对
两
端
固
支
梁
的
弹
性
力系别：土木工程学专业：道路与桥梁应姓名：.....
力学号：........... 解班级：.......
对两端固支梁的弹性力学应力解摘要: 根据弹性力学平面问题的基本理论,采用半逆解法,求出了两端固支的单跨超静定梁在集中荷载作用下的应力和位移多项式解,并与材料力学解进行了比较,说明了材料力学解的精度和适用范围。
关键词:超静定梁;应力;位移;集中荷载;弹性力学
1 两端固支梁的弹性力学应力解
如图 1 所示:两端固支的单跨超静定矩形截面梁(为了简便,不妨取厚度为1 ,不计体力) , x = a 处受到集中荷载P 作用(可设此问题为平面应力问题) ,上、下两个边界的正应
力边界条件为（1）
先考虑x = 0～a 段的应力分布. 根据式(1) 所示的应力边界条件[6],可假设应力函数φ
为将应力函数φ 代入相容方程: ,即可求得待定函数f1, f2
故应力函数
因函数中常数项和中的线性项对应力分量没有影响,故未列出. 根据应
力函数可求出应力分量
由上、下两个边界的剪应力边界条件0,可求出待定常数
应力分量为
同理可得x = a～l 段的应力分布为
x = a 处平衡条件为
由此可得
可见,应力分量中还包含 3 个独立的待定常数这 3 个常数必须由位移边界条件确定，为此考虑物理方程
和几何方程
当0 ≤x ≤a 时,将应力分量式(5) , (2) , (6) 和几何方程代入物理方程,可得
由式(11)得
由式(12)得
（15）
将式(14) , (15)代入式(13) ,整理得
由于该式左边是x 的函数,右边是y 的函数,所以左
右两边应等于同一常数,设此常数为ω1,则
将所得1g ( y)和 2g ( x)代入式(14) ,(15)得
式中 :
分别为表征刚体位移的常数. 左端
位移边界条件为
由此得
同理可得 x = a ～l 段的位移为
右端位移边界条件为
由此得
x =a 处位移协调条件为
由此得
上面 3 个等式联立式(10)得
从而由式(5) , (6)得x = 0～ a 段的应力分布解为
由式(7) 、(8) 、(9)得x = a～l 段的应力分布解为
2 两端固支梁的弹性力学位移解由式(16) 、(17)得x = 0～ a 段的位移为
由式(19) , (20)得x = a～l 段的位移为
由式(29)可得梁轴线x = 0～ a 段的挠度为
由式(31)可得梁轴线x = a～l 段的挠度为
3 弹性力学解与材料力学解比较
弹性力学是从平衡方程、几何方程、物理方程出发求解,材料力学是从平衡方程、物理方程和平截面假设基础上的几何关系出发求解,因此,弹性力学方法比材料力学方法更具合理性. 利用材料力学方法对集中荷载作用下两端固支单跨超静定梁求解,得到材料力学解,与弹性力学解比较,可以得出:
1 材料力学解分别与弹性力学解式(22) , (24) , (25) , (27) 中的相应分量完全相同,材料力学解的挠度与弹性力学解式(32) 、(33) 完全相同,但弹性力学解比材料力学解多得出了正应力分量σy和位移分布表达式(28) , (29) , (30) , (31) .
2 从式(28) , (30)可以得出,与y 有关,因此梁变形不严格符合材料力学的平截面假定,那么材料力学解还与弹性力学解的相应分量相同原因是梁上、下边界不存在分布力,使得应力分量= 0 ,才使应力分量的解相同,对于梁上、下边界存在分布力的工况,应力分量≠ 0 ,两种求法应力分量σx的解是不同的.
3 材料力学解虽与弹性力学解的相应分量相同,并不能说明材料力学解是精确的,而是更清楚说明材料力学解是近似的,因为从式(28) , (29) , (30) ,(31)可以看出, x = a 处位移分量u 不精确满足位移连续条件,所以弹性力学多项式解就是近似的,这是集中荷载作用时采用多项式应力函数求解弹性力学解的局限性引起的.
4 得出的弹性力学多项式解在两端以及集中力作用处是不精确的,但根据圣维南原理,
在离开这3 处一段距离后弹性力学多项式解是精确的,这段距离通常认为是一倍梁高,根据这一点可判断材料力学和弹性力学多项式解的适用范围. 因此,材料力学解和弹性力学多项式解只适用于跨高比较大的浅梁,对于深梁不适用.
