2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．23．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜210．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ二、填空题11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为，它们之间的距离为．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，外接球的表面积为．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．三、解答题18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．参考答案一、选择题1．经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝0 【分析】直接代入点斜式方程即可．解：由点斜式直接带入：y﹣3＝2（x﹣1），即2x﹣y+1＝0，故选：D．2．椭圆的焦距是（）A．B．C．1 D．2【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，进而由焦距定义计算可得答案．解：根据题意，椭圆的标准方程为：，则a2＝5，b2＝4，则c＝＝1，则其焦距2c＝2；故选：D．3．已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．m⊂α，n⊂β，m∥n B．m⊥α，m⊥βC．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥βD．α⊥γ，β⊥γ【分析】利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．解：由直线m和n，若m⊂α，n⊂β，n∥m，则α与β相交或平行，故A不正确；若m⊥α，m⊥β，则垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即α∥β，故B正确；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故C不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则由平面与平面平行的判定知，故D不正确．故选：B．4．圆x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离d＝，R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：C．5．已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A．过P有且只有一条直线与a、b都垂直B．过P有且只有一条直线与a、b都平行C．过P有且只有一个平面与a、b都垂直D．过P有且只有一个平面与a、b都平行【分析】对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，利用过一点作已知平面的垂线，有且只有一条，可得结论；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在；对于C，根据a、b是异面直线，可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在．解：对于A，取直线a上任意一点，作b的平行线c，则a，c确定平面，过P作平面的垂线有且只有一条，所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直，故A正确；对于B，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的直线不存在，故B不正确；对于C，∵a、b是异面直线，∴过P不存在平面与a、b都垂直，故C不正确；对于D，若P与a或b确定的平面，与b或a平行，此时与a、b都平行的平面不存在，故D不正确；故选：A．6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．解：设AB＝BC＝2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cos B＝﹣，∴OC2＝OB2+BC2﹣2OB•BC•cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，∴OC＝，则cos∠COB＝＝，可得sin∠COB＝＝，tan∠COB＝＝，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得e＝＝＝＝＝．故选：D．7．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．8．正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A．0 B．C．D．【分析】由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①点E是线段AC的中点，BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．利用反证法可以证明．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE 与平面α所成角为，．解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等．①∵点E是线段AC的中点，∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是．反证法：若直线BE与平面α所成角是，则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线BE与平面α所成角不可能是90°．②在该四面体绕CD旋转的过程中，当BE∥α时，可得直线BE与平面α所成角为0．③如图所示的正四面体B﹣ABC．作BO⊥平面ACD，垂足为O．则E，O，D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ，可得cosθ＝．∴θ＞．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中，可得直线BE与平面α所成角为，．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是．故选：D．9．已知两点，到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜2【分析】（1）由题意做出简图，分别讨论A，B在同一侧和两侧两种情况，只需a小于A，B两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，所以若有这样的直线又4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于A，B的距离，因为|AB|＝＝2，所以0＜2a＜2，所以：0＜a＜1，故选：B．10．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角A﹣PQ﹣R，A﹣PR﹣Q，A﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．β＜γ＜αB．γ＜β＜αC．α＞γ＞βD．α＞β＞γ【分析】由四面体为正四面体，结合AQ＝QD，＝＝，通过图形直观分析得答案．解：观察可知，α＞β＞γ，α为钝角，β，γ均为锐角，β平缓一点，γ陡急一点，∴，则α＞β＞γ，故选：D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若圆x2+y2+2ax+y﹣1＝0的圆心在直线y＝x上，则a的值是，半径为．【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程的形式，求出圆的圆心以及半径，又由圆的圆心在直线y＝x上，即可得a的值，据此可得答案．解：根据题意，圆的一般方程为x2+y2+2ax+y﹣1＝0，则其标准方程为（x+a）2+（y+）2＝a2+：其圆心为（﹣a，﹣），半径r＝，若其圆心在直线y＝x上，则有﹣a＝﹣，即a＝，其半径r＝＝；故答案为：，12．若直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为﹣1 ，它们之间的距离为．【分析】由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．解：由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证：m＝3时两条直线平行舍去．∴m＝﹣1．直线l1：x+my+6＝0与l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0分别化为：x﹣y+6＝0，x﹣y+＝0．∴它们之间的距离＝＝．故答案为：﹣1，．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为24 ，外接球的表面积为41π．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：由题意可知几何体是三棱柱，如图：是长方体的一半，所以几何体的体积为：＝24；几何体的外接球，就是长方体的外接球，外接球的半径为：＝．外接球的表面积为：＝41π．故答案为：24；41π．14．已知双曲线与椭圆共焦点，则m的值为 3 ，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是[1，+∞）．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值，可得|PF|的取值范围．解：由椭圆，得c＝，则其焦点坐标为（0，±2），∴双曲线的焦点坐标为（0，±2），∴1+m＝4，得m＝3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0，2），则当P为双曲线的上顶点时，|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1，+∞）．故答案为：3；[1，+∞）．15．异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为（，）．【分析】由最小角定理可得：θ的取值范围为，得解．解：由最小角定理可得：异面直线a，b所成角为，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为：＜θ，故答案为：（，）．16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE ＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值解：显然BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，17．已知椭圆上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为，则直线BC的斜率为．【分析】设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．由原点O是△ABC的重心，得△BMA与△CMO的高之比为3，结合△BMA与△CMO的面积之比为，得2BM＝MC．可得2x1+x2＝0，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得到36k2m2＝1﹣m2+4k2，利用重心坐标公式求得A的坐标，代入椭圆方程即可求解直线BC的斜率．解：设B（x1，y1），C（x2，y2）A（x3，y3），M（0，m），直线BC的方程为y＝kx+m．∵原点O是△ABC的重心，∴△BMA与△CMO的高之比为3，又△BMA与△CMO的面积之比为，则2BM＝MC．即2＝，得2x1+x2＝0，…①联立，得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．则x1+x2＝，x1x2＝，…②由①②整理可得：36k2m2＝1﹣m2+4k2，…③∵原点O是△ABC的重心，∴，y3＝﹣（y2+y1）＝﹣[k（x1+x2）+2m]＝﹣．∵，∴（）2+4（）2＝4，即1+4k2＝4m2，…④．由③④可得k2＝，∵k＜0．∴k＝﹣．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分18．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．利用基本本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．可得＝（2x+5y）•（）＝（7++），利用基本本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴20≥2，化为：xy≤10，当且仅当2x＝5y＝10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．∴＝（2x+5y）•（）＝（7++）≥（7+2）＝（7+2），当且仅当y＝x，2x+5y＝20取等号．∴的最小值为：（7+2）．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．（1）求证：BG∥平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接DE、PE，证明四边形BEDG是平行四边形，得出BG∥ED，即可证明BG∥平面PDE；（2）连接PG，证明PG⊥AD，再证BG⊥AD，得出AD⊥平面PGB，即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，再证明即可．【解答】（1）证明：连接DE、PE，则DG∥BE，且DG＝BE，所以四边形BEDG是平行四边形，所以BG∥ED，又BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以BG∥平面PDE；（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，所以PG⊥AD；又AG＝AB，∠BAD＝60°，所以BG＝AB，所以∠BGA＝90°，即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB，又PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．20．如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【分析】（1）依题意，容易求得半径r＝4，圆心坐标为（﹣4，2），由此得到方程；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，结合图象得解．解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2），所以圆心在直线y＝2上，设圆C与x轴交于P，Q点，又因为被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，所以可得∠PCQ＝，所以r＝4，圆心C的坐标：（﹣4，2），所以圆C的方程：（x+4）2+（y﹣2）2＝16；（2）依题意，只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率，设其直线方程为y＝tx（t＞0），此时有，解得；若点M在劣弧PQ上，则直线OM的斜率k＝t，于是；若点N在劣弧上，则直线OM的斜率，于是；又当k＝0时，点N为（0，2）也满足条件；综上所述，所求直线OM的斜率k的取值范围为．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC＝BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB＝CD＝DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．∴平面PAD⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB＝BD＝，AB＝，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA＝AD＝2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴＝（0，3，﹣），＝（﹣，﹣1，），＝（，2，0）．设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，∴，取x＝，得＝（，﹣1，），∴cos＜，＞＝＝＝﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率求得，将（，）代入椭圆方程，即可求得a 和b的值．（2）设P（m，n），m＞0，n＞0，且.可得S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．由⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2时．S△PCD取得最大值，解：（1）由已知得，⇒，点（，）代入+＝1可得．代入点（，）解得b2＝1，∴椭圆C的标准方程：．（2）可得A（﹣2，0），B（0，1）．设P（m，n），m＞0，n＞0，且.PA：，PB：，可得C（0，），D（）．由可得x＝．S＝＝＝﹣＝．设P处的切线为：x﹣2y+t＝0，t＜0．⇒8y2﹣4ty+t2﹣4＝0，△＝﹣16t2+128＝0⇒t＝﹣2．此时，方程组的解即点P（，﹣）时，S△PCD取得最大值，最大值为﹣1．。
高二下学期学期数学周练试卷一、选择题1．命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）A. 若0x ≤， 0y ≤，则0xy >B. 若0x >且0y >，则0xy ≤C. 若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D. 若,x y 至少有一个小于或等于0，则0xy ≤2．已知函数()()2ln f x x x f a =+',且()11f =-则实数a 等于( ) A. 12-或1 B. 12 C. 1 D. 23．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)：那么这个几何体的表面积是( )A. ()212cm +B. ()232cm + B. C. ()272cm + D. ()282cm +4．如图，某直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，则该直观图所表示的平面图形是( )A. 正三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形5．给定下列四个命题，其中正确的命题是( )①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.A. ②和④B. ②和③C. ③和④D. ①和②6．如图，在以角C 为直角顶点的三角形ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，F 为PB 上的点，在线段AB 上有一点E ，满足BE ＝λAE .若PB ⊥平面CEF ，则实数λ的值为( )A. 316B. 516C. 916D. 7．圆22:4C x y +=上有且仅有一个点到直线x y m -=的距离为1，则m =（ ）A. B. ± C. ± D. ±8．已知点P 是椭圆221168x y +=上的动点，过点P 作圆()22:11C x y -+=的切线， A 为其中一个切点，则PA 的取值范围为( )A. ⎡⎣B.C.D.二、填空题9．当直线y ＝k (x －2)＋4和曲线y =实数k 的取值范围是________． 10．已知抛物线214y x =与圆()()222:12C x y r -+-= (0)r >有公共点P ，若抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则r =__________．11．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________． 12．设函数()f x 的导数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'_______. 13．已知函数f (x )＝x a x b-+的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，则a ＋b ＝__________. 14．若A 点坐标为()1,1， 1F 是椭圆225945y x +=的下焦点，点P 是该椭圆上的动点，则1PA PF +的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=__________．三、解答题15．设命题22:33m p m -≤-；命题q ：关于x 的不等式2240x x m -+≤的解集是空集， 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点()2,0B -的直线l 与圆A 相交于,M N 两点， Q 是MN 的中点， 219MN =.(1)求圆A 的标准方程； (2)求直线l 的方程.17．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝26，M 为A 1B 1的中点．(1)求证：MC ⊥AB;(2)在棱CC 1上是否存在点P ：使得MC ⊥平面ABP ：若存在：确定点P 的位置：若不存在：说明理由：(3)若点P 为CC 1的中点：求二面角B ：AP ：C 的余弦值：18．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若OAB∆的顶点A、B在椭圆上，OA所在的直线斜率为1k，OB所在的直线斜率为2k，若2122bk ka⋅=-，求OA OB⋅u u u v u u u v的最大值试卷第6页，总1页。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=02.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.23.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √727.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34 .0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6 C. π3 D. π29.（单选题.4分）已知两点 A(1，6√3) . B(0，5√3) 到直线l 的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a 的取值范围是（ ） A.a≥1 B.0＜a ＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a ＜210.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC.且AP=AC=1.过点A分别作AE⊥PB于点E.AF⊥PC于点F.连结EF.当△AEF的面积最大时.tan∠BPC=___ ．17.（填空题.4分）已知椭圆C：x24+y2=1上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC与y轴交于M.若原点O是△ABC的重心.且△BMA与△CMO的面积之比为32.则直线BC的斜率为___ ．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.AB⊥PA.AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求△PCD 面积的最大值．2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0【正确答案】：D【解析】：直接代入点斜式方程即可．【解答】：解：由点斜式直接带入：y-3=2（x-1）.即2x-y+1=0.故选：D．【点评】：考查直线的点斜式方程.属于基础题．2.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.2【正确答案】：D【解析】：根据题意.由椭圆的标准方程可得a、b的值.计算可得c的值.进而由焦距定义计算可得答案．【解答】：解：根据题意.椭圆的标准方程为：x 25+y24=1 .则a2=5.b2=4.则c= √a2−b2 =1. 则其焦距2c=2；故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质.关键是掌握椭圆的标准方程的形式．3.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ【正确答案】：B【解析】：利用平面平行的判定定理.对四个选项分别进行判断.能够得到正确答案．【解答】：解：由直线m和n.若m⊂α.n⊂β.n || m.则α与β相交或平行.故A不正确；若m⊥α.m⊥β.则垂直于同一条直线的两个平面互相平行.即α || β.故B正确；若m⊂α.n⊂α.m || β.n || β.则α与β相交或平行.故C不正确；若α⊥γ.β⊥γ.则由平面与平面平行的判定知.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断.属于中档题．4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【正确答案】：C【解析】：把两圆的方程化为标准方程.分别找出圆心坐标和半径.利用两点间的距离公式.求出两圆心的距离d.然后求出R-r和R+r的值.判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】：解：把圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x-1）2+y2=1.x2+（y+2）2=4.故圆心坐标分别为（1.0）和（0.-2）.半径分别为R=2和r=1.∵圆心之间的距离d= √(1−0)2+(0+2)2=√5 .R+r=3.R-r=1.∴R-r＜d＜R+r.则两圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】：圆与圆的位置关系有五种.分别是：当0≤d＜R-r时.两圆内含；当d=R-r时.两圆内切；当R-r＜d＜R+r时.两圆相交；当d=R+r时.两圆外切；当d＞R+r时.两圆外离（其中d表示两圆心间的距离.R.r分别表示两圆的半径）．5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行【正确答案】：A【解析】：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.利用过一点作已知平面的垂线.有且只有一条.可得结论；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在；对于C.根据a、b是异面直线.可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在．【解答】：解：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.过P作平面的垂线有且只有一条.所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直.故A正确；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在.故B不正确；对于C.∵a、b是异面直线.∴过P不存在平面与a、b都垂直.故C不正确；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在.故D不正确；故选：A．【点评】：本题考查线线、线面的位置关系.考查学生的推理能力.属于中档题．6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √72【正确答案】：D【解析】：设AB=BC=2.取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC.由余弦定理可得OC.cos∠COB .求得tan∠COB .即为渐近线的斜率.由a.b.c 的关系和离心率公式.即可得到．【解答】：解：设AB=BC=2. 取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC. 在三角形OBC 中. cosB=- 12 .∴OC 2=OB 2+BC 2-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（- 12）=7. ∴OC= √7 . 则cos∠COB=2√7 = √7. 可得sin∠COB= √1−47 = √3√7 . tan∠COB= sin∠COBcos∠COB = √32 .可得双曲线的渐近线的斜率为 √32 .不妨设双曲线的方程为 x 2a2 - y 2b2 =1（a.b ＞0）. 渐近线方程为y=± b ax. 可得 ba = √32 . 可得e= c a = √a 2+b 2a 2 = √1+(b a )2 = √1+34 = √72 ．故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率.考查学生的计算能力.属于中档题．7.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（ ） A.[- 34.0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]【正确答案】：A【解析】：由弦长公式得.当圆心到直线的距离等于1时.弦长等于2 √3 .故当弦长大于或等于2 √3 时.圆心到直线的距离小于或等于1.解此不等式求出k 的取值范围．【解答】：解：设圆心（3.2）到直线y=kx+3的距离为d. 由弦长公式得.MN=2 √4−d 2 ≥2 √3 . 故d≤1. 即√k 2+1 ≤1.化简得 8k （k+ 34 ）≤0.∴- 34 ≤k≤0.故k 的取值范围是[- 34.0]． 故选：A ．【点评】：本题主要考查点到直线的距离公式.以及弦长公式的应用.属于中档题．8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（ ）A.0B. π6C. π3D. π2【正确答案】：D【解析】：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① 点E是线段AC的中点.BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．利用反证法可以证明．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．【解答】：解：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① ∵点E是线段AC的中点.∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．反证法：若直线BE与平面α所成角是π2.则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上.在该四面体绕CD旋转的过程中.BE与CD是不可能垂直的.因此假设错位.于是直线BE 与平面α所成角不可能是90°．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．则E.O.D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．∴θ＞π3．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是π2．故选：D．【点评】：本题考查了正四面体的性质、线面垂直性质定理、正三角形的性质、线面角.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于难题．9.（单选题.4分）已知两点A(1，6√3) . B(0，5√3)到直线l的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a的取值范围是（）A.a≥1B.0＜a＜1C.0＜a≤1D.0＜a＜2【正确答案】：B【解析】：（1）由题意做出简图.分别讨论A.B在同一侧和两侧两种情况.只需a小于A.B两点距离的一半.再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．【解答】：解：由题意如图所示：因为若A.B在直线的同一侧.可做两条直线.所以若有这样的直线有4条.则当A.B两点分别在直线的两侧时.还应该有两条.所以2a小于A.B的距离.因为|AB|= √(1−0)2+(6√3−5√3)2 =2.所以0＜2a＜2.所以：0＜a＜1.故选：B．【点评】：考查点到直线的距离公式.属于中档题．10.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ【正确答案】：D【解析】：由四面体为正四面体.结合AQ=QD. APPB = CRRA= 12.通过图形直观分析得答案．【解答】：解：观察可知.α＞β＞γ.α为钝角.β.γ均为锐角.β平缓一点.γ陡急一点. ∴ π2＞β＞γ .则α＞β＞γ.故选：D．【点评】：本题考查二面角的平面角及其求法.考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力.是中档题．11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．【正确答案】：[1] 12 ; [2] √62【解析】：根据题意.将圆的方程变形为标准方程的形式.求出圆的圆心以及半径.又由圆的圆心在直线y=x上.即可得a的值.据此可得答案．【解答】：解：根据题意.圆的一般方程为x2+y2+2ax+y-1=0.则其标准方程为（x+a）2+（y+1 2）2=a2+ 54：其圆心为（-a.- 12）.半径r= √a2+54.若其圆心在直线y=x上.则有-a=- 12 .即a= 12.其半径r= √14+54= √62；故答案为：12 . √62【点评】：本题考查圆的一般方程.关键是掌握圆的一般方程的形式.属于基础题．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．【正确答案】：[1]-1; [2] 8√23【解析】：由m（m-2）-3=0.解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．【解答】：解：由m （m-2）-3=0.解得m=3或-1． 经过验证：m=3时两条直线平行舍去． ∴m=-1．直线l 1：x+my+6=0与l 2：（m-2）x+3y+2m=0分别化为：x-y+6=0.x-y+ 23 =0． ∴它们之间的距离= |6−23|√2=8√23． 故答案为：-1. 8√23．【点评】：本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]24; [2]41π【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的体积.求出外接球的半径.即可求解外接球的表面积．【解答】：解：由题意可知几何体是三棱柱.如图：是长方体的一半. 所以几何体的体积为： 12×4×3×4 =24；几何体的外接球.就是长方体的外接球.外接球的半径为： 12×√42+32+42 = √412． 外接球的表面积为： 4π×(√412)2=41π． 故答案为：24；41π．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.外接球的表面积的求法.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]3; [2][1.+∞）【解析】：由椭圆方程求得焦点坐标.再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值.可得|PF|的取值范围．【解答】：解：由椭圆y 29+x25=1 .得c= √9−5=2 .则其焦点坐标为（0.±2）.∴双曲线C：y2−x2m=1的焦点坐标为（0.±2）.∴1+m=4.得m=3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0.2）.则当P为双曲线的上顶点时.|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1.+∞）．故答案为：3；[1.+∞）．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的简单性质.是基础题．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（π6 . π3）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为π6＜θ＜π3.得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（ π6 . π3 ）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC 中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC .且AP=AC=1.过点A 分别作AE⊥PB 于点E.AF⊥PC 于点F.连结EF.当△AEF 的面积最大时.tan∠BPC=___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：由已知可证AE⊥平面PBC.PC⊥平面AEF.可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .从而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”.解得当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.即可求得tan∠BPC 的值【解答】：解：显然BC⊥平面PAB.则BC⊥AE . 又PB⊥AE .则AE⊥平面PBC.于是AE⊥EF .且AE⊥PC .结合条件AF⊥PC 得PC⊥平面AEF. 所以△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”. 所以.当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.此时tan∠BPC= EF PF = 12√22= √22 .【点评】：本题主要考查了直线与平面垂直的判定.不等式的解法及应用.同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力.属于中档题 17.（填空题.4分）已知椭圆 C ：x 24+y 2=1 上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M.若原点O 是△ABC 的重心.且△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则直线BC 的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −√36【解析】：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ．由原点O 是△ABC 的重心.得△BMA 与△CMO 的高之比为3.结合△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .得2BM=MC ．可得2x 1+x 2=0.联立直线与椭圆方程.利用根与系数的关系得到36k 2m 2=1-m 2+4k 2.利用重心坐标公式求得A 的坐标.代入椭圆方程即可求解直线BC 的斜率．【解答】：解：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ． ∵原点O 是△ABC 的重心.∴△BMA 与△CMO 的高之比为3. 又△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则2BM=MC ． 即2 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .得2x 1+x 2=0.… ①联立 {y =kx +m x 2+4y 2=4 .得（4k 2+1）x 2+8mkx+4m 2-4=0． 则x 1+x 2= −8km 1+4k 2 .x 1x 2= 4m 2−41+4k 2 .… ②由 ① ② 整理可得：36k 2m 2=1-m 2+4k 2.… ③ ∵原点O 是△ABC 的重心.∴ x 3=−(x 1+x 2)=8km1+4k 2 . y 3=-（y 2+y 1）=-[k （x 1+x 2）+2m]=- 2m1+4k 2 ．∵ x 32+4y 32=4 .∴（ 8km1+4k 2 ）2+4（ −2m 1+4k 2 ）2=4.即1+4k 2=4m 2.… ④ ． 由 ③ ④ 可得k 2= 112 . ∵k ＜0．∴k=- √36． 故答案为： −√36 ．【点评】：本题考查了椭圆的性质.考查了计算能力、转化思想.属于中档题．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．利用基本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．可得1x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（1）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴20≥2 √2x•5y .化为：xy≤10.当且仅当2x=5y=10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴ 1 x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）≥ 120（7+2 √5yx•2xy）= 120（7+2√10）.当且仅当√5 y= √2 x.2x+5y=20取等号．∴ 1 x +1y的最小值为：120（7+2 √10）．【点评】：本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、转化法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连接DE、PE.证明四边形BEDG是平行四边形.得出BG || ED.即可证明BG || 平面PDE；（2）连接PG.证明PG⊥AD.再证BG⊥AD.得出AD⊥平面PGB.即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时.平面DEF⊥平面ABCD.再证明即可．【解答】：（1）证明：连接DE、PE.则DG || BE.且DG=BE.所以四边形BEDG是平行四边形. 所以BG || ED.又BG⊄平面PDE.DE⊂平面PDE.所以BG || 平面PDE；（2）证明：连接PG.因为△PAD为正三角形.G为AD边的中点.所以PG⊥AD；又AG= 12 AB.∠BAD=60°.所以BG= √32AB.所以∠BGA=90°.即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB.BG⊂平面PGB.PG∩BG=G.所以AD⊥平面PGB.又PB⊂平面PGB.所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时.满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F.连接DE、EF、DF.在△PBC中.FE || PB.在菱形ABCD中.EF∩DE=E.所以平面DEF || 平面PGB.因为BG⊥平面PAD.所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD.AD∩BG=G.所以PG⊥平面ABCD.而PG⊂平面PGB.所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD．【点评】：本题考查了空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的平行和垂直判断问题.也考查了空间想象能力与逻辑推理能力．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依题意.容易求得半径r=4.圆心坐标为（-4.2）.由此得到方程；（2）依题意.只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率.结合图象得解．【解答】：解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0.2）.所以圆心在直线y=2上.设圆C 与x 轴交于P.Q 点.又因为被x 轴分成的两段圆弧长之比为1：2.所以可得∠PCQ= 2π3 .所以r=4.圆心C 的坐标：（-4.2）.所以圆C 的方程：（x+4）2+（y-2）2=16；（2）依题意.只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率.设其直线方程为y=tx （t ＞0）.此时有 2＜|−4t−2|√t 2+1≤4 .解得 0＜t ≤34 ；若点M 在劣弧PQ 上.则直线OM 的斜率k=t.于是 0＜k ≤34 ；若点N 在劣弧上.则直线OM 的斜率 k =−1t .于是 k ≤−43 ；又当k=0时.点N 为（0.2）也满足条件；综上所述.所求直线OM 的斜率k 的取值范围为 (−∞，−43]∪[0，34] ． 【点评】：本题考查圆的标准方程的求法及直线与圆的关系.考查逻辑推理能力.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.AB⊥PA .AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．可证四边形ABED 是矩形.故而AB⊥AD .结合AB⊥PD 得出AB⊥平面PAD.又AB || CD 得出CD⊥平面PAD.于是平面PAD⊥平面PCD ；（II ）以A 为原点建立坐标系.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PBC 的法向量 n ⃗ .则直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|．【解答】：证明：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．∵BC=BD .E 为CD 中点.∴BE⊥CD .又∵AB || CD .AB= 12 CD=DE.∴四边形ABED 是矩形.∴AB⊥AD .又AB⊥PA .PA⊂平面PAD.AD⊂平面PAD.PA∩AD=A.∴AB⊥平面PAD ．∵AB || CD .∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD.∴平面BEF⊥平面PCD ．∴平面PAD⊥平面PCD ．（II ）以A 为原点.AB 为x 轴.AD 为y 轴.以平面ABCD 过点A 的垂线为z 轴建立空间直角坐标角系A-xyz.如图所示：∵PB=BD= √6 .AB= √2 .AB⊥PA .AB⊥AD .∴PA=AD=2．∴P （0.-1. √3 ）.D （0.2.0）.B （ √2 .0.0）.C （2 √2 .2.0）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.3.- √3 ）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √2 .-1. √3 ）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 .2.0）．设平面PBC 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∴ {√2x +2y =0−√2x −y +√3z =0 .取x= √2 .得 n ⃗ =（ √2 .-1. √33 ）. ∴cos ＜ n ⃗ . PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −4√103•2√3 =- √105． ∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为√105 ．【点评】：本题考查了面面垂直的性质.空间向量的应用与空间角的计算.属于中档题．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用椭圆的离心率求得 b a =12 .将（ √3 . 12 ）代入椭圆方程.即可求得a 和b 的值．（2）设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 可得 S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ． 设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．由 {x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 时．S △PCD 取得最大值.【解答】：解：（1）由已知得 c a =√32 .⇒ b a =12 . 点（ √3 . 12 ）代入 x 2a 2 + y 2b 2 =1可得 3a 2+14b 2=1 ． 代入点（ √3 . 12 ）解得b 2=1.∴椭圆C 的标准方程： x 24+y 2=1 ．（2）可得A （-2.0）.B （0.1）．设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 PA ： y =n m+2(x +2) .PB ：n−1m x +1 . 可得C （0. 2n m+2 ）.D （ m 1−n ，0 ）．由 {y =n−1m x +1y =2n m+2可得x= m (2n−m−2)(n−1)(m+2) ． S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ．设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．{x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 ． 此时.方程组的解 {x =√2y =−√22即点P （ √2 .- √22 ）时.S △PCD 取得最大值.最大值为 √2 -1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。
浙江省杭州市学军中学2019年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，若，则实数x的值为( )A. －6B. 6C.D.参考答案：D【分析】根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案。
【详解】，∵，∴，则．故答案选D。
【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数。
2. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A．B．C． 1 D．参考答案：A3. 直线l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为．则直线l和圆C的位置关系为A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离参考答案：A4. 抛物线的焦点坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略5. 已知，则（）A. B. 3 C. －3 D.参考答案：D【分析】将已知等式弦化切，求得，分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果.【详解】因为，所以，，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6. 不等式表示的平面区域（用阴影表示）是参考答案：B7. 若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．8. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个参考答案：A略9. 椭圆与的（）A．长轴相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同参考答案：B10. 已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解：∵e=，2c=2，c=1∴a=，c=1，则b==1，∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1），B（，）∴|AB|=，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点，是抛物线上两个不同的动点，且直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为．参考答案：－２略12. 已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为．参考答案：13. 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________．参考答案：（为参数）14. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐进线的距离为，则该双曲线的离心率为__________．参考答案：顶点到渐进线的距离为，焦点到渐近线的距离为，∴，即双曲线的离心率为．15. 下列程序执行后输出的结果是S＝________.i＝1S＝0WHILE i<＝50S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SEND参考答案：127516. 在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为。
