三角函数的应用导学案

三角函数的应用导学案一、引入2．如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD 的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）3．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：（1）坝底AB的长；（2）坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度．4．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）5．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡面AB的坡度为1：，坡面BC的坡度为1：1．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（≈1.414，≈1.732）6．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．（1）求坡顶A到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）7．如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8．小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了65米到达点B，且sinα＝．然后又沿着坡度i＝1：3的斜坡向上走了50米达到点C．（1）小明从A点到B点上升的竖直高度是多少米？（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）9．为了提升某片区网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为4米，求信号塔PQ的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i＝1：2.4＝5：12）10．如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，）11．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：≈1.732）13．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD的高度．。

龙文教育学科导学案教师:学生:日期: 12.1 星期:六时段: 15:00--17:00 课题三角函数的应用学习目标与考点分析1、了解测量中坡度、坡角的概念；2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，学生把实际问题转化为数学问题的能力。

3、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题；4、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

学习重点重点：解直角三角形在测量方面的应用；难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。

学习方法探究法、分析、对比、归纳总结学习内容与过程回顾所学，强化旧知1、若∠A是锐角，则＜sinA＜，＜cosA＜ ;正弦、正切值是随着角度的增大而，余弦是随着角度的增大而．2、总结的公式：3、坡度（坡比）：方位角：仰角：俯角：命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．师生互动，夯实基础例1、已知∠A 为锐角，且A cos ≤0.5，那么（ ） A ．0°＜∠A ≤60° B ．60°≤∠A ＜90° C ．0°＜∠A ≤30° D ．30°≤∠A ＜90° 例2、在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）=32，sin(90°－B ）=32，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形例3、如图，在□ABCD 中，AB: AD = 3:2， ∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于（ ）Ａ．366- Ｂ．3226+ Ｃ．366± Ｄ．3226±例4、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

5.1.1任意角的概念教学目标：（1）引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广（2）明白“任意角”、“象限角”的概念教学重点：“任意角”、“象限角”的概念教学难点：“象限角”的判断预习案：一、复习：问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、新知：1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。

这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3、角的表示（1）常用字母A 、B 、C 等表示（2）用字母αβγϕθ、、、、等表示（3）当角作变量时可用字母x 表示4．象限角、轴线角（非象限角）的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。

那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.二教学重难点：重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。

难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.三复习回顾：复习1：（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.复习2：锐角的三角函数如何定义在初中，我们如果要求一个锐角的三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。

那么，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便的去求一个锐角的三角函数值吗我们可以采用以下方法：如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r>. 过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.可得：xsin MP b OP r α==；cos α= = ，tan MPOMα== .四、新课学习：知识点1：三角函数的定义认真阅读教材P 11-P 12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会 随点P 在α的终边上的位置的改变而改变，因此我们 可以将点P 取在使线段OP 的长为r=1的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为：sin MP OP α==_____；cos OM OP α==_____；tan MPOMα==___ 问题：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢 显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.上述的点P 就是α的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。

课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

知识点梳理已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。

则：1.正弦定理：____________________===_______（ ）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边）( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：=∆ABC S=∆ABC S基础练习：1、在ABC ∆中，ο45=A ，ο60=B ，4=b ，求a . 2、已知ο30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ，ο60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ，ο30=B ，则ABC ∆的面积等于 . 归纳：课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，判断ABC ∆的形状.反思总结高考真题体验：在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且ο45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆= 3、ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为ο60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

直角三角形边角关系导学案一、定义二、典型例题例1、如图，在Rt△ABC中，若tan A＝，AB＝10，则△ABC的面积为（）1题2题1、如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标2、如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1＝（）3、如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（）3题4题5题4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠BCD＝30°，则sin∠A＝．5、如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AD＝4，求BC的长．6、如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，求点A的坐标．6题7题7、已知△ABC中，∠C=90°，tan A=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则cos∠CDB的值为（）8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．例2、△ABC中∠C＝90°，若AB＝2，∠A＝α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．D．1、．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则sin A的值（）A．不变B．变大C．变小D．无法判断18．如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的正切值（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．没有变化D．缩小到原来的一半19．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．无法确定20．将Rt△ABC的各边长都缩小到原来的，则锐角A的正切值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．缩小为原来的5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝α．那么AC的长是（）A．α•tanαB．α•tanαα•cotαC．D．例3、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）1、如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．1题2题2、如图，在△ABC中，∠A＝45°，tan B＝，BC＝10，则AB的长为．3、在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．3题例3、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）42题2、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）1．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．11题4题7题4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为（）A．B．1C．D．7．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）B．C．D．A．8题9题10题9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，sin∠ABC等于（）A．B．C．D．10．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值为（）A．B．2C．D．11．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值是（）B．C．D．A．11题12题14题15题12．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（）A．B．C．D．15．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．216．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）B．1C．D．A．B．16题17题22题17．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（）A．B．C．D．22．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．B．C．D．23．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）B．C．D．A．B．22题23题25题24．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（）A．B．2C．D．25．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A 正切值是（）27．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A．B．C．D．128．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（）A．B．C．D．529．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．1特殊角三角函数导学案一、推导30O 45O60OSinCostan二、典型例题例1、．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）1、已知α为锐角，且2cos（α+10°）＝，则α等于2、王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为3、已知，α+45°为锐角，则α＝．4、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cos A＝，tan B＝1，则∠C＝．5、若sin（x﹣20°）＝，则x＝．例2、在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，且∠A、∠B为锐角，则∠C的度数是．7．在△ABC中，若，则∠C＝．8．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝度．9．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．10、在△ABC中，若，则∠C的度数为．例3、计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．2sin30°﹣tan45°+cos230°．sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．2cos60°+2sin30°+3tan45°．sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021 2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1 （﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°﹣4sin30°+|﹣2| |﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|2cos60°﹣（﹣）﹣2+|2﹣|﹣（π﹣2020）0．﹣（2021﹣π）0+|5﹣|﹣tan60°．2cos30°﹣（﹣3）﹣2+（π﹣）0﹣tan60°．sin45°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+（﹣）﹣1．（﹣2）﹣2+3tan30°﹣|﹣2|+（π﹣2022）0．。

函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.教学重点：1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．教学过程：基础梳理二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图.三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二双基自测：1．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝π D．x＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π33．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的图象，则φ等于()A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π64．(教材习题改编)y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的振幅为________，频率和初相分别为________、________. 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.关键点点拨： 31、确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝ M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 2．平移变换中的平移量从y ＝sin ωx (ω>0)到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的变换中平移量为|φ|ω(φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x 的变化量而言的．典例分析考点一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像[例1] (2010·四川高考)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·湖州模拟)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象 ( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位2．(2011·北京西城区期末)函数f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于点(－π8，0)对称D ．关于直线x ＝3π8对称3．(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．反思总结：1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)； ②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 考点二：三角函数图像的对称性[例2] (2010·福建高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________________．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( ) A.223 B.233 C.43 D.263反思总结：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象 与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈ Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．(2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2. 考点三：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式[例3] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.6．(2012·北京东城区期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式； (2)设g (x )＝f (x )－cos 2x求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值 ．[冲关锦囊]根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.考点四：函数的y ＝A sin(ωx ＋φ)图像和性质的综合应用 [例4] (2011·重庆高考改编)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)7．(2012· 绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ， x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．[冲关锦囊]认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．第一步：化成统一形式将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式；第二步：求f (x )的最小正周期利用公式T ＝2π|ω|求f (x )的最小正周期；第三步：求g (x )的解析式利用代入法求g (x )的解析式并化为A cos(ωx ＋φ)的形式； 第四步：求g(x )的最值利用三角函数的单调性求g(x)的最大值．特别提醒：在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的函数加以解决；化简时，主要应用三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的有关性质解题．一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象，则φ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π122．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4 D ．45．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.7．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位； (4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位； (6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．三、解答题8．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．9．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4， (1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心． 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．(2012·南通一模)如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3. 当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在 DE上， 故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ) ＝6⎝⎛⎭⎫12sin 2θ＋12cos 2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．。