基于LabVIEW 的正弦信号频率与相位测量
1. 前言
信号频率与相位的测量具有重要的实际意义。本文调研了频率与相位的多种测量算法，并借助LabVIEW 编程实现。在此基础上，对各种算法进行了比较研究，且提出了行之有效的改进措施。
2. 采样定理与误差分析
2.1 采样定理
时域信号()f t 的频谱若只占据有限频率区间m m ωω（-,），则信号可以用等间隔的采样
值唯一表示，而最低采样频率为m 2f 。采样定理表明：信号最大变化速度决定了信号所包含的最高频率分量，要使采样信号能够不失真地反映原信号，必须满足在最高频率分量的一
个周期内至少采样两个点。
2.2 误差分析
对连续周期信号()a x t 进行采样得离散序列()d x n ，如果满足采样定理，则离散序列
()d x n 的傅里叶级数()dg X k 是连续信号()a x t 的傅里叶级数1()ag X k ω的周期延拓，否则会
出现两种形式的误差。 2.2.1 泄漏误差
在连续信号()a x t 一个周期1T 内采样1N 个点，如果正好满足11s N T T =（s T 为采样间隔），则是完整周期采样，采样结果()d x n 仍为周期序列，周期为1N 。基于()d x n 一个周期1N 个点计算离散傅里叶级数()dg X k ，由()dg X k 可以准确得到连续信号()a x t 的傅里叶级数
1()ag X k ω。如果在连续信号()a x t 的M 个周期时间内采样整数1N 个点，即11s N T MT =，
也是完整周期采样。在此情况下，采样结果()d x n 仍为周期序列，周期为1N ，但()d x n 的一个周期对应于()a x t 的M 个周期，由离散序列()d x n 仍然可以准确得到连续信号()a x t 的
频谱。
如果以上两种情况都不满足，则为不完整周期抽样，()d x n 也不再是周期序列。如果取
()d x n 近似周期的1N 个点计算傅立叶级数，则产生误差，此误差称为泄漏误差。图1 所示
是对连续正弦信号进行非完整周期抽样的两种情况，分别是11s N T T <和11s N T T >。
图1 正弦信号非完整周期采样序列的周期延拓
2.2.2 混叠误差
如果信号频率无限，则无论如何提高采样频率，都不能避免频谱混叠；如果频率有限，但采样不满足采样定理，也会出现频谱混叠，采样信号的离散傅里叶级数不再能准确表示原来连续信号的傅里叶级数。混叠误差的本质在于，如果对信号中高频分量的采样不满足采样定理，其采样结果将表现为一低频序列，它和信号中原有低频分量的采样结果混在一起，造成低频分量频谱的误差。
在信号频率无限的情况下，混叠不可避免，但通过提高采样频率可以减小误差；在频率有限的情况下，只要满足采样定理，混叠误差可以完全避免。
3. 频率与相位测量算法
3.1 频率测量算法
3.1.1 三点法
三点法是一种建立在三角函数变换基础上的数据拟合方法。假设被测函数是正弦函数，在等间隔采样的前提下可以利用相邻3个数据样本，导出求解信号频率的线性方程，进而拟合求解频率[1]。
设信号为()sin()m u t U t ωϕ=+，若t ωϕα+=，则
()sin m u t U α= （1）
若设2
s
s
f
F F ω
θ=
=，其中s F 为采样频率，则有 2
s F f θ= （2）
相邻的3个数据样本可表示为
sin i m i u U α=
1sin()i m i u U αθ+=+ （3）
2sin(2)i m i u U αθ+=+
由三角变换有
212cos i i i u u u θ+++= （4） 所以
2
1
cos 2i i i u u u θ+++=
（5）
令12()2,()i i i x n u y n u u ++==+，则得到
()()cos y n x n θ=
arccos 2
s
F f θ=
（6） 式**就是所需要的线性方程。用最小二乘法拟合可以得到一个较准确的斜率cos θ，进
而求出频率。
3.1.2 多周期平均计数法
多周期平均计数方法是通过对多个周期的采样信号进行计数，然后以其平均值作为频率测量值。假定采样频率为s F ，共采集m 个周期的信号，用计数的方法找到各个周期的样本数，分别为1N ，2N ，···，m N ，那么对应于各个周期的频率值分别为1s F N ，2s F N ，···，s m
F
N ，考虑m 个周期的频率的均值，有
1211
1s m F f m N N N ⎛⎫=+++
⎪⎝⎭
（7） 实际上，在非整周期采样的条件下，式（3-1）中N 的取值只有两种情况，即多一个或少一个样本。假定分别是1n 和11n +，与它们对应的周期数分别是1m 和2m ，则式（3-1）可以改写为
121122111
()1s F m m f m f m f m n n m
⎛⎫=
+=+ ⎪+⎝⎭
（8） 其中11s F f n =
和211
s
F f n =+分别对应于被测信号频率的最大偏差值和最小偏差值。 3.1.3 能量矩平衡法
图2是能量矩平衡法[2]
的示意图，用i p 表示第i 个谱线的
幅值，i x 是i p 的横坐标，借助力学概念，设想第i 个谱线对原点形成了一个转矩（不妨称之为能量矩），其大小为i i p x ，对全部N 个谱线，总的能量矩为
1
N
i i i p x =∑，设想在x 轴上存在
一个重心在0x 处，反方向施加给全部信号的能量0p ，在不考虑频率泄漏的情况下，令x 轴上的能量矩平衡，即
001N
i i i p x p x ==
∑ （9）
由于0p 可表示为01
N i
i p p ==
∑，所以有0
1
1
N N
i
i i
i i x p p x ===∑∑，从而得到1
1
N
i i
i N
i
i p x
x
p
===
∑∑。最
后将横坐标乘以s
F f N
∆=
，得到所求频率： 11
N
i i
i s
N
i
i p x
F f N
p
===
∑∑ （10） 式中，s F 为采样率，N 为样本数。
3.1.4 比例法
图3表示采样信号的频谱，其中显示的是主瓣内的谱线k y 和1k y +，其谱线序号分别为k
x 图2 能量矩平衡法示意图
