下载文档原格式
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划作业非线性规划是数学领域中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的意义。
本文将从非线性规划的基本概念、应用领域、解决方法、优化算法和实例分析等五个方面进行详细介绍。
一、基本概念1.1 非线性规划的定义：非线性规划是在目标函数或约束条件中至少包含一个非线性函数的优化问题。
1.2 非线性规划的特点：与线性规划相比，非线性规划具有更为复杂的数学结构和求解困难度。
1.3 非线性规划的分类：根据目标函数和约束条件的性质，非线性规划可分为凸优化和非凸优化两类。
二、应用领域2.1 工程优化：非线性规划在工程领域中广泛应用，如结构设计、电力系统优化、交通规划等。
2.2 金融领域：在金融领域中，非线性规划被用于投资组合优化、风险管理等方面。
2.3 生产调度：生产调度中的资源分配、作业排序等问题也可以通过非线性规划进行求解。
三、解决方法3.1 数值方法：常用的非线性规划求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
3.2 优化算法：遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等优化算法也可以用于非线性规划问题的求解。
3.3 全局优化：针对非凸优化问题，全局优化方法可以帮助找到全局最优解而不是局部最优解。
四、优化算法4.1 遗传算法：通过模拟生物进化过程，遗传算法能够在解空间中搜索最优解。
4.2 粒子群算法：模拟鸟群觅食的行为，粒子群算法通过个体之间的信息交流来寻找最优解。
4.3 模拟退火算法：模拟金属退火过程，模拟退火算法通过控制温度来逐步接近最优解。
五、实例分析5.1 生产调度问题：假设一家工厂需要安排不同作业的生产顺序和资源分配，可以通过非线性规划来优化生产效率。
5.2 投资组合优化：一位投资者需要在不同资产中分配资金以达到最大收益，非线性规划可以帮助优化投资组合。
5.3 电力系统优化：电力系统中存在多个发电机和负荷之间的优化问题，非线性规划可以帮助实现电力系统的最优调度。
综上所述，非线性规划在现代科学技术和实际生产中具有重要意义，通过合理选择求解方法和优化算法，可以有效解决复杂的优化问题，提高系统效率和资源利用率。
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
生产运筹非线性规划的基本概念引言生产运筹是一种管理技术，通过运用经济原理和数学模型，来解决实际生产和运输中的各种问题。
非线性规划是生产运筹中的一种重要工具，可以用于优化生产过程中的决策问题。
本文将介绍生产运筹非线性规划的基本概念。
非线性规划的定义非线性规划是一类优化问题，其中目标函数和约束条件都是非线性的。
一般来说，非线性规划的目标是找到一组决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一系列约束条件。
非线性规划的基本要素非线性规划包含以下几个基本要素：1. 决策变量决策变量是非线性规划中的可调整参数，用于描述决策者所要做的选择。
在生产运筹中，决策变量可以是产品的产量、投入资源的数量或者是生产过程中的各种参数。
2. 目标函数目标函数是非线性规划中要优化的函数，可以是生产成本、利润、产量或其他决策者关心的指标。
在非线性规划中，目标函数的形式可以是任意的非线性函数。
3. 约束条件约束条件描述了决策变量的取值范围或者彼此之间的关系。
约束条件可以是等式约束或者不等式约束。
在生产运筹中，约束条件可以包括物料的平衡方程、设备的容量限制等。
4. 可行域可行域是指满足约束条件的所有决策变量取值的集合。
在非线性规划中，决策变量的取值必须落在可行域内，才被认为是合理的解。
5. 优化算法非线性规划的求解过程需要使用优化算法来搜索最优解。
常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
生产运筹非线性规划的应用生产运筹非线性规划的应用非常广泛，涵盖了生产计划、资源分配、供应链优化等领域。
以下是一些非线性规划在生产运筹中的应用案例：1.生产计划优化：通过优化决策变量，如产量、物料分配等，来最大化产量、最小化成本或缩短生产周期。
2.设备选择优化：通过优化设备的选择和使用策略，来最大化产量、降低能耗或最小化故障率。
3.供应链优化：通过优化物流和分配的决策变量，如运输路线、库存水平等，来最小化供应链成本或缩短物流时间。
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
第五章 非线性规划的概念和原理非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。
1951年，库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。
以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很大的发展，其应用的领域也越来越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。
一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。
非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。
都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。
这正是需要人们进一步研究的课题。
5.1 非线性规划的实例及数学模型[例题6.1] 投资问题：假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元，可供选择兴建的项目共有几个。
已知第j 个项目的投资为j a 亿元，可得收益为j c 亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率（即单位投资可得到的收益）为最高？解：令决策变量为j x ，则j x 应满足条件()10j j x x -= 同时j x 应满足约束条件1nj jj a xb =≤∑目标函数是要求盈利率()1121,,,njjj n nj jj c xf x x x a x===∑∑最大。
[例题6.2] 厂址选择问题：设有n 个市场，第j 个市场位置为(),j j p q ，它对某种货物的需要量为j b ()1,2,,j n =。
现计划建立m 个仓库，第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m =。
试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。
解：设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m =，第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为i j z ()1,2,,,1,2,,i m j n ==，则第i 个仓库到第j 个市场的距离为i j d =目标函数为1111mnmni ji j i ji j i j zd z =====∑∑∑∑约束条件为：（1） 每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量； （2） 每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量； （3） 运输量不能为负数。
因此，问题的数学模型为：11min m ni i j z ==∑∑s.t.1niji j za =≤∑,()1,2,,i m =1mijj i zb =≤∑,()1,2,,j n =0ij z ≥,()1,2,,,1,2,,i m j n ==一般非线性规划的数学模型可表示为：()min f x ；s.t. ()0i g X ≥ ()1,2,,i m =, ()0j h X =,()1,2,,j l =式中()12,,,Tn n X x x x R =∈是n 维向量，,i f g ()1,2,,i m =，j h ()1,2,,j l =都是1n R R →的映射（即自变量是n 维向量，因变量是实数的函数关系），且其中至少存在一个非线性映射。
与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解。
若记()(){}0,1,2,,,0,1,2,,i j X g X i m h X j l χ=≥===则称χ为可行域。
因此上述模型可简记为()min f Xs.t. X χ∈当一个非线性规划问题的自变量X 没有任何约束，或说可行域即是整个n 维向量空间,即nR χ=，则称这样的非线性规划问题为无约束问题：()min f X 或()min nX Rf X ∈ 有约束问题与无约束问题是非线性规划的两大类问题，它们在处理方法上有明显的不同。
5.2 无约束非线性规划问题5.2.1无约束极值条件对于二阶可微的一元函数()f x ，如果x *是局部极小点，则()0f x *'=，并且()0f x *''>；反之，如果()0f x *'=，()0f x *''<，则x *是局部极大点。
关于多元函数，也有与此类似的结果，这就是下述的各定理。
考虑无约束极值问题：()min f x ，n x E ∈定理6.1 （必要条件）设()f x 是n 元可微实函数，如果x *是以上问题的局部极小解，则()0f x *∇=。
定理6.2 （充分条件）设()f x 是n 元二次可微实函数，如果x *是上述问题的局部最小解，则()0f x *∇=，()2f x *∇半正定；反之，如果在x *点有()0f x *∇=，()2f x *∇正定，则x *为严格局部最小解。
定理6.3 设()f x 是n 元可微凸函数，如果()0f x *∇=，则x *是上述问题的最小解。
[例题6.3] 试求二次函数()22121122,282420f x x x x x x =-+-+的极小点。
解：由极值存在的必要条件求出稳定点：1148f x x ∂=-∂， 2244f x x ∂=-∂，则由()0f x ∇=得12x =，21x = 再用充分条件进行检验：2214f x ∂=∂，2224f x ∂=∂，2212210f f x x x x ∂∂==∂∂∂∂，则由24004f ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭为正定矩阵得极小点为()2,1Tx *=。
5.2.3无约束极值问题的解法5.2.3.1梯度法 （i ） 给定初始点()0X ，0ε>；（ii ）计算()()k f X和()()k f X ∇，若()()2k f X ε∇≤，迭代停止，得近似极小点()kX 和近似极小值()()kf X ；否则，进行下一步；（iii ） 做一维搜索或取()()()()()()()()()()2Tk kkTkk kf Xf X f X f X f X λ∇∇=∇∇∇作为近似最佳步长，并计算()()()()1k k k k X X f X λ+=-∇，令1k k =+，转向第二步。
[例题6.4] 求解无约束极值问题 ()()()2212min 21f X x x =-+- 解：取()()00,0TX=，()()()()1222,21Tf X x x ∇=--，则()()()04,2Tf X ∇=--，()()022002f X ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()0000212TTf Xf X f X f X f X λ∇∇==∇∇∇，()()()()()10002,1TX X f X λ=-∇=，()()()10,0Tf X ∇=，故()1X 为极值点，极小值为()()10f X=。
5.2.3.2牛顿法对正定二次函数，()12TT f X X AX B X c =++，其中A 为n 阶方阵，B 为n 维列向量，c 为常数，设X *为其极小点，则()0f XAXB **∇=+=，所以AX B *=-；任给n)0(E X ∈，()()()00f X AX B ∇=+，消去B ，得()()()00f X AX AX *∇=-所以 ()()()001X XA f X *-=-∇，这说明，从任意近似点出发，沿()()01A f X --∇方向搜索，步长为1，一步即可达极小点。
[例题6.5] 求解无约束极值问题()2212min 5f X x x =+解：任取()()02,1TX=，()()()04,10T f X ∇=，20010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021010A -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()()()()0010,0TX X A f X *-=-∇=由()()0,0Tf X*∇=可知，x *确实为极小点。
牛顿法与梯度法的搜索方向不同，优点是收敛速度快，但有时不好用而需采取改进措施，当维数较高时，1A -的计算量很大。
5.3 约束非线性规划问题前面我们介绍了无约束问题的最优化方法，但实际问题中，大多数都是有约束条件的问题。
求解带有约束条件的问题比起无约束问题要困难得多，也复杂得多。
在每次迭代时，不仅要使目标函数值有所下降，而且要使迭代点都落在可行域内（个别算法除外）。
求解带有约束的极值问题常用方法是：将约束问题化为一个或一系列的无约束极值问题；将非线性规划化为近似的线性规划；将复杂问题变为较简单问题等等。
5.3.1凸规划问题约束问题的情况较为复杂，先讨论其中的一种较为特殊的情况，即凸规划问题。
一般来说，非线性规划的局部最优解和全局最优解是不同的，但是，对凸规划问题，局部最优解就是全局最优解。
定义 6.1设()f X 为定义在非空凸集nS E ⊆上的实值函数，如果对于任意的两点()1X S ∈，()2X S ∈和任意实数()0,1λ∈，恒有()()()()()()()()()121211f X X f X f X λλλλ+-≤+-则称()f X 为S 上的凸函数。
定理6.4 设S 是n 维欧氏空间n E 上的一个开凸集，()f X 是定义在S 上的具有二阶连续导数的函数，那么，()f X 在S 上为凸函数的充要条件是：对所有X S ∈，海赛矩阵()2f X ∇都是半正定的；如果对所有的X S ∈，()2f X ∇都是正定的，则()f X 在S 上为严格凸函数。
定义6.2 非线性规划问题：()min f X ，n X E ∈s.t. ()0,1,2,,i g X i m ≤= ()0,1,2,,j h X j p ==中，如果()f X 和()i g X （1,2,,i m =）为x 的凸函数，()j h X （1,2,,j p =）为X的线性函数，则称此问题为一凸规划问题。
凸规划具有两个重要性质：1． 凸规划的可行集是凸集证：设凸规划的可行集为S ，即()(){}0,1,2,,;0,1,2,,;i j n S X g X i m h X j p X E =≤===∈其中()i g X （1,2,,i m =）为X 的凸函数，()j h X （1,2,,j p =）为X 的线性函数。
对于任意的()1X S ∈，()2X S ∈和任意实数()0,1λ∈，利用()i g X （1,2,,i m =）的凸性，对()()()121X XX λλ=+-，有()()()()()()()()()()121211i i i g X g X X g X g X λλλλ=+-≤+-但()()10i g X≤，()()20ig X ≤所以()0i g X ≤ 同理()0j h X = 因此，()()()121X X X S λλ=+-∈，故S 为凸集。
2． 凸规划的局部最小解就是它的全局最小解证：用反证法。
设X *是凸规划的一个局部最小解，X 是它的全局最小解，但X X *≠。
因为 X S *∈，X S ∈，所以()0,1λ∀∈，()1X X X S λλ*=+-∈由()f X 为凸函数得，()()()()()()11f X f X X f X f X λλλλ**=+-≤+-因为X 是一个全局最小解，所以()()()()()()()()11f X f X f X f X f X f X λλλλ****≤+-<+-=此式对一切()0,1λ∈都成立。
