平面向量的分解及向量的坐标表示

∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,

பைடு நூலகம்
平面向量的正交分解 及坐标表示
P f － f G
复习回顾
平面向量基本定理
如果 e1 , e 2 是同一平面内两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有 一对实数1 , 2 ，使 a 1 e1 2 e2 .
这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2 所有向量的一组基底.
B、 -1 C、 -1 -7， -7,1 D、 7， 6、已知B的坐 标是 m,n ,AB 的坐标为(i,j),则点A
A、 7,1
的坐标为
A
A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)
B、(i-m,j-n)
D、(m+n,i+j)
小结 平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1 3、已知AB= x,y , B的坐标是 -2,1 ,那么 OA的坐标为 C A、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1) C、(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)
4、若向量 a= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,那么 c等于 B 1 3 1 3 3 1 3 1 A、 - a+ b B、 a- b C、 a- b D、 - a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 5、已知a= 3,-1 ,b= -1,2 ,那么 -3a-2b等于 B
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
反过来，点A的坐标（x,y)也就是 向量OA的坐标。

平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y)
O
x
课前复习:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
4 向量坐标：
则
3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
Байду номын сангаас
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2

2 2
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。

坐标，记作
a ( x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的 坐标，①式叫做向量的坐标表示.
概念理解 1．以原点O为起点 作 OA a，点A的
y
a
y
A
位置由谁确定?
由
j
O
a唯一确定.
i
x
x
a = xi + yj
OA = xi + yj
y
a
y
A
j
O
i
x
x
2．点A的坐标与向量 a 的坐标的关系？
5.如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设OA = i,OB = j ，填空：
y
7 4
D
1 1 （1） | ι |= _____,| j |= ______, 5 | ΟΧ |= ______;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，则：
5 i +7 j 3 i +4 j OC = ________,OD = _________.BC来自j o iAx
3 5
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话， 如何表示？
CD = 2 i + 3 j
B
P
a
a 2 3i 2j
O i
j
A
y
i, 如图，
j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j为基底，则
对于该平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数x、y，可使 a = xi + y j.
C
A
a
D
j o i
x
B

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以


OA＝ 2 3,6 .


【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧 密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
探索延拓创新
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋ b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
名师辨误作答
已知平行四边形的三个顶点坐标为 A(0,0)，B(0，b)， C(a，c)．求第四个顶点 D 的坐标．
[错解] 设第四个顶点的坐标为 D(x，y)，如图所示．则A→C ＝(a，c)，
B→D＝(x，y－b)， 由A→C＝B→D，得(a，c)＝(x，y－b)． ∴ac＝＝yx－b ⇒xy＝＝ab＋c ， 即 D 点坐标为：(a，b＋c)．
建模应用引路
已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若A→P＝A→B＋λA→C(λ ∈R)，试求 λ 取何值时，点 P 在第三象限内？
[分析] 要判断点 P 所在的象限，须知 P 点坐标，为此需求 O→P＝O→A＋A→P的坐标．或由A→P＝A→B＋λA→C找出坐标的关系，求出 P 点坐标．
(2)当四顶点按逆时针 ACBD 排列时， 由A→C＝(a，c)，D→B＝(－x，b－y)，及A→C＝D→B得，(a，c) ＝(－x，b－y)． ∴ac＝＝b－－xy ，∴xy＝ ＝－ b－ac ， 则此时 D 点坐标为(－a，b－c)．
(3)当四顶点按逆时针 ADCB 排列时，由A→D＝(x，y)，B→C＝ (a，c－b)，及A→D＝B→C，得(x，y)＝(a，c－b)．
规律总结：准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的 坐标运算公式．牢记公式、细心计算．

解：由图可知,a AA1 AA2 2i 3 j， ∴ a (2, 3). 同理,可得 b 2i 3 j (2, 3)， c 2i 3 j (2, 3)，
y
A2
b
a
A
A1
j
Oi
x
c
d
d 2i 3 j (2, 3).
如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量 i ,j ，{i ,j }作为基底，分别用i ,j 表示 OA,OB, AB ，并求出它们的坐标.
a
定理可知，有且只有一对实数x, y，使得
a ห้องสมุดไป่ตู้i yj
j
Oi
x
这样，平面内的任一向量 a 都可以由x, y唯一确定，我们把有序数对(x, y) 叫做向量a 的坐标，记作 a (x, y) ，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y 轴上的坐标，a (x, y)叫做向量 a 的坐标表示．显然，i (1, 0), j (0,1),0 (0, 0).
6.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
CONTENTS
01
新知讲解
02
课堂达标
1. 正交分解
给定平面内两个不共线的向量e1, e2 ，由平面向量基本定理可知，平面 上的任意向量 a，均可以分解成两个向量 1e1, 2e2 ，即 a 1e1 2e2 ，其中 向量1e1与 e1 共线，向量2e2 与e2 共线.
如图示，以原点O为起点作OA a ，则点A的位置由向量 a 唯一确定.
设 OA xi yj ，则向量OA 的坐标(x, y)就是终点 a y
A的坐标；反之，终点A的坐标(x, y)也就是向量OA 的坐标. 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间 的联系.
a

平面向量的正交分解及坐标表示1.引言平面向量是二维空间中的一个重要概念，它由起点和终点两个点确定，可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

在二维空间中，向量的正交分解是一个重要的概念，它可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。

本文将介绍平面向量的正交分解及其坐标表示。

2.平面向量的概念平面向量是二维空间中的一个重要概念，它可以表示为一个有向线段，具有大小和方向。

平面向量通常用字母a、b、c等表示，其大小通常用模来表示，记作|a|。

方向通常用角度或者有向角表示。

3.平面向量的坐标表示平面向量可以用坐标来表示，通常表示为(a,b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

例如，向量a可以表示为(a1,a2)，其中a1表示向量在x轴上的投影，a2表示向量在y轴上的投影。

4.向量的正交分解向量的正交分解是指将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和。

设向量a的坐标表示为(a1,a2)，则可以将向量a分解为两个坐标分别为(a1,0)和(0,a2)的向量的和。

这两个向量分别表示了向量a在x轴和y轴上的投影。

5.正交分量与投影在向量的正交分解中，正交分量表示了向量在两个相互垂直的方向上的投影，投影表示了向量在某个方向上的投影。

在二维空间中，向量的正交分量就是向量在x轴和y轴上的投影，这两个向量之间是相互垂直的。

6.向量的坐标表示与正交分解的关系向量的坐标表示与向量的正交分解有密切的联系。

通过向量的坐标表示，我们可以很容易地进行正交分解，将向量表示为两个垂直向量的和，分别表示向量在x轴和y轴上的投影。

7.向量正交分解的应用向量的正交分解在实际问题中有很多应用。

例如，在物理学中，做功可以分解为沿着路径方向和垂直于路径方向的力的分量，这就是一个向量的正交分解。

在工程学中，力的分解、速度的分解等问题都可以用到向量的正交分解。

8.总结平面向量的正交分解是一个重要的概念，通过正交分解，我们可以将一个向量分解为两个相互垂直的向量的和，这对于我们理解向量在空间中的运动和变化具有重要意义。

y B D A O x C

(1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
2 4 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例５.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y C

解法２
A
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则 对于该平面内的任一向量 a ，
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
y
a
C
A
D
有且只有一对实数x、y，可使 a xi + y j
j o i B
x
这里，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作
a ( x, y )
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标， ①式叫做向量的坐标表示。
• 小结2 :
平面向量的坐标运算：
a 1 e1 +2 e2
这就是说平面内任 一向量a都可以表示 成1 e1 +2 e2的形式
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：

例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:

§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 §6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示【学习目标】1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量； 2．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法坐标运算法则进行有关的运算； 3．了解向量的坐标表示与平面内点的坐标。

一、 自主预习：知识点一 平面向量的坐标表示向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相 的向量.问题1：如图，在平面直角坐标系中，设与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为,i j ， 取{},i j 作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，a 用{},i j 表示成什么？a 的坐标表示：a =说明：1）,=i ,=j =0 ；2）任一向量坐标表示是 的.思考（1）如果把向量平移，其坐标会不会改变？（2）如果把向量平移到以原点为起点，得到向量OA ，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？ 知识点二 平面向量加减运算的坐标表示问题2：已知()()1122,,,,a x y b x y ==你能得出,-a b a b +的坐标吗？aijOadbjc io AB5A 1A 2x1234-3-2-1-44321-3-2-1-4-5,i j ,,,a b c d 问题3：已知()()1122,,,,A x y B x y ==你能得出AB 的坐标吗？二、新知探究：题型一 平面向量的坐标表示【例1】如图分别用基底 表示向量 ，并求出它们的坐标。

解：题型二 平面向量加减运算的坐标表示【例2】已知()()2,1,3,4,a b ==-求,-a b a b +的坐标.()()(),,-2,1,1,33,4,ABCD A B C D -【例3】如图，已知的三个顶点的坐标分别是求顶点的坐标.三、课堂小结：。

学习好资料欢迎下载学习好资料 欢迎下载教材解读：探究一：如图，i,j 为互相垂直的单位向量，请用i , j 表示图中的向量a,b,c,d.请学生动手完成并回答：根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在打的 方向上，就可得到：a =3i • 3j ,同理可得 -i 2j呻 斗屮彳 彳 彳c =3i 3jd =4i -2jI m 我们用i , j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生）由此复习平面向量基本定理：如果© ， e 2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 '2，使a= ■ '2e ＞，其中的e ，e 2称为平面的一组基底概念形成师生互动，抓住函数 概念这一重点，举出 实例来突破理解对应 法则f 这一难点。

\ b4\b3 J a/21j J■4 1 1 1 1 1z/44d5学生独立思考后，分组讨论、 交流，教师巡视，关注学生谈 论的情况。

教师指导学生阅读教材，思考 讨论并解决上述问题，学生讨 论列举与位移一样的一些量 .强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，引导学生思考，请学生尝而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一 试给出定义) 的•推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量\、j 作为基底*任作一个向量a ，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得；=xi + yj .............. O 1我们把(x, y)叫做 向量a 的(直角)坐标， 记作a =(x,y) .............•••O其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 式叫做向量的坐标表示.起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标 相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.屮4 彳*呻彳 一探究二：(1)已知 a =(x 1? y 1), b = (x 2, y 2),求 a + b, a-b 的坐标(2) 已知a= (x, y)和实数¥、,求人a 的坐标•(1) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和与差：a 士b = (X i ±X 2, y i 士 y 2)( 其 中T —ia =(X i , y i ), b= (x 2, y 2))(2) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的相应坐标：概 念 深 化加强学生对概念的理 解T r T 、、若a = (x, y),则扎a =(丸x, Xy);。