSYS 中建立约束条件的可行性，采用具有代表性的进行建模分析。
图1图21) 创建有限元模型——柱形构件为便于在两端面中心加载，选用四面体单元类型。
由于ANSYS的单元类型是在不断发展和改进的，同样功能的单元，编号大的往往意味着在某些方面有优化或者增强。
在ANSYS 15.0中，选用Solid-Tet-10 node 187单元类型。
基于有限元法验证圣维南原理圣维南原理（Saint-Venant's principle）是结构力学的基本原理之一，用于描述原点附近一个点的剪力和弯矩与距离原点较远的地方施加的力和力矩之间的关系。
该原理可以通过有限元法进行验证。
有限元法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域。
它将结构划分为许多小的单元，通过计算每个单元的力和位移来近似求解整个结构的行为。
为验证圣维南原理，我们可以通过有限元法建立一个简化的结构模型。
假设我们有一个简单的悬臂梁，其长度为L、截面积为A、杨氏模量为E，并施加一个在距离原点处施加的力F。
首先，我们将梁划分为多个小单元，每个单元的长度为ΔL。
然后，我们根据材料的本构关系以及几何约束条件，建立结构的刚度矩阵和载荷向量。
对于每个单元，我们可以假设其形变是线性的，并利用梁的几何约束条件来推导出局部坐标系与全局坐标系之间的关系。
然后，利用局部坐标系中的应力-应变关系，我们可以得到每个单元的刚度矩阵。
接下来，我们将所有单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵，并将力向量组装为载荷向量。
根据位移与力的关系，我们可以通过求解线性方程组来得到结构的位移。
最后，我们可以利用得到的位移来计算结构上不同点的剪力和弯矩，并与理论解进行比较。
根据圣维南原理，当距离原点较远的地方施加的力和力矩趋于零时，该点的剪力和弯矩也会趋于零。
通过对模型的计算结果进行分析，我们可以验证圣维南原理。
如果模型中的剪力和弯矩在距离原点较远的地方确实趋于零，那么圣维南原理就得到了验证。
需要注意的是，由于有限元法是一种数值近似方法，验证结果可能会受到一些误差的影响。
因此，在进行验证时，我们需要合理选择模型的划分和参数，并进行适当的误差分析。
总结起来，通过建立一个简化的结构模型，并利用有限元法进行计算和分析，我们可以验证圣维南原理。
这种方法不仅可以验证圣维南原理，还可以用于研究和分析其他结构力学问题。
关于圣维南原理的数值计算——基于艾里应力函数的平面应力问题的差分解法
摘要
本文通过应力函数的方法，结合数值方法，求解受端部集中力作用下的平板拉伸问题，评估基于圣维南原理的解与数值解相比带来的误差及其分布，并将此与J.N. Goodier的理论分析对比。
关键词
弹性力学，圣维南原理，平面应力问题，有限差分法
0引言
圣维南原理（局部性原理）是弹性力学的一般原理之一，常用于在边界力系无法精确描述时的等效替代，其一种表述[1]为：“若把作用在物体局部边界上的面力，用另一组与它静力等效（即有相同的主矢量和主矩）的力系来替代，则在力系作用区域的附近应力分布将有明显的改变，但在远处所受的影响可以不计”。
作为一条经验定理[5]，这一原理的提出为材料力学和弹性力学问题的求解提供了大量的便利，但是对于这一原理的精确度，直到1937年，J.N. Goodier才从理论的角度给出评估，他指出圣维南原理的影响范围和外力作用的区域大致相近。
本文将以平面应力问题为例，借助数值计算的方法对比圣维南原理简化前与简化后的计算结果，验证Goodier对于圣维南原理影响范围的理论值，并给出在不同精度要求下的影响范围的精确结果。
1问题的描述
考虑长方形平板的拉伸问题。
如下图所示，长度为a，宽度为b，在两边中点施加大小为F的集中点力。
2方程的建立
2.1解法的选择
应力解法和位移解法是弹性力学中的两种基本方法。
在平面问题中，应力解法可以通过应力函数的引入，将问题归结为关于应力函数的双调和方程的边值问题，与位移解法的偏微分方程组相比，更加适用于解析求解。
但是对于多连体问题，位移解法涉及到衔接条件的引入，会使问题更加复杂[3]。
但是本题只涉及到简单的单连通体，所以选择应力函数的求解方式。
若将应力函数记为
，那么双调和方程可以写成。
2.2有限差分法
在双调和方程中，应力函数是一个平面标量场，通过将的平板划分成的
网格，连续函数离散为一个矩阵，矩阵中的元素记为。
利用中心差分公式化简偏导数项，结果如下。
双调和方程离散为如下线性方程组。
2.3边界条件与艾里应力函数边值的确定
要求解上述方程，还需要一系列边界条件，由于双调和方程中涉及到的导数阶数高达四阶，如果能够得到边界上的函数值以及一阶导数值，那么方程组才能够有唯一解。
接下来通过应力边界条件和应力函数与应力之间的关系确定边界处的函数值和导数值。
很多教科书在介绍艾里应力函数物理意义的内容中对此都有非常一般性的推导，但是过程繁琐，由于本题只涉及基矢量方向的边界，因此可以利用最简单的方式进行推导。
我们已知艾里应力函数与应力的关系如下。
考察下图所示水平边界。
很容易有，由于是单连通区域上的平面标量场，所
以的值与A-B选取的积分路径无关，为计算方便起见，选取从A
点到B点的直线进行积分，并令
，
由此可以通过以上两个公式，以某一点为起点，计算出整个矩形边界上的完整的边界条件。
3计算结果
取a=100,b=33,f=33,计算结果如下。
（sigma_x分布）
（sigma_y分布）
（对称轴处sigma_x的分布）
如果根据圣维南原理进行简化，将边上的集中力简化为分布在一整条边上的均布力系，那么计算结果为如下均匀分布。
按照J.N. Goodier的分析，圣维南原理的影响范围和力系作用范围相近，本题中力系化简后作用范围为矩形的整条短边。
根据计算结果，对于平板中间1/3处，与圣维南原理中的
相比误差在2.3%以内，。
在平板边界10%处，即力系作用范围的1/3
处，的误差在150%以上，在边界20%处，即力系作用范围的2/3处，的误差为31%，
在边界25%处，即力系作用范围的75%处，的误差为14%。
4分析与讨论
修改参数，分别计算在a=200,b=67,f=65以及a=60,b=21,f=19两组参数下的结果，对比在平板中间1/3的单位内（即Goodier所认为误差很小的范围），最大误差都在2%左右。
但是网格最密的一组即a=200时，最大误差为2.8%，而网格最疏的一组即a=60时，最大误差为1.8%，计算误差有逐渐增大的趋势。
这一趋势可能是由于边界值的计算导致的。
计算边界上的函数值时，力F的作用范围并不是真正的一个点，而是一个网格的距离，因此当网格更加密时，越接近于集中力的假设。
反过来讨论，对于力从一个网格的长度替换为整个边长时，相较于细网格，粗网格下替换的变化更加小，所以后者的误差更小。
5结论
对比简化成均布力系的近似解以及采用数值方法的精确解，正如J. N. Goodier所证明的，影响的区域和力系作用区域相近，本文从数值计算的角度再次验证了圣维南原理的可行性，采用的数值计算的方法也为本领域的相关计算提供了一定思路。
参考文献
[1] 吴家龙.弹性力学（第2版）.北京：高等教育出版社,2011年8月.
[2] 刘鸿文.材料力学I（第五版）.北京：高等教育出版社,2011年1月.
[3] 徐芝纶.弹性力学中的差分方法.北京：高等教育出版社,1989年3月.
[4] 朱建新,李有法.数值计算方法（第3版）.北京：高等教育出版社,2012年7月.
[5] J.N. Goodier. A general proof of Saint-Venant’s principle. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, (1937)23:155, 607-609.。
