高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。

解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。

1 1．已知)2,1,2,1(1-=a ,3),(1,2,2,(2,3,1,0),32-==a a 则),,(321a a a L 的维数为的维数为①① , ,此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为 ②② . 2．已知)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===a a a 是3P 的一个基，由基)0,0,1(1=e ，)1,0,0(),0,1,0(32==e e 到基321,,a a a 的过渡矩阵为① ，向量),,(c b a =b关于基321,,a a a 的坐标为的坐标为② .3.3. 设123,,a a a 是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-æöç÷--ç÷ç÷-èø， 则向量12x a a =+的长度x 为 .三．（16分）已知复系数矩阵=A ÷÷÷øöçççèæ100021032104321，（1） 求矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子；的行列式因子、不变因子和初等因子； （2） 求矩阵A 的若当标准形；的若当标准形； （3）求矩阵A 的有理标准形。

的有理标准形。

2 三．解：(1)÷÷÷÷øöççççèæ--------=-1000210032104321λλλλλA E 因因为)1(4210321432+--------λλλλ＝－，而3)1(100210321-=------λλλλ ………………………44分 故故行列式因子1)(3=λD ，显然,1)(,1)(12==λλD D 44)1()(-=λλD …………22分 不不变因子为 )(1λd ＝)(2λd ＝1)(3=λd ，44)1()(-=λλd ………………22分初初等因子为4)1(-λ ………………22分(2)若当标准型ççççèæ÷÷÷÷øö=1100011000110001J ………………………………33分 (3)1464)(2344+-+-=λλλλλd故有理标准型为：3 ççççèæ÷÷÷÷øö--4100601040011000 ………………………………33分七．七．(10(10分) 1、设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换。

高代期中考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(\text{rank}(A) = 2\)，则矩阵 \(A\) 的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 无法确定答案：B2. 以下哪个选项不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性映射C. 矩阵D. 微分方程答案：D3. 设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是两个向量，若 \(\alpha \cdot \beta = 0\)，则 \(\alpha\) 和 \(\beta\)：A. 正交B. 平行C. 垂直D. 斜交答案：A4. 如果一个矩阵 \(A\) 可以表示为 \(A = PDP^{-1}\)，其中 \(P\) 是可逆矩阵，\(D\) 是对角矩阵，则矩阵 \(A\)：A. 可对角化B. 正交C. 正定D. 单位答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 矩阵，若 \(A^2 = A\)，则称\(A\) 为幂等矩阵。

若 \(A\) 是幂等矩阵，则 \(A\) 的特征值为______。

答案：0或12. 矩阵 \(A\) 的行列式表示为 \(\text{det}(A)\)，若\(\text{det}(A) = 0\)，则矩阵 \(A\) 的秩小于______。

答案：n3. 设 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的一个特征值，对应的特征向量为\(v\)，则 \(A\) 与 \(\lambda\) 乘以单位矩阵 \(I\) 的差 \(A - \lambda I\) 的秩为______。

答案：04. 线性方程组 \(Ax = 0\) 的基础解系由 \(A\) 的零空间的一组基构成，若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵且 \(\text{rank}(A) = 2\)，则 \(Ax = 0\) 的基础解系包含______个向量。

高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9； （D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。

《高等代数》期中考试试卷 2003-11-6一． 填空题1．已知βα，=A ，其中)1,2(),2,1(==βα，求=5A _________。

2．设B A ,都是n 阶可逆阵，3,2-==B A ，则=-1*2B A _________。

3．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n I K I A ，则=-1A _________。

4．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵,那么()TAB 是一个________阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为________。

5．设123023003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=________。

6．设A ，B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为________。

7．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为________矩阵。

8．设方阵111111222222333333,b x c b y c A b x c B b y c b x c b y c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2,3A B =-=，则行列式A B +=________。

二．选择题1．设A 是n m ⨯矩阵，设B 是m n ⨯矩阵，则____。

（A ） 当n m >时，必有0≠AB （B ）当n m >时，必有0=AB （C ）当m n >时，必有0≠AB （D ）当m n >时，必有0=AB2．A 是m k ⨯矩阵，B 是k t ⨯矩阵，若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是____。

（A ）AB 的第j 列元素全等于零 （B ）AB 的第j 行元素全等于零 （A ）BA 的第j 列元素全等于零 （A ）BA 的第j 行元素全等于零 3．,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有____。

(A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = （D ）CBA E =4．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =____。

高等代数（下）试题(10)一填空题（每小题三分共15分）1 A,B 为n 阶可逆矩阵，C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。

2 A 为n 阶矩阵，A =21，则*1)3(A A --=_______ 3设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________. 4设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________。

5数量矩阵A=aE 的特征根为_______________。

二单项选择题（每小题三分共15分）1设A 是m n ⨯矩阵,B 是n ⨯m 矩阵,则（）(A)当m>n 时，必有行列式AB ≠0（B ）当m>n 时，必有行列式AB =0（C ）当n>m 时，必有行列式AB ≠0（D ）当n>m 时，必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且秩A=秩B ，则（）(A)AB 的秩与AC 的秩不一定相等。

(B)AB 的秩与AC 的秩一定相等。

(C)AB 的秩与AC 的秩一定不相等。

(D)AB 的秩一定不超过C 的秩。

3设向量空间V 中含有r 个向量，则下列结论成立的是（）（A ） r=1； （B ）r=2 ；（C ） r=m （有限数）； （D ） r=1或∞4 数域F 上n 维向量空间V 有（ ）个基（A ） １； （B ） n ；（C ） n!； （D ）无穷多.5设向量空间W={(a,2a,3a)R a ∈},则W 的基为： （ ）（A ） （1,2,3,） ； （B ） （a,a,a ）；（C ） (a,2a3a)； （D ）(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)三（15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-417求X 四（15分）把二此型f(,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1,x 3+x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。

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高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。

（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。

（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。

（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。

（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。

（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。

（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。

（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。

i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。

2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的；(C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根；3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间 (A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w(C)}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D)}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（ ）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ- 正交。

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

1井冈山大学2009—2010第二学期一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 均为 n 阶矩阵，2,3A B，则 2A B.2. 若二次型 2221231231223(,,)2422f x x x x x x x x tx x 正定，则 t 的取值范围是. 3. 在4P 中，向量(1,2,1,1)在基12(1,1,1,1),(1,1,1,1),3(1,1,1,1),4(1,1,1,1) 下的坐标是 .4. 设 A 与 100010002相似，12,V V 分别为 A 的属于特征值 1 和 2 的特征子空间，则12dim dim V V .5. 在4中，向量(1,1,1,2),(3,1,1,0) 的夹角 ,.二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 设 ,A B 同为 n 阶方阵，则下列说法正确的是. A. A B A B ；B. AB BA ；C. ABBA ； D. 111()A B AB .2. 以下哪组矩阵是合同的.2 A.1341,3414， B. 1326,3434； C.1323,3437， D. 13114,3441. 3. 设 12,,,,,n是数域 P 上线性空间 V 中的向量，秩{12,,,,n}秩{12,,,n }r 且 秩{12,,,,n}1r ，则对任意 k P ，秩{1,12,,,,,nk }.A. r ；B. 1r ； B. 2r ； D. 无法确定. 4. 下列关于子空间的叙述，正确的有 个.① 设 V 是线性空间，U 是 V 的子空间，则存在唯一的 V 的子空间 U ，使得 V U U ； ② 设 12{,,,}n 是 V 的一组基，U 是 V 的子空间，若对任意 1,iniU ，则 0U ；③ 设 12,U U 是 V 的子空间，且 12dim dim dim U U V ，则 12VU U ； ④ 设 12,U U 是 V 的子空间，若 12U U 是 V 的子空间，则必有 12U U 或21U U .A. 1B. 2C. 3D. 45. 设是 3[]P x 上的线性变换，若对任意的 3()[]f x P x ，定义(())fx(1)()f x f x ，则在 3[]P x 的基 21,,x x 下的矩阵是 .A. 101012000 ； B. 011002000； C. 100010120； D. 00010012.三、判断题（每小题2 分，共10分）（对的打“√”，错的打“×”）31. 设 ,A B 都是 n 级是实矩阵，则 A 与 B 合同当且仅当 A 与 B 有相同的正 惯性指数与负惯性指数. ( )2. n 阶实对称矩阵 A 为半正定的充分必要条件是 A 的所有顺序主子式全为非负. ( )3. 在线性空间 V 中，设变换0，期中是 V 中一固定向量，则是一个线性变换. ( ) 4. 相似矩阵有相同的特征多项式. ( ) 5. 设 ,A B 两个 n 阶实对称矩阵矩阵，则 ,A B 合同当且仅当 ,A B 相似. ( )四、计算题：（每题10 分，共40分）1. 设矩阵12111222222a Ab c问 ,,a b c 取何值时，A 为正交矩阵，当 A 为正交矩阵时，求解线性方程组 Ax ，其中 (1,1,1).42. 用非退化线性替换化二次型21231213233(,,)4223f x x x x x x x x x x 为标准形，并求相应的线性替换与二次型的符号差.3. 在实线性空间4中，12341234{(,,,)|0}U a a a a a a a a ； 12341234{(,,,)|0}Wa a a a a a a a .求 U W 的维数与基.54. 设 是复数域上 3 维线性空间 V 上的线性变换，123,,是 V 的一组基，线性变换在123,,下的矩阵是021203130A求的特征值与特征向量.五、证明题（ 20 分）1. 设 A 是数域 P 上 n 级可逆矩阵，将 A 分块为 12A A A . 证明 nP 是齐次 线性方程组 10A X 和 20A X的两个解空间的直和62. 已知 V 是欧氏空间， 是 V 上的保距变换，即满足对任意的,V ，有成立，若(0)0，证明是正交变换.。

高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、全体正实数的集合+R ，对加法和数量乘法ab b a =⊕， k a a k = 构成实数域R 上的向量空间，则该空间的零元为______，+∈R a 的负元为______2、设321,,ααα是线性空间V 的一个线性无关的向量组，则L (321,,ααα)的维数为______．3、若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______4、若把同构的子空间看成一类,则n 维向量空间的子空间共分成___类5、设A 是数域F 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个.二、单选题（每小题3分，共15分）1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R 上的向量空间.A ．整数集；B ．有理数集；C ．正实数集；D ．实数集2、下列子集（ ）作成向量空间n R 的子空间。

A ．}0|),,,{(2121=a a a a a nB ．},,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈C ．}0|),,,{(121∑==n i i n a a a aD ．}1|),,,{(121∑==ni i n a a a a3、下列向量组（ ）是线性无关的。

A ．}0{B ．},,0{βαC ．1221},,,,{αααααk r =其中D ．},,,{21r ααα ，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。

4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确．(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4．5、3F 的两个子空间{}02),,(3213211=+-=x x x x x x V ，{}0),,(313212=+=x x x x x V ，则子空间21V V 的维数为（ ）。

2020级高等数学（下）期中试卷一、 单项选择题在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是： （A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。

1．∑∞=-2ln )1(n n nn （ ）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n n u （ ）；3．3sin 313π∑∞=n n n n （ ）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p x dx（ ）。

二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设π 平面：01472=-++z y x 及1L 直线：32 ,1 ,3-=+==t z t y t x ，2L ：332111--=+=--z y x ，则（ ） （A ）π∥1L ； （B ）1L ⊥π； （C ）π∥2L ； （D ）2L ⊥π。

2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕轴旋转而成 x 的曲面方程为（ ）（A ）122222=++bz y ax ；（B ）122222=++by az x ；（C ）2222by ax z +=；（D ）12222-+=by ax z 。

3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（ ）（A ）b a ⊥； （B ）c b ⊥； （C ）a c⊥； （D ）共面 , ,c b a 。

4．两非零向量γ'β'α'γβα , , , , 及的方向角分别为及b a ，则=) ,cos(b a（ ）（A ）γ'β'α'+γβαcos cos cos cos cos cos ； （B ）γ'γ+β'β+α'αcos cos cos cos cos cos ；（C ）)cos()cos()cos(γ'+γ+β'+β+α'+α；（D ）)cos()cos()cos(γ'-γ+β'-β+α'-α。

北 京 交 通 大 学2008-2009学年第二学期《高等代数I I 》期末考试试卷(B)答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1.全体n 阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法与数乘作成实数域上的线性空间,它的维数等于(1)2n n - . 2.已知 ε1 = 1, ε2 = x, ε3 = x 2, ε4 = x 3 和 η1 = 1, η2 = 1+x, η3 = (1+x)2, η4 = (1+x)3 是线性空间4[]P x 的两组基, 则由基η1, η2, η3, η4到基ε1, ε2, ε3,ε4的过渡矩阵是 1111123131--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ . 3. 3R 中的向量β在基1210,1,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, 则β在基0111,0,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标是 110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ . 4. 设矩阵11100000A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有3个线性无关的特征向量，则x = 0 . 5. 设欧氏空间V 的两组基ε1, ε2, ⋯, εn 与 η1, η2, ⋯, ηn 的度量矩阵分别是A 与B ,从基ε1, ε2, ⋯, εn 到 η1, η2, ⋯, ηn 的过渡矩阵是C , 则A 与B 之间的关系是 'B C AC = .6.2R 上线性变换A （其定义为A 212(),24X X X R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭）的值域的一组基是 (1,2)’ ．核的维数为 1 ．7. 以下断言正确的有 ( A,B )(A) 设21,V V 是n维线性空间V的子空间。

若121d i m ()d i m ()d i m ()V V V V +=+，则和12V V +是直和； (B) 若n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可以对角化； (C) (2)n n ≥阶方阵的最小多项式的次数必小于n ； (D) 有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。